初中數(shù)學(xué)同步九年級(jí)上冊(cè)滬科版《壓軸題》專題13四類手拉手相似模型含答案及解析

專題13四類手拉手相似模型目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 1類型一、任意三角形 1類型二、等腰三角形 4類型三、直角三角形 6類型四、等邊三角形或等腰直角三角形 12壓軸能力測(cè)評(píng)（10題） 13“手拉手”旋轉(zhuǎn)型定義：如果將一個(gè)三角形繞著它的項(xiàng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)并放大或縮小(這個(gè)頂點(diǎn)不變)，我們稱這樣的圖形變換為旋轉(zhuǎn)相似變換，這個(gè)頂點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)相似中心，所得的三角形稱為原三角形的旋轉(zhuǎn)相似三角形。1、利用三邊證相似三角形（1）如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．可簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似．（2）利用三邊成比例判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，一定要注意邊之間注意的對(duì)應(yīng)關(guān)系，主要運(yùn)用短對(duì)短、長(zhǎng)對(duì)長(zhǎng)、中間對(duì)中間的方法找對(duì)應(yīng)邊.另外要注意兩個(gè)三角形的先后順序.2.利用兩邊及其夾角判斷兩個(gè)三角形是否相似（1）如果一個(gè)三角形的兩邊與另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．可簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似．（2）利用兩邊及其夾角判斷兩個(gè)三角形是否相似的方法：依據(jù)題目給出的條件，若存在一組角對(duì)應(yīng)相等，則需要判斷出該角的兩邊是否成比例.若成比例，則兩個(gè)三角形相似；若不成比例，則兩個(gè)三角形不相似若存在兩組邊成比例，則需要判斷兩邊的夾角是否相等.若相等，則兩個(gè)三角形相似；若不相等，則兩個(gè)三角形不相似。3.利用兩角判定兩個(gè)三角形相似（1）如果一個(gè)三角形的兩角與另一個(gè)三角形的兩角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．（2）利用兩角判定兩個(gè)三角形相似的方法：如果根據(jù)已知條件，在兩個(gè)三角形中不能直接找出兩個(gè)角分別相等，那么可先結(jié)合三角形內(nèi)角和定理、對(duì)頂角等知識(shí)，設(shè)法求出其中一個(gè)三角形中的第三個(gè)角，再判斷兩個(gè)三角形中是否有兩角分別相等，若有，則兩個(gè)三角形相似，否則兩個(gè)三角形不相似。類型一、任意三角形條件:如圖，∠BAC=∠DAE=，；結(jié)論：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；.例．問題背景：如圖（1），已知，求證：；嘗試應(yīng)用：如圖（2），在和中，，，與相交于點(diǎn)．點(diǎn)在邊上，，求的值；拓展創(chuàng)新：如圖（3），是內(nèi)一點(diǎn)，，，，，直接寫出的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練1】．在和中，，，且，點(diǎn)E在的內(nèi)部，連接EC，EB，EA和BD，并且．【觀察猜想】（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系為__________，線段EA，EB，EC的數(shù)量關(guān)系為__________．【探究證明】（2）如圖②，當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請(qǐng)給出證明，若不成立，請(qǐng)說明理由；【拓展應(yīng)用】（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，若，請(qǐng)直接寫出的面積．【變式訓(xùn)練2】．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點(diǎn)P是△ABC外一點(diǎn)，連接BP，將線段BP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段PD，連接BD，CD，AP．觀察猜想：（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，的值為，直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)為°；類比探究：（2）如圖2，當(dāng)α＝90°時(shí)，求出的值及直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)；拓展應(yīng)用：（3）如圖3，當(dāng)α＝90°時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段FE的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)A，D，P三點(diǎn)在一條直線上，BD交PF于點(diǎn)G，CD交AB于點(diǎn)H.若CD＝2＋，求BD的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練3】．（1）嘗試探究：如圖①，在ΔABC中，，，點(diǎn)、分別是邊、上的點(diǎn)，且EF∥AB．①的值為_________；②直線與直線的位置關(guān)系為__________；（2）類比延伸：如圖②，若將圖①中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，，則在旋轉(zhuǎn)的過程中，請(qǐng)判斷的值及直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由；（3）拓展運(yùn)用：若，，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)線段的長(zhǎng)．類型二、等腰三角形例．如圖1，在中，，，D，E分別為AB，BC邊上的點(diǎn)，連接DE，且，將繞點(diǎn)B在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn).(1)觀察猜想：若，將繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，則______；(2)類比探究：若將繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)至如圖3所示的位置，求的值；(3)拓展應(yīng)用：若，D為AB的中點(diǎn)，，如圖4，將繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)至如圖5所示位置，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練1】．1.問題發(fā)現(xiàn)圖（1），在和中，，，，連接，交于點(diǎn)M.①的值為______；②的度數(shù)為_______．（2）類比探究圖（2），在和中，，，連接，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，請(qǐng)計(jì)算的值及的度數(shù)；（3）拓展延伸在（2）的條件下，若，，將繞點(diǎn)O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周．①當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B且點(diǎn)C在線段上時(shí)，求的長(zhǎng)；②請(qǐng)直接寫出運(yùn)動(dòng)過程中M點(diǎn)到直線距離的最大值．【變式訓(xùn)練2】．觀察猜想(1)如圖1，在等邊中，點(diǎn)M是邊上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連接，以為邊作等邊，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是______．(2)類比探究如圖2，在等邊中，點(diǎn)M是延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），（1）中其它條件不變，（1）中結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由．(3)拓展延伸如圖3，在等腰中，，點(diǎn)M是邊上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連接，以為邊作等腰，使頂角．連按．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式訓(xùn)練3】．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，在和中，，，，連接交于點(diǎn).填空：①的值為______；②的度數(shù)為______．（2）類比探究如圖2，在和中，，，連接交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).請(qǐng)判斷的值及的度數(shù)，并說明理由；（3）拓展延伸在（2）的條件下，將繞點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，所在直線交于點(diǎn)，若，，請(qǐng)直接寫出當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)在同一條直線上時(shí)的長(zhǎng)．

類型三、直角三角形條件:如圖，，（即△COD∽△AOB）；結(jié)論：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，.例．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在中，，D為邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合）將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；【探究證明】（2）如圖2，在和中，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C，D，E在同一直線時(shí)，BD與CE具有怎樣的位置關(guān)系，并說明理由；【拓展延伸】（3）如圖3，在中，，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)E，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為（），當(dāng)點(diǎn)C，D，E在同一直線時(shí)，畫出圖形，并求出線段的長(zhǎng)度．【變式訓(xùn)練1】．如圖1，、分別是的內(nèi)角、的平分線，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)如圖2，如果，且，求的值；(3)如果是銳角，且與相似，求的度數(shù)，并直接寫出的值．【變式訓(xùn)練2】．如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，點(diǎn)D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)．△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤360°），記直線AD與直線BE的交點(diǎn)為點(diǎn)P．(1)如圖1，當(dāng)α＝0°時(shí)，AD與BE的數(shù)量關(guān)系為______，AD與BE的位置關(guān)系為______；(2)當(dāng)0°＜α≤360°時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)僅就圖2的情形進(jìn)行證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；(3)△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，請(qǐng)直接寫出運(yùn)動(dòng)過程中P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度和P點(diǎn)到直線BC距離的最大值．【變式訓(xùn)練3】．某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組探究了如下數(shù)學(xué)問題：

(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，中，，．點(diǎn)P是底邊BC上一點(diǎn)，連接AP，以AP為腰作等腰，且，連接CQ、則BP和CQ的數(shù)量關(guān)系是______；(2)變式探究：如圖2，中，，．點(diǎn)P是腰AB上一點(diǎn)，連接CP，以CP為底邊作等腰，連接AQ，判斷BP和AQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)問題解決：如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn)，以DP為邊作正方形DPEF，點(diǎn)Q是正方形DPEF兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，連接CQ．若正方形DPEF的邊長(zhǎng)為，，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)．類型四、等邊三角形或等腰直角三角形條件:M為等邊三角形ABC和DEF的中點(diǎn)；結(jié)論：△BME∽△CMF；.條件:△ABC和ADE是等腰直角三角形；結(jié)論：△ABD∽△ACE.例．某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在一次活動(dòng)中，對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題作如下探究：(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在等邊中，點(diǎn)P是邊上任意一點(diǎn)，連接AP，以為邊作等邊，連接，與的數(shù)量關(guān)系是；(2)變式探究：如圖2，在等腰中，，點(diǎn)P是邊上任意一點(diǎn)，以為腰作等腰，使，，連接，判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)解決問題：如圖3，在正方形中，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)，以為邊作正方形，Q是正方形的中心，連接．若正方形的邊長(zhǎng)為5，，求正方形的邊長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練1】．在等邊中，為邊上一點(diǎn)，于．(1)如圖1，若，，求的值；(2)如圖2，線段的垂直平分線交于，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，，，求證：；(3)如圖3，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，點(diǎn)為邊上點(diǎn)右邊一動(dòng)點(diǎn)，連接BM、，當(dāng)取得最小值時(shí)，直接寫出的值．【變式訓(xùn)練2】．如圖，以的兩邊分別向外作等邊和等邊，與交于點(diǎn)P，已知．

(1)求證：；(2)求的度數(shù)及的長(zhǎng)；(3)若點(diǎn)Q、R分別是等邊和等邊的重心（三邊中線的交點(diǎn)），連接，作出圖象，求的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練3】．某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組探究了如下數(shù)學(xué)問題：(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，中，，．點(diǎn)P是底邊上一點(diǎn)，連接，以為腰作等腰，且，連接、則和的數(shù)量關(guān)系是______；(2)變式探究：如圖2，中，，．點(diǎn)P是腰上一點(diǎn)，連接，以為底邊作等腰，連接，判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)問題解決：如圖3，在正方形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，以為邊作正方形，點(diǎn)是正方形兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，連接．若正方形的邊長(zhǎng)為，，請(qǐng)直接寫出正方形的邊長(zhǎng)．1．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝．點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，將線段ED繞點(diǎn)E按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連結(jié)BF，BF的中點(diǎn)為G．

（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)．

①如圖1，若AD＝BD，求BF的長(zhǎng)．②當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，求點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)．（2）當(dāng)AE＝3，點(diǎn)G在△DEF一邊所在直線上時(shí)，求AD的長(zhǎng)．2．如圖，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，其中AB＝AC，AD＝AE．(1)如圖1，若∠BAC＝90°，當(dāng)C、D、E共線時(shí)，AD的延長(zhǎng)線AF⊥BC交BC于點(diǎn)F，則∠ACE＝______；(2)如圖2，連接CD、BE，延長(zhǎng)ED交BC于點(diǎn)F，若點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，∠BAC＝∠DAE，證明：AD⊥CD；(3)如圖3，延長(zhǎng)DC到點(diǎn)M，連接BM，使得∠ABM＋∠ACM＝180°，延長(zhǎng)ED、BM交于點(diǎn)N，連接AN，若∠BAC＝2∠NAD，請(qǐng)寫出∠ADM、∠DAE它們之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．3．如圖，和是有公共頂點(diǎn)直角三角形，，點(diǎn)P為射線，的交點(diǎn)．（1）如圖1，若和是等腰直角三角形，求證：；（2）如圖2，若，問：（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由．（3）在（1）的條件下，，，若把繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)度4．如圖1，在中，，在斜邊上取一點(diǎn)D，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)E．現(xiàn)將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度到如圖2所示的位置（點(diǎn)D在的內(nèi)部），使得．（1）①求證：；②若，求的長(zhǎng)；（2）如圖3，將原題中的條件“”去掉，其它條件不變，設(shè)，若，，求k的值；（3）如圖4，將原題中的條件“”去掉，其它條件不變，若，設(shè)，，試探究三者之間滿足的等量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程）5．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師拿出兩塊不同大小的含30度角的三角板讓同學(xué)們?cè)诓煌恢脟L試操作．（1）如圖1擺放，當(dāng)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，得知，，求的長(zhǎng)．（2）如圖2，在（1）的條件下，連結(jié)，求的面積．（3）如圖3擺放，把這同樣的兩塊三角板的直角頂點(diǎn)互相重合放置，小三角板繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，連結(jié)、，當(dāng)時(shí)，求的值．（4）不變，當(dāng)?shù)娜呴L(zhǎng)擴(kuò)大一倍后，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，直線與交于點(diǎn)，請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)所經(jīng)過的運(yùn)動(dòng)路徑．6．（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖（1），在，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)E，使，連接CE，可得AD與CE的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______．（2）【探究遷移】如圖（2），在中，，，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，連接，CF，點(diǎn)為CF的中點(diǎn)，連接DE、，試判斷DE和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）【拓展應(yīng)用】在（2）的條件下，若，，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出DE的長(zhǎng)．7．在中，，，點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A，C重合的任意一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段，連接，，.(1)觀察猜想如圖①，當(dāng)時(shí)，的值是_______，直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)是________．(2)類比探究如圖②，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)寫出的值及直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)，并就圖②的情形說明理由．8．

(1)【問題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．(2)【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請(qǐng)直接寫出的值．(3)【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．連接BD，CE．①求的值；②延長(zhǎng)CE交BD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G．求sin∠BFC的值．9．如圖，為等邊三角形，D為AC邊上一點(diǎn)，連接BD，M為BD的中點(diǎn)，連接AM．(1)如圖1，若AB＝2+2，∠ABD＝45°，求的面積；(2)如圖2，過點(diǎn)M作與AC交于點(diǎn)E，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，求證：AD＝CN；(3)如圖3，在（2）的條件下，將沿AM翻折得，連接B'N，當(dāng)B'N取得最小值時(shí)，直接寫出的值．10．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點(diǎn)P為線段CA延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB，將線段PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，得到線段PD，連接DB，DC．（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，求證：PA＝DC；（2）如圖2，當(dāng)α＝120°時(shí)，猜想PA和DC的數(shù)量關(guān)系并說明理由．（3）當(dāng)α＝120°時(shí)，若AB＝6，BP＝，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D到CP的距離．

專題13四類手拉手相似模型目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 1類型一、任意三角形 1類型二、等腰三角形 4類型三、直角三角形 6類型四、等邊三角形或等腰直角三角形 12壓軸能力測(cè)評(píng)（10題） 13“手拉手”旋轉(zhuǎn)型定義：如果將一個(gè)三角形繞著它的項(xiàng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)并放大或縮小(這個(gè)頂點(diǎn)不變)，我們稱這樣的圖形變換為旋轉(zhuǎn)相似變換，這個(gè)頂點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)相似中心，所得的三角形稱為原三角形的旋轉(zhuǎn)相似三角形。1、利用三邊證相似三角形的方法（1）如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．可簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似．（2）利用三邊成比例判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，一定要注意邊之間注意的對(duì)應(yīng)關(guān)系，主要運(yùn)用短對(duì)短、長(zhǎng)對(duì)長(zhǎng)、中間對(duì)中間的方法找對(duì)應(yīng)邊.另外要注意兩個(gè)三角形的先后順序.2.利用兩邊及其夾角判斷兩個(gè)三角形是否相似的方法（1）如果一個(gè)三角形的兩邊與另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．可簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似．（2）利用兩邊及其夾角判斷兩個(gè)三角形是否相似的方法：依據(jù)題目給出的條件，若存在一組角對(duì)應(yīng)相等，則需要判斷出該角的兩邊是否成比例.若成比例，則兩個(gè)三角形相似；若不成比例，則兩個(gè)三角形不相似若存在兩組邊成比例，則需要判斷兩邊的夾角是否相等.若相等，則兩個(gè)三角形相似；若不相等，則兩個(gè)三角形不相似。3.利用兩角判定兩個(gè)三角形相似的方法（1）如果一個(gè)三角形的兩角與另一個(gè)三角形的兩角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．（2）利用兩角判定兩個(gè)三角形相似的方法：如果根據(jù)已知條件，在兩個(gè)三角形中不能直接找出兩個(gè)角分別相等，那么可先結(jié)合三角形內(nèi)角和定理、對(duì)頂角等知識(shí)，設(shè)法求出其中一個(gè)三角形中的第三個(gè)角，再判斷兩個(gè)三角形中是否有兩角分別相等，若有，則兩個(gè)三角形相似，否則兩個(gè)三角形不相似。類型一、任意三角形條件:如圖，∠BAC=∠DAE=，；結(jié)論：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；.例．問題背景：如圖（1），已知，求證：；嘗試應(yīng)用：如圖（2），在和中，，，與相交于點(diǎn)．點(diǎn)在邊上，，求的值；拓展創(chuàng)新：如圖（3），是內(nèi)一點(diǎn)，，，，，直接寫出的長(zhǎng)．【答案】問題背景：見詳解；嘗試應(yīng)用：3；拓展創(chuàng)新：．【分析】問題背景：通過得到，，再找到相等的角，從而可證；嘗試應(yīng)用：連接CE，通過可以證得，得到，然后去證，，通過對(duì)應(yīng)邊成比例即可得到答案；拓展創(chuàng)新：在AD的右側(cè)作∠DAE=∠BAC，AE交BD延長(zhǎng)線于E，連接CE，通過，，然后利用對(duì)應(yīng)邊成比例即可得到答案．【詳解】問題背景：∵，∴∠BAC=∠DAE，，∴∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴；嘗試應(yīng)用：連接CE，∵，，∴，∴，∵∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴，∴，由于，，∴，即，∵，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，即，又∵∴，∴；拓展創(chuàng)新：如圖，在AD的右側(cè)作∠DAE=∠BAC，AE交BD延長(zhǎng)線于E，連接CE，∵∠ADE=∠BAD+∠ABD，∠ABC=∠ABD+∠CBD，，∴∠ADE=∠ABC，又∵∠DAE=∠BAC，∴，∴，又∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，∴，∴，設(shè)CD=x，在直角三角形BCD中，由于∠CBD=30°，∴，，∴，∴，∵，∴，∴【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的綜合問題，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．在和中，，，且，點(diǎn)E在的內(nèi)部，連接EC，EB，EA和BD，并且．【觀察猜想】（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系為__________，線段EA，EB，EC的數(shù)量關(guān)系為__________．【探究證明】（2）如圖②，當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請(qǐng)給出證明，若不成立，請(qǐng)說明理由；【拓展應(yīng)用】（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，若，請(qǐng)直接寫出的面積．【答案】（1），；（2）不成立，理由見解析；（3）2【分析】（1）由△DAB≌△EAC（SAS），可得BD=EC，∠ABD=∠ACE，由∠ACE+∠ABE=90°，推出∠ABD+∠ABE=90°，可得∠DBE=90°，由此即可解決問題；（2）結(jié)論：EA2=EC2+2BE2．由題意△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，想辦法證明△DAB∽△EAC，推出=，∠ACE=∠ABD，可得∠DBE=90°，推出DE2=BD2+BE2，即可解決問題；（3）首先證明AD=DE=EC，設(shè)AD=DE=EC=x，在Rt△ADC中，利用勾股定理即可解決問題；【詳解】（1）如圖①中，∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=60°，∴△ABC，△ADE都是等邊三角形，∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAB=∠EAC，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴BD=EC，∠ABD=∠ACE，∵∠ACE+∠ABE=90°，∴∠ABD+∠ABE=90°，∴∠DBE=90°，∴DE2=BD2+BE2，∵EA=DE，BD=EC，∴EA2=BE2+EC2．故答案為：BD=EC，EA2=EB2+EC2．（2）結(jié)論：EA2=EC2+2BE2．理由：如圖②中，∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=90°，∴△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，∴∠DAE=∠BAC=45°，∴∠DAB=∠EAC，∵=，=，∴，∴△DAB∽△EAC，∴=，∠ACE=∠ABD，∵∠ACE+∠ABE=90°，∴∠ABD+∠ABE=90°，∴∠DBE=90°，∴DE2=BD2+BE2，∵EA=DE，BD=EC，∴EA2=EC2+BE2，∴EA2=EC2+2BE2．（3）如圖③中，∵∠AED=45°，D，E，C共線，∴∠AEC=135°，∵△ADB∽△AEC，∴∠ADB=∠AEC=135°，∵∠ADE=∠DBE=90°，∴∠BDE=∠BED=45°，∴BD=BE，∴DE=BD，∵EC=BD，∴AD=DE=EC，設(shè)AD=DE=EC=x，在Rt△ABC中，∵AB=BC=2，∴AC=2，在Rt△ADC中，∵AD2+DC2=AC2，∴x2+4x2=40，∴x=2（負(fù)根已經(jīng)舍棄），∴AD=DE=2，∴BD=BE=2，∴S△BDE=×2×2=2．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．【變式訓(xùn)練2】．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點(diǎn)P是△ABC外一點(diǎn)，連接BP，將線段BP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段PD，連接BD，CD，AP．觀察猜想：（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，的值為，直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)為°；類比探究：（2）如圖2，當(dāng)α＝90°時(shí)，求出的值及直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)；拓展應(yīng)用：（3）如圖3，當(dāng)α＝90°時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段FE的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)A，D，P三點(diǎn)在一條直線上，BD交PF于點(diǎn)G，CD交AB于點(diǎn)H.若CD＝2＋，求BD的長(zhǎng)．【答案】（1）1，60；（2），直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)為45°；（3）BD＝．【分析】（1）根據(jù)α＝60°時(shí)，△ABC是等邊三角形，再證明△PBA≌△DBC，即可求解，再得到直線CD與AP所成的度數(shù)；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明△PBA∽△DBC，再得到=，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出直線CD與AP所成的度數(shù)；（3）延長(zhǎng)CA，BD相交于點(diǎn)K，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)及中位線定理證得∠BCD＝∠KCD，由（2）的結(jié)論求出AP的長(zhǎng)，再利用在Rt△PBD中，設(shè)PB＝PD＝x，由勾股定理可得BD＝x＝AD，再列出方程即可求出x，故可得到BD的長(zhǎng)．【詳解】（1）∵α＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=CB∵將線段BP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段PD，∴△BDP是等邊三角形，∴BP=BD∵∠PBA=∠PBD-∠ABD=60°-∠ABD，∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°-∠ABD，∴∠PBA=∠DBC∴△PBA≌△DBC，∴AP=CD∴=1如圖，延長(zhǎng)CD交AB，AP分別于點(diǎn)G，H，則∠AHC為直線CD與AP所成的較小角，∵△PBA≌△DBC∴∠PAB=∠DCB∵∠HGA=∠BGC∴∠AHC＝∠ABC＝60°故答案為：1，60；（2）解：如圖，延長(zhǎng)CD交AB，AP分別于點(diǎn)M，N，則∠ANC為直線CD與AP所成的較小角，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°.在Rt△ABC中，＝cos∠ABC＝cos45°＝.∵PB＝PD，∠BPD＝90°，∴∠PBD＝∠PDB＝45°.在Rt△PBD中，＝cos∠PBD＝cos45°＝.∴＝，∠ABC＝∠PBD.

∴∠ABC－∠ABD＝∠PBD－∠ABD.即∠PBA＝∠DBC.∴△PBA∽△DBC.∴＝＝，∠PAB＝∠DCB.

∵∠AMN＝∠CMB，∴∠ANC＝∠ABC＝45°.

即＝，直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)為45°.(3)延長(zhǎng)CA，BD相交于點(diǎn)K，如圖.∵∠APB＝90°，E為AB的中點(diǎn)，∴EP＝EA＝EB.∴∠EAP＝∠EPA，∠EBP＝∠EPB.∵點(diǎn)E，F(xiàn)為AB，AC的中點(diǎn)，∴PFBC.∴∠AFP＝∠ACB＝∠PBD＝45°.

∵∠BGP＝∠FGK，∴∠BPE＝∠K.∴∠K＝∠EBP，∵∠EBP＝∠PEB，∠PEB=∠DBC，∴∠K＝∠CBD.∴CB＝CK.∴∠BCD＝∠KCD.由(2)知∠ADC＝∠PDB＝45°，△PBA∽△DBC，∴∠PAB＝∠DCB.∴∠BDC＝180°－45°－45°＝90°＝∠BAC.∵∠BHD＝∠CHA，∴∠DBA＝∠DCA.∴∠DBA＝∠PAB.∴AD＝BD.由(2)知DC＝AP，∴AP＝.在Rt△PBD中，PB＝PD＝x，由勾股定理可得BD＝=x＝AD.∴AD＋PD＝x＋x＝AP＝1＋.∴x＝1.∴BD＝．【點(diǎn)睛】此題主要考查四邊形綜合，解題的關(guān)鍵熟知旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及解直角三角形的方法．【變式訓(xùn)練3】．（1）嘗試探究：如圖①，在ΔABC中，，，點(diǎn)、分別是邊、上的點(diǎn)，且EF∥AB．①的值為_________；②直線與直線的位置關(guān)系為__________；（2）類比延伸：如圖②，若將圖①中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，，則在旋轉(zhuǎn)的過程中，請(qǐng)判斷的值及直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由；（3）拓展運(yùn)用：若，，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)線段的長(zhǎng)．【答案】（1）①，②；（2），，證明見解析；（3）或【分析】（1）①由銳角三角函數(shù)可得AC＝BC，CF＝CE，可得AF＝AC?CF＝（BC?CE），BE＝BC?CE，即可求；②由垂直的定義可得AF⊥BE；（2）由題意可證△ACF∽△BCE，可得，∠FAC＝∠CBE，由余角的性質(zhì)可證AF⊥BE；（3）分兩種情況討論，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理可求AF的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，故答案為：，；（2），如圖，連接，延長(zhǎng)交于，交于點(diǎn)，∵旋轉(zhuǎn)，∴，∵，∴，且，∴，∴，，∵，∴，∴；（3）①如圖，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∵，，，，∴，，∵，，∴，且三點(diǎn)在同一直線上，∴，∵旋轉(zhuǎn)，∴，∴，且，∴，，∴，∴；②如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，，，，∴，，∵，，∴，∵旋轉(zhuǎn)，∴，且，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是相似綜合題，考查了平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．類型二、等腰三角形例．如圖1，在中，，，D，E分別為AB，BC邊上的點(diǎn)，連接DE，且，將繞點(diǎn)B在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn).(1)觀察猜想：若，將繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，則______；(2)類比探究：若將繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)至如圖3所示的位置，求的值；(3)拓展應(yīng)用：若，D為AB的中點(diǎn)，，如圖4，將繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)至如圖5所示位置，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．【答案】(1)1(2)(3)【分析】（1）根據(jù)，，，可得、均為等邊三角形，可證明，即可得到的值；（2）根據(jù)，，，可得、均為等腰直角三角形，可證明，即可得到的值；（3）根據(jù)，D為AB的中點(diǎn)，，可以得到及的長(zhǎng)度，根據(jù)，可得及的長(zhǎng)度，利用勾股定理即可確定的長(zhǎng)度，根據(jù)圖5可得即可確定的長(zhǎng)度；【詳解】（1）解：∵，，，∴、均為等邊三角形，∴，，，即：，∴，在和中，，∴，∴，即：故答案為：（2）∵，，，∴、均為等腰直角三角形，∴，，，即：，∴，在和中，，∴∴即：（3）∵，D為AB的中點(diǎn)，，∴，，∵，與交于點(diǎn)，∴，在中，，∴如圖5所示，【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，掌握旋轉(zhuǎn)全等及相似模型是重點(diǎn)．【變式訓(xùn)練1】．1.問題發(fā)現(xiàn)圖（1），在和中，，，，連接，交于點(diǎn)M.①的值為______；②的度數(shù)為_______．（2）類比探究圖（2），在和中，，，連接，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，請(qǐng)計(jì)算的值及的度數(shù)；（3）拓展延伸在（2）的條件下，若，，將繞點(diǎn)O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周．①當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B且點(diǎn)C在線段上時(shí)，求的長(zhǎng)；②請(qǐng)直接寫出運(yùn)動(dòng)過程中M點(diǎn)到直線距離的最大值．【答案】（1）①1；②；（2），；（3）①的長(zhǎng)為；②M點(diǎn)到直線距離的最大值為【分析】（1）直接根據(jù)兩個(gè)共頂點(diǎn)的等腰三角形證明，可以證明，最后在和中導(dǎo)角直接可以求解．（2）改變?nèi)切谓Y(jié)構(gòu)，直接通過判定和相似，同樣可以用第一問的方式證明，根據(jù)相似比，求線段比例，最后在和中導(dǎo)角直接可以求解的度數(shù)．（3）深度理解題意，本質(zhì)上問的就是當(dāng)B，C，D，三點(diǎn)共線時(shí)，求的長(zhǎng)，在利用，對(duì)應(yīng)邊成比例求的長(zhǎng)，最值的求解，先找到點(diǎn)和點(diǎn)的軌跡，可以發(fā)現(xiàn)是在兩個(gè)圓弧上運(yùn)動(dòng)，再利用最大時(shí)，則M點(diǎn)到直線距離的最大，直接求解即可．【詳解】（1）①∵，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴，故答案為：；②設(shè)與交于點(diǎn)F，由①知，，∴，∵，，∴，故答案為：；（2）如下圖，在和中，設(shè)與交于點(diǎn)；∵∠，，∴；∵，即，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，．（3）①如下圖所示，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B且點(diǎn)C在線段上時(shí)；在中，，；過點(diǎn)O作的垂線，垂足為；∴；∵；∴；∴，；在中，由勾股定理得；；∴；∵；∴；即；②如下圖所示，∵，；∴點(diǎn)M的軌跡是圓弧，即點(diǎn)M在圓P上運(yùn)動(dòng)，且；要想求出點(diǎn)到直線的最大值，動(dòng)點(diǎn)距離直線越遠(yuǎn)越好，從下圖可以看出，點(diǎn)的軌跡也是圓，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)極限位置取決于的最大值；∵，；∴的最大值取得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)；即在中；；∴；過點(diǎn)作的垂線，垂足為；∴；即線段即為所求；在中；；∵；∴；∵；∴；；∴；∴M點(diǎn)到直線距離的最大值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰背景下全等三角形的判定和性質(zhì)綜合，特殊直角三角形為背景的相似三角形的判定和性質(zhì)綜合，利用特殊角的三角函數(shù)解三角形，圓軌跡動(dòng)態(tài)下求線段的最值，熟練掌握手拉手模型證明三角形全等，數(shù)量掌握相似三角形的判定，特別是兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等類的，對(duì)于求點(diǎn)到直線最值類型要注意動(dòng)點(diǎn)的軌跡尋找和影響最值的主要因素，進(jìn)而綜合判定求解是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．觀察猜想(1)如圖1，在等邊中，點(diǎn)M是邊上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連接，以為邊作等邊，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是______．(2)類比探究如圖2，在等邊中，點(diǎn)M是延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），（1）中其它條件不變，（1）中結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由．(3)拓展延伸如圖3，在等腰中，，點(diǎn)M是邊上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連接，以為邊作等腰，使頂角．連按．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)成立(3)【分析】（1）利用可證明，繼而得出結(jié)論；（2）也可以通過證明，得出結(jié)論，和（1）的思路完全一樣．（3）首先得出，從而判定，得到，根據(jù)，，得到，從而判定，得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：、是等邊三角形，，，，，在和中，，，．（2）解：結(jié)論仍成立；理由如下：、是等邊三角形，，，，，在和中，，，．（3）解：；理由如下：，，∴，又∵，，∴，，又，，，，．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，找到全等（相似）的條件，利用全等（相似）的性質(zhì)證明結(jié)論．【變式訓(xùn)練3】．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，在和中，，，，連接交于點(diǎn).填空：①的值為______；②的度數(shù)為______．（2）類比探究如圖2，在和中，，，連接交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).請(qǐng)判斷的值及的度數(shù)，并說明理由；（3）拓展延伸在（2）的條件下，將繞點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，所在直線交于點(diǎn)，若，，請(qǐng)直接寫出當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)在同一條直線上時(shí)的長(zhǎng)．

【答案】（1）①1；②；（2），．理由見解析；（3）2或4．【分析】（1）①證明△COA≌△DOB（SAS），得AC=BD，比值為1；②由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理先求∠OAB+∠OBA的值，再求∠AMB的值即可；（2）根據(jù)銳角三角比可得，根據(jù)兩邊的比相等且夾角相等可得△AOC∽△BOD，根據(jù)相似撒尿性的性質(zhì)求解即可；（3）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)在同一條直線上，有兩種情況：如圖3和圖4，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理，可得AD的長(zhǎng)．【詳解】（1）①∵，∴∠BOD=∠AOC，又∵，，∴△BOD≌△AOC，∴BD=AC，∴=1；②∵，∴∠OAB+∠OBA=140°，∵△BOD≌△AOC，∴∠CAO=∠DBO，∴∠CAO+∠OAB+∠ABM=∠DBO+∠OAB+∠ABM=∠OAB+∠OBA=140°，∴∠AMB=；（2）如圖2，，．理由如下：中，，，，同理得：，，，，，，∠CAO=∠DBO，∵∠BEO+∠DBO=90°，∴∠CAE+∠AEM=90°，∴∠AMB=90°；（3）∵∠A=30°，，∴OA==3．如圖3，當(dāng)點(diǎn)D和點(diǎn)A在點(diǎn)O的同側(cè)時(shí)，∵，∴AD=3-2=2；如圖4，當(dāng)點(diǎn)D和點(diǎn)A在點(diǎn)O的兩側(cè)時(shí)，∵，，OA=3∴AD=3+1=4．綜上可知，AD的長(zhǎng)是2或4．【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，主要考查了三角形全等和相似的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是能得出：△AOC∽△BOD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，并運(yùn)用類比的思想解決問題，本題是一道比較好的題目．類型三、直角三角形條件:如圖，，（即△COD∽△AOB）；結(jié)論：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，.例．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在中，，D為邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合）將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；【探究證明】（2）如圖2，在和中，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C，D，E在同一直線時(shí)，BD與CE具有怎樣的位置關(guān)系，并說明理由；【拓展延伸】（3）如圖3，在中，，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)E，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為（），當(dāng)點(diǎn)C，D，E在同一直線時(shí)，畫出圖形，并求出線段的長(zhǎng)度．【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）畫出圖形見解析，線段的長(zhǎng)度為．【分析】（1）由題意易得，，從而可證，然后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可求解；（2）連接BD，由題意易得，進(jìn)而可證，最后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)及角的等量關(guān)系可求證；（3）如圖，過A作，由題意可知，，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及題意易證，最后根據(jù)勾股定理及等積法進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）在中，，，，，即，在和中，，，，，，故答案為：；（2），理由：如圖2，連接BD，∵在和中，，，，，，∵，，，，，∴；（3）如圖3，過A作AF⊥EC，由題意可知，，∴，即，，，，，，，在中，，，，，，，，2×，．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定及相似三角形的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是根據(jù)題意得到三角形的全等，然后利用全等三角形的性質(zhì)得到相似三角形，進(jìn)而求解．【變式訓(xùn)練1】．如圖1，、分別是的內(nèi)角、的平分線，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)如圖2，如果，且，求的值；(3)如果是銳角，且與相似，求的度數(shù)，并直接寫出的值．【答案】(1)見解析(2)(3)，或，【分析】（1）由題意：，證明即可解決問題．（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)．證明，可得，，由，可得．（3）因?yàn)榕c相似，，所以中必有一個(gè)內(nèi)角為因?yàn)槭卿J角，推出．接下來分兩種情形分別求解即可．【詳解】（1）證明：如圖1中，，，，平分，，同理，，，，．（2）解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)．，，平分，，，，，，，．（3）與相似，，中必有一個(gè)內(nèi)角為是銳角，．①當(dāng)時(shí)，，，，，此時(shí)．②當(dāng)時(shí)，，，與相似，，此時(shí)．綜上所述，，．，．【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．【變式訓(xùn)練2】．如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，點(diǎn)D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)．△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤360°），記直線AD與直線BE的交點(diǎn)為點(diǎn)P．(1)如圖1，當(dāng)α＝0°時(shí)，AD與BE的數(shù)量關(guān)系為______，AD與BE的位置關(guān)系為______；(2)當(dāng)0°＜α≤360°時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)僅就圖2的情形進(jìn)行證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；(3)△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，請(qǐng)直接寫出運(yùn)動(dòng)過程中P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度和P點(diǎn)到直線BC距離的最大值．【答案】(1)AD＝BE，AD⊥BE(2)結(jié)論仍然成立，證明見解析(3)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度是π；P點(diǎn)到直線BC距離的最大值是【分析】（1）分別求出AD、BE的長(zhǎng)即可解答；（2）先證明△BCE∽△ACD，可得＝，∠CBO＝∠CAD即可解答；（3）利用銳角三角函數(shù)可求∠EBC=30°，由弧長(zhǎng)公式可求P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度，由直角三角形的性質(zhì)可求P點(diǎn)到直線BC距離的最大值即可．【詳解】（1）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，∴AC=BC=，AB=2BC=2，AD⊥BE∵點(diǎn)D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)∴AD=CD=AC=，BE=EC=BC=∴AD＝BE．故答案為：AD＝BE，AD⊥BE．（2）解：結(jié)論仍然成立，理由如下：∵AC＝，BC＝1，CD＝，EC＝，∴，＝，∴，∵△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，∴∠BCE＝∠ACD，∴△BCE∽△ACD，∴＝，∠CBO＝∠CAD，∴AD＝BE，∵∠CBO+∠BOC＝90°，∴∠CAD+∠AOP＝90°，∴∠APO＝90°，∴BE⊥AD．（3）解：∵∠APB＝90°，

∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，如圖3，取AB的中點(diǎn)G，作⊙G，以點(diǎn)C為圓心，CE為半徑作⊙C，當(dāng)BE是⊙C切線時(shí)，點(diǎn)P到BC的距離最大，過點(diǎn)P作PH⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于H，連接GP，∵BE是⊙C切線，∴CE⊥BE，∵＝，∴∠EBC＝30°，

∴∠GBP＝30°，

∵GB＝GP，∴∠GBP＝∠GPB＝30°，

∴∠BGP＝120°，∵點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為點(diǎn)C→點(diǎn)P→點(diǎn)C→點(diǎn)B→點(diǎn)C，∴P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度＝×2＝π，∵∠ABP＝30°，BP⊥AP，∴AP＝AB＝1，BP＝AP＝，∵∠CBP＝30°，PH⊥BH，∴PH＝BP＝．

∴P點(diǎn)到直線BC距離的最大值．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組探究了如下數(shù)學(xué)問題：

(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，中，，．點(diǎn)P是底邊BC上一點(diǎn)，連接AP，以AP為腰作等腰，且，連接CQ、則BP和CQ的數(shù)量關(guān)系是______；(2)變式探究：如圖2，中，，．點(diǎn)P是腰AB上一點(diǎn)，連接CP，以CP為底邊作等腰，連接AQ，判斷BP和AQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)問題解決：如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn)，以DP為邊作正方形DPEF，點(diǎn)Q是正方形DPEF兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，連接CQ．若正方形DPEF的邊長(zhǎng)為，，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)．【答案】(1)(2)(3)3【分析】（1）根據(jù)已知條件利用邊角邊證明，再利用全等三角形的性質(zhì)即可得到BP和CQ的數(shù)量關(guān)系；（2）根據(jù)任意等腰直角三角形的直角邊與斜邊的比是相等的，利用兩邊長(zhǎng)比例且夾角相等的判定定理證明，之后再由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可得到BP和AQ的數(shù)量關(guān)系；（3）連接BD，如圖（見詳解），先由正方形的性質(zhì)判斷出和都是等腰直角三角形，再利用與第二問同樣的方法證出，由對(duì)應(yīng)邊成比例，依據(jù)相似比求出線段BP的長(zhǎng)，接著設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，運(yùn)用勾股定理列出方程即可求得答案．【詳解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，在中，，，∴，，∴．在和中，，∴，∴；（2）解：判斷，理由如下：∵是等腰直角三角形，中，，，∴，．∵，∴，∴，∴，∴；（3）解：連接BD，如圖所示，

∵四邊形與四邊形是正方形，DE與PF交于點(diǎn)Q，∴和都是等腰直角三角形，∴，．∵，∴，∴，∴．∵，∴．在中，，設(shè)，則，又∵正方形的邊長(zhǎng)為，∴，∴，解得（舍去），．∴正方形的邊長(zhǎng)為3．【點(diǎn)睛】本題是一道幾何綜合題，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，以及正方形和等腰三角形的性質(zhì)，正確識(shí)圖并能熟練地掌握幾何圖形的性質(zhì)與判定定理進(jìn)行證明是解題的關(guān)鍵．類型四、等邊三角形或等腰直角三角形條件:M為等邊三角形ABC和DEF的中點(diǎn)；結(jié)論：△BME∽△CMF；.條件:△ABC和ADE是等腰直角三角形；結(jié)論：△ABD∽△ACE.例．某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在一次活動(dòng)中，對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題作如下探究：(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在等邊中，點(diǎn)P是邊上任意一點(diǎn)，連接AP，以為邊作等邊，連接，與的數(shù)量關(guān)系是；(2)變式探究：如圖2，在等腰中，，點(diǎn)P是邊上任意一點(diǎn)，以為腰作等腰，使，，連接，判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)解決問題：如圖3，在正方形中，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)，以為邊作正方形，Q是正方形的中心，連接．若正方形的邊長(zhǎng)為5，，求正方形的邊長(zhǎng)．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)4【分析】本題考查的是正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、三角形相似的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）利用定理證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（2）先證明，得到，再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可；（3）連接、，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程得到答案．【詳解】（1）問題發(fā)現(xiàn)：∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，在和中，，∴，∴，故答案為：；（2）變式探究：，理由如下：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解決問題：如圖3，連接、，∵四邊形是正方形，∴，，∵Q是正方形的中心，∴，，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴，設(shè)，則，在中，，即，解得，（舍去），，∴正方形的邊長(zhǎng)為：．【變式訓(xùn)練1】．在等邊中，為邊上一點(diǎn)，于．(1)如圖1，若，，求的值；(2)如圖2，線段的垂直平分線交于，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，，，求證：；(3)如圖3，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，點(diǎn)為邊上點(diǎn)右邊一動(dòng)點(diǎn)，連接BM、，當(dāng)取得最小值時(shí)，直接寫出的值．【答案】(1)；(2)見解析；(3)．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)，可得，在中，求出，，進(jìn)而在中求出．（2）延長(zhǎng)至H，使，連接，，易得，再證明，可得是等邊三角形，從而可得，即可得出結(jié)論；（3）延長(zhǎng)到，使，連接、，，由旋轉(zhuǎn)相似模型可以證明，從而可得，即點(diǎn)M直線上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)將軍飲馬模型可得當(dāng)、M、C三點(diǎn)共線，點(diǎn)N與C點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)最小，最小值為，根據(jù)最小值的圖形解三角形即可求解．【詳解】（1）解：∵是等邊三角形，∴，，∴，在中，，，∴，在中，，則；（2）證明：延長(zhǎng)至H，使，連接，，如圖，∵點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)，∴．，在和中，，∴，∴，，∴，∴∵，∴，∵是等邊三角形，∴，，∴，∵點(diǎn)F在線段CD的垂直平分線上，∴，，，在和中，，∴∴，，∴，∴是等邊三角形，，∴，，∴；（3）如圖3-1，延長(zhǎng)到，使，連接、，，∴，又∵在等邊中，，∴，由旋轉(zhuǎn)可知：，，∴，∴，∴，又∵，即，∴∴，∴，∴點(diǎn)M直線上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)B關(guān)于MG的對(duì)稱點(diǎn)，連接、、、，由對(duì)稱性質(zhì)可知：，，，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，即：，∴當(dāng)、M、C三點(diǎn)共線，點(diǎn)N與C點(diǎn)重合時(shí)，如圖3-2，此時(shí)最小，最小值為，設(shè)邊長(zhǎng)為，作，垂足為K，作，垂足為H，∴，，∵，，∴，，∵，∴，即，∴，∵，∴，∵，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了解三角形、相似三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形性質(zhì)和判定等，解題（2）關(guān)鍵倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形證明是等邊三角形，解題（3）關(guān)鍵利用旋轉(zhuǎn)相似模型構(gòu)造，證明，即點(diǎn)M直線上運(yùn)動(dòng)，由將軍飲馬模型得出最小值時(shí)M、N的位置上．【變式訓(xùn)練2】．如圖，以的兩邊分別向外作等邊和等邊，與交于點(diǎn)P，已知．

(1)求證：；(2)求的度數(shù)及的長(zhǎng)；(3)若點(diǎn)Q、R分別是等邊和等邊的重心（三邊中線的交點(diǎn)），連接，作出圖象，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）證即可求證；（2）利用全等三角形的性質(zhì)可得的度數(shù)；在上取點(diǎn)F，使，根據(jù)（1）中證明過程可證，即可求解；（3）過點(diǎn)Q作于G，設(shè)，根據(jù)重心的性質(zhì)可得，進(jìn)一步可證，即可求解．【詳解】（1）證明：∵和都為等邊三角形，∴∴，即，∴（2）解：∵；∴，設(shè)交于O，∵，∴；如圖①在上取點(diǎn)F，使，

同（1）可得∴為等邊三角形，∴；（3）解：

如圖②，過點(diǎn)Q作于G，設(shè)，∵點(diǎn)Q、R分別是等邊和等邊的重心，∴∵，∴，∴，∴，∴【點(diǎn)睛】本題以“手拉手”全等三角形模型為背景，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)．熟記相關(guān)結(jié)論進(jìn)行幾何推理是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組探究了如下數(shù)學(xué)問題：(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，中，，．點(diǎn)P是底邊上一點(diǎn)，連接，以為腰作等腰，且，連接、則和的數(shù)量關(guān)系是______；(2)變式探究：如圖2，中，，．點(diǎn)P是腰上一點(diǎn)，連接，以為底邊作等腰，連接，判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)問題解決：如圖3，在正方形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，以為邊作正方形，點(diǎn)是正方形兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，連接．若正方形的邊長(zhǎng)為，，請(qǐng)直接寫出正方形的邊長(zhǎng)．【答案】(1)(2)(3)6【分析】（1）根據(jù)已知條件利用邊角邊證明，再利用全等三角形的性質(zhì)即可得到和的數(shù)量關(guān)系；（2）根據(jù)任意等腰直角三角形的直角邊與斜邊的比是相等的，利用兩邊長(zhǎng)比例且夾角相等的判定定理證明，之后再由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可得到和的數(shù)量關(guān)系；（3）連接BD，先由正方形的性質(zhì)判斷出和都是等腰直角三角形，再利用與第二問同樣的方法證出，由對(duì)應(yīng)邊成比例，依據(jù)相似比求出線段的長(zhǎng)，接著設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，運(yùn)用勾股定理列出方程即可求得答案．【詳解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，在中，，，∴，，∴．在和中，，∴，∴；（2）解：結(jié)論：，理由如下：∵是等腰直角三角形，中，，，∴，．∵，∴，∴，∴，∴；（3）解：連接BD，如圖所示，∵四邊形與四邊形是正方形，DE與交于點(diǎn)，∴和都是等腰直角三角形，∴，．∵，∴，∴，∴．∵，∴．在中，，設(shè)，則，又∵正方形的邊長(zhǎng)為，∴，∴，解得（舍去），．∴正方形的邊長(zhǎng)為6．【點(diǎn)睛】本題是一道幾何綜合題，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，以及正方形和等腰三角形的性質(zhì)，正確識(shí)圖并能熟練地掌握幾何圖形的性質(zhì)與判定定理進(jìn)行證明是解題的關(guān)鍵．1．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝．點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，將線段ED繞點(diǎn)E按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連結(jié)BF，BF的中點(diǎn)為G．

（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)．

①如圖1，若AD＝BD，求BF的長(zhǎng)．②當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，求點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)．（2）當(dāng)AE＝3，點(diǎn)G在△DEF一邊所在直線上時(shí)，求AD的長(zhǎng)．【答案】（1）①；②（2）或或或【分析】（1）①利用等腰直角三角形的性質(zhì)，易證AC＝BC，∠A＝45°，利用解直角三角形求出AC，BC的長(zhǎng)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可證得△DCF是等腰直角三角形，從而可求出DF的長(zhǎng)，再證明DF∥BC，可得到四邊形DFCB是平行四邊形，利用平行四邊形的對(duì)角線的性質(zhì)，可證得BF＝2GF，DC＝2CG，繼而可求出CG的長(zhǎng)，然后利用勾股定理求出GF的長(zhǎng)，從而可求出BF的長(zhǎng)；②如圖，連接AF，取AB的中點(diǎn)T，連接GT，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，可證得CA＝CB，CD＝CF，∠ACB＝∠DCF＝90°，∠CAB＝45°，利用SAS證明△ACF≌△BCD，利用全等三角形的性質(zhì)可得到∠CAF＝∠CBD＝45°，AF＝BD，從而可證AF⊥AB，即可得到TG∥AF，就可推出TG⊥AB，由此可得點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是Rt△ABC斜邊的中線，即可求出點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)．（2）分情況討論：當(dāng)點(diǎn)G在直線EF上時(shí)，過點(diǎn)D作DJ⊥AC于點(diǎn)J，設(shè)AJ＝DJ＝x，則EJ＝3－x，易證△DEJ∽△EBC，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例建立關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，可得到AJ，DJ的長(zhǎng)，在等腰直角△ADJ中，利用解直角三角形求出AD的長(zhǎng)；當(dāng)點(diǎn)G在直線DF上時(shí)，利用解直角三角形求出AD的長(zhǎng)；當(dāng)點(diǎn)G在直線DE上時(shí)，過點(diǎn)F作FT⊥CA交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T，過點(diǎn)G作GK⊥AC于點(diǎn)K，過點(diǎn)D作DJ⊥AC于點(diǎn)J，設(shè)FT＝AT＝y(tǒng)，用含y的代數(shù)式表示出KG，EK的長(zhǎng)，再證明△FET∽△EGK，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，建立關(guān)于y的方程，解方程求出y的值，就可得到TF，TE的長(zhǎng)，然后求出DJ的長(zhǎng)，利用解直角三角形求出AD的長(zhǎng)；當(dāng)點(diǎn)G在直線DF上時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，求出AD的長(zhǎng)即可．【詳解】（1）解：如圖，

①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)．∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AC＝BC，∠A＝45°，∴AC＝BC＝ABsin∠A＝sin45°＝；∵將線段ED繞點(diǎn)E按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到EF，∴∠DCE＝90°，DE＝CF∴△DCF是等腰直角三角形，∵AD＝CD＝CF＝BD＝，∠DFC＝∠CDF＝45°∴∴BC＝DF，∴∠A＝∠DCA＝45°，∴∠ADC＝180°－45°－45°＝90°，∴∠ADF＝90°－45°＝45°＝∠ABC∴DF∥BC∴四邊形DFCB是平行四邊形，∴BF＝2GF，DC＝2CG∴CG＝在Rt△EFG中∴BF＝；②如圖，連接AF，取AB的中點(diǎn)T，連接GT

∵△ACB和△CDF是等腰直角三角形，CA＝CB，CD＝CF，∠ACB＝∠DCF＝90°，∠CAB＝45°，

∴∠ACF＝∠BCD，∴△ACF≌△BCD（SAS），∴∠CAF＝∠CBD＝45°，AF＝BD，∴∠BAF＝∠CAF＋∠CAB＝90°，∴AF⊥AB，∵AT＝TB，BG＝GF，∴TG∥AF，∴TG⊥AB，∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是Rt△ABC斜邊的中線，運(yùn)動(dòng)的路徑的長(zhǎng)為；（2）解：如圖，當(dāng)點(diǎn)G在直線EF上時(shí)，過點(diǎn)D作DJ⊥AC于點(diǎn)J，

設(shè)AJ＝DJ＝x，則EJ＝3－x，∵∠DJE＝∠C＝∠DEB＝90°，∴∠DEJ＋∠CEB＝90°，∠CEB＋∠CBE＝90°，∴∠DEJ＝∠CEB∴△DEJ∽△EBC∴∴解之：∴∴；當(dāng)點(diǎn)G在直線DF上時(shí)，

由題意得：當(dāng)點(diǎn)G在直線DE上時(shí)，過點(diǎn)F作FT⊥CA交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T，過點(diǎn)G作GK⊥AC于點(diǎn)K，過點(diǎn)D作DJ⊥AC于點(diǎn)J，

設(shè)FT＝AT＝y(tǒng)，∵GK∥FT∥BC，GF＝GB，∴TK＝KC，∴∴∵∠T＝∠GKE＝∠FEG＝90°，易證∠FET＝∠EGK∴△FET∽△EGK∴∴整理得：2y2＋9y－6＝0解之：（取正值），∴易證△FET≌△EDJ，∴當(dāng)點(diǎn)G在直線DF上時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，此時(shí)

∴AD的長(zhǎng)為或或或．【點(diǎn)晴】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題，2．如圖，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，其中AB＝AC，AD＝AE．(1)如圖1，若∠BAC＝90°，當(dāng)C、D、E共線時(shí)，AD的延長(zhǎng)線AF⊥BC交BC于點(diǎn)F，則∠ACE＝______；(2)如圖2，連接CD、BE，延長(zhǎng)ED交BC于點(diǎn)F，若點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，∠BAC＝∠DAE，證明：AD⊥CD；(3)如圖3，延長(zhǎng)DC到點(diǎn)M，連接BM，使得∠ABM＋∠ACM＝180°，延長(zhǎng)ED、BM交于點(diǎn)N，連接AN，若∠BAC＝2∠NAD，請(qǐng)寫出∠ADM、∠DAE它們之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．【答案】(1)22.5°(2)見解析(3)∠DAE+2∠ADM=180°，詳見解析【分析】（1）由等腰直角三角形性質(zhì)得∠B=∠CAF=45°，再由三角形外角性質(zhì)知∠ACE=∠BCF，代入求值即可；（2）連接AF，過A作AH⊥EF，由手拉手相似得△ACD∽△AFH，得∠CDF=∠BAC，再由∠ADE=90°－∠DAE，等量代換即可得證；（3）將AN繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠BAC的度數(shù)，交MD延長(zhǎng)線于Q，證明△ACQ≌△ABN，得AN=AQ，再證明△AND≌△AQD，得∠ADQ=∠AND，由對(duì)頂角相等得∠ADM=∠ADE，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)等量代換即可解答．【詳解】（1）解：∵△ABC為等腰三角形，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，由三角形外角性質(zhì)知，∠ADE=∠ACE+∠DAC，∠AED=∠ECB+∠B，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∴∠ACE+∠DAC=∠ECB+∠B，∵AF⊥BC，∴∠BAF=∠CAD=45°，∴∠ACE=∠BCE，又∠ACB=45°，∴∠ACE=22.5°，故答案為：22.5°．（2）解：連接AF，過A作AH⊥EF于H，如圖所示，∵∠BAC=∠DAE，AD=AE，AB=AC，∴∠CAF=∠BAF=∠DAH=∠EAH，∴∠CAD=∠HAF，由△ACF∽△ADH知，∴，∴△ACD∽△AFH，∴∠ACD=∠AFH，∴∠CDF=∠CAF，∵∠ADE=∠AED=90°－∠DAE，∴∠ADE+∠CDF=90°，故∠ADC=90°，即AD⊥CD．（3）解：將AN繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠BAC的度數(shù)，交MD延長(zhǎng)線于Q，∵∠BAC=∠QAN，∴∠QAC=∠BAN，∵∠ABM+∠ACM=180°，∠ACM+∠ACQ=180°，∴∠ABM=∠ACQ，∵AB=AC，∴△ACQ≌△ABN，∴AN=AQ，∵∠BAC=2∠NAD=∠NAQ，∴∠QAD=∠NAD，又AD=AD，∴△AND≌△ADQ，∴∠AND=∠ADQ，即∠ADM+∠MDN=∠ADE+∠EDQ，∴∠ADM=∠ADE，∵AD=AE，∴∠DAE+2∠ADE=180°，即∠DAE+2∠ADM=180°．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了等腰三角形性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、相似三角形判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換與全等三角形判定，難度較大．根據(jù)已知條件，構(gòu)造手拉手的相似與全等模型是解題關(guān)鍵．3．如圖，和是有公共頂點(diǎn)直角三角形，，點(diǎn)P為射線，的交點(diǎn)．（1）如圖1，若和是等腰直角三角形，求證：；（2）如圖2，若，問：（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由．（3）在（1）的條件下，，，若把繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)度【答案】（1）見解析；（2）成立，理由見解析；（3）PB的長(zhǎng)為或．【分析】（1）由條件證明△ABD≌△ACE，即可得∠ABD=∠ACE，可得出∠BPC=90°，進(jìn)而得出BD⊥CP；（2）先判斷出△ADB∽△AEC，即可得出結(jié)論；(3)分為點(diǎn)E在AB上和點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上兩種情況畫出圖形，然后再證明△PEB∽△AEC，最后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可．【詳解】解：（1）證明：如圖，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAE+∠CAE=∠BAD+∠BAE，即∠BAD=∠CAE．∵和是等腰直角三角形，∴，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE．∵∠CAB=90°，∴∠ACF+∠AFC=90°，∴∠ABP+∠BFP=90°．∴∠BPF=90°，∴BD⊥CP；（2）（1）中結(jié)論成立，理由：在Rt△ABC中，∠ABC=30°，∴AB=AC，在Rt△ADE中，∠ADE=30°，∴AD=AE，∴∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，∴△ADB∽△AEC．∴∠ABD=∠ACE同（1）得；（3）解：∵和是等腰直角三角形，∴，①當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，BE=AC-AE=1．∵∠EAC=90°，∴CE=．同（1）可證△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．∵∠PEB=∠AEC，∴△PEB∽△AEC．∴∴．∴PB=．②當(dāng)點(diǎn)E在BA延長(zhǎng)線上時(shí)，BE=5．∵∠EAC=90°，∴CE=5．同（1）可證△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．∵∠BEP=∠CEA，∴△PEB∽△AEC．∴．∴．∴PB=．綜上所述，PB的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】此題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定，證明得△PEB∽△AEC是解題的關(guān)鍵．4．如圖1，在中，，在斜邊上取一點(diǎn)D，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)E．現(xiàn)將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度到如圖2所示的位置（點(diǎn)D在的內(nèi)部），使得．（1）①求證：；②若，求的長(zhǎng)；（2）如圖3，將原題中的條件“”去掉，其它條件不變，設(shè)，若，，求k的值；（3）如圖4，將原題中的條件“”去掉，其它條件不變，若，設(shè)，，試探究三者之間滿足的等量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程）【答案】（1）①見解析；②；（2）；（3）4p2=9m2+4n2．【分析】（1）①先利用平行線分線段成比例定理得，進(jìn)而得出結(jié)論；②利用①得出的比例式求出CE，再判斷出∠DCE=90°，利用勾股定理即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法判斷出△ABD∽△ACE，即可得出AE=4k，CE=3k，同（1）的方法得出∠DCE=90°，利用勾股定理得出DE的平方，用DE的平方建立方程求解即可；（3）同（2）的方法得出，即可得出結(jié)論；【詳解】解：（1）①∵DE∥BC，∴，由旋轉(zhuǎn)知，∠EAC=∠DAB，∴△ABD∽△ACE，②在Rt△ABC中，AC=BC，∴，由①知，△ABD∽△ACE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ACD+∠ABD=90°，∴∠ACE+∠ACD=90°，∴∠DCE=90°，∵△ABD∽△ACE，，∴，∵∴在Rt△CDE中，根據(jù)勾股定理得，DE=2，在Rt△ADE中，AE=DE，∴（2）由旋轉(zhuǎn)知，∠EAC=∠DAB，，∴△ABD∽△ACE，∵AD=4，BD=3，∴AE=kAD=4k，CE=kBD=3k，∵△ABD∽△ACE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ACD+∠ABD=90°，∴∠ACE+∠ACD=90°，∴∠DCE=90°，在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=1+9k2，在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=16-16k2，∴1+9k2=16-16k2，∴或（舍），（3）由旋轉(zhuǎn)知，∠EAC=∠DAB，∴△ABD∽△ACE，∵AD=p，BD=n，∴，∵△ABD∽△ACE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ACD+∠ABD=90°，∴∠ACE+∠ACD=90°，∴∠DCE=90°，在Rt△CDE中，，∵，，∴4p2=9m2+4n2．【點(diǎn)睛】此題是相似三角形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的判定，解本題的關(guān)鍵是得出∠DCE=90°和利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例夾角相等來判斷兩三角形相似的方法應(yīng)用．5．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師拿出兩塊不同大小的含30度角的三角板讓同學(xué)們?cè)诓煌恢脟L試操作．（1）如圖1擺放，當(dāng)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，得知，，求的長(zhǎng)．（2）如圖2，在（1）的條件下，連結(jié)，求的面積．（3）如圖3擺放，把這同樣的兩塊三角板的直角頂點(diǎn)互相重合放置，小三角板繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，連結(jié)、，當(dāng)時(shí)，求的值．（4）不變，當(dāng)?shù)娜呴L(zhǎng)擴(kuò)大一倍后，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，直線與交于點(diǎn)，請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)所經(jīng)過的運(yùn)動(dòng)路徑．【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）．【分析】（1）根據(jù)題意算出的長(zhǎng)，利用直角三角形心中對(duì)應(yīng)的邊等于斜邊的一半求出，同理求出，再作差即可；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，求出、AC即可求出；（3）延長(zhǎng)AM，BC交于點(diǎn)D，作延長(zhǎng)BN使得，利用旋轉(zhuǎn)相似證明，得，再三角形中通過角之間的關(guān)系來證明，得四邊形是矩形，再根據(jù)條件及勾股定理求解；（4）確定的軌跡是以為直徑的圓弧，，求出最大值為，由此得出路徑所對(duì)圓心角為120°，從而求解．【詳解】解：（1）∵，，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴．（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，，，∴，.，即的面積．（3）I．若點(diǎn)M在外，延長(zhǎng)BN交AM于點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)G，由（1）得中，，，，在中，，，，∵，，∴，∴，又∵，，∴∴，又∵，，，又∵，，∴四邊形是矩形，∴，，，∴在中，，∴∴；II．若點(diǎn)M在內(nèi)部，則如圖3-2：同理可求：∴，，∴∴；（4）不變，當(dāng)?shù)娜呴L(zhǎng)擴(kuò)大一倍后，∴在中，，，，同（3）理可證明，∴直線與交點(diǎn)所經(jīng)過的運(yùn)動(dòng)路徑是以為直徑的圓弧，當(dāng)M點(diǎn)在AC右側(cè)時(shí)，如圖4-1：當(dāng)CM⊥AM時(shí)最大，此時(shí)，∴當(dāng)CM⊥AM時(shí)，此時(shí)AM與AB重合，B點(diǎn)與H點(diǎn)重合；當(dāng)M點(diǎn)在AC左側(cè)時(shí)，如圖4-2：當(dāng)CM⊥AM時(shí)，最大，此時(shí)，∴當(dāng)CM⊥AM時(shí)，此時(shí)；故如圖所示：直線與交點(diǎn)所經(jīng)過的運(yùn)動(dòng)路徑為，弧長(zhǎng)．【點(diǎn)睛】本題考查了含的直角三角形性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)相似、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，題目較難，解題的關(guān)鍵是：能利用勾股定理及銳角三角函數(shù)知識(shí)解直角三角形；針對(duì)旋轉(zhuǎn)問題，要添加適當(dāng)?shù)剌o助線．6．（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖（1），在，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)E，使，連接CE，可得AD與CE的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______．（2）【探究遷移】如圖（2），在中，，，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，連接，CF，點(diǎn)為CF的中點(diǎn)，連接DE、，試判斷DE和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）【拓展應(yīng)用】在（2）的條件下，若，，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出DE的長(zhǎng)．【答案】（1），；（2），理由見解析；（3）或．【分析】本題主要考查了三角形中位線的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)相似模型；解題關(guān)鍵是構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似模型轉(zhuǎn)換線段關(guān)系．（1）根據(jù)三角形中位線可直接得出結(jié)論；（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接、，根據(jù)旋轉(zhuǎn)相似模型證明，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)當(dāng)時(shí)，可得點(diǎn)在直線，點(diǎn)在直線，再由不同位置分兩種情況討論，結(jié)合（2）的結(jié)論即可解答．【詳解】（1）解：∵，，∴，；（2）結(jié)論：，理由∶如圖2-1，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接、，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴由題意∶，∴，由旋轉(zhuǎn)知∴，∴，∴∵，，∴，即：，∴，∴，∴∴（3）當(dāng)時(shí)，∵，即：，∴，又∵，∴點(diǎn)在直線，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖2-2，∵，∴點(diǎn)在直線，∵，，，∴，，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2-2，同理可證：點(diǎn)在直線，點(diǎn)在直線，，，∴，∴；綜上所述：DE的長(zhǎng)為或．7．在中，，，點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A，C重合的任意一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段，連接，，.(1)觀察猜想如圖①，當(dāng)時(shí)，的值是_______，直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)是________．(2)類比探究如圖②，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)寫出的值及直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)，并就圖②的情形說明理由．【答案】(1)1，；(2)，，理由見