廣東省惠州市2023-2024學年高一上學期1月期末質(zhì)量檢測 數(shù)學

第一學期期末質(zhì)量監(jiān)測高一數(shù)學（時間：120分鐘，滿分：150分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.2.設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.3.“”是“一元二次不等式的解集為”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件4.方程的解所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.5已知冪函數(shù)，則（）A. B.1 C. D.26.已知，，，則（）A. B.C. D.7.已知函數(shù)是R上的減函數(shù)，，是其圖象上的兩點，那么的解集是（）A. B.C. D.8.中國高鐵技術(shù)世界領(lǐng)先，高速列車運行時不僅速度比普通列車快且噪聲更小．用聲強I（單位：）表示聲音在傳播途徑中每平方米面積的聲能流密度，聲強級（單位：dB）與聲強Ⅰ的函數(shù)關(guān)系式為．若普通列車的聲強級是95dB，高速列車的聲強級是45dB，則普通列車的聲強是高速列車聲強的（）A.6倍 B.倍 C.5倍 D.倍二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，若，則（）A.0 B.2 C.4 D.610.角為第二象限角的充要條件是（）A. B.C. D.11.已知為第二象限角，那么是（）A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角12.定義在上的函數(shù)滿足，且，，則下列結(jié)論中正確的是（）A.不等式的解集為B.不等式解集為C.不等式的解集為D.不等式的解集為三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)（且）的圖象恒過定點_________________．14.函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過點，則函數(shù)的反函數(shù)____________．15.函數(shù)的圖象經(jīng)過一、三、四象限，則a的取值范圍是____________．16.如圖，邊長為1的正六邊形木塊自圖中實線標記位置起在水平桌面上從左向右做無滑動翻滾，點為正六邊形的一個頂點，當點第一次落在桌面上時，點走過的路程為________．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17計算：（1）；（2）18.已知且為第二象限角．（1）求和的值；（2）若，求的值．19.（1）已知函數(shù)，，求函數(shù)的值域；（2）解關(guān)于x的不等式：（且）.20.已知二次函數(shù)滿足，且，為偶函數(shù)，且當時，．（1）求的解析式；（2）在給定的坐標系內(nèi)畫出的圖象；（3）討論函數(shù)（）的零點個數(shù)．21.已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）判斷函數(shù)在R上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明.22.已知函數(shù)．（1）當時，不等式總成立，求a的取值范圍；（2）試求函數(shù)（）在最大值．2023—2024學年度第一學期期末質(zhì)量監(jiān)測高一數(shù)學（時間：120分鐘，滿分：150分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用誘導公式和特殊角的三角函數(shù)值求出答案.解析】.故選：B2.設(shè)集合，，則（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)真數(shù)大于0列不等式組求出集合B，然后由集合并集運算可得.【解析】由解得，所以.故選：B3.“”是“一元二次不等式的解集為”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】B【解析】【分析】利用充分條件、必要條件的定義結(jié)合一元二次不等式在上恒成立的等價條件判斷即可.【解析】充分性：若，，一元二次不等式的解集為，即充分性不成立；必要性：若一元二次不等式的解集為，則，即必要性成立.因此，“”是“一元二次不等式的解集為”的必要非充分條件.故選：B.【小結(jié)】本題考查必要不充分條件的判斷，同時也考查了一元二次不等式在上恒成立的等價條件的應(yīng)用，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.4.方程的解所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)零點存在性定理和單調(diào)性可解.【解析】解：構(gòu)造函數(shù)，因為，，故，所以函數(shù)在內(nèi)有零點，因為函數(shù)是增函數(shù)，所以函數(shù)有唯一零點.故選：D5.已知冪函數(shù)，則（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)得到方程，求出，得到解析式，代入求值即可.【解析】因為是冪函數(shù)，所以，即，所以，.故選：A.6.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及中間值比較出大小.【解析】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，故，在R上單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞減，，故.故選：C.7.已知函數(shù)是R上的減函數(shù)，，是其圖象上的兩點，那么的解集是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用單調(diào)性去掉函數(shù)符號即可求解.【解析】解：由，得或，因為函數(shù)是R上的減函數(shù)，，，所以有，，所以或.故選：A．8.中國高鐵技術(shù)世界領(lǐng)先，高速列車運行時不僅速度比普通列車快且噪聲更?。寐晱奍（單位：）表示聲音在傳播途徑中每平方米面積的聲能流密度，聲強級（單位：dB）與聲強Ⅰ的函數(shù)關(guān)系式為．若普通列車的聲強級是95dB，高速列車的聲強級是45dB，則普通列車的聲強是高速列車聲強的（）A.6倍 B.倍 C.5倍 D.倍【答案】D【解析】【分析】得到，故，得到答案.【解析】設(shè)普通列車和高速列車的聲強分別為，，由得，則，所以.故選：D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，若，則（）A.0 B.2 C.4 D.6【答案】AC【解析】【分析】分兩種情況，得到方程，求出答案.【解析】由，得或，解得或，故選：AC10.角為第二象限角的充要條件是（）A. B.C D.【答案】ABC【解析】【分析】為第二象限角時，，，，結(jié)合切弦之間的關(guān)系即可得解.【解析】為第二象限角時，，，，所以排除D；為第二象限角，A正確；為第二象限角，B正確；為第二象限角，C正確.故選:ABC11.已知為第二象限角，那么是（）A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)的范圍得到的范圍，分，和，三種情況，求出答案.【解析】由，（），得（），當時，，（），為第一象限角；當時，，（），為第二象限角；當時，，（），為第四象限角.故選：ABD12.定義在上的函數(shù)滿足，且，，則下列結(jié)論中正確的是（）A.不等式的解集為B.不等式的解集為C.不等式的解集為D.不等式的解集為【答案】BC【解析】【分析】先得到的單調(diào)性，AB選項，變形得到，故，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到不等式，求出解集；CD選項，由得，故，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到不等式，求出解集.【解析】，不妨設(shè)，故，即，令，則，故在上單調(diào)遞減，AB選項，，不等式兩邊同除以得：，因為，所以，即，根據(jù)在上單調(diào)遞減，故，綜上：，A錯誤，B正確；CD選項，由得，因為，所以，即，因為在上單調(diào)遞減，所以，C正確，D錯誤故選：BC三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)（且）的圖象恒過定點_________________．【答案】【解析】【解析】試題分析：時，，圖象恒過點．考點：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．14.函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過點，則函數(shù)的反函數(shù)____________．【答案】【解析】【分析】代入求出，得到，進而求出反函數(shù).【解析】函數(shù)（，且）的圖象經(jīng)過點，則，所以，故的反函數(shù)故答案為：15.函數(shù)的圖象經(jīng)過一、三、四象限，則a的取值范圍是____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得到的圖象與y軸交點在y軸的負半軸上，則，求出答案.【解析】函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，圖象經(jīng)過一、三、四象限，所以函數(shù)的圖象與y軸交點在y軸的負半軸上，則，故，解得.故答案為：16.如圖，邊長為1的正六邊形木塊自圖中實線標記位置起在水平桌面上從左向右做無滑動翻滾，點為正六邊形的一個頂點，當點第一次落在桌面上時，點走過的路程為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知可得正六邊形與桌面相鄰的邊與桌面所成的角為，可得點第一次落在桌面上時，點走過的路程為：分別以為圓心，為半徑，圓心角為的弧長和，求出三段弧長，即可得出結(jié)論.【解析】由正六邊形的關(guān)系可得，，正六邊形與桌面相鄰的邊與桌面所成的角為，點第一次落在桌面上時，點走過的路程為：.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.計算：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用指數(shù)運算和對數(shù)運算法則，換底公式計算出答案；（2）利用特殊角的三角函數(shù)值進行計算即可.【小問1解析】原式；【小問2解析】原式18.已知且為第二象限角．（1）求和的值；（2）若，求的值．【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）由同角三角函數(shù)關(guān)系和的范圍得到余弦，進而得到正切值；（2）解法1：誘導公式化簡后，化弦為切，結(jié)合（1）知，代入求值；解法2：誘導公式化簡后，利用和，代入求值.【小問1解析】由，得，∵為第二象限角，所以，故，【小問2解析】解法1：由（1）知，解法2：由（1）知，得，由，得，19.（1）已知函數(shù)，，求函數(shù)的值域；（2）解關(guān)于x的不等式：（且）.【答案】（1）；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求出值域即得.（2）按分類，結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解不等式即得.【解析】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，所以函數(shù)，的值域為.（2）當時，在上單調(diào)遞減，由，得，解得，因此不等式的解集為；當時，在上單調(diào)遞增，由，得，解得，因此不等式的解集為；所以當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.20.已知二次函數(shù)滿足，且，為偶函數(shù)，且當時，．（1）求的解析式；（2）在給定的坐標系內(nèi)畫出的圖象；（3）討論函數(shù)（）的零點個數(shù)．【答案】（1）（2）作圖見解析（3）答案見解析【解析】【分析】（1）設(shè)出解析式，根據(jù)題目條件得到方程組，求出，得到解析式；（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到的解析式，從而畫出函數(shù)圖象；（3）在（2）的基礎(chǔ)上，得到函數(shù)零點個數(shù)【小問1解析】設(shè)，則因為，故，所以，解得，因此；【小問2解析】當時，，當時，，則，為偶函數(shù)，故，故，綜上，，畫出函數(shù)圖象如下：【小問3解析】由圖可知，，，當時，函數(shù)沒有零點，當時，函數(shù)只有兩個零點，當時，函數(shù)有四個零點，當時，函數(shù)有三個零點，當時，函數(shù)有兩個零點21.已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）判斷函數(shù)在R上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明.【答案】（1）奇函數(shù)，理由見解析（2）在R上單調(diào)遞增，證明見解析【解析】【分析】（1）求出定義域，得到，得到函數(shù)為奇函數(shù)；（2）利用定義法證明函數(shù)單調(diào)性步驟，取點，作差，判號，下結(jié)論.【小問1解析】，易知的定義域為R，關(guān)于原點對稱，又，∴是奇函數(shù)；【小問2解析】在R上單調(diào)遞增，理由如下：設(shè)，，且，，∵，∴，∴，∴，又，且，∴，即，∴在R上單調(diào)遞增.22.已知函數(shù)．（1）當時，不等式