【19題結(jié)構(gòu)】 第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)期末模擬試卷

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）請點(diǎn)擊修改第I卷的文字說明一、單選題1．已知向量，，若共線，則（

）A． B． C． D．2．已知直線與.若，則（

）A． B．1 C． D．23．橢圓的弦被點(diǎn)平分，則這條弦所在的直線的方程為（

）A． B． C． D．4．在直四棱柱中，底面ABCD為等腰梯形，，，，E為棱的中點(diǎn)，則與平面的夾角余弦值為（

）A． B． C． D．5．點(diǎn)為圓上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)到動直線的距離的最大值為（

）A． B．6 C． D．76．若雙曲線的漸近線與已知圓相切，則（

）A． B．3 C．2 D．7．若一束光線從點(diǎn)處出發(fā)，經(jīng)過直線上一點(diǎn)反射后，反射光線與圓交于點(diǎn)，則光線從點(diǎn)A到點(diǎn)經(jīng)過的最短路線長為（

）A．5 B．6 C．7 D．88．在正三棱錐P-ABC中，，且該三棱錐的各個頂點(diǎn)均在以O(shè)為球心的球面上，設(shè)點(diǎn)O到平面PAB的距離為m，到平面ABC的距離為n，則（

）A． B． C． D．3二、多選題9．已知空間中三點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的有（

）A．與是共線向量 B．點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是C．與夾角的余弦值是 D．與同向的單位向量是10．已知圓：，則下列說法正確的是（

）A．圓的半徑為16B．圓截軸所得的弦長為C．圓與圓：相外切D．若圓上有且僅有兩點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍是11．已知分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，為橢圓上的一點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．B．橢圓的離心率為C．直線被橢圓截得的弦長為D．若，則的面積為4第II卷（非選擇題）請點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明三、填空題12．若兩個向量，，則平面ABC的一個法向量為;13．過點(diǎn)，且與直線相切于點(diǎn)的圓的方程為14．過橢圓上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，，當(dāng)最大時，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．四、解答題15．如圖，在棱長為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離.16．已知的三個頂點(diǎn)，，，(1)邊所在直線的方程(2)邊上的中線所在直線的方程.(3)的面積17．已知雙曲線的離心率為，是上一點(diǎn).(1)求的方程；(2)已知直線與交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，判斷直線是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.18．如圖，在四棱錐中，，，，，面面，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)．(1)證明：面；(2)當(dāng)面時，求二面角的余弦值．19．已知拋物線上的動點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離的最小值為．(1)求拋物線的方程；(2)過拋物線上一點(diǎn)作拋物線的切線，分別交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在線段上，滿足能；點(diǎn)在線段上，滿足，且，線段與交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在拋物線上移動時，求點(diǎn)的軌跡方程．(3)將向左平移個單位，得到，已知，，過點(diǎn)作直線交于．設(shè)，求的值關(guān)注公眾號《品數(shù)學(xué)》參考答案：題號12345678910答案ABABCACBBCDBC題號11答案BCD1．A【分析】根據(jù)空間向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算即可.【解析】依題意，，解得，，故．故選：A．2．B【分析】根據(jù)直線平行列方程，從而求得的值.【解析】由于，所以，此時兩直線方程分別為，不重合，符合題意，所以.故選：B3．A【分析】由設(shè)該弦與橢圓的兩個交點(diǎn)分別為，，使用點(diǎn)差法，求出弦所在直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式方程求出直線方程，最后整理為一般方程的形式．【解析】因?yàn)?，可知點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，設(shè)該弦與橢圓的兩個交點(diǎn)分別為，，則，且點(diǎn)為中點(diǎn)，則，因?yàn)?，兩式作差可得，則，即，可得，所以直線的方程為，即.故選：A.4．B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得與平面的夾角的正弦值，再轉(zhuǎn)化為余弦值.【解析】底面ABCD為等腰梯形，，，，如圖，在底面ABCD中，過點(diǎn)作，垂足為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，所以，兩式相減可得，令，解得，，則平面的一個法向量為，，則到平面的夾角正弦值，.故選：B5．C【分析】確定直線過定點(diǎn)，由圓心到直線距離的最大值即為圓心與的距離，可求解.【解析】由化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，圓心為：，半徑為，由可得：，由，可得，所以直線過定點(diǎn)，則圓心到直線距離的最大值即為圓心與的距離，可得圓心到直線距離的最大值為：，所以點(diǎn)到動直線的距離的最大值為圓心到直線距離的最大值加上半徑，即最大值為.故選：C6．A【分析】先解出雙曲線的漸近線方程，進(jìn)而用點(diǎn)到直線距離解出即可.【解析】雙曲線的漸近線為，即，不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑r=1，依題意圓心到漸近線的距離，解得或（舍去）.所以.故選：A.7．C【分析】求得點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)對稱性可得，再結(jié)合圓的性質(zhì)求最小值.【解析】由題意可知：圓的圓心為，半徑，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得，即對稱點(diǎn)，則，因?yàn)榉瓷涔饩€與圓交于點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且點(diǎn)為靠近的交點(diǎn)時等號成立，又因?yàn)?，所以光線從點(diǎn)A到點(diǎn)經(jīng)過的最短路線長為．故選：C．8．B【分析】根據(jù)長度關(guān)系先證明出兩兩垂直，然后通過補(bǔ)形法求解出的值，再通過向量法求解出的值，則結(jié)果可知.【解析】在正三棱錐中，，又，，所以，所以，同理可得，，即兩兩垂直，把該三棱錐補(bǔ)成一個正方體，則三棱錐的外接球就是正方體的外接球，正方體的體對角線就是外接球的直徑，易得，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A1,0,0，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，則點(diǎn)到平面的距離，所以，故選B.

【小結(jié)】關(guān)鍵點(diǎn)小結(jié)：解答本題的關(guān)鍵點(diǎn)有兩個，一方面是能通過給定的長度關(guān)系確定出位置關(guān)系，同時能利用補(bǔ)形法完成計(jì)算，另一方面是能利用向量方法求解出點(diǎn)到面的距離.9．BCD【分析】根據(jù)向量共線、點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對稱、向量夾角、單位向量等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【解析】.A選項(xiàng)，由于，所以與不是共線向量，A選項(xiàng)錯誤.B選項(xiàng)，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，與夾角的余弦值是,C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，與同向的單位向量是,D選項(xiàng)正確.故選：BCD10．BC【分析】先運(yùn)用配方法將一般式方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可確定其圓心個半徑，可判斷A；根據(jù)點(diǎn)到弦的距離可求出弦長，判斷B；圓心距和半徑的關(guān)系可確定圓與圓的位置關(guān)系，判斷C；圓心到直線的距離與半徑之間的數(shù)量關(guān)系可確定圓C上有且僅有兩點(diǎn)到直線的距離為1，判斷D.【解析】由圓，可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓的半徑為4，故A錯誤；令，得，設(shè)圓與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，則，是的兩個根，所以，，所以，故B正確；兩圓圓心距，故C正確；由圓上有且僅有兩點(diǎn)到直線的距離為1，則，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故D錯誤.故選：BC.11．BCD【分析】根據(jù)橢圓的定義與性質(zhì)結(jié)合勾股定理計(jì)算一一判定選項(xiàng)即可.【解析】因?yàn)闄E圓方程為：，則其長軸長、短軸長、焦距分別為，所以，即A錯誤；B正確；當(dāng)時，與聯(lián)立得，即直線被橢圓截得的弦長為，故C正確；若，則，即，則的面積為，故D正確.故選：BCD12．【分析】根據(jù)法向量與平面內(nèi)的向量垂直，利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【解析】設(shè)平面ABC的法向量為，則，即，兩式子相減得，進(jìn)而得，所以其中，取，則故答案為：13．【分析】由圓心與切點(diǎn)的連線與切線垂直得出圓心所在直線，設(shè)圓心坐標(biāo)，利用圓心到圓上兩個點(diǎn)距離相等建立等量關(guān)系，求得圓心，即可得到圓的方程【解析】因?yàn)閳A心與切點(diǎn)連線與切線垂直，且，所以圓心和切點(diǎn)連線的斜率，所以圓心與的連線的直線方程為：，設(shè)圓心，則，即，解得，即圓心，所以，所以圓的方程為.故答案為：14．/【分析】根據(jù)給定條件，利用圓的切線長定理、結(jié)合四邊形及三角形面積轉(zhuǎn)化為求最大值問題.【解析】圓的圓心，半徑，由切圓于點(diǎn)知，，則，因此最大，當(dāng)且僅當(dāng)最大，設(shè)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.故答案為：

15．【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離.【解析】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，由，即，可令，則，，則，又，點(diǎn)C到面的距離.16．(1)(2)(3)【分析】（1）首先求出，再由斜截式求出直線的方程；（2）首先求出的中點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出，再由點(diǎn)斜式計(jì)算可得；（3）首先求出，以及點(diǎn)到直線的距離，最后由面積公式計(jì)算可得.【解析】（1）因?yàn)椋?，所以，所以直線的方程為，即；（2）因?yàn)?，的中點(diǎn)為，又，所以，所以邊上的中線所在直線的方程為，即；（3）因?yàn)?，點(diǎn)到直線：的距離，所以.17．(1)(2)直線恒過定點(diǎn)【分析】（1）根據(jù)離心率、雙曲線關(guān)系和雙曲線所過點(diǎn)可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而得到雙曲線方程；（2）將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的結(jié)論，代入向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算中，整理可求得，由此可得直線所過定點(diǎn).【解析】（1）雙曲線的離心率，，則，又為上一點(diǎn)，，解得：，，雙曲線的方程為：.（2）設(shè)，，由得：，，則；，，，整理可得：，又，，則，直線恒過定點(diǎn).18．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)題設(shè)可得，由面面、線面垂直的性質(zhì)有，最后用線面垂直的判定證結(jié)論；（2）法一：取AD的中點(diǎn)O，作交BC于M，連接OP，建立合適空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間線面、線線位置關(guān)系及向量垂直或平行的坐標(biāo)表示求出的坐標(biāo)，再用向量法求二面角余弦值；法二：取AD的中點(diǎn)O，連接OP和OC，再取OC的中點(diǎn)Q，連接QE，在平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)Q作BC的垂線，垂足為點(diǎn)N，連接EN，根據(jù)二面角的定義確定∠ENQ為二面角的平面角，再根據(jù)已知求其余弦值.【解析】（1）由題設(shè)，所以，而，則，所以，因?yàn)槊婷?，面面，面，，所以面，又面，所以，因?yàn)槊妫?，所以面．?）法一：取AD的中點(diǎn)O，作交BC于M，連接OP，則，面面，面面，面，則面，以O(shè)為原點(diǎn)，OA、OM、OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以，設(shè)，則，，，．易知面PAD的一個法向量為，而面，故，得．因?yàn)椋?，可得（?fù)值舍），即．設(shè)平面PBC的一個法向量為，則，令，可得，易知平面ABC的一個法向量，則，二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為．法二：取AD的中點(diǎn)O，連接OP和OC，再取OC的中點(diǎn)Q，連接QE，在平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)Q作BC的垂線，垂足為點(diǎn)N，連接EN，因?yàn)椋襉是AD的中點(diǎn)，所以．面面，面面，面，則面，因?yàn)镋Q是△POC的中位線，則，所以面，因?yàn)槊妫?，又，面，且，所以面，又面，所以，由二面角的定義知，∠ENQ為二面角的平面角．連接BQ，并延長BQ交CD于點(diǎn)T．由，面，面，所以面．當(dāng)面時，面，且，則面面．由面面及線面平行的性質(zhì)定理可知．記AC交BT于F，因?yàn)辄c(diǎn)Q是OC的中點(diǎn)，，所以F是AC的中點(diǎn)，由此可知，，因?yàn)?，所以，且．由，知，由，得，所以，，因此，，所以二面角的余弦值為?9．(1)(2)(3)0【分析】（1）根據(jù)拋物線的幾何意義求出p，即可求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，則為的中點(diǎn)，利用平面向量的基本定理可證得是的重心，建立方程組，即可求解；（3）易知直線的斜率存在，設(shè)直線l,，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理，由可得，結(jié)合平面向量的坐標(biāo)表示求解即可.【解析】（1）因?yàn)閽佄锞€上的動點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離的最小值為，所以，解得，故拋物線方程為；（2）由（1）知，，則，，所以在點(diǎn)A的切線方程為，