藝考生專(zhuān)題講義16 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

考點(diǎn)16三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)知識(shí)梳理一．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx圖象定義域RR{x|x≠Q(mào)UOTE+kπ,k∈Z}值域[-1,1][-1,1]R單調(diào)性在[2kπ-,2kπ+](k∈Z)上單調(diào)遞增;在[2kπ+,2kπ+]QUOTE(k∈Z)上單調(diào)遞減在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增;在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上單調(diào)遞減在(kπ-,kπ+)QUOTE(k∈Z)上單調(diào)遞增最值x=2kπ+QUOTE(k∈Z)時(shí),ymax=1;x=2kπ-QUOTE(k∈Z)時(shí),ymin=-1x=2kπ(k∈Z)時(shí),ymax=1;x=2kπ+π(k∈Z)時(shí),ymin=-1無(wú)最值奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)中心(kπ,0)(k∈Z)對(duì)稱(chēng)中心(kπ+,0)(k∈Z)對(duì)稱(chēng)中心(,0)QUOTE(k∈Z)對(duì)稱(chēng)軸l:x=kπ+QUOTE(k∈Z)對(duì)稱(chēng)軸l:x=kπ(k∈Z)最小正周期2π2ππ二．用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖(1)在正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．(2)在余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．(3)用五點(diǎn)法畫(huà)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)特征點(diǎn)如下表所示：xeq\f(0－φ,ω)eq\f(\f(π,2)－φ,ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(\f(3π,2)－φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0三．函數(shù)y＝sinx的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的兩種途徑精講精練題型一周期【例1】下列函數(shù)中，最小正周期為的是（

）.A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知周期為，周期為，周期為，周期為.【方法總結(jié)】求三角函數(shù)最小正周期的常用方法公式法：將函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝Acos(ωx＋φ)＋B的形式，再利用T＝eq\f(2π,|ω|)求得；y＝Atan(ωx＋φ)＋B,(2)圖象法：利用變換的方法或作出函數(shù)的圖象，通過(guò)觀察得到最小正周期.【舉一反三】1．函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得函數(shù)的最小正周期為2．下列函數(shù)的最小正周期為π的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對(duì)于A，函數(shù)的最小正周期是，A不符合題意；對(duì)于B，函數(shù)的最小正周期是，B符合題意；對(duì)于C，函數(shù)的最小正周期是，C不符合題意；對(duì)于D，函數(shù)的最小正周期是，D不符合題意.3．在函數(shù)①，②，③，④中，最小正周期為π的函數(shù)有（）A．①③ B．①④C．③④ D．②③【答案】D【解析】①由余弦函數(shù)的奇偶性可知，，最小值周期為；②由翻折變換可知，函數(shù)的圖象如圖：由圖知的最小值周期為；③由周期公式得，所以的最小值周期為；④的最小值周期為.4．函數(shù)是（）A．周期為π的奇函數(shù) B．周期為π的偶函數(shù)C．周期為2π的奇函數(shù) D．周期為2π的偶函數(shù)【答案】D【解析】因?yàn)椋栽摵瘮?shù)是周期為2π的偶函數(shù)．題型二對(duì)稱(chēng)性【例2】已知函數(shù)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．的最小正周期為 B．的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)C．在上單調(diào)遞增 D．的值域?yàn)閇-1，1]【答案】C【分析】根據(jù)周期公式的計(jì)算即可判斷A，代入，取最大值，即可判斷B,根據(jù)整體范圍即可驗(yàn)證C,D.【解析】的最小正周期為,故A正確，當(dāng)時(shí)，，故的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，B正確，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤，，故D正確.【方法總結(jié)】【舉一反三】1．函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，可得，令，可得.所以函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸是.2．若函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則的值可能為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以當(dāng)時(shí)，取得最值，所以，得，對(duì)于A，若，則，解得，不合題意，對(duì)于B，若，則，解得，不合題意，對(duì)于C，若，則，解得，題意，對(duì)于D，若，則，解得，不合題意，3．函數(shù)的圖象（

）A．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C．關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng) D．關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)【答案】D【解析】由題設(shè)，由余弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為，令，得，，易知A、B錯(cuò)誤；由余弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，令，得，，當(dāng)時(shí)，，易知C錯(cuò)誤，D正確；4．下列關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法正確的是（

）A．圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng) B．圖象關(guān)于直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，所以是函數(shù)的中心對(duì)稱(chēng)，所以A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，注意到時(shí)，，而不存在，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，注意到時(shí)，，而不存在，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.題型三單調(diào)性【例3】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，令，，解得，，所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．【方法總結(jié)】【舉一反三】1．函數(shù)在下列哪個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，，得，令可得，的一個(gè)增區(qū)間為，結(jié)合選項(xiàng)可得C符合題意.2．下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得．所以在上不單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增．3．已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞減【答案】C【解析】依題意可知，，記，則，對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)椋?，則在上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椋?，則在上不單調(diào)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，則在上單調(diào)遞減，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，則在上不單調(diào)，故D錯(cuò)誤.4．若函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，且在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：由題意得：函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，，解得：①，又在上單調(diào)遞增，，解得：②，由①②式聯(lián)立可知的取值范圍是.故選：B題型四奇偶性【例4】函數(shù)是（

）A．最小正周期為的偶函數(shù) B．最小正周期為的偶函數(shù)C．最小正周期為的奇函數(shù) D．最小正周期為的奇函數(shù)【答案】D【解析】，由于，且的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，所以是奇函數(shù)，注意到它的周期為.故選：D.【方法總結(jié)】【舉一反三】1．下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且最小正周期為1的函數(shù)為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對(duì)A，其最小正周期為，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，設(shè)，且，解得，其定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，其最小正周期為，故B正確；對(duì)C，其最小正周期為，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，設(shè)，定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則，則其為偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：B.2．下列函數(shù)中，周期是，又是奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A.周期是，A錯(cuò)誤；對(duì)于B.周期是，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C.周期是，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D.周期是，又是奇函數(shù)，D正確；故選：D.3．已知函數(shù)是奇函數(shù)，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】是奇函數(shù)，則只需，所以，所以時(shí)，.故選：D.4．函數(shù)向左平移個(gè)單位得到，若是偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，在中，向左平移得到，所以，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，又因?yàn)?，所以，故選：D.題型五值域(最值)【例5】函數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．0【答案】C【解析】由題意可得，所以的最大值為．【舉一反三】1．函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)，因?yàn)椋院瘮?shù)的值域?yàn)楣蔬x：B.2．函數(shù)的最大值和最小值分別為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，則當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，所以所求最大值、最小值分別為.故選：A3．若函數(shù)的最大值為，則a的值等于（

）A．2 B． C．0 D．【答案】D【解析】由于，所以時(shí)，取最大值，故，所以，4．函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)，∵，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為2，故函數(shù)的值域?yàn)?，故選：A．題型六圖象變換【例6】（1）把函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，最后把圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則所得圖像表示的函數(shù)的解析式為A． B． C． D．【答案】B【解析】把函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，所得圖像的函數(shù)解析式為，再把縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，所得圖像的函數(shù)解析式為，最后把圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖像的函數(shù)解析式為.故選B.（2）將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)，若為偶函數(shù)，則的最小值為()A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)，將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位后，得到函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，．當(dāng)時(shí)，．故選：A【方法總結(jié)】函數(shù)圖像平移異名化同名的公式：，.【舉一反三】1．要得到的圖像，只需將函數(shù)的圖像()A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位【答案】B【解析】，，需將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位.故選：B.2．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為()A． B．C． D．【答案】B【解析】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得函數(shù)解析式為.故選：B.3．(多選)把函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的(縱坐標(biāo)不變)，再將圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)的圖象，則下列說(shuō)法不正確的是()A．g(x)在上單調(diào)遞增B．g(x)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)C．g(x)的最小正周期為4πD．g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)【答案】BCD【解析】把函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的得到的圖象，再將圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象．若，則，∴在上單調(diào)遞增，故A正確，不符合題意；由知，g(x)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故B錯(cuò)誤，符合題意；g(x)的最小正周期為π，故C錯(cuò)誤，符合題意；∵，∴g(x)的圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故D錯(cuò)誤，符合題意．故選：BCD.4．將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后所得函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，則_________．【答案】【解析】解：根據(jù)題意得函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后得到的函數(shù)解析式為：，由函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，故，即所以.故答案為：題型七求解析式【例7】函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的單調(diào)遞增區(qū)間為()A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】依題意，所以，由于圖象過(guò)，所以，由于，所以，所以.由得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.故選：D【方法總結(jié)】由函數(shù)的圖象求解析式的方法：（1）；（2）；（3）；（4）由圖象上的已知點(diǎn)求.【舉一反三】1．?dāng)?shù)的一段圖象如圖所示，則()A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，函數(shù)的一段圖象，可得，所以，又由，解得.故選：B.2．(多選)函數(shù)(＞0，0＜＜)(xR)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，則()A．函數(shù)的解析式為(xR)B．函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸方程是C．函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心是(，0)，kZD．函數(shù)是偶函數(shù)【答案】BD【解析】對(duì)于選項(xiàng)，由圖象可知周期為，所以，由圖象過(guò)，則，解得，又0＜＜，則，所以函數(shù).所以A選項(xiàng)不正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，為最小值，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，顯然對(duì)稱(chēng)中