藝考生專題講義48 數(shù)學(xué)文化

考點(diǎn)48數(shù)學(xué)文化一．三角形中的幾何計(jì)算（共2小題）1．（2021?乙卷）魏晉時(shí)期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)量海島的高．如圖，點(diǎn)，，在水平線上，和是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”，則海島的高A．表高 B．表高 C．表距 D．表距【解答】解：，，故，即，解得，，故表高．另解：如圖所示，連接并延長交于點(diǎn)，，，表高．故選：．2．（2021?浙江）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明．弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示）．若直角三角形直角邊的長分別為3，4，記大正方形的面積為，小正方形的面積為，則25．【分析】利用勾股定理求出直角三角形斜邊長，即大正方形的邊長，由，求出，再求出．【解答】解：直角三角形直角邊的長分別為3，4，直角三角形斜邊的長為，即大正方形的邊長為5，，則小正方形的面積，．故答案為：25．二．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積（共1小題）3．（2020?新課標(biāo)Ⅰ）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐．以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為A． B． C． D．【分析】先根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)列出等量關(guān)系，進(jìn)而求解結(jié)論．【解答】解：設(shè)正四棱錐的高為，底面邊長為，側(cè)面三角形底邊上的高為，則依題意有：，因此有（負(fù)值舍去）；故選：．三．直線與平面所成的角（共1小題）4．（2020?山東）日晷是中國古代用來測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測(cè)定時(shí)間．把地球看成一個(gè)球（球心記為，地球上一點(diǎn)的緯度是指與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)處的水平面是指過點(diǎn)且與垂直的平面．在點(diǎn)處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)處的緯度為北緯，則晷針與點(diǎn)處的水平面所成角為A． B． C． D．【分析】由緯度的定義和線面角的定義，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)，可得晷針與點(diǎn)處的水平面所成角．【解答】解：可設(shè)所在的緯線圈的圓心為，垂直于緯線所在的圓面，由圖可得為晷針與點(diǎn)處的水平面所成角，又為且，在中，，，另解：畫出截面圖，如下圖所示，其中是赤道所在平面的截線．是點(diǎn)處的水平面的截線，由題意可得，是晷針?biāo)谥本€．是晷面的截線，由題意晷面和赤道面平行，晷針與晷面垂直，根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得，根據(jù)線面垂直的定義可得，由于，，所以，由于，所以，也即晷針與處的水平面所成角為，故選：．四．古典概型及其概率計(jì)算公式（共1小題）5．（2019?新課標(biāo)Ⅰ）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽爻的概率是A． B． C． D．【分析】基本事件總數(shù)，該重卦恰有3個(gè)陽爻包含的基本個(gè)數(shù)，由此能求出該重卦恰有3個(gè)陽爻的概率．【解答】解：在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，基本事件總數(shù)，該重卦恰有3個(gè)陽爻包含的基本個(gè)數(shù)，則該重卦恰有3個(gè)陽爻的概率．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．五．進(jìn)行簡單的合情推理（共1小題）6．（2019?新課標(biāo)Ⅰ）古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是，稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是．若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長為，頭頂至脖子下端的長度為，則其身高可能是A． B． C． D．【分析】充分運(yùn)用黃金分割比例，結(jié)合圖形，計(jì)算可估計(jì)身高．【解答】解：頭頂至脖子下端的長度為，說明頭頂?shù)窖屎淼拈L度小于，由頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比是，可得咽喉至肚臍的長度小于，由