藝考生專題講義40 線性回歸和獨(dú)立性檢驗(yàn)

考點(diǎn)40線性關(guān)系和獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí)梳理一．線性關(guān)系1．變量間的相關(guān)關(guān)系(1)常見的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系，另一類是相關(guān)關(guān)系；與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系．(2)從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān)；點(diǎn)散布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系為負(fù)相關(guān)．2．兩個(gè)變量的線性相關(guān)(1)從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在通過散點(diǎn)圖中心的一條直線附近，稱兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線．(2)回歸方程：是兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)的回歸方程，其中是待定參數(shù)．的計(jì)算公式.注意：回歸方程必過樣本中心，這也是做小題的依據(jù)和檢驗(yàn)所求回歸方程是否正確。(3)相關(guān)系數(shù)：當(dāng)r＞0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)r＜0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．r的絕對(duì)值越接近于1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)．r的絕對(duì)值越接近于0，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常|r|大于0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性．二．獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)2×2列聯(lián)表設(shè)X，Y為兩個(gè)變量，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(2×2列聯(lián)表)如下：y1y2總計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)利用隨機(jī)變量K2(也可表示為χ2)的觀測值(其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量)來判斷“兩個(gè)變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)．精講精練題型一一次線性關(guān)系【例1-1】(2024·山東高三專題練習(xí))某工廠的每月各項(xiàng)開支與毛利潤(單位：萬元)之間有如下關(guān)系，與的線性回歸方程，則()245683040605070A．17.5 B．17 C．15 D．15.5【答案】A【解析】由題意，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可得，，即樣本中心為，代入與的線性回歸方程為，解得.故選：A.【例1-2】(2024·全國高三專題練習(xí))西尼羅河病毒(WNV)是一種腦炎病毒，WNV通常是由鳥類攜帶，經(jīng)蚊子傳播給人類．1999年8-10月，美國紐約首次爆發(fā)了WNV腦炎流行．在治療上目前尚未有什么特效藥可用，感染者需要采取輸液及呼吸系統(tǒng)支持性療法，有研究表明，大劑量的利巴韋林含片可抑制WNV的復(fù)制，抑制其對(duì)細(xì)胞的致病作用．現(xiàn)某藥企加大了利巴韋林含片的生產(chǎn)，為了提高生產(chǎn)效率，該藥企負(fù)責(zé)人收集了5組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，得到利巴韋林的投入量x(千克)和利巴韋林含片產(chǎn)量y(百盒)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：投入量x(千克)12345產(chǎn)量y(百盒)1620232526由相關(guān)系數(shù)可以反映兩個(gè)變量相關(guān)性的強(qiáng)弱，，認(rèn)為變量相關(guān)性很強(qiáng)；，認(rèn)為變量相關(guān)性一般；，認(rèn)為變量相關(guān)性較弱．(1)計(jì)算相關(guān)系數(shù)r，并判斷變量x、y相關(guān)性強(qiáng)弱；(2)根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的線性回歸方程；為了使某組利巴韋林含片產(chǎn)量達(dá)到150百盒，估計(jì)該組應(yīng)投入多少利巴韋林？參考數(shù)據(jù)：．參考公式：相關(guān)系數(shù)，線性回歸方程中，，．【答案】(1)，x與y具有很強(qiáng)的相關(guān)性；(2)54.2千克．【解析】(1)，，，，，則所以x與y具有很強(qiáng)的相關(guān)性．(2)由(1)得，，，所以y關(guān)于x的線性回歸方程為．當(dāng)(百盒)時(shí)，(千克)故要使某組利巴韋林含片產(chǎn)量達(dá)到150百盒，估計(jì)該組應(yīng)投入54.2千克利巴韋林．【舉一反三】1．(2024·全國高三專題練習(xí))某工廠某產(chǎn)品產(chǎn)量(千件)與單位成本(元)滿足回歸直線方程,則以下說法中正確的是()A．產(chǎn)量每增加件,單位成本約下降元 B．產(chǎn)量每減少件,單位成本約下降元C．當(dāng)產(chǎn)量為千件時(shí),單位成本為元 D．當(dāng)產(chǎn)量為千件時(shí),單位成本為元【答案】A【解析】令,因?yàn)?所以產(chǎn)量每增加件,單位成本約下降元.2．(2024·安徽省六安中學(xué)高三開學(xué)考試)“關(guān)注夕陽、愛老敬老”—某馬拉松協(xié)會(huì)從年開始每年向敬老院捐贈(zèng)物資和現(xiàn)金.下表記錄了第年(年是第一年)與捐贈(zèng)的現(xiàn)金(萬元)的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，由此表中的數(shù)據(jù)得到了關(guān)于的線性回歸方程，則預(yù)測年捐贈(zèng)的現(xiàn)金大約是()A．萬元 B．萬元 C．萬元 D．萬元【答案】C【解析】由已知得，，所以樣本點(diǎn)的中心點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入，得，即，所以，取，得，預(yù)測2019年捐贈(zèng)的現(xiàn)金大約是萬元.3．(2024·全國高三專題練習(xí))基于移動(dòng)互聯(lián)技術(shù)的共享單車被稱為“新四大發(fā)明”之一，短時(shí)間內(nèi)就風(fēng)靡全國，帶給人們新的出行體驗(yàn)、某共享單車運(yùn)營公司的市場研究人員為了解公司的經(jīng)營狀況，對(duì)該公司最近六個(gè)月內(nèi)的市場占有率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：月份月份代碼市場占有率()(1)請(qǐng)?jiān)诮o出的坐標(biāo)紙中作出散點(diǎn)圖，并用相關(guān)系數(shù)說明可用線性回歸模型擬合月度市場占有率與月份代碼之間的關(guān)系；(2)求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測該公司年月份的市場占有率；(3)根據(jù)調(diào)研數(shù)據(jù)，公司決定再采購一批單車擴(kuò)大市場，現(xiàn)有采購成本分別為元/輛和元/輛的、兩款車型報(bào)廢年限各不相同，考慮到公司的經(jīng)濟(jì)效益，該公司決定先對(duì)兩款單車各輛進(jìn)行科學(xué)模擬測試，得到兩款單車使用壽命頻數(shù)表如下：報(bào)廢年限車型年年年年總計(jì)經(jīng)測算，平均每輛單車每年可以為公司帶來收入元.不考慮除采購成本之外的其他成本，假設(shè)每輛單車的使用壽命都是整數(shù)年，且用頻率估計(jì)每輛單車使用壽命的概率，以每輛單車產(chǎn)生利潤的期望值為決策依據(jù)、如果你是該公司的負(fù)責(zé)人，你會(huì)選擇采購哪款車型？參考數(shù)據(jù)：，，參考公式：相關(guān)系數(shù)；回歸直線方程為，其中，【答案】(1)散點(diǎn)圖見解析，可用線性回歸模型擬合兩變量之間的關(guān)系；(2)，；(3)應(yīng)選擇款車型.【解析】(1)散點(diǎn)圖如圖所示，，∴，∴，∴兩變量之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，故可用線性回歸模型擬合兩變量之間的關(guān)系；(2)，又，∴，∴回歸直線方程為；∴年月的月份代碼，∴，∴估計(jì)年月的市場占有率為；(3)用頻率估計(jì)概率，款單車的利潤的分布列為：∴(元)，款單車的利潤的分布列為：∴(元)，以每輛單車產(chǎn)生利潤的期望值為決策依據(jù)，故應(yīng)選擇款車型.4．(2024·全國高三專題練習(xí))近年來，“雙11”網(wǎng)購的觀念逐漸深入人心.某人統(tǒng)計(jì)了近年某網(wǎng)站“雙11”當(dāng)天的交易額，，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：年份20152016201720182019年份代碼x12345交易額y/百億元912172126(1)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用相關(guān)系數(shù)說明與的線性相關(guān)程度，線性相關(guān)系數(shù)保留三位小數(shù).(統(tǒng)計(jì)中用相關(guān)系數(shù)來衡量兩個(gè)變量之間線性關(guān)系的強(qiáng)弱.若相應(yīng)于變量的取值，變量的觀測值為()，則兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式為：.統(tǒng)計(jì)學(xué)認(rèn)為，對(duì)于變量，如果，那么負(fù)相關(guān)很強(qiáng);如果，那么正相關(guān)很強(qiáng);如果或，那么相關(guān)性一般;如果，那么相關(guān)性較弱)；(2)求出關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測年該網(wǎng)站“雙11”當(dāng)天的交易額.參考公式：，；參考數(shù)據(jù)：.【答案】(1)0.998；變量與的線性相關(guān)程度很強(qiáng)；(2)；百億元.【解析】(1)由題意，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可得：，，則，，所以所以變量與的線性相關(guān)程度很強(qiáng).(2)由(1)可得，，，又由，所以，則，可得關(guān)于的線性回歸方程為令，可得，即年該網(wǎng)站“雙11”當(dāng)天的交易額百億元.題型二獨(dú)立性檢驗(yàn)【例2】(2024·江蘇泰州市·高三期末)2024年是脫貧攻堅(jiān)的收官之年，國務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅(jiān)取得重大勝利，為確保我國如期全面建成小康社會(huì)，實(shí)現(xiàn)第一個(gè)百年奮斗目標(biāo)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)在產(chǎn)業(yè)扶貧政策的大力支持下，西部某縣新建了甲?乙兩家玩具加工廠，加工同一型號(hào)的玩具質(zhì)監(jiān)部門隨機(jī)抽檢了兩個(gè)廠的各100件玩具，在抽取中的200件玩具中，根據(jù)檢測結(jié)果將它們分成“A”?“B”?“C”三個(gè)等級(jí)，A?B等級(jí)都是合格品，C等級(jí)是次品，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：等級(jí)ABC頻數(shù)2012060(表一)廠家合格品次品合計(jì)甲75乙35合計(jì)(表二)在相關(guān)政策扶持下，確保每件合格品都有對(duì)口銷售渠道，但從安全起見，所有的次品必須由原廠家自行銷.(1)請(qǐng)根據(jù)所提供的數(shù)據(jù)，完成上面的2×2列聯(lián)表(表二)，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為產(chǎn)品的合格率與廠家有關(guān)？(2)每件玩具的生產(chǎn)成本為30元，A?B等級(jí)產(chǎn)品的出廠單價(jià)分別為60元?40元.另外已知每件次品的銷毀費(fèi)用為4元.若甲廠抽檢的玩具中有10件為A等級(jí)，用樣本的頻率估計(jì)概率，試判斷甲?乙兩廠能否都能盈利，并說明理由.附：，其中.0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)列聯(lián)表答案見解析，沒有95%的把握認(rèn)為產(chǎn)品的合格率與廠家有關(guān)；(2)甲廠能盈利，乙不能盈利，理由見解析.【解析】(1)2×2列聯(lián)表如下廠家合格品次品合計(jì)甲7525100乙6535100合計(jì)14060200，沒有95%的把握認(rèn)為產(chǎn)品的合格率與廠家有關(guān).(2)甲廠10件A等級(jí)，65件B等級(jí)，25件次品，對(duì)于甲廠，單件產(chǎn)品利潤X的可能取值為30，10，.X的分布列如下：X3010P，甲廠能盈利，對(duì)于乙廠有10件A等級(jí)，55件B等級(jí)，35件次品，對(duì)于乙廠，單位產(chǎn)品利潤Y的可能取值為30，10，，Y分布列如下：Y3010P，乙不能盈利.【舉一反三】1．(2024·山東高三專題練習(xí))共享單車進(jìn)駐城市，綠色出行引領(lǐng)時(shí)尚．某市有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，2024年該市共享單車用戶年齡等級(jí)分布如圖1所示，一周內(nèi)市民使用單車的頻率分布扇形圖如圖2所示．若將共享單車用戶按照年齡分為“年輕人”(20歲－39歲)和“非年輕人”(19歲及以下或者40歲及以上)兩類，將一周內(nèi)使用的次數(shù)為6次或6次以上的稱為“經(jīng)常使用單車用戶”，使用次數(shù)為5次或不足5次的稱為“不常使用單車用戶”．已知在“經(jīng)常使用單車用戶”中有是“年輕人”．(1)現(xiàn)對(duì)該市市民進(jìn)行“經(jīng)常使用共享單車與年齡關(guān)系”的調(diào)查，采用隨機(jī)抽樣的方法，抽取一個(gè)容量為200的樣本，請(qǐng)你根據(jù)圖表中的數(shù)據(jù)，補(bǔ)全下列列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷是否有85%的把握認(rèn)為經(jīng)常使用共享單車與年齡有關(guān)？年輕人非年輕人合計(jì)經(jīng)常使用單車用戶120不常使用單車用戶80合計(jì)16040200使用共享單車情況與年齡列聯(lián)表(2)將(1)中頻率視為概率，若從該市市民中隨機(jī)任取3人，設(shè)其中經(jīng)常使用共享單車的“非年輕人”人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列與期望．參考數(shù)據(jù)：獨(dú)立性檢驗(yàn)界值表0.150.100.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635其中，，【答案】(1)列聯(lián)表見解析，有的把握可以認(rèn)為經(jīng)常使用共享單車與年齡有關(guān)；(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為．【解析】(1)補(bǔ)全的列聯(lián)表如下：年輕人非年輕人合計(jì)經(jīng)常使用共享單車10020120不常使用共享單車602080合計(jì)16040200于是，，，，∴，即有的把握可以認(rèn)為經(jīng)常使用共享單車與年齡有關(guān)．(2)由(1)的列聯(lián)表可知，經(jīng)常使用共享單車的“非年輕人”占樣本總數(shù)的頻率為，即在抽取的用戶中出現(xiàn)經(jīng)常使用單車的“非年輕人”的概率為0.1，∵，∴，，，∴的分布列為01230.7290.2430.0270.001．∴的數(shù)學(xué)期望．【舉一反三】1．(2024·全國高三專題練習(xí))某工廠為了提高生產(chǎn)效率，對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行了技術(shù)改造，為了對(duì)比技術(shù)改造后的效果，采集了技術(shù)改造前后各20次連續(xù)正常運(yùn)行的時(shí)間長度(單位：天)數(shù)據(jù)，整理如下：改造前：19，31，22，26，34，15，22，25，40，35，18，16，28，23，34，15，26，20，24，21改造后：32，29，41，18，26，33，42，34，37，39，33，22，42，35，43，27，41，37，38，36(1)完成下面的列聯(lián)表，并判斷能否有99％的把握認(rèn)為技術(shù)改造前后的連續(xù)正常運(yùn)行時(shí)間有差異?超過30不超過30改造前改造后(2)工廠的生產(chǎn)設(shè)備的運(yùn)行需要進(jìn)行維護(hù)，工廠對(duì)生產(chǎn)設(shè)備的生產(chǎn)維護(hù)費(fèi)用包括正常維護(hù)費(fèi)，保障維護(hù)費(fèi)兩種．對(duì)生產(chǎn)設(shè)備設(shè)定維護(hù)周期為T天(即從開工運(yùn)行到第kT天，k∈N*)進(jìn)行維護(hù)．生產(chǎn)設(shè)備在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)設(shè)置幾個(gè)維護(hù)周期，每個(gè)維護(hù)周期相互獨(dú)立．在一個(gè)維護(hù)周期內(nèi)，若生產(chǎn)設(shè)備能連續(xù)運(yùn)行，則只產(chǎn)生一次正常維護(hù)費(fèi)，而不會(huì)產(chǎn)生保障維護(hù)費(fèi)；若生產(chǎn)設(shè)備不能連續(xù)運(yùn)行，則除產(chǎn)生一次正常維護(hù)費(fèi)外，還產(chǎn)生保障維護(hù)費(fèi)．經(jīng)測算，正常維護(hù)費(fèi)為0.5萬元／次；保障維護(hù)費(fèi)第一次為0.2萬元／周期，此后每增加一次則保障維護(hù)費(fèi)增加0.2萬元．現(xiàn)制定生產(chǎn)設(shè)備一個(gè)生產(chǎn)周期(以120天計(jì))內(nèi)的維護(hù)方案：T=30，k=1，2，3，4．以生產(chǎn)設(shè)備在技術(shù)改造后一個(gè)維護(hù)周期內(nèi)能連續(xù)正常運(yùn)行的頻率作為概率，求一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)維護(hù)費(fèi)的分布列及均值．附：P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)見解析，有99%的把握認(rèn)為技術(shù)改造前后的連續(xù)正常運(yùn)行時(shí)間有差異.(2)見解析；均值為2.275萬元.【解析】(1)列聯(lián)表為：超過30不超過30改造前515改造后155有99%的把握認(rèn)為技術(shù)改造前后的連續(xù)正常運(yùn)行時(shí)間有差異.(2)由題知，生產(chǎn)周期內(nèi)有4個(gè)維護(hù)周期，一個(gè)維護(hù)周期為30天，一個(gè)維護(hù)周期內(nèi)，生產(chǎn)線需保障維護(hù)的概率為.設(shè)一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)需保障維護(hù)的次數(shù)為，則；一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)的正常維護(hù)費(fèi)為萬元，保障維護(hù)費(fèi)為萬元.一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)需保障維護(hù)次時(shí)的生產(chǎn)維護(hù)費(fèi)為萬元.設(shè)一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)的生產(chǎn)維護(hù)費(fèi)為X，則X的所有可能取值為2，2.2，2.6，3.2，4.所以，的分布列為22.22.63.24一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)維護(hù)費(fèi)的均值為2.275萬元.2．(2024·四川成都市·高三一模)一網(wǎng)絡(luò)公司為某貧困山區(qū)培養(yǎng)了名“鄉(xiāng)土直播員”，以幫助宣傳該山區(qū)文化和銷售該山區(qū)的農(nóng)副產(chǎn)品，從而帶領(lǐng)山區(qū)人民早日脫貧致富．該公司將這名“鄉(xiāng)土直播員”中每天直播時(shí)間不少于小時(shí)的評(píng)為“網(wǎng)紅鄉(xiāng)土直播員”，其余的評(píng)為“鄉(xiāng)土直播達(dá)人”．根據(jù)實(shí)際評(píng)選結(jié)果得到了下面列聯(lián)表：網(wǎng)紅鄉(xiāng)土直播員鄉(xiāng)土直播達(dá)人合計(jì)男104050女203050合計(jì)3070100(1)根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為“網(wǎng)紅鄉(xiāng)土直播員”與性別有關(guān)系？(2)在“網(wǎng)紅鄉(xiāng)土直播員”中按分層抽樣的方法抽取人，在這人中選人作為“鄉(xiāng)土直播推廣大使”．設(shè)被選中的名“鄉(xiāng)土直播推廣大使”中男性人數(shù)為，求的分布列和期望．附：，其中．【答案】(1)有的把握認(rèn)為“網(wǎng)紅鄉(xiāng)土直播員”與性別有關(guān)系；(2)分布列見解析；期望為．【解析】(1)由題中列聯(lián)表，可得．∴有的把握認(rèn)為“網(wǎng)紅鄉(xiāng)土直播員”與性別有關(guān)系．(2)在“網(wǎng)紅鄉(xiāng)土直播員”中按分層抽樣的方法抽取6人，男性人數(shù)為人；女性人數(shù)為人．由題，隨機(jī)變量所有可能的取值為，，．，，，∴的分布列為012∴的數(shù)學(xué)期望．題型三非一次性回歸方程【例3-1】(2024·全國高三專題練習(xí))在一項(xiàng)調(diào)查中有兩個(gè)變量和，下圖是由這兩個(gè)變量近8年來的取值數(shù)據(jù)得到的散點(diǎn)圖，那么適宜作為關(guān)于的回歸方程的函數(shù)類型是()A． B．C． D．()【答案】B【解析】散點(diǎn)圖呈曲線，排除A選項(xiàng)，且增長速度變慢，排除選項(xiàng)C、D，故選B．【例3-2】．(2024·全國高三專題練習(xí))根據(jù)公安部交管局下發(fā)的通知，自2024年6月1日起，將在全國開展“一盔一帶”安全守護(hù)行動(dòng)，其中就要求騎行摩托車、電動(dòng)車需要佩戴頭盔，為的就是讓大家重視交通安全.某地交警部門根據(jù)某十字路口的監(jiān)測數(shù)據(jù)，從穿越該路口的騎行者中隨機(jī)抽查了200人，得到如圖所示的列聯(lián)表：戴頭盔不帶頭盔合計(jì)男性3090120女性107080合計(jì)40160200(1)是否有97.5%的把握認(rèn)為自覺帶頭盔行為與性別有關(guān)?(2)通過一定的宣傳和相關(guān)處罰措施出臺(tái)后，交警在一段時(shí)間內(nèi)通過對(duì)某路口不帶頭盔的騎行者統(tǒng)計(jì)，得到上面的散點(diǎn)圖和如下數(shù)據(jù)：天數(shù)123456人數(shù)1106044343028觀察散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)變量不具有線性相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)考慮用函數(shù)對(duì)兩個(gè)變量的關(guān)系進(jìn)行擬合，通過分析得y與有一定的線性相關(guān)關(guān)系，并得到以下參考數(shù)據(jù)(其中)：3.50.4112.250.1681911.492816173.8306請(qǐng)選擇合適的參考數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程.參考公式：.0.0500.0250.0100.0050.001k3.8415.0246.6357.87910.828對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，.【答案】(1)沒有；(2).【解析】(1)由列聯(lián)表計(jì)算.故沒有的把握認(rèn)為騎行者自覺帶頭盔行為與性別有關(guān).(2)由，則可轉(zhuǎn)化為，又，得，則.故y關(guān)于x的回歸方程為【舉一反三】1．(2024·河南周口市·高三月考)已知變量關(guān)于變量的回歸方程為，其一組數(shù)據(jù)如下表所示：1234若，則()A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】由，得，令，則，由題意，，，因?yàn)闈M足，所以，解得，所以，所以，令，解得.故選：B.2．(2024·全國高三專題練習(xí))近期，濟(jì)南公交公司分別推出支付寶和微信掃碼支付乘車活動(dòng)，活動(dòng)設(shè)置了一段時(shí)間的推廣期，由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大，吸引越來越多的人開始使用掃碼支付.某線路公交車隊(duì)統(tǒng)計(jì)了活動(dòng)剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次，用表示活動(dòng)推出的天數(shù)，表示每天使用掃碼支付的人次(單位：十人次)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示：表：根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點(diǎn)圖.1234567611213466101196(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，在推廣期內(nèi)與(，均為大于零的常數(shù))哪一個(gè)適宜作為掃碼支付的人次關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)的回歸方程類型？(給出判斷，不必說明理由)；(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測活動(dòng)推出第8天使用掃碼支付的人次；(3)推廣期結(jié)束后，車隊(duì)對(duì)乘客的支付方式進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：支付方式現(xiàn)金乘車卡掃碼比例10%60%30%車隊(duì)為緩解周邊居民出行壓力，以80萬元的單價(jià)購進(jìn)了一批新車，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)可知，每輛車每個(gè)月的運(yùn)營成本約為0.66萬元.已知該線路公交車票價(jià)為2元，使用現(xiàn)金支付的乘客無優(yōu)惠，使用乘車卡支付的乘客享受8折優(yōu)惠，掃碼支付的乘客隨機(jī)優(yōu)惠，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果得知，使用掃碼支付的乘客中有的概率享受7折優(yōu)惠，有的概率享受8折優(yōu)惠，有的概率享受9折優(yōu)惠，預(yù)計(jì)該車隊(duì)每輛車每個(gè)月有1萬人次乘車，根據(jù)所給數(shù)據(jù)以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，在不考慮其它因素的條件下，按照上述收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，假設(shè)這批車需要年才能開始盈利，求的值.參考數(shù)據(jù)：其中，參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，.661.542.71150.123.47【答案】(1)；(2)，347；(3)7.【解析】(1)因?yàn)樯Ⅻc(diǎn)近似在指數(shù)型函數(shù)的圖象上，所以適宜作為掃碼支付的人數(shù)關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)的回歸方程類型：(2)∵，兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)得：；設(shè)，∴，∵，，，∴，把樣本中心點(diǎn)代入，得：，∴，∴，∴關(guān)于的回歸方程式：；把代入上式：∴；活動(dòng)推出第8天使用掃碼支付的人次為347；(3)記一名乘客乘車支付的費(fèi)用為，則的取值可能為：2，1.8，1.6，1.4；；；；所以，一名乘客一次乘車的平均費(fèi)用為：(元)，由題意可知：，，所以，取7；估計(jì)這批車大概需要7年才能開始盈利.3．(2024·全國高三專題練習(xí))某公司研發(fā)了一種幫助家長解決孩子早教問題的萌寵機(jī)器人.萌寵機(jī)器人語音功能讓它就像孩子的小伙伴一樣和孩子交流，記憶