廣東省江門市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題（一）

普通高中高二調(diào)研測試（一）數(shù)學(xué)一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.過點(diǎn)與平行的直線方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線與平行設(shè)出直線方程，根據(jù)過點(diǎn)即可求解.【解析】設(shè)直線方程為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，所以直線方程為.故選C.2.方程表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由計(jì)算即可得.【解析】，即.故選：D.3.若，則（）A. B. C.8 D.10【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及數(shù)量積的坐標(biāo)公式計(jì)算即可.【解析】由，得，所以.故選：A.4.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為-196，則的值為（）A.13 B.14 C.15 D.16【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求解.【解析】依題意，等差數(shù)列首項(xiàng)為-1，公差為-2，由前項(xiàng)和，解得.故選：B5.兩條直線和分別與拋物線相交于不同于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)時(shí)，則為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】將直線與拋物線聯(lián)立求出，的坐標(biāo)，由直線過拋物線的焦點(diǎn)，可得橫坐標(biāo)等于焦點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出的值，進(jìn)而可求得.【解析】由題意，聯(lián)立，解得：或，則，同理可得：，所以，拋物線C:焦點(diǎn)坐標(biāo)，直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且軸，所以，解得，解得：，所以.故選：D.6.阿基米德（公元前287年-公元前212年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，面積為，且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.或C. D.或【答案】B【解析】【分析】分焦點(diǎn)在x軸和焦點(diǎn)在y軸兩種情況設(shè)橢圓的方程，根據(jù)題意得到和，求得的值，即可得解.【解析】由題意，當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，可設(shè)橢圓的方程為，因?yàn)闄E圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，可得，又由，即①，又因?yàn)闄E圓的面積為，可得，即②，聯(lián)立①②，解答，所以橢圓的方程為；當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，可設(shè)橢圓的方程為，為橢圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，可得，又由，即③，又因?yàn)闄E圓的面積為，可得，即④，聯(lián)立①②，解答，所以橢圓的方程為；故選：B.7.設(shè)雙曲線的離心率為，雙曲線漸近線的斜率的絕對值小于，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，結(jié)合，求的取值范圍.【解析】依題意，有，即，由，得，所以，即的取值范圍是.故選：B8.已知為正方形的中心，分別為的中點(diǎn)，若將正方形沿對角線翻折，使得二面角的大小為，則此時(shí)的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由二面角的概念，結(jié)合空間向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求得結(jié)果.【解析】如圖所示，易知，所以結(jié)合已知有，易知，設(shè)正方形邊長為2，所以，,故選：A.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則（）A.直線的傾斜角不存在B.直線與直線的傾斜角相等C.直線與直線的斜率之和為0D.點(diǎn)到直線距離為【答案】CD【解析】【分析】利用傾斜角與斜率的關(guān)系、斜率公式、直線的方程和點(diǎn)到直線的距離公式，依次計(jì)算即可得出結(jié)果.【解析】已知點(diǎn)，可知直線的斜率不存在，傾斜角為，A錯(cuò)誤；由已知可求得，，,直線與直線的傾斜角不相等，所以B錯(cuò)誤；，所以C正確；因?yàn)榭傻弥本€的方程為：，即，到直線的距離為，所以D正確.故選：CD10.如圖，在四面體中，分別是的中點(diǎn)，是和的交點(diǎn)，為空間中任意一點(diǎn)，則（）A.四點(diǎn)共面B.C.為直線的方向向量D.【答案】AC【解析】【分析】證明四邊形是平行四邊形即可判斷A和B；利用方向向量的概念即可判斷C；利用向量加法運(yùn)算計(jì)算判斷D作答.【解析】在四面體中，，，，分別是，，，的中點(diǎn)，則，，于是得四邊形是平行四邊形，故，，，四點(diǎn)共面，即A正確因平行四邊形兩條對角線不一定垂直，即不一定垂直，則不一定成立，B不正確；因，，則為直線的方向向量，C正確；平行四邊形中，是和的交點(diǎn)，則是中點(diǎn)，對空間任意一點(diǎn)，則，D不正確.故選：AC.11.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，則（）A.B.為遞減數(shù)列C.若，則，且D.當(dāng)或時(shí)，取得最大值【答案】ABD【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可得答案.【解析】由題意得，解得，故A正確；，故為遞減數(shù)列，即B正確；，解得且，故C錯(cuò)誤；由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：的圖象開口向下且關(guān)于直線對稱，由于，所以當(dāng)或時(shí)，取最大值，故D正確；故選：ABD.12.已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線，過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，則（）A.的面積的最大值為2 B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】設(shè)直線，聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達(dá)定理，依次判斷判斷各選項(xiàng)即可求得答案.【解析】設(shè)直線，由得：.選項(xiàng)A：，應(yīng)是最小值為2，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：，故B正確；選項(xiàng)C：，故C正確；選項(xiàng)D：由，，，得：，，，故D正確.故選：BCD三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.直線被圓截得的弦長為__________.【答案】2【解析】【分析】求出圓心到直線的距離，由勾股定理計(jì)算弦長.【解析】直線，圓心為，它到已知直線的距離為，圓半徑為，所以弦長為.故答案為：14.寫出一個(gè)與雙曲線有相同漸近線，且焦點(diǎn)在軸上的雙曲線方程為__________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】設(shè)所求雙曲線的方程為，再根據(jù)焦點(diǎn)在軸上，可得，即可得解.【解析】設(shè)所求雙曲線方程為，因?yàn)樗箅p曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以，則可取，所以所求雙曲線的方程為.故答案為：.（答案不唯一）15.對于等差數(shù)列和等比數(shù)列，我國古代很早就有研究成果，北宋大科學(xué)家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)的“隙積術(shù)”，就是關(guān)于高階等差級數(shù)求和的問題.現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有2個(gè)貨物，第二層比第一層多3個(gè)，第三層比第二層多4個(gè)，以此類推，記第層貨物的個(gè)數(shù)為，則數(shù)列的前項(xiàng)和__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件寫出遞推關(guān)系式，然后根據(jù)累加法求解出的通項(xiàng)公式，化簡為，再采用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求和可得結(jié)果.【解析】由題意可知：，，所以，所以，所以，當(dāng)時(shí)，滿足的情況，所以；因?yàn)?，所以，故答案為?16.如圖，已知正三棱柱的所有棱長均為1，動(dòng)點(diǎn)在線段上，則面積的最小值為__________.【答案】##【解析】【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出點(diǎn)到直線的距離的最小值，即可得解.【解析】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，因動(dòng)點(diǎn)在線段上，則令，即有點(diǎn)，所以，則，從而，因此點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以線段上的動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離的最小值為，又因?yàn)?，所以面積的最小值.【小結(jié)】關(guān)鍵點(diǎn)小結(jié)：求出點(diǎn)到直線的距離的最小值是解決本題的關(guān)鍵.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列的公比為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若為數(shù)列的前項(xiàng)和，求.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）設(shè)的公差為，根據(jù)條件列式運(yùn)算求得，，求得通項(xiàng)公式；（2）由（1）代入可得數(shù)列是等比數(shù)列，利用前n項(xiàng)和公式求解.【小問1解析】設(shè)的公差為，由，得，又，得，聯(lián)立解得，或，因?yàn)?，故舍去，所以?【小問2解析】由（1）有，因?yàn)?，所以?shù)列是以首項(xiàng)為4，公比為的等比數(shù)列，.18.如圖，已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，.（1）求證：；（2）若，求異面直線與所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）可以借助線面垂直性質(zhì)定理得到線線垂直，亦可通過空間向量的數(shù)量積為零證明垂直；（2）可建立設(shè)當(dāng)空間直角坐標(biāo)系后借助向量法求夾角，亦可借助基底法求夾角.【小問1解析】方法一：由題意知平面，又因?yàn)槠矫妫?，由已知有，且和為平面?nèi)兩相交直線，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以；方法二：因?yàn)槠矫?，平面，所以，，因?yàn)?，所以，所以，，即；【小?解析】方法一：由題意知平面，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為x軸?y軸?z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，，則，，，，，故，，設(shè)異面直線與所成角為，，故異面直線與所成夾角的余弦值為；另外一種建系方式：由題意知平面，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為x軸?y軸?z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，，則，，，，，故，，設(shè)異面直線與所成角為，，故異面直線與所成夾角的余弦值為；方法二：以為基底，不妨令，，，所以，，，設(shè)求異面直線與所成角為，，故異面直線與所成夾角的余弦值為.19.已知?jiǎng)狱c(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù)，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用題中距離之比列出關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的方程即可求解；（2）聯(lián)立直線與曲線化簡可得，根據(jù)方程有一個(gè)解，計(jì)算即可得出結(jié)果.【小問1解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由題意有即同時(shí)平方，有整理得：所以曲線的方程為【小問2解析】聯(lián)立方程消去得（*）①當(dāng)即時(shí)，方程（*）有1個(gè)根，符合題意.②當(dāng)即時(shí)，因?yàn)橹本€與曲線有1個(gè)公共點(diǎn)故解得：綜上所述，當(dāng)時(shí)，直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn).20.如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是菱形，是正三角形，是的中點(diǎn)，（1）證明：；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，通過證明平面PEF，即可；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸?軸?軸，通過面面夾角余弦值的向量表達(dá)公式，進(jìn)行求解即可.【小問1解析】證明：取的中點(diǎn)，連接因?yàn)槭钦切?，所以，又平面平面ABCD，平面平面，平面，所以平面ABCD，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以，因?yàn)槭茿B的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，所以，所以，因?yàn)?，平面，所以平面PEF，因?yàn)槠矫鍼EF，所以，小問2解析】連接，因?yàn)?，所以是正三角形，所以，以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸?軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，得，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，得，設(shè)面與面夾角為，，所以面與面夾角的余弦值為.21.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解法一，由已知條件得，求得公比，代回求得得解；解法二，由與的關(guān)系將條件式轉(zhuǎn)化得，求得公比，得解；（2）由（1）將代入運(yùn)算得，代入得，利用錯(cuò)位相減法求解.【小問1解析】解法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，，時(shí)，，時(shí)，.，，，，解法二：，，兩式相減得：，即，為等比數(shù)列，設(shè)公比為，則，，時(shí)，，即，，，.【小問2解析】由（1）得，由題得，，，，兩式相減得，所以.22.已知橢圓左?右焦點(diǎn)分別為，左?右頂點(diǎn)分別為，過右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于（異于）兩點(diǎn).（1）若直線的斜率為1，求；（2）若直線與直線相交于