第4章計(jì)算電磁學(xué)

第4章積分方程法4.1引言積分方程法的發(fā)展：

1）是由于微分方程法對(duì)某些問題的解，需要計(jì)算機(jī)內(nèi)存很多，計(jì)算精度難于提高，如對(duì)三維場的計(jì)算，節(jié)點(diǎn)劇增，需要尋求更適當(dāng)方法計(jì)算；

2）在此同時(shí)，一些從事解析方法和均勻磁化法磁場計(jì)算的研究人員從微分方程法的離散概念中吸取有用的東西，將源區(qū)進(jìn)行離散，發(fā)展成積分方程法，代表程序有GFUN（可計(jì)算二維、三維場）、BIM等程序。第4章積分方程法積分方程法泊松方程的積分形式是由泊松方程的微分形式導(dǎo)出來的，又可由積分形式的Maxwell方程導(dǎo)出，可以證明兩者是等價(jià)的。本章只做概念性介紹。積分方程法的應(yīng)用：求解區(qū)域內(nèi)介質(zhì)數(shù)目少，交界面形狀不特別復(fù)雜的情況。不需要對(duì)全部求解區(qū)域劃分網(wǎng)格，只需對(duì)有源區(qū)和感應(yīng)(或極化)產(chǎn)生的“第二次源”區(qū)劃分網(wǎng)格，節(jié)點(diǎn)數(shù)大大減少，系數(shù)矩陣階數(shù)比有限元(或差分法)的系數(shù)陣階數(shù)低得多，在求解時(shí)計(jì)算時(shí)間短、費(fèi)用低。4.2積分方程法的物理概念和基本公式積分方程法從宏觀的角度來描述場，場區(qū)中每點(diǎn)的值僅取決于所有場源對(duì)它的影響。場點(diǎn)和源點(diǎn)的聯(lián)系是通過畢奧－薩伐定律實(shí)現(xiàn)。由于離散只在源區(qū)進(jìn)行，加上恒定磁場問題的電流分布是已知的，因此實(shí)際上離散只在非線性鐵區(qū)內(nèi)進(jìn)行，這使得數(shù)據(jù)輸入和網(wǎng)格剖分大為簡化。第4章積分方程法磁場積分方程法主要采取的方法：（1）磁化值直接解法；（2）標(biāo)量磁位的邊界積分法——邊界元法；（3）等值面電荷積分方程法。第4章積分方程法磁化值直接解法：（1）積分方程法的物理概念：積分方程法解磁場問題的基本思想是認(rèn)為在空間任一點(diǎn)的場是由電流源所產(chǎn)生的磁場和介質(zhì)被磁化所產(chǎn)生的磁場迭加而成：下標(biāo)為m的量表示由磁介質(zhì)磁化所產(chǎn)生的磁場。c表示電流源存在所產(chǎn)生的磁場。介質(zhì)在空間各點(diǎn)所產(chǎn)生的場強(qiáng)的大小不僅取決于它和場點(diǎn)間的幾何距離，而且與介質(zhì)的磁化強(qiáng)度有關(guān)，磁化強(qiáng)度除了與本身材料有關(guān)以外，還與周圍電流源及介質(zhì)產(chǎn)生的場有關(guān)，相互影響，最后趨于穩(wěn)定，其關(guān)系是一個(gè)較復(fù)雜的非線性關(guān)系。第4章積分方程法（2）基本公式：積分方程法求場的基本思想和物理概念，關(guān)鍵問題是求出產(chǎn)生磁場的源在所求場點(diǎn)的場強(qiáng)表達(dá)式。a）電流源c

在空間r

處所產(chǎn)生的磁場根據(jù)畢奧－薩伐定律，對(duì)二維平面對(duì)稱場和軸對(duì)稱場，講義中已經(jīng)給出了推導(dǎo)。因此導(dǎo)線電流在P點(diǎn)產(chǎn)生的場量可認(rèn)為是已知量。第4章積分方程法畢奧－薩伐定律如何得出？泊松方程的特解為：r

為場點(diǎn)坐標(biāo)，r’為源點(diǎn)坐標(biāo)；場點(diǎn)和源點(diǎn)之間的矩離R=r-r′，其方向由源點(diǎn)指向場點(diǎn)。b）磁介質(zhì)在場點(diǎn)所產(chǎn)生的磁場第4章積分方程法此公式利用矢量磁位與磁矩概念可以導(dǎo)出，推導(dǎo)過程略。利用此公式可以求出磁介質(zhì)在空間所產(chǎn)生的磁場分布，但須先知道磁化強(qiáng)度M。實(shí)際上一般M

是未知的，因此只有采用先假設(shè)的方法，把磁介質(zhì)剖分為許多單元。I.假設(shè)磁化體單元a的磁化強(qiáng)度為Ma，并認(rèn)為是一個(gè)常數(shù)，同樣b單元中磁化強(qiáng)度為Mb，也為常數(shù)。II.取源點(diǎn)為b，場點(diǎn)為a，在上式中，單元內(nèi)M

看成常數(shù)，可以從積分中提出。剩下的積分參數(shù)只與單元幾何形狀、場點(diǎn)位置有關(guān)，在確定位置情況下，積分為常數(shù)，用Cab

表示：第4章積分方程法III.對(duì)所有的場源寫出聯(lián)立方程組：又（在各向同性媒質(zhì)中）代入上式可得整理可得得到一個(gè)具有三個(gè)方向分量的聯(lián)立方程組，系數(shù)C是3×3階張量。第4章積分方程法若磁化率和是已知的，可以寫成六個(gè)線性方程，有六個(gè)未知數(shù)：Hax，Hay，Haz，Hbx，Hby，Hbz可求出。但實(shí)際上和不是常數(shù)，要經(jīng)過反復(fù)迭代進(jìn)行求解。IV.計(jì)算框圖：否參數(shù)輸入，假定值形成系數(shù)計(jì)算電流場量是解方程求H查B～H

曲線求計(jì)算M，H輸出第4章積分方程法積分方程法用于求解平行平面場、軸向場情況可以自學(xué)，加深對(duì)積分方程法的理解。（3）積分方程法的特點(diǎn)：

1)離散區(qū)域：只需對(duì)電流源和磁性介質(zhì)進(jìn)行離散，并且是分別進(jìn)行考慮，因此可使電流源和磁性介質(zhì)對(duì)稱性充分得到利用；

2)不需要專門對(duì)邊界條件進(jìn)行討論：在計(jì)算中考慮到了空間所有場源的作用，與外界無能量交換，可以不考慮邊界條件；

3)由積分方程法得到的方程組其系數(shù)矩陣是滿矩陣，離散單元數(shù)受到限制，故此法對(duì)有限小的無源區(qū)的封閉邊界問題或飽和情況較復(fù)雜的鐵區(qū)不適用。在使用時(shí)要注意各種方法的適用范圍；

4)離散鐵區(qū)與場點(diǎn)的耦合系數(shù)都是以積分形式表示，在二維場是二重積分，三維場是三重積分，它們雖然可以用格林定理、高斯定理和橢圓函數(shù)等數(shù)學(xué)手段加以簡化，但簡化后的結(jié)果通常仍需要較復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算。在計(jì)算時(shí)仍需要較長的cpu

時(shí)間。第4章積分方程法4.6積分方程法與微分方程法（有限元及有限差分法）的比較積分法微分法基本原理Maxwell方程+媒質(zhì)特性方程同左處理問題方法從宏觀角度描述磁場特性研究場域內(nèi)各點(diǎn)的具體特點(diǎn)邊界條件不存在邊界條件需要處理邊界條件離散區(qū)域電流區(qū)和鐵區(qū)整個(gè)區(qū)域（包括邊界在內(nèi)）網(wǎng)格劃分有限多個(gè)單元較多，復(fù)雜，需自動(dòng)劃分第4章積分方程法積分法微分法方程組系數(shù)矩陣是滿秩矩陣系數(shù)矩陣是稀疏矩陣計(jì)算方法多用高斯消元法，計(jì)算cpu時(shí)間與(3N)3

成比例多用迭代法，計(jì)算cpu時(shí)間與(3N)2

成比例計(jì)算精度三維場可達(dá)百分之一二維場可達(dá)千分之一二維場可達(dá)萬分之一應(yīng)用范圍（1）大氣隙、開方式磁鐵；（2）永久磁鐵。（1）飽和差異大，間隙小的磁鐵；（2）具有比較規(guī)則的場；（3）計(jì)算邊界條件一定的場。第4章積分方程法邊界積分法是積分方程法求解靜磁場的另一種方法，它是利用標(biāo)量磁位進(jìn)行的。它能這樣做的基礎(chǔ)在于：邊界是屬于鐵區(qū)的一部分。在鐵區(qū)的傳導(dǎo)電流為0，磁場可用無旋場來處理，體積分利用高斯定理換成了面積分，三維問題變成二維問題，因而簡化了網(wǎng)格的復(fù)雜性，也加快了計(jì)算速度。磁通密度的積分方程磁性材料用磁化矢量表示其特性后，可用等效體電流和面電流來代替其作用。參考書：電機(jī)電磁場的分析與計(jì)算：TM301.3電磁場數(shù)值分析：O441.4第4章積分方程法4.5軸對(duì)稱靜電場計(jì)算的電荷密度法4.5.1概述電荷密度法從庫侖定律出發(fā)，最適用于開放性邊界的問題。與有限差分法、有限元法不同，電荷密度法只對(duì)邊界進(jìn)行離散化處理，并不在整個(gè)區(qū)域進(jìn)行剖分，所以又被稱為邊界元素法（BoundaryElementMethod）。電荷密度法求解一個(gè)三維區(qū)域的電磁場分布時(shí)，只對(duì)該區(qū)域的邊界面進(jìn)行剖分；對(duì)一個(gè)二維區(qū)域求解電磁場分布時(shí)，只對(duì)該區(qū)域的邊界線進(jìn)行剖分，這樣能降低方程維數(shù)，簡化問題。第4章積分方程法4.5.2電荷密度法計(jì)算靜電場的基本原理及公式根據(jù)庫侖定律，空間一點(diǎn)電荷q

在空間任一點(diǎn)P

處產(chǎn)生的電位為：庫侖定律不僅對(duì)點(diǎn)電荷適用，對(duì)線電荷、面電荷和體電荷也均適用:在空間里，若同時(shí)存在N

個(gè)充滿電荷的各種源，它們?cè)诳臻g任意一點(diǎn)P

處產(chǎn)生的電位，應(yīng)該是各個(gè)子源在P

點(diǎn)產(chǎn)生的電位之和，即只要知道空間電荷分布，就可以利用庫侖定律和場的疊加原理，求出空間電位分布，而且這種分布是唯一的。第4章積分方程法第4章積分方程法設(shè)環(huán)i上電荷在環(huán)j

上產(chǎn)生電位為所有子環(huán)在j環(huán)上產(chǎn)生的電位為式中N為剖分總環(huán)數(shù)。若令A(yù)ji

是僅與電極結(jié)構(gòu)及位置有關(guān)的幾何參數(shù)（求Aji歸結(jié)為橢圓積分），則有(4.83)第4章積分方程法要求出每個(gè)環(huán)上電位，得到關(guān)于的線性方程組：解這個(gè)方程組則可求出每個(gè)環(huán)上電荷密度的分布，下步就可求出空間任意點(diǎn)的電位分布?？捎煞e分形式的泊松方程求解。4.5.4奇異點(diǎn)的處理在系數(shù)矩陣計(jì)算中，會(huì)出現(xiàn)奇異點(diǎn)，在這些點(diǎn)處，被積函數(shù)出現(xiàn)斷點(diǎn)。1）當(dāng)ri

靠近電極端面時(shí)，曲率半徑小的地方電荷分布多。當(dāng)ri

靠近電極端面時(shí)，處理方法：①采用不均勻劃分子區(qū)域辦法。②仍采用均勻劃分區(qū)域，但區(qū)域里電荷密度不再是常量，可看作是連續(xù)變化函數(shù)。第4章積分方程法2）第二類奇異點(diǎn)發(fā)生在

i=j

情況，即計(jì)算小環(huán)本身處電荷對(duì)電位分布的貢獻(xiàn)。在求系數(shù)矩陣中Aii

時(shí)，要作特殊處理。在參考文獻(xiàn)4中，求解

Aii歸結(jié)為一個(gè)旁義積分，具體計(jì)算略去，旁義積分收斂為Wi

表示環(huán)寬度，ri

為環(huán)中點(diǎn)半徑。

計(jì)算中得到，當(dāng)電極表面上場點(diǎn)與環(huán)中點(diǎn)距離小于該環(huán)寬0.2時(shí)，Aii計(jì)算必須采用上式；對(duì)于Wi/ri＜0.2時(shí)，上式忽略

二次項(xiàng)式，可得到小于0.01%的精度。求出后，只要計(jì)算任一點(diǎn)j

處，N

個(gè)Aii

的值，由式(4.83)可求出該點(diǎn)電位分布，進(jìn)一步可計(jì)算粒子軌跡及各種光學(xué)參量。第4章積分方程法電荷密度法程序計(jì)算框圖：輸入電極尺寸、電極電壓及端分環(huán)數(shù)輸入計(jì)算光學(xué)參量起始點(diǎn)、步長及電壓比分環(huán)輸出分環(huán)情況計(jì)算Aji

矩陣高斯消元法輸出源電荷及電位計(jì)算光學(xué)參量及像差計(jì)算軸上電位并輸出軸上電位分布第4章積分方程法4.5.6主要特點(diǎn)可計(jì)算無界開域