2024-2025學(xué)年廣東省廣州某中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年廣東省廣州一中高二(上)期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.直線x+道y+a=0(a為實(shí)常數(shù))的傾斜角的大小是()

A.30°B.60°C,120°D.150°

2.已知向量方在基底位疏)下的坐標(biāo)為(8,6,-4),其中Z=；+j,b=j+k,c=1+fc,則向量方在基底而，初

下的坐標(biāo)為()

A.(4,14,2)B.(10,12,14)C.(14,10,12)D.(4,2,3)

3.如圖在四面體。ABC中，M,N分別在棱04BC上且滿足麗=2近5,Q

麗=2祀，點(diǎn)G是線段MN的中點(diǎn)，用向量方?，OB,而表示向量而應(yīng)為//；\

0"

A.歷=9+癖+式MA：\

B.歷=抄+初+/.4((一1三二

C.OG=^OA+^OB+^OC

D.OG=joA++|dC

4.已知直線小2x+(A+l)y-2=0,I2：Ax+y-1=0,若，i〃，2，貝!M的值是()

A.-2B.-C.-2或1D.1

5.已知向量之=(1,1,0),b=(-1,0,1),且左2+3與辦互相垂直，則k=()

A.|B.|C.2D.-1

6.我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶

數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)(注：素?cái)?shù)又叫質(zhì)數(shù))的和"，如30=7+23.在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不

同的數(shù)，其和等于30的概率是()

1111

A—R—f"—D—

1214-1518

7.對(duì)于任意實(shí)數(shù)k,直線(k+2)x—(l+k)y—2=0與點(diǎn)(―2,—2)的距離為d,貝Ud的取值范圍是()

A.[0,4A/2]B.(0,4曲C.[0,溶D.(0琴]

8.甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：

累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰；比賽前抽簽決定首次比賽的兩人，另一人輪空；每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一

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場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)比賽輪空，直至有一人被淘汰：當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一

人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.

經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都是今則甲最終獲勝的概率是()

—3—Q—[)—

1616832

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.現(xiàn)有4B兩個(gè)相同的箱子，其中均有除了顏色不同外其他均相同的紅白小球各3個(gè)，先從兩個(gè)箱子中各

取出一個(gè)小球a,b,再將兩箱子混合后取出一個(gè)小球c,事件M：“小球a為紅色”，事件N：“小球b為白

色”，事件P：“小球c為紅色”，則下列說法錯(cuò)誤的有()

A.M發(fā)生的概率為寺B.M與N互斥

C.M與N相互獨(dú)立D.P發(fā)生的概率為寺

10.設(shè)4B為兩個(gè)互斥的事件，且PQ4)>0,P(B)>0,則下列各式正確的是()

A.PQ4B)=0B.PQ4B)=P(4)P(B)

C.P(AUB)=P(4)D,PQ4UB)=P(X)+P(B)

11.如圖，在直三棱柱ABC-ABiCi中，△ABC是直角三角形，且

力。=8。=1,441=8萬為8忑的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是棱415上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)「是線段

4道上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()

A.異面直線力B與BiC所成角的余弦值是*

B.三棱柱力BC-&BiCi的外接球的表面積是20兀

C.當(dāng)點(diǎn)P是線段4聲的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐P-8停尸的體積是害

D.PE+PF的最小值是2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.以點(diǎn)X(3,l)為圓心，且與x軸相切的圓的方程是

13.已知兩點(diǎn)2(1,1,0),C(0,0,l),B(0,1,1)是直線AC外一點(diǎn)，則點(diǎn)B到直線4C的距離—

14.如圖，正方形4BCD和正方形4BEF的邊長都是1,且它們所在的平面所成的二

面角。一力B—F的大小是60。，M,N分別是AC,BF上的動(dòng)點(diǎn)，且BN=2AM,則MN

的最小值是.

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四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)4(—5,0),8(3,—3),C(0,2).

(1)求BC邊的中垂線所在直線的方程；

⑵求△ABC的面積.

16.(本小題15分)

如圖，在四棱錐。一月BCD中，底面4BCD是邊長為2的正方形，。4，底面48。。，。4=2,M為。4的中

點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，解答以下問題:

(1)證明：直線MN〃平面OCD；

⑵求點(diǎn)N到平面OCD的距離.

17.(本小題15分)

甲、乙、丙三人組成一組，參加一個(gè)闖關(guān)游戲團(tuán)體賽.三人各自獨(dú)立闖關(guān)，其中甲闖關(guān)成功的概率為今

甲、乙都闖關(guān)成功的概率為之乙、丙都闖關(guān)成功的概率為*?每人闖關(guān)成功記2分，三人得分之和記為小組

OD

團(tuán)體總分.

(/)求乙、丙各自闖關(guān)成功的概率；

(〃)求團(tuán)體總分為4分的概率；

(/〃)若團(tuán)體總分不小于4分，則小組可參加復(fù)賽.求該小組參加復(fù)賽的概率.

18.(本小題17分)

在RtAABC中，NC為直角，AC=2BC=6,點(diǎn)、D,E分別在邊力C和上，S.DE//BC,CD=2,如圖甲,

將△4DE沿DE折起到A&DE的位置，使4停1C。，點(diǎn)M在棱&。上，如圖乙.

(1)求證：ArC1平面8CDE；

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(2)若M是&D的中點(diǎn)，求CM與平面&BE所成角的大??；

(3)若平面BCM與平面&BE的夾角的余弦值為曙，求磊的值.

19.(本小題17分)

已知兩個(gè)非零向量五b,在空間任取一點(diǎn)0,作萬？=出~0B=b,則乙4。8叫做向量五與右的夾角，記作〈蔡

).定義,與各的“向量積"為：是一個(gè)向量，它與向量3都垂直，它的模|ax=|a|?網(wǎng)sin(a,6).如

圖，在正四棱錐S—4BCD中，AB=2,且|前X而|=2".

(1)求正四棱錐S-ABCD的體積V；

(2)若P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)，且SD1平面P4C,求平面P4C與平面4BCD夾角的余弦值；

⑶若點(diǎn)E是側(cè)棱SC(包含端點(diǎn))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線DE與平面BCE所成角最大時(shí)，求SE：EC的值.

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參考答案

1.D

2.2

3.4

4.2

5.C

6.C

7.4

8.D

9.ABD

IQ.ACD

11.7IC

12.(x—3)2+(y—1尸=1

13.*

14.|

15.解：(I)：B(3,-3),C(0,2)

???k=二鏟=BC中點(diǎn)坐標(biāo)日一5.

BCU-ao乙乙

BC邊的中垂線所在直線的方程：y+齊|(x—|),即3x—5y—7=0.

故8c邊的中垂線所在直線的方程為：3x-5y-7-0.

(2)8(3,-3),kBC=-|>

???BC邊所在直線方程為：y+3=-|(%-3),即5x+3y—6=0.

.??點(diǎn)4(—5,0)到直線BC的距離為：d=|5X(~S^y—=

???8(3,-3),C(0,2),

\BC\—^/(3—0)2+(—3—2)2=^/34,

???SA4BC=NV^X^5=?,

故求△ABC的面積為號(hào).

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16.解：（1）證明：取。B的中點(diǎn)E,連接ME,NE

■■MEIIAB,AB11CD,

?-?MEI/CD,

NE//OC,MECEN=E,OCCCD=C,

平面MNE〃平面。CD,

???MN〃平面OCD.

（2）-.■N為BC的中點(diǎn)，

點(diǎn)N到平面。CD的距離是點(diǎn)B到平面。CD的距離的一半，

而點(diǎn)B到平面OCD的距離，即為4點(diǎn)到平面。CD距離.

作AP1CD于P,連接0P,過點(diǎn)2作AQ10P于點(diǎn)Q,

???AP1CD,0A1CD,

???CDJ.平面。4P,AQ1CD,

???AQ1OP,AQ1平面。CD,

?.?底面ABC。是邊長為2的菱形，1底面力BCD,0A=2,

M為。力的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，ZXSC=60°,

PD==1,AP=-\/4—1=避,

線段AQ的長就是點(diǎn)4到平面OC。的距離，

OP=yj0D2-DP2=y/OA2+AD2-DP2=0+4—1=",

.An—04.4P—2xW2、正

■-AQa--『

即B到平面。CD的距離為啜，

故點(diǎn)N到平面。CD的距離是是』

17.解：（/）三人各自獨(dú)立闖關(guān)，其中甲闖關(guān)成功的概率為今

甲、乙都闖關(guān)成功的概率為《，乙、丙都闖關(guān)成功的概率為卷

OD

設(shè)乙闖關(guān)成功的概率為P1，丙闖關(guān)成功的概率為P2

"乙丙獨(dú)立闖關(guān)，

函=工

6

根據(jù)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式得：［D1

Pl?「2=g-

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解得P1=5P2=|.

即乙闖關(guān)成功的概率為右丙闖關(guān)成功的概率為康

(〃)團(tuán)體總分為4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人過關(guān)，而另外一人沒過關(guān).

設(shè)“團(tuán)體總分為4分”為事件力，

=(1-1)x|x|+1x(1-|)x|+1x|x(1-|)=

即團(tuán)體總分為4分的概率為余

(〃/)團(tuán)體總分不小于4分，即團(tuán)體總分為4分或6分，

設(shè)“團(tuán)體總分不小于4分”為事件B,

由⑺知團(tuán)體總分為4分的概率為奈

團(tuán)體總分為6分，即3人都闖關(guān)成功的概率為《x9x|=2.

所以參加復(fù)賽的概率為P(B)=磊+表=系

即該小組參加復(fù)賽的概率為余

18.解：(1)證明：???在圖甲中，AC1BC,DEI/BC,DE1AC,

???在圖乙中，DE14i。，DE1CD,

又41。ClCD=D,ArD,CDu平面力道。，DE_L平面&CD,

???&Cu平面力iCD,DELA-LC,

又&C1CD,CDCDE=D,CD,DEu平面BCDE,

■■.AiC_L平面BCOE.

(2)由(1)可如圖建立空間直角坐標(biāo)系，貝九

C(0,0,0),0(2,0,0),￡(2,2,0),5(0,3,0)41(0,0,273),M(l,0,73),

.?.奇=(1,0,避)，布=(0,3,—2避)，布=(2,2,—24)，

設(shè)平面&BE的法向量為亢=(x,y,z),

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制,1碗皿伊?碩=3y-24z=0,

則b1硬，貝噴-A^=2x+2y-2鄧z=0,

令y=2,得/=(1,2,平),設(shè)CM與平面&BE所成角的大小為0,

e一—In-CM|4[?

則sin。=|cos<n，cM>I=_.=2/2x2=4，

|n||CM|2*X22

.n——

??"一4'

即CM與平面&BE所成角的大小為今

(3)CB=(0,3,0),砸=(2,0,—28)，帚=(0,0,28)，.

設(shè)^^=4碩<1,則屈=兩+；1^=兩+/1砸=(2；1,0,2御(1—4)),

設(shè)平面BCM的法向量為帚=(a,6,c),

則能1而，-CM=2Aa+2A/3(1-A)C=0,

令c=2,得而=(避(4—1),0,2),

由題知Icos>I-麻,司_響24-1)|_742

由恒知|cos<run>|-伍而—2招xj3(E+，2一五'

解得44或I，

???篝的值為抻1?

19.解：(1)設(shè)4C和BD相交于點(diǎn)0,取4。的中點(diǎn)為K,連接K。，SK,貝”K1AD,

因?yàn)?D〃BC,所以前而的夾角即為前，。的夾角，

所以|前x~SD\=BC-SD-sin/SDK=2?SK=2j,

所以SK=j,

所以SO=32-。依=76,

故正四棱錐S-4BCD的體積了=|-4-76=^.

(2)以。為原點(diǎn)，。力，OB,OS所在直線分別為久軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則4(",0,0),5(0,72,0),C(-72,0,0),。(0,—也0),S(0,0,m)，

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因?yàn)镻在SD上，且SO1平面PAC,

所以平面P4C的一個(gè)法向量為罰=