2024-2025學(xué)年廣州市三校高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中聯(lián)考試卷及答案解析

2024-2025學(xué)年上學(xué)期期中三校聯(lián)考

高一數(shù)學(xué)

本試卷共4頁(yè)，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

A=<xEZJ\x-^,k€Z>,5=（x|x2-3x-4<0）

i.已知集合〔k+iJ，則zn5=（）

A.{-1,1,2,4}B.{-4,-2,-1,1}A[-1,0）U（0,4]D.[-4,0）U（0,l]

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)列舉法求解集合和求解一元二次不等式的解法即可求解.

4

【詳解】x=——，

左+1

若要XEZ,

則需％+1——4,—2,—1,1,2,4,

所以解得x=-1,—2,—4,4,2」

所以2={-4,—2,—1,1,2,4},,

5={x|X?-3x-4W0）={x|（x-4）（x+1）<0}={x|-1VxV4}

所以NcB={-1,1,2,4}.

故選：A.

2.給出下列命題，其中是正確命題的是（）

A.兩個(gè)函數(shù)=g（x）=T表示的是同一函數(shù)

B.函數(shù)/（力=1的單調(diào)遞減區(qū)間是（一叫0）1^0,+8）

X

C.若函數(shù)/（X）的定義域?yàn)閇0,2],則函數(shù)/（2x）的定義域?yàn)閇0,1]

2,5

D.命題“Vxe[O,+”），/+i>°，，的否定是“女式一為⑼，x+i<0

【答案】C

【解析】

【分析】先看定義域，再看解析式判斷選項(xiàng)A；據(jù)減函數(shù)定義判斷選項(xiàng)B；根據(jù)抽象函數(shù)定義域，判斷選

項(xiàng)C；根據(jù)全稱量詞命題的否定形式判斷選項(xiàng)D.

【詳解】/（x）=Vx+1-yjx-l,x>1,=Vx2-l,xe（-co,-l]u[l,+co）,定義域不同，故A正

確；

函數(shù)〃X）=工的單調(diào)遞減區(qū)間是（7,0）和（0,+。），故B錯(cuò)誤；

因?yàn)楹瘮?shù)/（X）的定義域?yàn)閇0,2],

所以0WxW2,

所以0<2x<2,解得OWxWl,

所以函數(shù)〃2x）的定義域?yàn)閇0』，故C正確；

命題“\/xe[0,+”），￡+i>0”的否定是咱xe[0,+oo）,^2+1<0，?!故D錯(cuò)誤.

故選：C

3.近日，我國(guó)某生命科學(xué)研究所的生物研究小組成員通過大量的實(shí)驗(yàn)和數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)得出睡眠中的恒溫動(dòng)物的

k

脈搏率/（單位時(shí)間內(nèi)心跳的次數(shù)）與其自身體重少滿足/=）（6NO）的函數(shù)模型.已知一只恒溫動(dòng)物

肝

兔子的體重為2kg、脈搏率為205次.minT，若經(jīng)測(cè)量一匹馬的脈搏率為41次.minT，則這匹馬的體重為

（）

A.350kgB.450kgC.500kgD.250kg

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)已知函數(shù)模型代入%=2即可得出左=205x2：，最后再根據(jù)脈搏率得出體重.

【詳解】根據(jù)題意/="?（%"），當(dāng)%=2時(shí)，/=205,則左=205x2：，

當(dāng)/=41時(shí)，則/_205x23_5乂2：，故%=250.

41

故選：D.

4.已知。，仇ceR,那么下列命題中正確的是（）

ah

A.若。>6,則ac1>be2B.若*>—,貝?！?gt;b

C.若a>0,b>0,則生+D.若/>〃且">0,則!<』

abab

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)或通過舉反例，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析.

【詳解】A.若。>方，當(dāng)c=0時(shí)，ac2-be2>所以A不成立；

nb

B.若一>—，當(dāng)c<0時(shí)，則a<b,所以B不成立；

cc

C.若a>0,b>0,由

.+且“—6=^^+^^=（"一20所以C成立

abababab

a<011

D.若/〉〃且而>0,當(dāng)，八時(shí)，則a<6,所以一〉一，則D不成立.

0<0ab

故選：C.

5.關(guān)于8的不等式G2+6X+C<0的解集為（YO,-2）U（3,+CO）,則下列說法正確的個(gè)數(shù)是（）個(gè).

①。<0；②關(guān)于X的不等式歷c+c>0的解集為（，》,-6）；③a+6+c>0；④關(guān)于光的不等式

ex2-bx+a>0的解集為［一

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)解一元二次不等式的規(guī)則，得出。，“c三者之間的關(guān)系，進(jìn)而判斷每一個(gè)說法的正誤，得出本

題結(jié)果.

【詳解】解：因?yàn)殛P(guān)于X的不等式分+6x+c<0的解集為（-8,-2）。（3,+8）,

所以。<0且—2和3是°/+云+。=0的解，所以說法①正確；

由韋達(dá)定理得，\"，解得<b=-a

c=-6a

所以歷c+c>0即為—ax—6a>0,故x>—6,所以說法②錯(cuò)誤；

a+b+c=a—a—6a——6Q>0，所以說法③）正確；

不等式ex?一/+〃>0即為-6ax2+ax+a〉0,

即6x2-x-1>0?解得尤e]_00'_§]u[5'+Q0]，

所以不等式c/一布+a〉0的解集為[一叫°g，+"]，所以說法④正確.

故選：C.

6.已知函數(shù)/（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且在[0,1）為減函數(shù)，在[1,+co）為增函數(shù)，/（2）=0,則不等

式+-x）20的解集為（）

A.（-?,-l]U[l,3]B.[1,3]U{-1}

C.（-co,-l]U[l,+?）D.[-1,3]

【答案】B

【解析】

【分析】由題意先明確函數(shù)/（x）在R上的單調(diào)性和函數(shù)值情況并作出函數(shù)圖，接著分xe（-。，-1）、

x=-1和xe三種情況分析（x+l）/（l-x）即可求解.

【詳解】由題意可知〃0）=0,/（-2）=0,且〃x）在（一雙一1]上單調(diào)遞增，在（—1,0]上單調(diào)遞減，如

當(dāng)xe(-oo,—1)時(shí)，x+l<0,l-x>2,故此時(shí)+<0；

當(dāng)x=—1時(shí)，滿足+—x)20；

當(dāng)xe(—1,+e)時(shí)，x+l>0,l-x<2,

此時(shí)(x+l)/(l-x)20,則/(1一x)?0,所以—241—xW0nlWx43,

綜上,不等式(x+1)/(1-x"0的解集為[1,3]u{-l}.

故選：B.

7.已知g(x)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，g(x)=ax2+2,若對(duì)任意的1<再<x?<2,都有

g(xj-g(乙)〉—3成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

X]一馬

A.[0,+oo)B,-1,0C.D.+

【答案】D

【解析】

【分析】構(gòu)造〃(幻=。/+3%+2,根據(jù)其在工^(1,2)單調(diào)遞增，分類討論即可求解.

【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的都有g(shù)(.)g(X2)>_3成立,

X]-x2

所以8(國(guó))-8(X2)<-3匹+3%2,所以g(%i)+3石<g(%2)+3%2成立,

構(gòu)造A(x)=g(x)+3x=ax2+3x+2,

所以由上述過程可得7z(x)=a/+3%+2在x￡(1,2)單調(diào)遞增,

....33

(i)若a<0,則對(duì)稱軸x=----22,解得—V。<0；

02a4

(ii)若。=0,/z(x)=3x+2在x￡(l,2)單調(diào)遞增，滿足題意；

3

(iii)若Q>0,則對(duì)稱軸XQ=―――V1恒成立；

2a

「31

綜上，ae——+00,

L4,)

故選：D

8.若對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)無，都有/(日)=姑(力，則稱函數(shù)/(x)為“雙上倍函數(shù)”.已知函數(shù)/(x)是

定義在[1,4]上的“雙2倍函數(shù)”，且當(dāng)xe[l,2)時(shí)，/(x)=-4x2+12x-7,若函數(shù)y=/[/(%)]-口恰

有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(1,2)B,[1,4]C.(1,2)U(2,4]D.(1,4]

【答案】D

【解析】

【分析】先根據(jù)定義求出函數(shù)/(X)的解析式，并作出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象分析可得.

【詳解】由題知，對(duì)xe[l,4],都有〃2x)=2〃x)

X

設(shè)xe[2,4),則萬e[l,2)

所以/(x)=2/(|)=2[-4(1)2+12x|-7]=-2x2+12x-14

X/(2)=-2x22+12x2-14=2

所以/(4)=2/(2)=4

-4x2+12x-7,xe[1,2)

則/(x)=<—2x2+12x-14,xe[2,4)

4,x=4

因?yàn)楹瘮?shù)y=/[/(1)]-。恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，即方程/[f(x)]=。有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

記/(X)=加，則方程f{m)=a必有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根為,且/(%)=g和/(x)=m2都有兩個(gè)不同

實(shí)數(shù)根，

由圖可知，當(dāng)ae(l,4]時(shí)，有附，加2e(l，4]，且加尸加2，此時(shí)/(x)=㈣和/⑴=%都有兩個(gè)不同實(shí)

數(shù)根，滿足題意.

所以，實(shí)數(shù)。的取值范圍為。,4].

故選：D

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知實(shí)數(shù)。滿足a+qT=4,下列選項(xiàng)中正確的是()

鼠a—a~'=2也B./+丁=14=娓D-J+3=376

【答案】BCD

【解析】

【分析】運(yùn)用幕的乘方公式，完全平方公式以及立方和公式建立a+。7,a-a\J+/+a-2以

33

及+”之間的內(nèi)在聯(lián)系即可求得.

【詳解】因?yàn)閍+qT=4,所以a>0,

對(duì)于A選項(xiàng)，由(Q—a1)=〃2+〃2—2cl,ciI=(Q+Qi)—4=12,可得Q—QT=+2VS，故A項(xiàng)錯(cuò)

誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，。2+。-2=(。+。-1)2_2。.4一I=]6_2=14,故B項(xiàng)正確；

(J.I_]_

對(duì)于C選項(xiàng)，由Q'+QI=Q+QT+2Q，5=6,又Q>0,所以〃貝U

\7

a^-+a3=V6'故C項(xiàng)正確；

331111

對(duì)于D選項(xiàng)，因加+Q=(d)3+(J)3=(加+。力伍—1+。一1)=3瓜故D項(xiàng)正確.

故選：BCD.

10.已知x>0,y>0,且x+2y=l,則下列正確的有()

A,孫的最大值是‘B.2',+4)’的最小值是2?

8

C.嚏+j■的最大值是9D,4+J5]的最小值是J5

【答案】AB

【解析】

【分析】由基本不等式逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】因?yàn)閤>0,y>0,x+2y=l,

1=x+2j>2^2xy,xy<—,當(dāng)且僅當(dāng)x=—,y=工時(shí)，等號(hào)成立，A正確；

區(qū)824

2X+4y=2X+22y>2yj2x-22y=2yj2x+2y=272>當(dāng)且僅當(dāng)2"=2?、即x=g/=；時(shí)等號(hào)成立，B

正確.

即X=y=L時(shí)等

3

號(hào)成立，C錯(cuò)誤;

由2^^Wx+2y得(五十W2(x+2y)=2,所以G+二6,D錯(cuò)；

故選：AB.

(-yr\

11.定義在(O,+e)上的函數(shù)/(X)滿足下列條件：⑴f-=#(x)-v(j)；(2)當(dāng)x>l時(shí)，

W7

/(X)>0,則()

A./(1)=0B.當(dāng)0<x<l時(shí)，/(x)<0

C./(X2)^2/(X)D./(x)在(1,+s)上單調(diào)遞增

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用賦值法可以逐次判斷選項(xiàng)，A,取x=y=l可得；B,取x=l,再由條件當(dāng)x〉l時(shí)，

/(x)>0推理可得；對(duì)于C,雖能用基本不等式，但因/(x)在(0,+e)上的符號(hào)不定，得不出結(jié)論；對(duì)

于D,運(yùn)用單調(diào)性定義法推導(dǎo)即可.

/V、

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由/-=#(X)-V'(J)>取x=y=l,得，/(1)=/(1)-/(1)=0,故A項(xiàng)正

)

確；

1

對(duì)于B項(xiàng)，由/—=yf(x)-xf(y),取x=l,因/(1)=0,故/(?=—/(了)，

即/(-)=-f(x)，

X

當(dāng)0<x<l時(shí)，->1,則/(工)〉0,故—/(x)〉0,即/(x)<0,故B項(xiàng)正確；

XX

/、

對(duì)于C項(xiàng),由/—=vf(x)-xf(y),取X=/，可得，=

\y)

91

整理得，)=3+—)/(歹),

因y>0,v+->2,當(dāng)且僅當(dāng)歹=1時(shí)取等號(hào)，但因/(y)的符號(hào)不能確定，

故不一定有/(「)22/3),

即/(/)22/(均不一定成立，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D項(xiàng)，任取X[〉/〉1,則立〉1,依題意，/(—)>0,而/—=x2/(x1)-x1/(x2),

“2%21%2/

則》2/(再)一再/(9)>0,即如即g(X)=/^在(1,+?0上是增函數(shù).

X]x2X

于是,對(duì)于/(X)=xg(x),

任取西〉馬〉1，因g(xJ〉g(X2)〉0，則Xlg(xJ〉X2g(X2)，即/(西)〉/(》2)，

即函數(shù)/(X)在(1,+。)上單調(diào)遞增，故D項(xiàng)正確.

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

1,_____3(E

12.0.0643+V(-2)4-(7i+e)°-92x—

、3,

【答案】-

2

【解析】

【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)惠及根式的運(yùn)算法則計(jì)算即可.

」-(_iY

=[(0.4)3戶+22—1—K3)2px3-5

I)

=0.4^+4-1-33X3-2

=2+4-1-3

2

_5

~2'

故答案為：一

2

13.已知暴函數(shù)/(x)過點(diǎn)2,寧，若/(a+l)</(3—2a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

23

【答案】

352

【解析】

【分析】設(shè)出幕函數(shù)解析式>=無“代入點(diǎn)待定a,再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與定義域得不等式組求解即可得.

(亞)

【詳解】設(shè)累函數(shù)〃刈=/,因?yàn)楹瘮?shù)圖象過點(diǎn)2,3-

則2a=1=24，解得a=—J,

22

1

則/(x)=S,其定義域?yàn)?0,+動(dòng)，且/(x)在(0,+。)單調(diào)遞減.

所以由/(a+l)</(3—2a),

a+1>0

23

可得<3-2a>0解得不<a<二.

32

a+1>3—2a

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(II)

故答案為:

14.定義區(qū)間(a,b),[a,b),(a,b],[a,b]的長(zhǎng)度均為d=b-a,多個(gè)區(qū)間并集的長(zhǎng)度為各區(qū)間長(zhǎng)度之和，例

如,(1,2)山3,5)的長(zhǎng)度(1=(2-1)+(5-3)=3.用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，記{x}=x-[x],其中xeR.設(shè)

/(x)=[x].{x},g(x)=x-l,當(dāng)OWxW左時(shí),不等式/(x)<g(x)解集區(qū)間的長(zhǎng)度為5,則左的值為

【答案】7

【解析】

【詳解】f(x)=[x]-{x}=[x]-(x-[x])=[x]x-[x]2,g(x)=x-l,

f(x)<g(x)^>[x]x-[x]2<x-1即([x]-l)x〈[x]2-l,

當(dāng)xE[O,l)時(shí),[x]=0,上式可化為x>l,

???x€0；

當(dāng)xE[l,2)時(shí),[x]=l,上式可化為0>0,

.??xG0；

當(dāng)x￡[2,3)時(shí),[x]=2,[x]-l>0,上式可化為x<[x]+l=3,

???當(dāng)x@0,3)時(shí),不等式f(x)vg(x)解集區(qū)間的長(zhǎng)度為d=3-2=1；

同理可得，當(dāng)x[3,4)時(shí),不等式f(x)<g(x)解集區(qū)間的長(zhǎng)度為d=4-2=2；

???不等式f(x)vg(x)解集區(qū)間的長(zhǎng)度為5,

.,.k-2=5,

???k=7.

故答案為7.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知集合Z=<2*<321,5=1x|x2-4x+4-m2<0,meRj-.

(1)若加=3,求；

(2)若存在正實(shí)數(shù)m,使得“xe4”是“xe8”成立的充分不必要條件，求正實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】(I)zn8=[—1,5]

(2)[4,+00)

【解析】

【分析】(1)解指數(shù)不等式，一元二次不等式化簡(jiǎn)集合45,然后由交集定義計(jì)算；

(2)根據(jù)充分不必要條件的定義得不等式組求解；

【小問1詳解】

^=<x1<2"<32>=[-2,5]

因加>0,則8=卜卜一(2—機(jī))][x—(2+m)],meR}=[2-m,2+m].

當(dāng)加=3時(shí)，5=[-1,5],所以/C8=[—l,5].

【小問2詳解】

因“xwZ”是“xeB”成立的充分不必要條件，則A是B的真子集.

m>0m>0

所以12-mK一2nJm24nme[4,+00),經(jīng)檢驗(yàn)“=”滿足.

2+m>5[m>3

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是[4,+co).

16.設(shè)^=mx?+(1—加)x+機(jī)一2.

(1)若不等式y(tǒng)2-2對(duì)一切實(shí)數(shù)X恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(2)解關(guān)于x的不等式加V++eR).

【答案】(1)m>--,

3

(2)答案見解析.

【解析】

【分析】(1)由題設(shè)機(jī)V+0—機(jī))》+機(jī)之0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，討論參數(shù)m,結(jié)合一元二次不等式在實(shí)

數(shù)集上恒成立列不等式組求范圍即可.

(2)討論機(jī)=0、加70,結(jié)合一元二次不等式的解法求解集.

【小問1詳解】

由題設(shè)加爐+(l-m)x+m-2>-2,即mx2+(l-m)x+m20對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，

當(dāng)機(jī)=0時(shí)，加必+(1-機(jī))x+機(jī)=x20不恒成立；

m>0]

當(dāng)加W0時(shí)，只需｛2?，可得冽2—；

A=(l-m)-4m2<03

…1

綜上，mN—.

3

【小問2詳解】

當(dāng)加=0時(shí)，mx2+(l-m)x+m-2<m-l,即x—2<—1,可得x<l；解集為(一8,1)；

當(dāng)加w0時(shí)，mx2=m(x+—)(x-l)<0,

m

若加<0,貝U(x+2)(x—1)>0,

m

若一-->1,即一1<根<0時(shí)，可得X〉^或x<l,解集為(-oo,l)U(-"-,+oo)；

mmm

若—工=1,即機(jī)=一1時(shí)，可得XW1,解集為(-8,1)51,+8)；

m

若<1,即加<—1時(shí)，可得X>1或x<，解集為(一°0,--)U(1,+00)；

mmm

若加>0,貝ij(xd—)(x—1)<0,可得---<X<1,解集為(,1).

mmm

17.學(xué)習(xí)機(jī)是一種電子教學(xué)類產(chǎn)品，也統(tǒng)指對(duì)學(xué)習(xí)有輔助作用的所有電子教育器材.學(xué)習(xí)機(jī)較其他移動(dòng)終

端更注重學(xué)習(xí)資源和教學(xué)策略的應(yīng)用，課堂同步輔導(dǎo)、全科輔學(xué)功能、多國(guó)語(yǔ)言學(xué)習(xí)、標(biāo)準(zhǔn)專業(yè)詞典以及內(nèi)

存自由擴(kuò)充等功能成為學(xué)習(xí)機(jī)的主流競(jìng)爭(zhēng)手段，越來越多的學(xué)習(xí)機(jī)產(chǎn)品全面兼容網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)、情境學(xué)習(xí)、隨身

學(xué)習(xí)機(jī)外教、單詞聯(lián)想記憶、同步教材講解、互動(dòng)全真題庫(kù)、權(quán)威詞典、在線圖書館等多種模式，以及大內(nèi)存

和SD/MMC卡內(nèi)存自由擴(kuò)充功能根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查.某學(xué)習(xí)機(jī)公司生產(chǎn)學(xué)習(xí)機(jī)的年固定成本為20萬元，每生

產(chǎn)1萬部還需另投入16萬元.設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款學(xué)習(xí)機(jī)無萬部并全部銷售完，每萬部的銷售收

a-4x,0<x<10

入為火(x)萬元，且R(X)=，5300b.當(dāng)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款學(xué)習(xí)機(jī)8萬部并全部銷售完

、XX

時(shí)，年利潤(rùn)為1196萬元；當(dāng)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款學(xué)習(xí)機(jī)20萬部并全部銷售完時(shí)，年利潤(rùn)為2960萬

(1)寫出年利潤(rùn)少(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量X(萬部)的函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬部時(shí)，公司在該款學(xué)習(xí)機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).

—4x~+184x—20,0<x<10

【答案】(1)W=\

(2)當(dāng)x=50時(shí)，葉取得最大值為3680萬元

【解析】

【分析】⑴根據(jù)題意求出,分別求出當(dāng)0<x<10時(shí)和當(dāng)x>10時(shí)的年利潤(rùn)沙=xR(x)-(16%+20),

即可求解；

(2)分類討論，當(dāng)0<x410時(shí)根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求出最大值，當(dāng)x>10時(shí)，根據(jù)基本不等式求出最

大值，綜合分析即可求解.

【小問1詳解】

因?yàn)楫?dāng)生產(chǎn)該款學(xué)習(xí)機(jī)8萬部并全部銷售完時(shí)，年利潤(rùn)為1196萬元，

所以("4x8)x8-20-8x16=1196,解得a=200,

當(dāng)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款學(xué)習(xí)機(jī)20萬部并全部銷售完時(shí)，年利潤(rùn)為2960萬元，

所以—義20—20—20x16=2960,解得b=40000,

當(dāng)0<x<10時(shí)，W=x7?(x)-(16x+20)=x(200-4xj-(16x+20)=-4x2+184x-20,

530040000

當(dāng)x>10時(shí)，W=x7?(x)-(16x+20)=x-(16x+20)=-^^-16x+5280,

—4%2+184x—20,0<xV10

綜上沙40000

-16x+5280,x>10

【小問2詳解】

①當(dāng)0<x<10時(shí)，沙=—4(%—23)2+2096單調(diào)遞增，所以％ax=獷。0)=1420；

②當(dāng)時(shí)，

x>io^=_12222_16X+528O,

,^40000“理°%6x=1600,

由于------+16x22,

xX

當(dāng)且僅當(dāng)竺2"=16X,即x=50>10時(shí)取等號(hào),

x

所以此時(shí)W的最大值為3680，

綜合①②知，當(dāng)x=50時(shí)，少取得最大值為3680萬元.

18.雙曲函數(shù)是工程數(shù)學(xué)中一類重要的函數(shù)，它也是一類最重要的基本初等函數(shù)，它的性質(zhì)非常豐富，常

見的兩類雙曲函數(shù)為正余弦雙曲函數(shù)，解析式如下：

X—XX.—X

雙曲正弦函數(shù)sinhx=---------，雙曲余弦函數(shù)：coshx=----------

22

(1)請(qǐng)選擇下列2個(gè)結(jié)論中的一個(gè)結(jié)論進(jìn)行證明：選擇(若兩個(gè)均選擇，則按照第一個(gè)計(jì)分)

①cosh2x-sinh2x=l②cosh2x=cosh2x+sinh2x

(2)請(qǐng)證明雙曲正弦函數(shù)sinhx在R上是增函數(shù)；

(3)求函數(shù)y=cosh2x+sinh2x+coshxitR上的值域.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析(3)[2,+8)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)雙曲正弦、余弦函數(shù)的定義，利用指數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)，即可得證；

(2)運(yùn)用單調(diào)函數(shù)的定義結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明即可；

(3)利用整體思想，通過換元的方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，分析二次函數(shù)的單調(diào)情況求得值域.

【小問1詳解】

(1)若選擇①：

由題意sinhx=,coshx=e+e—,貝[j

5，+62+2)—G^+e3-2)4

cosh2x-sinh2x=

4

若選擇②:

(e2x+e2+2)+(e2x+e2—2)e2'+e-2、

cosh2x+sinh2=cosh2x.

4-2

【小問2詳解】

(2)(1)證明：Vx1?x2GR,且再

22

■:陽(yáng)<馬，:?e"-e"<0,1"—>0,

一e1e2

sinhx{-sinhx2<0,gpsinhx1<sinhx2

所以sinhx在R上是增函數(shù).

【小問3詳解】

(3)法一：由(1)知，cosh2x-sinh2x=B

則cosh2%+sinh2x+coshx=2cosh2x-l+coshx，

X.-x°x-x

^t=coshx,貝k=e+e。zye.e=>當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等,

22

令/(x)=cosh2x+sinh2x+coshx=g(^t)=2t2-1+t,

又函數(shù)g?)在［1,+s)上單調(diào)遞增，故g(t)2g(1)=2,

故g(f)的值域?yàn)椋?,+co),即y=cosh2x+sinh2x+coshx的值域?yàn)椋?,+co)；

法二：，cosh2x+coshx=------------+------------

22

令/=+e-x22，則/=e2-v+e-2x+2ne2x+e-2x=〃—2，

☆/(x)=cosh2x+coshx=g?),則g(/)=!(/_2+J=J_|/+-

所以g⑺在[2,+co)上單調(diào)遞增，故g(/)?g(2)=2,故g(/)的值域?yàn)閇2,+co),

即y=cosh2x+sinh2x+coshx的值域?yàn)閇2,+co).

19.已知函數(shù)y=E(x)的定義域?yàn)椤＃?為大于0的常數(shù)，對(duì)任意xe。，都滿足

/(x)〉+I),則稱函數(shù)丁=E(x)在。上具有“性質(zhì)A”.

(1)試判斷函數(shù)歹=2工和函數(shù)了=-犬是否具有“性質(zhì)A”(無需證明)；

(2)若函數(shù)y=/(x)具有“性質(zhì)A”，且/(0)〉/[g],求證：對(duì)任意"eN,都有/(〃)〉/(〃+1)；

(3)若函數(shù)y=g(x)的定義域?yàn)镽,且具有“性質(zhì)A”，試判斷下列命題的真假，并說明理由，

①若V=g(x)在區(qū)間(-8,0)上是嚴(yán)格增函數(shù)，則此函數(shù)在R上也是嚴(yán)格增函數(shù)；

②若N=g(x)在區(qū)間(-8,0)上是嚴(yán)格減函數(shù)，則此函數(shù)在R上也是嚴(yán)格減函數(shù).

【答案】(1)函數(shù)y=2*不具有“性質(zhì)A"，函數(shù)了=-/具有，，性質(zhì)A”

(2