2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)期中模擬數(shù)學(xué)試卷2（含答案）

2024-2025高二上期中模擬檢測(cè)二（2019人教A版）

檢測(cè)范圍：選擇性必修一第一章、第二章、第三章

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.（2023高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）方程J（x-4）2+/+J（X+4）2+[=1°的化簡(jiǎn)結(jié)果是（

）

2222

二+J土+匕=1

C.259D.925

2.（21-22高二上?山東濟(jì)寧?期中）設(shè)點(diǎn)44,-3）,5（-2,-2）,直線/過(guò)點(diǎn)尸（“）且與線段

相交，則直線/的斜率后的取值范圍是（）

44

k4——《后

A.八1或左W-4B.左N1或3c.-4<^<1D.3

3.（23-24高二下?江蘇宿遷?期中）已知空間單位向量￡,b,工兩兩垂直，貝|

i+w=（）

A.百B.屈C.3D.6

4.（22-23高二上?山東棗莊?期末）兩定點(diǎn)4,2的距離為3,動(dòng)點(diǎn)初滿足?兒回=2眼耳，則

M點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為（）

B2百兀

A.4兀C.2。2兀D.2兀

5.（22-23高二上?安徽馬鞍山?階段練習(xí)）在四面體中,

OP=-PG

OA=^9OB=bfOC=c9G為ZUBC的重心，P在OG上，且2,則

AP=()

2-111-8-1r1-

——a+—b+—c—a——b——c

A.999B.999

3+攵+：2-171.

—a——b——c

C.999D.999

6.（2024?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)尸為拋物線C：V=4無(wú)的焦點(diǎn)，過(guò)廠的直線/與c交

于43兩點(diǎn),則叫+2阿1的最小值為（）

A.2應(yīng)B.4C.3+2&D,6

7.（2023?北京海淀?二模）已知?jiǎng)又本€/與圓。：/+產(chǎn)=4交于A,8兩點(diǎn)，且

4402=120。.若/與圓（X-2）2+J?=25相交所得的弦長(zhǎng)為匕則/的最大值與最小值之差

為（）

A.10-4卡B.1c.4^6-8D.2

22

8.（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)雙曲線?2b2的左、右焦點(diǎn)分別為九%,

過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與。交于43兩點(diǎn)，出同=2y/|,耳/-F/=4/,則C的離心率為

（）

A.桓B.2C.^5D.近

二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得

0分）

9.（2025?浙江?模擬預(yù)測(cè)）已知正方形/BCD在平面直角坐標(biāo)系xQv中，且/C：

2x-y+l=°,則直線的方程可能為（）

人工+3>+1=0gx-3j/+l=0

Q3x+y+l=0D3x—y+1=0

10.（2022?山東青島?二模）已知C：x2+/-6x=0,則下述正確的是（）

A.圓C的半徑廠=3B.點(diǎn)G20）在圓C的內(nèi)部

C,直線/：》+島+3=。與圓C相切D.圓C'：（x+l）-+/=4與圓C相交

22

上一匕=1

11.（23-24高二上?江西上饒?階段練習(xí)）己知點(diǎn)尸在雙曲線C：169上，耳，工分別

是雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，若"38的面積為20,則（）

A.必|-|%=8B.附㈤叫T

C.點(diǎn)尸到x軸的距離為4D.■3

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線

±）

12.（2023?北京?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直角梯形/BCD中，￡為少的中點(diǎn)，BC1CD,

AELCD,M,N分別是BE的中點(diǎn)，將△/￡>￡沿/￡折起，使點(diǎn)。不在平面

43CE內(nèi)，則下命題中正確的序號(hào)為.

①M(fèi)NUAB.

②MNLAE；

③MN//平面?！辏?/p>

④存在某折起位置，使得平面8。,平面ABD.

13.（2023高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知圓。：,+/=16,點(diǎn)尸0,2）,M、N為圓。上兩個(gè)不

同的點(diǎn)，且兩?兩=°若聞=麗+麗，則的最小值為.

14.（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）應(yīng)用拋物線和雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，可以設(shè)計(jì)制造反射式天文望

遠(yuǎn)鏡，這種望遠(yuǎn)鏡的特點(diǎn)是，鏡銅可以很短而觀察天體運(yùn)動(dòng)又很清楚.某天文儀器廠設(shè)計(jì)

制造的一種反射式望遠(yuǎn)鏡，其光學(xué)系統(tǒng)的原理如圖（中心截口示意圖）所示.其中，一個(gè)

反射鏡尸弧所在的曲線為拋物線，另一個(gè)反射鏡弧所在的曲線為雙曲線一個(gè)分

支.已知昂巴是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，其中8同時(shí)又是拋物線的焦點(diǎn)，且,

NNF?Fi=45。,tanNNRF?=^,^NFF

l2“典則拋物線方程為

的面積為10,

四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演

算步驟）

15.（13分）（21-22高二?全國(guó)?課后作業(yè)）在①過(guò)點(diǎn)C（2'°）,②圓E恒被直線

=平分，③與7軸相切這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，

并解答.

已知圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)"（°Q）MD,且______.

⑴求圓￡的一般方程；

⑵設(shè)尸是圓￡上的動(dòng)點(diǎn)，求線段/尸的中點(diǎn)M的軌跡方程.

16.（15分）（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知斜率存在的直線/過(guò)點(diǎn)尸9°）且與拋物線

U/=2"S>0）交于43兩點(diǎn).

⑴若直線/的斜率為1,"為線段43的中點(diǎn)，河的縱坐標(biāo)為2,求拋物線0的方程；

（2）若點(diǎn)。也在x軸上，且不同于點(diǎn)尸，直線的斜率滿足七。+心。二°,求點(diǎn)。的坐

標(biāo).

17.（15分）（23-24高三上?江蘇?階段練習(xí)）如圖，在四棱錐尸一/28中，是正

三角形，^ABC=9Q°,AB\\CD,AB=,2.CD=,2.BC=A平面p/。平面48CD,“是棱

尸C上動(dòng)點(diǎn).

⑴求證：平面平面尸40；

（2）在線段尸。上是否存在點(diǎn)“，使得直線/尸與平面附。所成角為30。？若存在，求出

PM

萬(wàn)的值；若不存在，說(shuō)明理由.

18.（17分）（22-23高三上?北京豐臺(tái)?階段練習(xí)）已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為

V3

耳（一省,0）,用（6,0）,離心率為2.

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）M為橢圓C的左頂點(diǎn)，直線/與橢圓C交于48兩點(diǎn)，若例，俯，求證：直線過(guò)

定點(diǎn).

19.（17分）（22-23高三上?天津河西?期末）如圖，在四棱錐尸一/8。中，尸/_L平面

ABCD,AB!/CD,且8=2,AB=l,BC=272,PA=2,ABVBC,N為尸口的中點(diǎn)

（2）求平面尸4。與平面尸8夾角的余弦值；

475

⑶點(diǎn)M在線段ZP上，直線C"與平面以。所成角的正弦值為丁，求點(diǎn)〃到平面

PCD的距離.

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案CBAACCDDBCACD

題號(hào)11

答案BC

1.C

【分析】由方程的幾何意義及橢圓定義得出結(jié)果即可.

【詳解】方程的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)（”）到定點(diǎn)G12*4'。）和"°）的距離和為10,并且10>8,

所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以兩個(gè)定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定值為2a的橢圓，所以。=5,c=4,

1

根據(jù)^=/-。2=9,所以橢圓方程為259.

故選：C.

2.B

【分析】根據(jù)給定條件求出直線尸4尸8的斜率，再畫(huà)出圖形分析可得及4須0或后？原B,從

而即可得解.

1一（一3）一41-(-2)：1

kp43PB

【詳解】依題意，直線尸4PB的斜率分別為1-41-(-2),

如圖所示:

若直線/過(guò)點(diǎn)尸。，1）且與線段相交，

k7<k7——4

則/的斜率后滿足一尸"3或左也=1,

74

k4—

即/的斜率上的取值范圍是左21或3.

故選：B

3.A

【分析】先根據(jù)單位向量得出模長(zhǎng)，再根據(jù)垂直得出數(shù)量積，最后應(yīng)用運(yùn)算律求解模長(zhǎng)即

可.

【詳解】因?yàn)榭臻g單位向量區(qū)瓦°兩兩垂直，

所以同=1,同=l,|c|=1,a-b=O,c-a=O,bc=0

所以歸_$+@=J（a-b+c^）=\la2+b2+c2-2a-b-2b-c+2a~c

=V1+1+1-O-O+O=V3

故選：A.

4.A

【分析】由題意建立坐標(biāo)系，由題意可得點(diǎn)M的軌跡方程，進(jìn)而可得M點(diǎn)的軌跡長(zhǎng).

【詳解】以點(diǎn)4為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖，

則/(°，°)，8(3,0),設(shè)點(diǎn)Af(x,y)

^\MA\=2\MB\得正+產(chǎn)=2，(X-3)2+J?,化簡(jiǎn)并整理得：—4+/=4,

于是得點(diǎn)加的軌跡是以點(diǎn)(4，°)為圓心，2為半徑的圓，其周長(zhǎng)為4兀，

所以M點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為4兀.

故選：A.

5.C

【分析】延長(zhǎng)BG交NC于點(diǎn)。，根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，結(jié)合重心的性質(zhì)將衣表示為

刀，礪，反的線性形式即可.

【詳解】延長(zhǎng)8G交4c于點(diǎn)。，則點(diǎn)。為NC的中點(diǎn)，

OP=-PGOP=-OG

因?yàn)?,所以3,

AP=OP-OA=-OG-OA=-(OB+BG'\-OA

所以33、,，

所以3333八廠，

AP=LOB+1^(OA+OC\OA=LOB+LOC^OA

所以992、)999,

因?yàn)椤?=3,OB=btOC=ct

AP=Aa+lb+-c

所以999,

故選：C.

【分析】設(shè)直線方程為》=吵+1,聯(lián)立方程組得出48兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，根據(jù)拋物線的性

質(zhì)得出+2忸列關(guān)于43兩點(diǎn)坐標(biāo)的式子，使用基本不等式求出最小值.

【詳解】拋物線的焦點(diǎn)F(LO),

過(guò)F（I，0）的斜率為。的直線為y=°,直線>=°與拋物線/=4x有且只有一個(gè)交點(diǎn),

與條件矛盾，故直線/的斜率不為0,故可設(shè)直線/的方程為苫=叩+1,

J/-4%

聯(lián)立方程組1=利+1,得丁-4町-4=0,

方程y2-4my-4=0的判別式A=16m2+16>0,

/[李乂，8停,%]2M=1貨=當(dāng)

設(shè)I4）<4人則必?力=一4,16，所以必，

以引=^~+L忸/|=，+1=*+1

由拋物線的性質(zhì)得44%，

:.\AF\2\BF\=^

++1+與+2=3+江+43+2=3+20

Ji4就4必2

當(dāng)且僅當(dāng)必=±2’時(shí)，等號(hào)成立，

故選：C.

7.D

【分析】根據(jù)題意當(dāng)動(dòng)直線經(jīng)過(guò)圓叵一2）2+丁=25的圓心時(shí)，可得到弦長(zhǎng)的最大值為該圓

的直徑，再設(shè)線段48的中點(diǎn)為C,從而得到動(dòng)直線/在圓一+丁=1上做切線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)動(dòng)

直線/與x軸垂直且點(diǎn)C的坐標(biāo)為（T，°）時(shí)，即可得到弦長(zhǎng)的最小值，進(jìn)而即可求解.

【詳解】由題意可知圓（x-2）2+/=25的圓心（2,0）在圓。：/+/=4上，

則當(dāng)動(dòng)直線經(jīng)過(guò)圓心，即點(diǎn)A或B與圓心⑵。）重合時(shí)，如圖1,

此時(shí)弦長(zhǎng)：取得最大值，且最大值為=2x5=10；

設(shè)線段Z8的中點(diǎn)為C,

在中，由04=05=2,且4405=120。，則。。=1,

則動(dòng)直線/在圓r+/=l上做切線運(yùn)動(dòng)，

所以當(dāng)動(dòng)直線/與X軸垂直，且點(diǎn)C的坐標(biāo)為（T，°）時(shí)，如圖2,

此時(shí)弦長(zhǎng)f取得最小值，且最小值為'min=2義石K=8,

所以/的最大值與最小值之差為2.

故選：D.

①幾何法：求圓的半徑「，弦心距"，則弦長(zhǎng)為；

②代數(shù)法：運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式1"同=爐戶也一可

8.D

【分析】由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性可得寓聞=內(nèi)同、閨同=iga且四邊形"耳此為平行四邊形,

由題意可得出“為8月，結(jié)合余弦定理表示出與。、C有關(guān)齊次式即可得離心率.

【詳解】

由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性可知閨H=優(yōu)修，山'上內(nèi)4有四邊形/片為平行四邊形,

令閨4=醫(yī)到=加,則閨用=優(yōu)4|=2加,

由雙曲線定義可知E"卜山聞=2。，故有2加-加=2a,即加=2a,

即閨7=優(yōu)同=m=2a閨同=叵,二4。

2

F2A-F2B="4?歸目cosZ-AF2B=2ax4acosZ.AF2B=4a

12TI

cosZAFB=-/AFB="ZFBF,=—

則?2,即23,故2?I3,

COS/FBF"砰+優(yōu)82TH4（4”+（2“）2一（24.1

則有2閨5卜鳥(niǎo)刈2X4QX2Q2

20a2-4c21204e21

即16a2—2,即1616-2,則/=7,由e>l,故e=V7.

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是找到關(guān)于。、方、。之間的等量

關(guān)系，本題中結(jié)合題意與雙曲線的定義得出閨H、內(nèi)同與。的具體關(guān)系及/工84的大小，

借助余弦定理表示出與。、。有關(guān)齊次式，即可得解.

9.BC

7T

【分析】由正方形的特征可知，直線與直線/C夾角為7,由直線/C斜率利用兩角差

的正切公式求出直線的斜率，對(duì)照選項(xiàng)即可判斷.

【詳解】設(shè)直線N8的傾斜角為。，直線/C的傾斜角為4,

,〃°~<P<~

直線/C斜率為2,有tan夕=2,則42.

cc—pA——兀B—oc——兀

依題意有4或4,

兀/八、tana-tanB兀tancr-21

a_/3=_tan（6Z-B）=----------------=tan---------二1

當(dāng)“4時(shí)，1+tanatan/74,即l+2tana

解得tana-3,即直線43的斜率為-3,C選項(xiàng)中的直線斜率符合;

B-a=^tan（夕一a）=‘a(chǎn)n力Tana.a”q2-tan?=1

當(dāng)4時(shí)，l+tan/?tana4,即l+2tana

11

tana—

解得3,即直線NB的斜率為3,B選項(xiàng)中的直線斜率符合.

故選：BC

10.ACD

【分析】先將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心和半徑，然后逐個(gè)分析判斷即可

［詳解］由/+/_6x=0,得（—3+'=9,則圓心C（3,0）,半徑4=3,

所以A正確，

對(duì)于B,因?yàn)辄c(diǎn)G之血）到圓心的距離為J（3-+（0-2偽2=2?>3,所以點(diǎn)&2血）在

圓C的外部，所以B錯(cuò)誤,

d=I—-=3=q

對(duì)于C,因?yàn)閳A心C（3,0）到直線/：x+回+3=0的距離為Q+（3）

所以直線/：x+&y+3=°與圓。相切，所以c正確，

對(duì)于D,圓C'：（x+1）-+F=4的圓心為C（_l,0）,半徑4=2,

因?yàn)榭凇?=[（3+1）2=4,<4</1+r21

所以圓C'：（x+iy+V=4與圓c相交，所以D正確，

故選：ACD

11.BC

【分析】利用雙曲線的定義可判斷選項(xiàng)A,取點(diǎn)P的坐標(biāo)為13J即可判斷選項(xiàng)B,利

用三角形面積公式即可判斷選項(xiàng)C,利用余弦定理即可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】由已知得雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為。=4,虛半軸長(zhǎng)為6=3,

則右焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)為c=yJa2+b2=5,

由雙曲線的定義可知，一闋=2。=8,故A錯(cuò)誤；

設(shè)點(diǎn)尸（“,），則以|=30皿|=20,

所以卬=上故c正確；

由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性，不妨取點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

1347

附|=|尸閶+2〃=§+8=亍

由雙曲線的定義，得

|^|+|^|=f+y=50

所以3,故B正確;

―陰2Tp23191

-----w-

由余弦定理，得2附卜附|4812,

71

/F[PF）豐一

所以3故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

12.②③

【分析】①③，作出輔助線，得到血W〃CD,從而得到血W與月8不平行，MV//平面

CDE；②證明線面垂直，得到線線垂直；④建立空間直角坐標(biāo)系，得到兩平面的法向量,

由法向量不為0得到不存在某折起位置，使得平面&CD,平面/BZ）.

【詳解】①③，如圖所示：直角梯形NBC。中，CD//AB,

又因?yàn)锽CJ_CD,/ElCD,所以/E//8C,

故四邊形/8CE為矩形，

因?yàn)镹分別是BE的中點(diǎn)

連接/C,則BE與/C相交于點(diǎn)N,故點(diǎn)N是4c的中點(diǎn)，

因?yàn)镸是/。的中點(diǎn)，所以〃N〃CD,

又ABIICE,而CE與CZ）相交于點(diǎn)C,

故與CD不平行，故血加與不平行，①錯(cuò)誤，

因?yàn)镸V//CD,CDu平面CDE,“乂0平面^^,

所以MN//平面。E,③正確；

②，因?yàn)镈EcCE=E,DE,CEu平面CDE,

所以平面CDE,

因?yàn)镃Du平面CDE,所以

由①知〃N〃CD,所以W/E,②正確；

④，連接80,以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，胡，EC分別為xj軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)=LE4=a（°*0）NCED=09e（0,兀）

故A（a,0,0）,5（a,l,0）,C（0,1,0）,Z）（0,cos3,sin0）

設(shè)平面8。的法向量為加=（再，必，z）

ih'BC=（再,必，zj?（-。,0,0）=-a%]=0

<__

故m-BD=（x1?j；19Zj）?（-?,cos^-1,sin=-ax,+（cos，—l）必+z]sin<9=0

_1-cos。

解得玉=°,令必=1,則4sin?,

前=伍1,匕”

故Ism。

設(shè)平面的法向量為“=仁，力，z?）,

m-BA=(x,y,z)-(O,-l,O)=-y=O

<2222

>

卜攵fh'BD=(x2,j/2,z2)?(-?,cos^-1,sin^)=-ax2+(cos^-l)>2+z2sin=0

a

解得%=°,令％=1,則“2sin。，

n=

故

1-cos^1-cos。a_a(1-cos0)

m-n=0,1,

2

故sin。sin0sin0sin6>

-----a(1-cos9)

因?yàn)樨?，故l-cosOwO,故"nsin26>*°，

故不存在某折起位置，使得平面BCO,平面2助，④錯(cuò)誤.

故選：②③

13373-75/-V5+3V3

【分析】根據(jù)幾何關(guān)系確定點(diǎn)S的軌跡方程，從而根據(jù)點(diǎn)到圓上動(dòng)點(diǎn)距離最值的求解方法

求解即可.

【詳解】解法1：如圖，因?yàn)辂?麗=0,所以PMLPN,故四邊形尸M0N為矩形，

設(shè)"N的中點(diǎn)為S,連接OS,則OS工MN,

所以3「=|。陷2TMs「=16-|MS「，

乂APMN為直角三角形，所以陷=1卬，故3「=16-陷2①,

設(shè)S（“）,則由①可得"2=16-［（XT）2+（1）［,

整理得：I2）''4,

小」〕—

從而點(diǎn)S的軌跡為以121為圓心，2為半徑的圓，

|P5|.=--|pr|=—--

顯然點(diǎn)P在該圓內(nèi)部，所以?lm，"21122,

因?yàn)閲?guó)=2叫所以鳳尸層石；

故四邊形尸'QN為矩形，由矩形性質(zhì)，|。M2+3「=|。尸「+|。。「,

所以16+16=5+|時(shí)，從而

故0點(diǎn)的軌跡是以。為圓心，3石為半徑的圓，

顯然點(diǎn)P在該圓內(nèi)，所以鳳，尸鳳四不小石

故答案為：3^/3-V5.

/=32(x+3)

【分析】設(shè)"Ge，。），鳥(niǎo)（GO），Ng,%）（x。由

4NFE=45。,tanNNF\F［=%S*=10,解出c得&點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合盤(pán)用=8得拋物線方程.

【詳解】以月片的中點(diǎn)。為原點(diǎn)，丹丹為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)耳（-。，°），居（。，。），"（無(wú)0，%）（%>0,%>0）

1

y0;;

<XQ+C432

tan/Ng=-，NNFJ[=45°_x0=］。,尢=鏟

由4，則有1為="/,解得

12

S^=-|^|y=-c2=10

又NF'F221217005，解得c=5,

|。1工|=8,則有&(—3,0),

故拋物線方程為必=32（尤+3）.

故答案為：L=32（X+3）

15.⑴/+y2-2x=°

（2）x~+y~-x=0

【分析】（1）選擇①③時(shí)，設(shè)圓的一般式方程或者標(biāo)準(zhǔn)方程，代入點(diǎn)以及相關(guān)條件，根

據(jù)待定系數(shù)法，即可確定圓的方程，選擇②時(shí)，根據(jù)幾何法確定圓心和半徑即可求解，

（2）根據(jù)相關(guān)點(diǎn)法即可求解軌跡方程.

【詳解】（1）方案一：選條件①.

設(shè)圓的方程為*+/+為+@+產(chǎn)=0。2+工一4八0）,

F=0伊=-2

<2+D+E+F=0<E=0

則14+2。+尸=0,解得［尸=0,

則圓￡的方程為*+r-2x=°.

方案二：選條件②.

直線加x_y_機(jī)=0恒過(guò)點(diǎn)（LO）

因?yàn)閳AE恒被直線儂一了一機(jī)=°（機(jī)e夫）平分，所以儂7-加=°恒過(guò)圓心，

所以圓心坐標(biāo)為

又圓￡經(jīng)過(guò)點(diǎn)所以圓的半徑『1,所以圓E的方程為（x-iy+/=i,即

x2+y2-2x=0

方案三：選條件③.

設(shè)圓E的方程為a-a7+3-A7=r.

同=〃[a=i

，/+/=/,b=0

由題意可得|（1一。丫+（1-.=’,解得|廠=1,

則圓E的方程為（XT）一+/=1,即/+3；2-2》=0

（2）設(shè)MG,了）.

因?yàn)椤盀榫€段/P的中點(diǎn)，所以尸（2居2了），

因?yàn)辄c(diǎn)尸是圓E上的動(dòng)點(diǎn)，所以O(shè)x7+（2^）2-2X2X=0,即/+y2一%=（）,

所以M的軌跡方程為fy-x=0.

16.（i）y2=4x

（2）Q（-1,。）

【分析】（1）由題知直線’的方程，聯(lián)立拋物線，利用韋達(dá)定理以及中點(diǎn)公式即可求解；

（2）設(shè)出直線/的方程及。的坐標(biāo)，聯(lián)立方程組，消元，韋達(dá)定理，利用直線斜率公式寫(xiě)

出心。+凝2將韋達(dá)定理代入心2+左陽(yáng)=°，化簡(jiǎn)求出參數(shù)即可得點(diǎn)Q的坐標(biāo).

【詳解】（D因?yàn)橹本€/的斜率為1且過(guò)點(diǎn)尸6°）,

所以直線/的方程為：y=x~\

設(shè)/（國(guó),必）,8（無(wú)2,%）,

[y2=2px

由[y=x-l,得：/-（2p+2）x+l=0,

所以必+%=X|+/_2=2p,

因?yàn)镸為線段的中點(diǎn)，M的縱坐標(biāo)為2,

.+為="=2

所以2,

所以拋物線的方程為：/=以.

(2)設(shè)直線/的方程為：>=左(1),。(“0)(加川,

/=2px

y=k（x—l^彳pk*2x2—（2k2+2p^x+k2=0

2

2k+2p=

X,+x9=,XyX21

所以k2

乂?%左（再一1）（尤2—〃，）+左（毛一1）（國(guó)一機(jī)）

e0+后30

x-mx-m（x-m）（x-m）

由x2x2

2kxix?+2km-（km+左）（演+x2）

2

x1x2-m（xx+x2）+m

__z,7、2k2+2p

2k7+2k7m-（km+左）---/

一-2左2+2夕2

\-m-------------Fm

k2

2k+2km-（km+k^-k2

K

k2-m（2k2+20）+k2m2

由上w°,

2k+2km-（km+k\"=0

所以I）k2

2mp2p=0

即左k~,

所以〃z=T,

所以點(diǎn)。的坐標(biāo)為（T°）.

17.①證明見(jiàn)解析

24

(2)存在，5或《

【分析】(1)由題設(shè)證得取的中點(diǎn)°,連結(jié)尸。，應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)證

尸°,平面/BCD,再由線面垂直的性質(zhì)、判定及面面垂直的判定證結(jié)論;

(2)取的中點(diǎn)N,連結(jié)ON,則0N//8D,構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，設(shè)兩=2玩，應(yīng)

用向量法，結(jié)合線面角大小列方程求力，即可得結(jié)果.

［詳解］(1)因?yàn)?B//CD,CD=BC=2,Z4BC=90°,所/BCD=9Q。,BD=2及

在△/8D中//8。=45。,/8=4,由余弦定理得

AD=yjAB2+BD2-2AB-BDcosZABD=272,

所以=/笈，即4D8=90°,AD_LB。，

取的中點(diǎn)°,連結(jié)尸。，因?yàn)椤魅?。是正三角形，所以?/p>

又面尸4DL面/3C。，面尸/De面48CD=4D,尸。u面尸4D,

所以P。，平面/8C。，又3Ou平面N5CD,所以尸

又AD工BD,POP\AD=Ot尸。,40u平面p/。，所以AD人平面尸40,

又BOu平面&5加，所以平面平面尸4D.

(2)取N8的中點(diǎn)N,連結(jié)ON,則ON/)。，所以40LON

以俾，0°，°尸｝為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，

則/?,-后,0）。小,0,0）8（2血，后,0）06,2也,0）尸@,0,逐）

設(shè)麗無(wú)，0W奚1,貝|]

nA7=Z）?+PA7=Z>P+2PC=（0,-V2,V6^-2（72,2V2,-V6）=（722,2V22-V2,V6-V62）

又加=(2"&°),設(shè)平面BDM的一個(gè)法向量為k=(X/，z),

DM-n=0V2/X+V2（2A-1）J/+V6（1-2）Z=0

^[DB-n=O,即2收x=0,若z=2"l,

^M=（0,V3（^-l）,2zi-l）AP=（0,V2,V6）

由直線/尸與平面MS。所成角為3?！?得

.臼怖（彳-1）+幾（2”“佝32一2|

sin30°=gs〈力尸㈤1

司?同78.^0+3（2-1）2+（22-1）22"，7――102+4

2=—2=—

化簡(jiǎn)得10萬(wàn)T34+4=0解得2或5,

PM_12=4

當(dāng)尸c一5或3時(shí)，直線/P與平面8。州所成角為30°.

X221

——+y=1

18.（1）4；

⑵證明見(jiàn)解析.

【分析】（1）根據(jù)條件求出生"C的值即可；

（2）聯(lián)立直線方程x="+"和橢圓方程后利用兩直線垂直可算出m.

_c_V3

【詳解】（1）由題意得：c=6,e-cT2,a2=b2+c2,

故可知°=21=1,

—1-y—1

橢圓方程為：4'

又由⑴可知：”(TO),設(shè)直線的方程為：x=W+","(再，必)，B(x2,y2)

[x=ty+m°o1

<22n(/+4))2+2加"+加2.4=0

聯(lián)立方程可得：〔廣+4廣=4,

則A=(23)2_4(/2+4)?2_4)>0,即入4>/,

2mt機(jī)2一4

由韋達(dá)定理可知：弘+%=一入^--4-,"KJ；22=-r5+---4--,-

?：MALMB,貝

/.(x,+2)(X2+2)+,％=0=>XjX2+2(玉+/)+4+yxy2=0

再=ty\+m

x=ty+m

又22

，?2+])必/+(加/+2。(必+%)+(加+2)2=0

(t2+l)(m2-4)+(mt+2。(-2欣)+(m2+4m+4)(/2+4)=0

6

9777-------

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