2024-2025學(xué)年北京某中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年北京171中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.直線x+y-避=。的傾斜角為（）

A.45°B.60°C,120°D.135°

2.已知圓C的方程為%2+y2—2乂—4=0,則該圓的圓心坐標(biāo)及半徑分別是（）

A.（1,0）與5B.（1,0）與在C.（一1,0）與5D.（-1,0）與在

3.圓C1：久2+y2=2與圓。2：（久一2）2+0-2）2=2的位置關(guān)系是（）

A.相交B.相離C.內(nèi)切D.外切

4.圓*2+（y+2）2=4與直線3x+4y+2=0相交于4B兩點(diǎn),則線段48的垂直平分線的方程是（）

A.4x+3y+6=0B.3x+4y+8=0C.4x—3y-6=0D.4x—3y+6=0

5.“a=-1"是"直線A：ax+4y-3=0與直線&：x+（a-3）y+2=0”平行的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.為了弘揚(yáng)體育精神，學(xué)校組織秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)，在一項(xiàng)比賽中，學(xué)生甲進(jìn)行了8組投籃，得分分別為10,8,

a,8,7,9,6,8,如果學(xué)生甲的平均得分為8分，那么這組數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)為（）

A.8B.9C,8.5D.9.5

7.已知P為橢圓C：:+^=l（a>b>0）上的點(diǎn)，點(diǎn)P到橢圓焦點(diǎn)的距離的最小值為2,最大值為18,則

橢圓的離心率為（）

A34

AB-5c.1D

-54-I

8.如圖，在平行六面體ABCD-ZiBiGDi中，AAt=AD=AB=2,

Z.BAD-Z-BAA1—Z-A^AD=泰則=()

A.12

B.8

C.6

D.4

9.設(shè)動(dòng)直線I與OC：（%+I/+儼=5交于48兩點(diǎn)若弦長既存在最大值又存在最小值，則在下列

所給的方程中，直線，的方程可以是（）

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A.x+2y=aB.ax+y=2aC.ax+y=2D.x+ay—a

10.曲線C：久3+y3=1.給出下列結(jié)論：

①曲線C關(guān)于原點(diǎn)對稱；

②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不小于1；

③曲線C只經(jīng)過2個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）.

其中，所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.②C.②③D.③

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。

11.直線0：2x-y+1=0與直線心2x-y-l=0之間的距離為

12.已知空間a=(2,3,1),b=(—4,2,%),且五_L刃,則|1|=.

13.在正方體ABC。-48'C'D'中，E是的中點(diǎn)，則異面直線DE與AC所成角的余弦值為

14.由直線y=x+1上的一點(diǎn)向圓（久一3尸+y2=1引切線，則切線長的最

小值為?

15.如圖,正方體力BCD-4/1的。1的棱長為2,點(diǎn)。為底面力BCD的中心，

點(diǎn)P在側(cè)面BBiCiC的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng).若小。1OP,則△DiCiP面積的

最大值為.

三、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.（本小題12分）

某市統(tǒng)計(jì)局就某地居民的月收入調(diào)查了10000人，他們的月收入均在［1000,4000）內(nèi).現(xiàn)根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了

該樣本的頻率分布直方圖如下.（每個(gè)分組包括左端點(diǎn)，不包括右端點(diǎn)，如第一組表示月收入在［1000,1500）

內(nèi)）

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(1)求某居民月收入在［3000,4000)內(nèi)的頻率；

(2)根據(jù)該頻率分布直方圖估計(jì)居民的月收入的中位數(shù)；

(3)為了分析居民的月收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，需再從這10000人中利用分層抽樣的方法抽取100

人作進(jìn)一步分析，則應(yīng)從月收入在［3000,3500)內(nèi)的居民中抽取多少人？

17.(本小題12分)

如圖，在棱長為2的正方體aBCD-A/iCiDi中，E為線段的中點(diǎn).

(1)求證：BCi〃平面4ED1；

(2)求點(diǎn)占到平面的距離；

(3)直線力①與平面4ED1所成角的正弦值.

18.(本小題12分)

已知圓C的圓心在直線2久-y=0上，且與x軸相切于點(diǎn)(1,0).

⑴求圓C的方程；

(II)若圓C直線/：乂一丫+爪=0交于力，B兩點(diǎn)，,求小的值.

從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問題中并作答：

條件①：圓C被直線/分成兩段圓弧，其弧長比為2：1；

條件②：|4B|=2*；

條件③：AACB=90°.

19.(本小題12分)

已知％、?2分別是橢圓C：奈+居=l(a>6>0)的左、右焦點(diǎn)，&(2,0)，點(diǎn)P在橢圓。上且滿足|P%

|+|PF2|=2A/6.

①求橢圓C的方程；

(II)斜率為1的直線I與橢圓c相交于a,B兩點(diǎn),若AAOB的面積為避，求直線1的方程.

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20.(本小題12分)

如圖，四棱錐P-4BCD中，AD1平面4BP,BC//AD,/.PAB=90°,PA=AB=2,AD=3,BC=m,

E是PB的中點(diǎn).

(1)證明：AE1平面PBC；

(2)若二面角C—2E—D的余弦值是孝，求m的值；

(3)若zn=2,在線段AD上是否存在一點(diǎn)F,使得PF，CE,若存在，確定F點(diǎn)的位置；若不存在，說明理

由.

21.(本小題12分)

在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn).對任意的點(diǎn)P?y),定義|OP|=|%|+加任取點(diǎn)4(巧,%),B(x2,y2

),記4(久1必)，B'(x2,y^,若此時(shí)|。4|2+|。切22|。*2+|0即2成立,則稱點(diǎn)a,B相關(guān).

①分別判斷下面各組中兩點(diǎn)是否相關(guān)，并說明理由；

①2(-2,1),8(3,2)；②C(4,-3),。(2,4).

(II)給定neN*,71N3,點(diǎn)集。n={(Xy)|-n<x<n,-n<y<n,x,yEZ].

①求集合4中與點(diǎn)2(1,1)相關(guān)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(譏)若SUOn,且對于任意的4BES,點(diǎn)4B相關(guān)，求S中元素個(gè)數(shù)的最大值.

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參考答案

1.D

2.B

3.0

4.C

5.4

6.C

7.B

8.B

9.D

10.C

11等

12.2述

13.嚅

14."

15.巡

16.解：（1）由頻率分布直方圖可知，居民月收入在［3000,4000）內(nèi)的頻率為

（0.0002+0.0003）X500=0.25.

（2）由頻率分布直方圖可知，0.0001x500=0.05,0.0004x500=0.20,0.0005x500=0.25,

從而有0.0001X500+0.0004X500+0.0005X500=0.5,

所以可以估計(jì)居民的月收入的中位數(shù)為2500元.

居民月收入在［3000,4000）內(nèi)的頻率為

（3）由頻率分布直方圖可知，居民月收入在［3000,3500）內(nèi)的頻率為0.0003x500=0.15,

所以這10000人月收入在［3000,3500）內(nèi)的人數(shù)為0.15X10000=1500,再從這10000人中利用分層抽樣的

方法抽取100人，

則應(yīng)從月收入在［3000,3500）內(nèi)居民中抽取100X=15人.

17.解：（1）證明：在棱長為2的正方體ABCDY/iCiDi中，E為線段的中點(diǎn)，

AB//C\D1,且48

四邊形48的。1是平行四邊形，BC1//AD1,

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???BMC平面AEDi，皿＜=平面AEDi，

BCi〃平面4町；

(2)以2為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

則4式0,0,2),2(0,0,0),。1(2,0,2),￡(0,2,1),

則詬=(0,0,2),赤=(2,0,2),族=(0,2,1),

設(shè)平面4ED1的一個(gè)法向量為五=(x,y,z),

則郎:占取…得—,

則點(diǎn)A到平面ZED1的距離為：

d_\AA-j-n\_4

I麗*|?同3，

(3)???。(2,0,0),.??而=(2,0,0),

設(shè)平面/EO的一個(gè)法向量訪=(a,b,c),

則"4而?荏=2b+c=0'取匕=1，倚山=(0，1L2),

設(shè)直線44I與平面4EDI所成角為仇

則直線力公與平面4ED1所成角的正弦值為：

.a\AAi-m\42A/5

\AAT.\■\m\2J55

18.解：①設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a,b),半徑為r.

由圓C的圓心在直線2x—y=0上，知：2a=b.

又；圓C與x軸相切于點(diǎn)(1,0),

a-1,b=2,貝！|r=|b—0|=2.

.??圓C圓心坐標(biāo)為(1,2),則圓C的方程為(%-1)2+(y—2)2=4；

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(II)如果選擇條件①：Z.ACB=120。，而|C4|=\CB\=2,

圓心C到直線I的距離d=1,

以弓=解筌=1,

N_L十J.

解得m="+1或爪=_&■+1.

如果選擇條件②;\AB\=2*,而|C*=\CB\=2,

圓心C到直線1的距離d=也,

,,|1-2+刑

則mid=an

解得zn=-1或3.

如果選擇條件③；乙ACB=90。.而|C4|=\CB\=2,

???圓心C到直線，的距離d="，

|1—2+m|

則d==

解得zn=-1或3.

19.1?：(I)由c=2,2a=276,

又小=抉+C2.

解得小=6,b2=2,

所以橢圓C方程為1+4=1,

62

(2)設(shè)直線1的方程為y=%+m,

(#+乃=1

由，62得：4x2+6mx+3m2—6=0,

y=x-\-m

A=-12m2+96>0,得<g,

角軍得一2，^<m<2\^,

設(shè)B(X2/2)，

+憶21(巧+%2)2-4%1久2

_1219m237n2-6_my/gni2

。到直線，：x—y+m=0的距離4=震=耳加，

所以△力。B的面積為S^BC=^\AB\-d=|x駕E至xq加=平,

乙乙乙乙

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化簡得m2(8—m2)=16,

解得：m2=4,所以m=±2,

所以直線/的方程為y=x+2或丫=x-2.

20.解：(1)證明：因?yàn)榱ΑL平面PAB,BC//AD,

所以BC_L平面/MB,

又因?yàn)?Eu平面R4B,

所以4E1BC,

在△PAB中，PA=AB,E是PB的中點(diǎn)，

所以4E1PB,

又因?yàn)锽CnPB=B,

所以4E，平面PBC.

(2)因?yàn)?。J.平面P4B,

所以力￡＞1AB,AD1PA,

又因?yàn)镻A1AB,

所以分別以4P，AB,4。所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系力-xyz,

則4(0,0,0),B(0,2,0),C(0,2,m),E(l,l,0),P(2,0,0),￡)(0,0,3)>

AC=(0,2,m),AE-(1,1,0),

設(shè)平面4EC的法向量為元=(x,y,z),

喘配,噌+H,

o

令％=1,則y=—1,z=—,

所以n—(1,-1A),

因?yàn)榱Α?平面P4B,

所以an1PB,

又PB1AE,ADQAE=A,

所以PB_L平面4ED,

又因?yàn)辂?(-2,2,0),

所以取平面AED的法向量為帚=(一1,1,0),

所以|cos＜詞＞|=曲湍=導(dǎo)即￡；；；［=亭

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解得Tn2=1,

又因?yàn)閙>0,

所以m=1.

(3)結(jié)論：不存在.理由如下：

證明：設(shè)F(0,0,t)(0<t<3),

當(dāng)爪=2時(shí)，C(0,2,2).PF=(-2,0,t)，CF=(1-1-2),

因?yàn)镻F1CE,

所以而=0,即一2—2t=0,

解得t=-1，與0Wt<3矛盾，

所以在線段AD上不存在點(diǎn)F,使得PF1CE.

21.解:若點(diǎn)40141),8(久2》2)相關(guān)，不妨設(shè)X