2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路：利用二階導(dǎo)函數(shù)解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題（學(xué)生版+解析）

專(zhuān)題08利用二階導(dǎo)函數(shù)解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題

(典型題型歸類(lèi)訓(xùn)練)

目錄

一、必備秘籍..............................................1

二、典型題型..............................................2

三、專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練..............................................3

一、必備秘籍

1、函數(shù)極值的第二判定定理：

若/(X)在x=/附近有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)/⑴，且r(%)=0,/(Xo)HO

⑴若<0,則/(x)在點(diǎn)/處取極大值；

(2)若/"(5)>0,則/(%)在點(diǎn)七處取極小值

2、二次求導(dǎo)使用背景

(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/'(X),無(wú)法判斷導(dǎo)函數(shù)正負(fù)；

(2)對(duì)函數(shù)/(x)一次求導(dǎo)得到了'(X)之后，解不等式/>'(￡)>0和/>'a)<0難度較大甚至

根本解不出.

(3)■階導(dǎo)函數(shù)中往往含有6工或In尤

3、解題步驟：

設(shè)g(x)=f'(x),再求g'(x),求出g'(x)>。和g'(x)<0的解，即得到-函數(shù)g(x)的單調(diào)性，

得到函數(shù)g(x)的最值，即可得到了'(X)的正?負(fù)情況，即可得到函數(shù)/(X)的單調(diào)性.

二、典型題型

1.(23-24高二下?福建廈門(mén)?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=^(xeR).

⑴求/(x)在卜兀,可的單調(diào)區(qū)間:

⑵若對(duì)于任意的〃力士履恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

2.(2024?廣東深圳?二模)已知函數(shù)〃==3+1)%尸⑺是f(x)的導(dǎo)函數(shù),且

r(x)-/(x)=2e\

(1)若曲線y=〃x)在x=0處的切線為>=履+"求匕6的值；

⑵在(1)的條件下，證明：f(x)>kx+b.

3.(2024?北京石景山?一模)己知函數(shù)〃力=疣3(。>0).

(1)求曲線y=在點(diǎn)(0,〃0))處的切線方程；

(2)求〃x)在區(qū)間［T1］上的最大值與最小值；

⑶當(dāng)4=1時(shí)，求證：f(^v)>lnx+x+1.

4.(2024?浙江麗水?二模)設(shè)函數(shù)/(%)=1—ln(x+a),aeR.

⑴當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù)〃尤)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若對(duì)定義域內(nèi)任意的實(shí)數(shù)x,恒有/'(同上。，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.(其中e=2.71828是自

然對(duì)數(shù)的底數(shù))

5.(23-24高二下?北京順義?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=xlnx+l,g(x)=x-alnx,其中aeR.

⑴求證:對(duì)任意的xw(O,??),總有恒成立；

⑵求函數(shù)g(x)在區(qū)間［l,e］上的最小值；

(3)當(dāng)。＜0時(shí),求證：函數(shù)〃(x)=〃x)-g(x)在區(qū)間。,+8)上存在極值.

三、專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

1.(23-24高二下?四川眉山?階段練習(xí))己知函數(shù)/(x)=lnx+竺eR).

X

⑴當(dāng)機(jī)=2時(shí)，求曲線y=〃x)在。,〃功處的切線方程；

⑵討論函數(shù)g。)=((司-《零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

5.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=-e，+當(dāng)+：+a(awR).

⑴當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=在點(diǎn)(1,〃功處的切線方程；

(2)當(dāng)aVl時(shí)，證明：#(x)W0在定義域內(nèi)恒成立.

6.(23-24高二下?甘肅蘭州?階段練習(xí))已知定義在(0,+“)上的函數(shù)〃司=《產(chǎn)

⑴若“無(wú))為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)"Z的取值范圍；

(2)當(dāng)根=0時(shí)，證明：xf^x)>^-+x+l.

7.(23-24高二下?河北張家口?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=xe',g(x)=x+lnr+m.

(1)求函數(shù)的極值；

⑵若g(x)4〃x)恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

8.(2024?陜西西安?二模)已知函數(shù)/(%)=：+xsinx+2cosx.

⑴當(dāng)〃=0時(shí)，3XG[0,TI],/(x)=m,求加的取值范圍；

(2)證明：當(dāng)時(shí)，/(元)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

專(zhuān)題08利用二階導(dǎo)函數(shù)解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題

(典型題型歸類(lèi)訓(xùn)練)

目錄

一、必備秘籍.............................................6

二、典型題型.............................................6

三、專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練.............................................13

一、必備秘籍

1、函數(shù)極值的第二判定定理：

若/(X)在x=/附近有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)/"(X),且/'(%)=0,7'"(XO)HO

⑴若/(%)<0,則/(x)在點(diǎn)/處取極大值；

(2)若/"(5)>0,則/(%)在點(diǎn)/處取極小值

2、二次求導(dǎo)使用背景

(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)r(x),無(wú)法判斷導(dǎo)函數(shù)正負(fù)；

(2)對(duì)函數(shù)/(X)一次求導(dǎo)得到了'(X)之后，解不等式r(x)>0和/”(x)<0難度較大甚至

根本解不出.

(3)一階導(dǎo)函數(shù)中往往含有6工或In光

3、解題步驟：

設(shè)g(x)=7'(x)，再求g'(x)，求出g'(x)>。和g'(x)<0的解，即得到-函數(shù)g(x)的單調(diào)性，

得到函數(shù)g(x)的最值，即可得到了'(x)的正,負(fù)情況，即可得到函數(shù)/(x)的單調(diào)性.

二、典型題型

1.(23-24高二下?福建廈門(mén)?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=^(xeR).

（1）求/（X）在［-兀,兀］的單調(diào)區(qū)間：

⑵若對(duì)于任意的士履恒成立，求實(shí)數(shù)％的取值范圍.

【答案】⑴答案見(jiàn)詳解

/-

2

（2）-00，—

",產(chǎn)+句,結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)”X）的單調(diào)區(qū)間;

【分析】（1）求導(dǎo)得

（2）由題知華2h對(duì)于任意的xe0尚恒成立，進(jìn)而分尤=0和xw0,g兩種情況討論即

e'L2J12」

可得解.

【詳解】（1）因?yàn)?/p>

r"I.7CJ7L3兀

且兀句一私兀］,貝|九+:￡——,er>0,

L」444

當(dāng)x+5即，&）＞（）；

兀「3兀兀715兀］rr「37171I\八

當(dāng)，十彳，_》明彳］，即苫十兀,一ju［了4f（x）＜o(jì)；

所以〃X）的遞增區(qū)間為遞減區(qū)間為f一亳［：，無(wú)；

JT

（2）因?yàn)閷?duì)于任意的xe0,-J（x”履恒成立，

所以學(xué)2履對(duì)于任意的x恒成立，

eL2J

當(dāng)尤=0時(shí)，貝U020,可知左?R；

當(dāng)xe（0,m時(shí)，—當(dāng),

I2」xex

玨/\sinx（八兀】…\尤cosx—sinx—尤sinx

構(gòu)建g（x）=-T，xe。，5，則g（x）=---------------

構(gòu)建/z（x）=xcosx-sinx-xsinx,xe（o,］,

則〃（1）=一%8111￥-5111^-％88%＜0在1￡（0,三上恒成立，

可知?。┰谏蠁握{(diào)遞減，則旗司＜"（。）=0,

即g'(x)<0在相卜弓上恒成立

可知g(x)在[Og上單調(diào)遞減，貝lJg(x)min=gU=W，

I」7ie^

7/2

可得及4丁.

兀「

/-

2

綜上所述：實(shí)數(shù)上的取值范圍為-.

ITie2.

2.(2024?廣東深圳?二模)已知函數(shù)〃力=(依+1僻，廣(x)是“X)的導(dǎo)函數(shù)，且

「⑺一〃尤)=21.

⑴若曲線y=〃x)在x=0處的切線為丫=履+萬(wàn)，求左，6的值；

⑵在⑴的條件下，證明:f(x)>kx+b.

【答案】⑴左=3，b=l；

⑵證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)根據(jù)題意，求導(dǎo)可得。的值，再由導(dǎo)數(shù)意義可求切線，得到答案；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=(2x+l)e-3x-l,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g(無(wú))的單調(diào)性從而求出最小值大于

0,可得證.

【詳解】(1)因?yàn)椤▁)=(辦+l)e\所以解(x)=(ax+a+l)e，,

因?yàn)槭?x)—〃x)=2e，，所以a=2.

則曲線y=/(x)在點(diǎn)x=0處的切線斜率為了'(0)=3.

又因?yàn)?0)=1,

所以曲線>=/(x)在點(diǎn)尤=0處的切線方程為丁=3x+l,

即得左=3,b=1.

(2)設(shè)函數(shù)g(%)=(2x+l)e*—3x—l,xeR,

貝W(x)=(2x+3)e，-3,

設(shè)/z(x)=g<x),貝!|1(%)=€工(2彳+5),

所以，當(dāng)x>-|時(shí)，〃(x)>0,g'(x)單調(diào)遞增.

又因?yàn)間'(o)=o,

所以，x>0時(shí)，g[x)>0,g(無(wú))單調(diào)遞增；

-■|<x<。時(shí)，g<x)<0,g(x)單調(diào)遞減.

又當(dāng)xW-：時(shí)，g,（x）=（2x+3）eA-3<0,

綜上g（尤）在（-8,0）上單調(diào)遞減，在（0,+e）上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=0時(shí)，g（x）取得最小值g（0）=0,

即（2x+l）e，-3x-lN0,

所以，當(dāng)xeR時(shí)，/（x）>3x+l.

3.（2024?北京石景山?一模）已知函數(shù)〃x）=xem（a>0）.

（1）求曲線y=在點(diǎn)（o,〃o））處的切線方程；

⑵求/（元）在區(qū)間上的最大值與最小值；

⑶當(dāng)a=l時(shí)，求證：/（x）Nlnx+x+l.

【答案】（i）y=x

⑵見(jiàn)解析

⑶證明見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線方程；

（2）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再討論0<aWl和。>1兩種情況求函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值；

（3）首先根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)g（x）=xe"-Inx-x-l,再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，即可

證明.

【詳解】（1）（（尤）=（1+依）e",r（o）=i,/（o）=o,

所以曲線y=在點(diǎn)（0,〃0））處的切線方程為了='

（2）/（尤）=（1+依"儂，<2>0

當(dāng)0<aWl時(shí)，廣⑺20在區(qū)間［-1』上恒成立，/⑺在區(qū)間［-1』上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)的最小值為-e”,最大值為〃l）=e〃，

當(dāng)a>l時(shí),f（X）=0,得尤=—e（—1,0）,

尸（x）在區(qū)間-1,-￡|小于0,函數(shù)單調(diào)遞減，

廣（“在區(qū)間-大于0,函數(shù)/（x）單調(diào)遞增，

所以函數(shù)的最小值為小-口=-,，

“-!）=—e”，/（l）=ea,顯然〃1）>〃-L）,所以函數(shù)的最大值為〃l）=e。，

綜上可知，當(dāng)0<aVl時(shí)，函數(shù)/（X）的最小值為〃-l）=-eT最大值為〃l）=e〃，

當(dāng)a>l時(shí)，函數(shù)的最小值為，二)=-工，最大值為〃l)=e"；

IcijQe

(3)當(dāng)。=1時(shí)，〃x)=xex,即證明不等式xe'?lnx+x+l,

^g(x)=xel-lnx-x-1,x>0,g'(x)=(x+l)(e*—工］,

設(shè)〃(x)=e=Lx>0,〃(x)=e*+±>0,

XX

所以Mx)在(0,+8)單調(diào)遞增，并且〃&)=血-2<0,/z(l)=e-l>0,

所以函數(shù)%(尤)在U上存在唯一零點(diǎn)七,使〃(毛)=1。-9=0,

即g'(N)=0,則在區(qū)間(o,尤o),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

在區(qū)間(飛,+8),g'(x)>o,g(x)單調(diào)遞增，

所以g(x)的最小值為g(Xo)=%e&-111%-毛-1,

由"(Xo)=e&---=0,得Xoe"=l,且無(wú)0=-111%，

所以g(%)=0，

所以g(x)=xe*-lnx-x-l=0,BP/(x)>lnx+x+l.

4.(2024,浙江麗水?二模)設(shè)函數(shù)/(x)=e*—ln(x+a),awR.

⑴當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù)〃尤)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若對(duì)定義域內(nèi)任意的實(shí)數(shù)x,恒有/'(同上。，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.(其中e=2.71828是自

然對(duì)數(shù)的底數(shù))

【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為(-1，0)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8)

⑵(-00川

【分析】(1)求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，即可得解；

(2)依題意可得e*-ln(x+a)2a在(-a,+oo)上恒成立，設(shè)g(x)=e"-ln(x+a)-a,

xe(—a,y),利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可得至=且

g(x)min=g(xo)=e%-白+2無(wú)(,20,利用導(dǎo)數(shù)求出與的范圍，即可求出。的范圍.

【詳解】⑴當(dāng)a=l時(shí)〃x)=e-ln(x+l)定義域?yàn)?-1,+8),

且((“:/一々，

X+1

令尸⑺=/，(x)=e'--則9

所以尸(x)=e，-9在(-1,+8)上單調(diào)遞增，

又廣⑼=0,所以當(dāng)-l<x<0時(shí)T(x)<0,當(dāng)尤>0時(shí)用勾>0,

所以/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8)；

(2)函數(shù)〃犬)=d—ln(x+a)定義域?yàn)?—a,+oo),

依題意e"-ln(%+。)2。在(-。,+00)上恒成立，

設(shè)g(九)=eX—ln(x+Q)—a,xe(-tz,+oo),貝ijg'(x)=]-----,

設(shè)Mx)=g，(x)=e，,貝|J〃(x)=e-'-+1>0恒成立，

x+a(X+Q)

所以g'(x)=e'-士在內(nèi))上單調(diào)遞增，

且當(dāng)工—時(shí)g'(%)->TX),當(dāng)%—+00時(shí)g'(x)f+GO,

所以3%0￡(—區(qū)也)使得g'(Xo)=。，即1。=一一，

A-QiCI

所以。=—X,

e%Q

則當(dāng)xe(-凡外)時(shí)g<x)<0,即g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe($,+oo)時(shí)g'(x)>0,即g(x)單調(diào)遞增,

所以g(x)mjn=g(xo)=e$-ln(x0+a)-a=e^-In[%1—x°)

=e*--+2x>0,

e與0

ii

令根(x)=e*———+2x,貝!Jm'(x)=e"+—+2>0m(0)=0,

所以〃7(x)=e*--l+2x為增函數(shù)，

由加(尤0)20=制0),所以無(wú)o但0,

又>=4與，=-%均為減函數(shù)，所以y=4-x在[。,+8)上單調(diào)遞減，

ee

所以當(dāng)飛20時(shí)aV】-0=l,

e

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為(f』.

5.(23-24高二下?北京順義?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=xlnx+l,g(x)=x-alnx,其中aeR.

(1)求證：對(duì)任意的x《O,y),總有〃x)2x恒成立；

(2)求函數(shù)g(x)在區(qū)間［Le］上的最小值；

(3)當(dāng)"0時(shí),求證：函數(shù)/z(x)=/(x)-g(x)在區(qū)間。,+8)上存在極值.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

1,?<1

⑵g(x)mi"='e-a,aNe

a-alna,l<a<e

⑶證明見(jiàn)解析

【分析】(1)依題意可得尤lnx+1—x20對(duì)任意的xe(0,y)恒成立，令Mx)=xlnx-x+1,

利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，即可得證；

(2)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分aWO、。>0兩種情況討論得到g(x)在(0,+e)上的單調(diào)性，再

結(jié)合所給區(qū)間，分3種情況討論函數(shù)的最小值；

(3)利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，以及隱零點(diǎn)的思想證明即可.

【詳解】(1)依題意對(duì)任意的彳40,也)恒成立，

即;dnx+1-x20對(duì)任意的xe(0,+x>)恒成立，

令〃z(x)=xlnx-x+l,xe(0,+oo),

則加(x)=lnx,所以當(dāng)0<x<l時(shí)加(x)<0,當(dāng)x>l時(shí)7〃(x)>0,

所以m(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以根(力1nhi=m(l)=O,則m(x)20恒成立，

即/(X)2%對(duì)任意的了€(0,4<0)恒成立；

(2)因?yàn)間(x)=x-alnx,貝I］g<x)=l-0=

XX

①當(dāng)aWO時(shí)g'(x)>0,所以g(元)在(0,+s)上單調(diào)遞增，

當(dāng)xe［l,e］時(shí)g(xL=g6=l；

②當(dāng)。>0則0<x<a時(shí)g'(x)<0,x>a時(shí)g，(x)>0,

即g(力在(0,。)上單調(diào)遞減，在(a,+?)上單調(diào)遞增；

又xe［l,e］,

所以當(dāng)0<aWl時(shí)g(x)在［l,e］上單調(diào)遞增,所以g(x)1nhi=g6=l；

當(dāng)a2e時(shí)g(x)在［l,e］上單調(diào)遞減，所以g(x)1nhi=g(e)=e-cz；

當(dāng)l<a<e,貝?。輌(x)111bl=g(a)=a_alna；

l,a<l

綜上可得g(x)min=<e-a,“2e.

a-alna,l<a<s

(3)因?yàn)?z(x)=/(x)-g(x)=(尤+a)ln尤+1—尤,xe(l,+oo),

貝！]h'(x]=lnx+x+a_1-Inx+—,

xx

令歹(%)=//(無(wú))=In無(wú)+色，則Fr(^)=—―-^-=^—

尤無(wú)；r尤

因?yàn)閍<0,所以尸(x)>0恒成立，

所以網(wǎng)"即“(X)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

又〃⑴=a<0,當(dāng)xf+8時(shí)Inxf+00,—^-0(a<0),所以“(x)f-,

所以玉oe(1,+8)使得〃(%)=0,

則當(dāng)xe(1,%)時(shí)//(x)<0,〃(無(wú))單調(diào)遞減,

當(dāng)xe(xo，+oo)時(shí)〃(尤)>0,〃(x)單調(diào)遞增，

所以?shī)y力在x=/處取得極小值，

即函數(shù)從力=/(x)-g(x)在區(qū)間(1,+8)上存在極值.

三、專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

1.(23-24高二下?四川眉山?階段練習(xí))己知函數(shù)"x)=lru+爭(zhēng)加eR).

⑴當(dāng)”=2時(shí)，求曲線y=/(x)在(1,〃功處的切線方程；

(2)討論函數(shù)g(x)=零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

【答案】①x+y-3=。

⑵答案見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)條件，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求出左=/(1),再利用直線的點(diǎn)斜式

方程，即可求出結(jié)果；

(2)令g(x)=0,可得〃7=-$3+彳(尤>o),構(gòu)造函數(shù)/?(尤)=一；尤3+尤(尤>0),利用導(dǎo)數(shù)與

函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出力(尤)的取值范圍，再數(shù)形結(jié)合，即可求出結(jié)果.

719

【詳解】(1)當(dāng)根=2時(shí)，f(x)=lnx+-,則((同=(一7，

i22

所以上=/'(1)=,_干=_1，又/(l)=lnl+[=2,

由直線的點(diǎn)斜式可得y—2=-L(x—1),化簡(jiǎn)可得x+y-3=0,

所以切線方程為x+V-3=0.

(2)因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=-(x)_[=工?尤>0),

5xx3

令g(%)=。，可得根=-；九3+%(%〉o),設(shè)/z(%)=-gd+x(%>0),

貝(J"(元)=_X2=九+1),

當(dāng)無(wú)?0,1)時(shí),〃(%)>0,此時(shí)力⑺在(o,i)上單調(diào)遞增,

當(dāng)X￡(l,+8)時(shí)，此時(shí)%(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減，

1o

所以當(dāng)x=l時(shí)，力⑴有極大值，即最大值，/Z(1)=-1+J=J,

且xf0時(shí)，〃(x)-0,xf+8時(shí)，—8,圖象如圖所示,

2

所以當(dāng)機(jī)>耳時(shí)，函數(shù),二機(jī)與函數(shù)丁="(%)無(wú)交點(diǎn)；

2

當(dāng)加=§時(shí)，函數(shù)，=相與函數(shù)y=%(x)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；

2

當(dāng)。<機(jī)時(shí)，函數(shù),=相與函數(shù)》有兩個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)機(jī)wo時(shí)，函數(shù)y=機(jī)與函數(shù)丁="(%)有且僅有一個(gè)交點(diǎn);

9

綜上所述，當(dāng)加>]時(shí)，函數(shù)g(x)無(wú)零點(diǎn)；

2

當(dāng)m=§或m<0時(shí)，函數(shù)g(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn);

2.(2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模)已知函數(shù)/(尤)=(x—2)e”—尤?+2x+3

(1)求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)令g(x)=f'(x),求g(x)在x=ln2處的切線/的方程，并證明g(x)的圖象在直線/的上方.

【答案】⑴增區(qū)間是(-?,山2)和(1,+e)J(x)的減區(qū)間是(ln2,1)

⑵尸⑵112-2)(》-山2),證明見(jiàn)解析

【分析】(1)對(duì)函數(shù)/(X)求導(dǎo)并根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)可得其單調(diào)區(qū)間；

(2)利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義可求得切線/的方程，構(gòu)造函數(shù)/z(x)=g(x)-(21n2-2)(x-ln2),

求出其最值可證明〃(無(wú))20恒成立即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)“無(wú))的定義域?yàn)镽,

則f'(x)=(.x-l)e;l-2x+2=(x-l)(el-2^,xeR

當(dāng)x>1或x<ln2時(shí)，f\x)>0,f(x)在(y,ln2),(1,+“)上單調(diào)遞增；

當(dāng)ln2(尤<1時(shí)，r(x)<0,/(x)在(ln2,l)上單調(diào)遞減；

所以/(元)的增區(qū)間是(-8,ln2)和(1,+8)1⑺的減區(qū)間是(M2,1).

(2)由(1)知g(x)=「(尤)=(尤-1乂e，-2),xeR,

則g/(x)=xex-2,xeR,

又夕(ln2)=ln2eln2—2=21n2-2,g(ln2)=(ln2-l)(eta2-2)=0,

所以g(無(wú))在x=ln2處的切線方程/為y=(21n2-2)(x—ln2).

令〃(x)=g(x)-(21n2-2)(x-ln2)=-2)-(21n2-2)(x—ln2),xeR,

貝U〃(x)=xer-21n2,尤eR,

令m(x)=〃(x)=xex-21n2,尤eR,可得m'(x)=(x+l)e%,xeR

當(dāng)尤>一1時(shí)，加(X)>O,//(X)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)x<-1時(shí)，m'(%)<0,〃(x)在上單調(diào)遞減；

所以當(dāng)x=-1時(shí)，〃(x)取得最小值//(1)=-e-1-21n2<0,

當(dāng)x趨近于-oo時(shí)，"(力趨近于0,X/?,(1)=e-21n2>0,h'(ln2)=ln2eln2-21n2=0；

故當(dāng)x>ln2時(shí)，"(x)>0,/z(x)在(ln2,+oo)上單調(diào)遞增；

當(dāng)x<ln2時(shí)，萬(wàn)(%)<0,/2'(同在(一8/112)上單調(diào)遞減；

因此當(dāng)x=ln2時(shí)，h(x)取得最小值力(始2)=0,

即Mx"Mln2)=0恒成立，所以g(x)>(21n2—2)(x-ln2)恒成立,

所以g(x)的圖象在直線/的上方.

3.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)

(1)討論函數(shù)〃尤)的單調(diào)性；

⑵若函數(shù)“X)的最小值為不等式〃可"*-1)21-62+加在1,2上恒成立，求實(shí)數(shù)加

的取值范圍.

【答案】⑴答案見(jiàn)解析

(2)(-00,2-ln2]

【分析】(1)求導(dǎo)，即可對(duì)〃進(jìn)行分類(lèi)討論求解導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求解，

(2)將原不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)，從而可構(gòu)造函數(shù)

12「]-

h(x)=~x2+e2,x^-,2,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題進(jìn)行求解.

【詳解】(1)由題知“X)的定義域?yàn)?0,+8),尸(x)=x-4=f.

XX

①當(dāng)aWO時(shí)，x1-a>0,則第x)>0,故單調(diào)遞增.

②當(dāng)a>0時(shí)，尸⑺[x+間1一岡.

故〃尤)在(0,&)上單調(diào)遞減，在(后,+可上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)aWO時(shí)，/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；當(dāng)。>0時(shí)，/(x)在(0,6)上單調(diào)遞減，在

(五+8)上單調(diào)遞增.

(2)由(1)知，〃>0,且=/(夜)=；〃一=g,gpa-a\na=l.

令m(x)=x—xln%,貝Im'(x)=—lnx,令加(%)=一111%>0,解得Ovxvl,

故鞏同在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,y)上單調(diào)遞減，所以見(jiàn)x)111ax=訊1)=1,所以.=1.

1r1

由題可得—爐-Inx-(x-1)9e1+e?2用在—,2上恒成立.

2v72

12

4*^(^)=—x2-lnx-(x-l)e%+e2,A：G9

則/(x)=(x+D(x-

令(x)=g_e)貝|"(力=_5一^<0,可得《X)在(0,+8)上單調(diào)遞減,

又M1)=1-e<0,jJ=2>0,

故存在毛€9,1],使得《不)=0,1",

即一=e°,-lnx0=x0,

因此/?(x)在；，尤。)上單調(diào)遞減，在5,1)上單調(diào)遞增，在(L2]上單調(diào)遞減.

1Y21

922

易知h⑵=2-ln2,/z(x0)=—XQ-lnx0-(x0-1)e"+e=寸---i-2+e,

15211i

由于—上<包r一一<—,故2—In2<±+e2</z(%),

v7

82x028

因此gOmin=2-ln2,故〃?<2-ln2,即加的取值范圍為(-<?,2-ln2].

4.(2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/⑺=e'+o?r,當(dāng)xNO時(shí)，/(x)>|x3+l,

求。的取值范圍.

r,7-e")

【答案】-q—,+°0

【分析】分離參數(shù)，分x=O，x>。兩種情況分析，當(dāng)x>0時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值,

即可得解.

【詳解】由/(xjNgV+l,得e*+依2+i,其中x20.

①當(dāng)x=0時(shí)，不等式為121,顯然成立，符合題意.

②當(dāng)尤>0時(shí)，得〃>e'_g.d-尤一1

G-?一

(x_2)"*一x-l

、口e'—x'—.X—11l

記g(x)=--J—'則7ng,(x)一

X3

^h(x)=ex-^x2-x-l(x>0),

則〃(x)=e，—x—l,令皿x)=e"-x-l,貝"加(x)=e，—120,

故li(x)單調(diào)遞增，li(x)>/z(O)=O,

故函數(shù)以尤)單調(diào)遞增，Kx)>h(O)=O.

由h{x)20得e"—f—%—1N0恒成立，

2

故當(dāng)工￡。2)時(shí)，g\x)>0,g(%)單調(diào)遞增；

當(dāng)無(wú)￡(2,+00)時(shí)，gr(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.

7-e2

因此，g(x)max=g(2)=^—.

綜上可得，實(shí)數(shù)。的取值范圍為了，

5.(2024?全國(guó),模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=-e*+位+』+a(aeR).

XX

(1)當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=在點(diǎn)處的切線方程;

⑵當(dāng)時(shí)，證明：獷(x)40在定義域內(nèi)恒成立.

[答案](l)"+y-l_e=O

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可；

(2)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理先判定a=l時(shí)符合題意，再

適當(dāng)放縮即可證明.

【詳解】(1)當(dāng)"=e時(shí)，f(x)=—e'H----H---Fe(x>0),

XX

.?.〃1)="(刈7+,_：7一竽-⑴…，

???當(dāng)a=e時(shí)，曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,7(1))處的切線方程為y-l=-e(x-l)，即ex+y-1-e=0.

(2)由題知，函數(shù)/■(力=—，+號(hào)+!+。的定義域?yàn)?0,+動(dòng)，

當(dāng)a=l時(shí)，h^x)=xf^x)=lnx+x—xex+1,尤w(0,+8),

則"(x)=^+l-(x+l)e*=(x+l)[L_e].

令(x)=L-e*,尤c(O,+8),則(x)=--^-e*<0對(duì)任意x?0,+8)恒成立，

.?.(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，又(gJ=2_&>0,f(l)=l_e<0,

使得/5)=0,即工=e-，貝I]-IIUQ=X。.

，當(dāng)0<%<入0時(shí)，《龍)>0,貝1」”(九)>0,%(%)單調(diào)遞增；

當(dāng)2>/時(shí),r(x)<o,則"(x)<0,力(%)單調(diào)遞減，

用(％)<M%o)=1nxo+%o一/。"+1=0—1+1=0,即Inx+x+1<xex?

又aW1,%>0,:Anx+ax+l<Inx+x+l<xex,

/.lnx+ax+1<xe"

?