2024-2025學(xué)年江蘇省南通市某中學(xué)高三（上）質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（一）（含答案）

2024-2025學(xué)年江蘇省南通市海安實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三(上)質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷

(一)

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足(1+E)z=1-2嚴(yán)，則z的共輾復(fù)數(shù)為()

31.^3,1.31.3,1.

A-B.-+-1C.—---ID.--+-I

2.已知函數(shù)y=/(%)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表，函數(shù)y=g(X)的圖象如圖，貝！的值為()

X123

f(x)230

3.設(shè)集合A=[x\\x-2\<1},B={x|log2x<1},C={x\xE3且第0B],則C=()

A.0B.[1,2)C.[2,3]D.(2,3]

4.命題p：-3<%<1,q：%m若q的一個(gè)充分不必要條件是p,則a的取值范圍是()

A.(-3,4-00)B.[-3,+8)C.(L+8)D.[1,+8)

5.設(shè)/(%)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，f(-3)=-7,當(dāng)％20時(shí)，/(%)=ax+h,則/(I)=()

A.1B.-V6-1C.V7^b+bD.-V7TT+Z)

6.我們知道當(dāng)0<%<2或%>4時(shí)，2、,若a=sg23,b=0,c=21og32,則()

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a

7.函數(shù)/(%)=J/一%2+對(duì)任意%i，&e[1,2],且%1。％2，者B有""1)一"犯)>1,貝！Ja的范圍是()

A.(1,+8)B.口+00)C.(2,+00)D.[2,+oo)

8.若e。=”匕+4+匕則a—2b的最小值為()

A.2B.1+ln2C.1D.In2

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知函數(shù)/1(%)=xhrr,則()

人./(%)在(1,+8)單調(diào)遞增

B.f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)

(2](%)的最小值為-?

D.y=f(x)在(1,0)點(diǎn)處切線(xiàn)為y=x-l

10.設(shè)偶函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,若/(2支—1)—1為奇函數(shù)，則()

A./(l)=l

B.f(x+2)=/(2-x)

C.函數(shù)f(久)的一個(gè)周期是6

D./(I)+f(2)+/(3)+---+f(2024)=2024

11.已知a>b>1,貝!1()

AA.—b>—b+―1Bn.\1xibk<Ja—11

aa+i

ab

C.be>aeD.loga+1a<\ogb+1b

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知函數(shù)，⑺=設(shè)；；瑟20則加⑶]=一.

3

13.設(shè)塞函數(shù)/(x)=mxm~2,則不等式/(3-a)>/(2a)的解集為.

14.已知曲線(xiàn)f(x)=/與。(久)=a+bix有公共切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)a的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題12分)

在每年的1月份到7月份，某品牌空調(diào)銷(xiāo)售商發(fā)現(xiàn)：“每月銷(xiāo)售量(單位：臺(tái))”與“當(dāng)年的月份”線(xiàn)性相關(guān).

根據(jù)統(tǒng)計(jì)得下表：

月份X123456

銷(xiāo)量y122133415263

(1)根據(jù)往年的統(tǒng)計(jì)得，當(dāng)年的月份x與銷(xiāo)量y滿(mǎn)足回歸方程產(chǎn)=10%+七請(qǐng)預(yù)測(cè)當(dāng)年7月份該品牌的空調(diào)可

以銷(xiāo)售多少臺(tái)？

(2)該銷(xiāo)售商從當(dāng)年的前6個(gè)月中隨機(jī)選取3個(gè)月，記X為銷(xiāo)量不低于前6個(gè)月的月平均銷(xiāo)量的月份數(shù)，求X

的分布列和數(shù)學(xué)期望.

16.(本小題12分)

設(shè)公比為正的等比數(shù)列｛詼｝前n項(xiàng)和為Sn,S3=7%,且的,a3,20+a2成等差數(shù)列.

(1)求｛斯｝的通項(xiàng)；

(2)若數(shù)列｛5｝滿(mǎn)足%=bn+l+%g+110g2an，瓦=1，求數(shù)列｛與｝的前幾項(xiàng)和加.

17.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面力BCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，P41平面4BCD,PA=2,M是BC中點(diǎn)，

N是PD中點(diǎn).

(1)證明：直線(xiàn)MN〃平面PAB;

(2)設(shè)同=2元，求平面PCD與平面GMN的夾角.

18.(本小題12分)

已知橢圓C:^+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F「尸2，橢圓C在第一象限上的點(diǎn)力滿(mǎn)足1人尸2，點(diǎn)4關(guān)于丫

軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B.

(1)求點(diǎn)a的坐標(biāo)；

(2)在x軸上任取一點(diǎn)P,直線(xiàn)2P交直線(xiàn)y于點(diǎn)Q,求行?麗的最大值；

(3)設(shè)點(diǎn)M在橢圓C上，記aOAB與AAMB的面積分別為Si，S2,若S[=2S2，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

19.(本小題12分)

已知函數(shù)/'(x)=(；+a)ln(x—1).

(1)當(dāng)a=—1時(shí)，求曲線(xiàn)y=/(%)在點(diǎn)(2,/(2))處的切線(xiàn)方程;

(2)當(dāng)a=-，時(shí)，證明：曲線(xiàn)y=/(3是軸對(duì)稱(chēng)圖形；

(3)若函數(shù)%(%)=(%-在［2,+8)上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

參考答案

1.71

2.5

3.C

4.0

5.4

6.5

7.D

8.F

9./4CD

10.ABD

11.BC

12-

13.(1,3)

14.1n-\/-2e

1+2+3+4+5+6

15.解:=3.5,

(1)元=6

_12+21+33+41+52+63“

y=------------6------------=37,

又回歸直線(xiàn)過(guò)樣本中心點(diǎn)(五亨)，所以37=10x3.5+t,得t=2,

所以y=10比+2,當(dāng)％=7時(shí)，3=72,

所以預(yù)測(cè)當(dāng)年7月份該品牌的空調(diào)可以銷(xiāo)售72臺(tái)；

(2)因?yàn)榇?37,所以銷(xiāo)量不低于前6個(gè)月的月平均銷(xiāo)量的月份數(shù)為4,5,6,

所以X=0,1,2,3,

所以P(X=0)=4=^>P(X=1)=萼=焉P(X=2)=萼=券P(X=3)=烏=焉,

底20、7Cg207Q20比20

所以X的分布列為:

X0123

99

P11

2020而麗

故數(shù)學(xué)期望E(X)=0x^-+lx^-+2x^-+3x^-=1.

乙U4UNiUNiU乙

16.解:(1)設(shè)｛an｝的公比為q,

因?yàn)镾3=7ar,

所以的(1+q+Q2)=7a1，

因?yàn)榈腤0,

所以q2+q—6=0,

因?yàn)閝>0,

所以q=2,

又因?yàn)椤?，a3,20+。2成等差數(shù)列，

所以2a3=%+20+的，

即8al=a1+20+2a1，

得的=4,所以?xún)?cè)=2n+1；

(2)因?yàn)閎九=bn+1+bnbn+1\og2an,

所以9---V=幾+1，可得T-:

bn+1bnb2b1

累加得—占=2+…+九

bn比

因?yàn)?=1，

bi

所以==1+2+…+幾=嚶，

bn2

所以力九=；=2(v---,y

n(n+l)nn+l

所以Tn=2[(1—今+6一§+…+(；—磊)]=2一磊.

17.解：（1）證明：取P4的中點(diǎn)為Q,連接QB,QN,

???Q,N分別為24,PD的中點(diǎn),

1

QN="AD且QN〃AD,

1

y.BM=AD,BM//AD,

故QN=BM且QN"BM,

故四邊形BMNQ為平行四邊形，MN//BQ,

MNC平面P48,BQu平面P&B,

故直線(xiàn)MN〃平面PAB；

(2)由P力，底面ABC。，且四邊形48CD為正方形，得直線(xiàn)AB,AD,4P兩兩垂直,

以力為原點(diǎn)，直線(xiàn)力B,AD,4P分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則B(2,0,0),C(2,2,0),￡>(0,2,0),P(0,0,2),Af(0,1,1),M(2,l,0),

所以而=(0,2,—2)，CD=(-2,0,0).

設(shè)平面PCD的法向量為元=(%,月,Zi),

所以E.二=2月一2與=0,

令yi=l,得元=(0,1,1),

設(shè)平面GMN的法向量為記=(x2,y2,z2)f

因?yàn)殚g=2GC，

1

所以說(shuō)=配+元=祝+^方=3-(-2,-2,2)=(量,行),

又因?yàn)辂?（—2,0,1）,

_------>212

m>-MG=--%+§V2+3^2=0,

所以2

m?MN=-2X2+z2=0.

令上=1，得記=（1,—2,2）,

所以cos（匯記>=禺=汽焉=8

所以平面PCD與平面GMN的夾角為90。.

2

18.解：（1）由橢圓C:?+y2=1，則左，右焦點(diǎn)分別為Fi（—0）,F（V-3,0）,

42

設(shè)/（犯九），m>0,n>0,因?yàn)锳F1IAF2，可得麗?麗=（一73-皿一九）（6—皿―九）=0,

2

整理得tn?+九2=3,又因?yàn)?+荏2=L

4

m22—1

聯(lián)立方程組彳+九=>

.m2+彥=3

解得TH=曰百，n=年,

y—0x—p

(2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(p,0),則直線(xiàn)4P方程為W=H

3U3P

因?yàn)橹本€(xiàn)AP交直線(xiàn)y=于點(diǎn)Q,

聯(lián)立方程組

x=2y/~6—2p

解得

y=6

可得Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2港-2p,V^）,

由泰?麗=(p,0)?(2竭-2p,<3)=-2P2+2<6p=—2(p—苧/+3，

當(dāng)「=苧時(shí)，赤.而取最大值，最大值為3.

(3)點(diǎn)4的坐標(biāo)為(竽，苧)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(一等,苧)，

則點(diǎn)。到線(xiàn)段48的距離上=苧，若Si=2s2,則點(diǎn)M到線(xiàn)段AB的距離應(yīng)為九2=今

故M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為￡或空，代入橢圓C方程二+y2=1，

624/

解得M點(diǎn)縱坐標(biāo)為￡時(shí)，％=+單，

M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為苧時(shí)，x=±l,

故M點(diǎn)的坐標(biāo)為(士等,?)或(±1,?).

19.1?：(1)當(dāng)a=—1時(shí)，/(x)=(i-l)ln(x-l),所以―2)=0,

111111

可得,(%)=-1)+(--1)ky=_^2ln(x-1)一彳所以,(2)=2-

所以曲線(xiàn)y=/(x)在點(diǎn)(2,/(2))處的切線(xiàn)方程為y=+1；

(2)證明：當(dāng)a=一5時(shí),/(x)=(---)ln(x-1),令g(x)=/Q)=Q—Rln4—1)=(x—Rin?,

設(shè)y=g(x)關(guān)于工=6對(duì)稱(chēng)，則g(26-x)-