2024-2025學(xué)年北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：線段、角（對(duì)角線）的計(jì)數(shù)模型解讀與提分訓(xùn)練

專題05線段、角（對(duì)角線）的計(jì)數(shù)模型

本專題主要培養(yǎng)學(xué)生的觀察、實(shí)驗(yàn)和猜想、歸納能力，掌握從特殊向一般猜想的方法，及構(gòu)建數(shù)學(xué)模

型解決實(shí)際問(wèn)題等。線段的條數(shù)、直線的交點(diǎn)數(shù)、角的個(gè)數(shù)、對(duì)角線條數(shù)等計(jì)數(shù)規(guī)律，可以自己推導(dǎo)后進(jìn)

行記憶。本專題就線段（角度）的計(jì)數(shù)、平面內(nèi)直線相交所得交點(diǎn)與平面分割的計(jì)數(shù)、多邊形的對(duì)角線條

數(shù)和三角形分割個(gè)數(shù)的計(jì)數(shù)模型進(jìn)行研究，以方便大家掌握。

目錄導(dǎo)航一

例題講模型

.........................................................................................................................................................2

模型1.線段的計(jì)數(shù)模型.................................................................2

模型2.角度的計(jì)數(shù)模型.................................................................6

模型3.直線交點(diǎn)計(jì)數(shù)模型與平面分割的計(jì)數(shù)模型...........................................9

模型4.多邊形的對(duì)角線條數(shù)計(jì)數(shù)模型和三角形個(gè)數(shù)的計(jì)數(shù)模型.............................13

習(xí)題練模型

17

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例題講模型］

模型L線段的計(jì)數(shù)模型

模型解讀

如果線段上有〃個(gè)點(diǎn)（包括線段的兩個(gè)端點(diǎn)），那么該線段上共有多少條線段?

模型證明

證明：①以A為端點(diǎn)的線段有：AB.AC、AD.AE,有4條；

②以8為端點(diǎn)的線段有：BC、B。、BE,有3條；③以C為端點(diǎn)的線段有：CD、CE,有2條;

④以D為端點(diǎn)的線段有：DE,有1條；故圖中線段總數(shù)量：4+3+2+1=10（條）

注意：線段的定義為兩點(diǎn)間的一段直線，因此“直線+兩個(gè)端點(diǎn)”是其核心要素；

結(jié)論拓展：若有“個(gè)點(diǎn)，則線段數(shù)量為：（小1）+（?-2）+...+4+3+2+1=〃（-1）（條）

2

模型運(yùn)用

例1.（2024?自貢?七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、B、C、。是直線/上的四個(gè)點(diǎn)，圖中共有線段（）

彳？」1i

A.7條B.6條C.5條D.4條

【答案】B

【分析】可用公式法直接確定線段的個(gè)數(shù).

【詳解】解：當(dāng)一條線上由〃個(gè)點(diǎn)時(shí)，共有1+2+3+......+（小1）=妁/個(gè)線段

2

回此題圖中共有硬導(dǎo)=4〉（；T）=6（條）故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查同一直線上點(diǎn)與線段的數(shù)量關(guān)系，做到不重不漏是解題的關(guān)鍵.

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例2.（23-24七年級(jí)?重慶?假期作業(yè)）如圖所示，由泰山始發(fā)終點(diǎn)至青島的某一次列車，運(yùn)行途中?？康能?/p>

站依次是：泰山一一濟(jì)南一一淄博一一濰坊一一青島，那么要為這次列車制作的單程火車票（）種.

?????.

泰山濟(jì)南淄博濰坊青島

A.5B.10C.15D.20

【答案】B

【分析】設(shè)泰山一濟(jì)南一淄博一濰坊一青島五站分別用A,B,C,D,E表示，數(shù)出利用上述五點(diǎn)為端點(diǎn)

的線段條數(shù)即可.

【詳解】解：設(shè)泰山一濟(jì)南一淄博一濰坊一青島五站分別用人B,C,D,E表示，則共有線段：AB.AC.

AD、AE,BC、BD、BE、CD、CE、DE,共10條，，

回要為這次列車制作的單程火車票10種.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了直線、線段、射線，要注意單程票，切記理解成往返車票而出錯(cuò).

例3.（23-24七年級(jí)上?山東荷澤?階段練習(xí)）某列車往返于荷澤至臨沂，運(yùn)行途中停靠的車站依次是：荷澤

一一巨野一一濟(jì)寧一一兗州一一臨沂，那么這次列車需要制作火車票（）種.

A.6B.10C.12D.20

【答案】D

【分析】本題考查分類計(jì)數(shù)原理，根據(jù)每個(gè)點(diǎn)做起點(diǎn)都有4個(gè)終點(diǎn)車站求解即可得到答案；

【詳解】解：由題意可得，這次列車需要制作火車票：5x4=20（種），故選：D.

例4.（23-24七年級(jí)上?重慶?期中）如圖，線段上的點(diǎn)數(shù)與以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的總數(shù)有如下關(guān)系：

I,，，，，，，，，1，

ACBACDBACDEB

⑴當(dāng)線段A3上有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總共有條；當(dāng)線段A3上有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，以這些

點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總共有條；當(dāng)線段A3上有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總共有條;

⑵當(dāng)線段AB上有?個(gè)點(diǎn)時(shí)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總共有多少條？

⑶根據(jù)上述信息解決下面的問(wèn)題：①某學(xué)校七年級(jí)共有20個(gè)班級(jí)進(jìn)行辯論賽，規(guī)定進(jìn)行單循環(huán)賽（每?jī)?/p>

個(gè)班賽一場(chǎng)），那么該校七年級(jí)的辯論賽共要進(jìn)行多少場(chǎng)？②乘火車從A站出發(fā)，沿途經(jīng)過(guò)10個(gè)車站方可

到達(dá)8站，那么在A,8兩站之間需要設(shè)置多少種不同的車票（僅考慮車票的起點(diǎn)站與終點(diǎn)站之分）？

【答案】⑴3,6,10（2）線段總共有夕（〃-1）條

⑶①該校七年級(jí)的辯論賽共要進(jìn)行190場(chǎng)；②需要設(shè)置132種車票

【分析】（1）根據(jù)線段的定義進(jìn)行求解即可；

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（2）根據(jù)（1）中的等式，得到以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總數(shù)共有1+2+3++（〃-1）條；

（3）①根據(jù)（2）中的結(jié)論，進(jìn)行求解即可；②根據(jù)（2）中的結(jié)論進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）當(dāng)線段A3上有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總數(shù)共有1+2=3（條）；

當(dāng)線段上有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總數(shù)共有1+2+3=6（條）；

當(dāng)線段AB上有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總數(shù)共有1+2+3+4=10（條）.答案：3,6,10

（2）當(dāng)線段A3上有〃個(gè)點(diǎn)時(shí)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總數(shù)共有1+2+3+-1）（條）；

因?yàn)?[1+2+3++（?-1）]=[1+（/7—1）+2+（?—2）+3+（zz—3）++（??—1）+1]=n（n—1）（條），

所以1+2+3++5-=（條）.答：線段總共有;條.

（3）①當(dāng)”=20時(shí)，!x20x（20-l）=190（場(chǎng)）.答：該校七年級(jí)的辯論賽共要進(jìn)行190場(chǎng).

②當(dāng)線段上（除兩端點(diǎn)A,3）有10個(gè)點(diǎn)時(shí)，

回〃=12,1xl2x（12-l）=66,團(tuán)車票有66*2=132（種）.答：需要設(shè)置132種車票.

【點(diǎn)睛】本題考查圖形類規(guī)律探究.解題的關(guān)鍵是得到一條線段上有〃個(gè)點(diǎn)，可以得到;九（〃-1）條線段.

例5.（23-24七年級(jí)下?浙江舟山?期末）【問(wèn)題提出】2024歐洲杯正如火如荼進(jìn)行中，本次比賽24支參賽球

隊(duì)分成6個(gè)小組，小組賽每小組4支球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，（任何一隊(duì)都要與其他各隊(duì)比賽一場(chǎng)且只比賽一

場(chǎng)，不同小組之間不進(jìn)行小組賽），則本次歐洲杯總計(jì)有幾場(chǎng)小組賽比賽？

【構(gòu)建模型】為解決上述問(wèn)題，我們構(gòu)建如下數(shù)學(xué)模型：如圖①，我們可以在平面內(nèi)畫出5個(gè)點(diǎn)（任意3個(gè)

點(diǎn)都不在同一條直線上），每個(gè)點(diǎn)與另外4個(gè)點(diǎn)都可連成一條線段，這樣一共連成5x4條線段，實(shí)際只有

三=10條線段.

（1）若某次比賽有6支隊(duì)伍進(jìn)行單循環(huán)比賽，借助圖②，我們可知一共要安排場(chǎng)比賽；

（2）根據(jù)以上規(guī)律，若有〃支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，則一共要安排場(chǎng)比賽.

【實(shí)際應(yīng)用】（3）2024年歐洲杯足球賽，總計(jì)需要安排場(chǎng)小組賽.

（4）甬舟鐵路預(yù)計(jì)2028年通車，屆時(shí)杭州到舟山的車程將縮短至一個(gè)半小時(shí)左右，從起點(diǎn)杭州站出發(fā)，途

經(jīng)紹興、余姚、寧波、馬番，至終點(diǎn)白泉站（每種車票票面都印有上車站名稱與下車站名稱），那么在這段

線路上往返行車，要準(zhǔn)備車票的種數(shù)為種.

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佃②)

閥①)

孔義（?7—1J

【答案】（1）15.（2）———（3）90（4）30

2

【分析】本題考查了歸納總結(jié)和配對(duì)問(wèn)題，涉及列代數(shù)式及其求值、有理數(shù)的運(yùn)算，求出關(guān)于〃的關(guān)系式,

再根據(jù)實(shí)際情況討論是解題的關(guān)鍵.（1）根據(jù)圖②線段數(shù)量進(jìn)行作答.（2）當(dāng)有〃支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比

賽時(shí)，即在平面內(nèi)畫出〃個(gè)點(diǎn)（任意3個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上），每個(gè)點(diǎn)與另外”-1個(gè)點(diǎn)都可連成一條線

段，這樣一共連成〃條線段，實(shí)際只有條線段,即可得求出比賽的場(chǎng)數(shù).

（3）根據(jù)題意可得，一個(gè)小組會(huì)有丫=15場(chǎng)比賽，故六個(gè)小組則共有有6*15=90場(chǎng)比賽.

（4）因?yàn)樾熊囃荡嬖谏宪嚺c下車，所以不需要除去每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間的線段都重復(fù)計(jì)算了一次的情況，即一

個(gè)車站與另外5個(gè)車站都可各形成一張車票，即5張車票，得出六個(gè)車站一共形成了5*6=30種車票.

【詳解】（1）由圖②可知，圖中實(shí)際共有個(gè)=15條線段，

酬艮據(jù)題意，可得6支隊(duì)伍進(jìn)行單循環(huán)比賽一共要安排15場(chǎng)比賽.故答案為：15.

（2）當(dāng)有，支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽時(shí)，即在平面內(nèi)畫出〃個(gè)點(diǎn)（任意3個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上），每個(gè)

點(diǎn)與另外”_1個(gè)點(diǎn)都可連成一條線段，這樣一共連成〃義（〃-1）條線段，實(shí)際只有條線段,

即根據(jù)以上規(guī)律，若有“支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，則一共要安排絲上二D場(chǎng)比賽，故答案為：

2MT2.

（3）根據(jù)題意可得，歐洲杯24支參賽球隊(duì)分成6個(gè)小組，

由上可得一個(gè)小組會(huì)有？廣=15場(chǎng)比賽，故六個(gè)小組則共有有6x15=90場(chǎng)比賽，

即本次歐洲杯總計(jì)有幾場(chǎng)小組賽比賽，故答案為90.

（4）由題意可得一共有六個(gè)車站，因?yàn)樾熊囃荡嬖谏宪嚺c下車，所以不需要除去每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間的線段都

重復(fù)計(jì)算了一次的情況，即每?jī)蓚€(gè)車站就會(huì)有兩種車票，

回一個(gè)車站與另外5個(gè)車站都可各形成一張車票，即5張車票，

團(tuán)這樣六個(gè)車站一共形成了5X6=30種車票.故答案為30.

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模型2.角度的計(jì)數(shù)模型

模型解讀

若過(guò)點(diǎn)。作了有〃條射線，那么該圖形中共有多少個(gè)角？

模型證明

我們先取"=5進(jìn)行研究，如下圖:

結(jié)論：角的數(shù)量：4+3+2+1=10（個(gè)）（注意：按一個(gè)方向數(shù)，不回頭）；

證明：①以。4為角的一邊有：NAOB、ZAOC.NAOD、ZAOE,有4個(gè)；

②以為角的一邊有：NBOC、NBOD、NBOE,有3個(gè)；

③以0c為角的一邊有：ACOD,ZCOE,有2個(gè)；

④以O(shè)Q為角的一邊有：ZDOE,有1個(gè)；故圖中角總數(shù)量：4+3+2+1=10（個(gè)）

注意：線段的定義為兩點(diǎn)間的一段直線，因此“直線+兩個(gè)端點(diǎn)”是其核心要素；

結(jié)論拓展：若有〃條射線，則角度數(shù)量為：（加1）+（〃-2）+...+4+3+2+1=①11（個(gè)）。

模型運(yùn)用

例1.（2023秋?浙江?七年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，圖中小于平角的角共有（）

【答案】C

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【分析】根據(jù)角的定義，理清圖示意思即可求解.

【詳解】解：先數(shù)出以。4為一邊的角，再數(shù)出以。3、OC.0D為一邊的角，把他們加起來(lái).

也可根據(jù)公式：若?來(lái)計(jì)算，其中，〃指從點(diǎn)。發(fā)出的射線的條數(shù).

團(tuán)圖中共有四條射線，回圖中小于平角的角共有4義?-1）=6個(gè).故選：C.

2

【點(diǎn)睛】此題通過(guò)數(shù)角的個(gè)數(shù)，考查同學(xué)們總結(jié)規(guī)律的能力或公式應(yīng)用的能力，掌握角的概念是解題關(guān)鍵.

例2.（2023秋?浙江?七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，圖中一共有（）個(gè)銳角.

A.4B.6C.8D.10

【答案】B

【分析】先數(shù)圖中最小的角有3個(gè)，再數(shù)兩個(gè)小角組成的角有2個(gè)，最后確定有3個(gè)小角組成的角有1個(gè),

從而可得答案.

【詳解】解：3+2+1=6（個(gè)），答：一共有6個(gè)銳角.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查角的計(jì)數(shù)方法的應(yīng)用，掌握"數(shù)角的順序與方法，做到不重復(fù)，不遺漏”是解本題的關(guān)鍵

例3.（23-24七年級(jí)上?河南平頂山?階段練習(xí)）如下圖，在已知角內(nèi)畫射線，畫1條射線，圖中共有3個(gè)角；

畫2條射線，圖中共有6個(gè)角；畫3條射線，圖中共有個(gè)角；畫〃條射線所得的角的個(gè)數(shù)是.

【分析】由題意根據(jù)圖形數(shù)出即可得出畫3條射線，圖中角的個(gè)數(shù)，進(jìn)而依據(jù)結(jié)果得出規(guī)律即可.

【詳解】解：國(guó)在已知角內(nèi)畫射線，畫1條射線，圖中共有3個(gè)角，3=（"）（1+2）

圖中共有6個(gè)角’6=包『；

畫2條射線,

（3+中3+2）

畫3條射線,圖中共有10個(gè)角，10=

2

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國(guó)畫”條射線，圖中共有^——八---^個(gè)角.故答案為：10,——八----'-.

22

【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)角的概念和規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)求出的結(jié)果探索得出規(guī)律.

例4.（23-24七年級(jí)上?湖北孝感?期末）如圖1,從點(diǎn)。分別引兩條射線，則得到一個(gè)角/AOB.（圖中的角

均指不大于平角的角）

⑴探究：①如圖2,從點(diǎn)。分別引三條射線，則圖中得到個(gè)角；

②如圖3,從點(diǎn)。分別引四條射線，則圖中得到個(gè)角；

③依此類推，從點(diǎn)。分別引〃條射線，則得到個(gè)角（用含〃的式子表示）；

（2）應(yīng)用：利用③中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問(wèn)題：某校七年級(jí)共有16個(gè)班進(jìn)行足球比賽，準(zhǔn)備進(jìn)行單循環(huán)賽（即

每?jī)申?duì)之間賽一場(chǎng)），則全部賽完共需多少場(chǎng)比賽？

【答案】⑴①3;②6；③“（?。?20

【分析】（1）①②根據(jù)角的概念求出即可；③根據(jù)①②分析得出的規(guī)律求解即可；

（2）將〃=16代入皿二D求解即可.

2

【詳解】（1）①由題意可得，從點(diǎn)。分別引三條射線，圖中的角有NAO3,NAOC,/BOC,

1+2=3,0圖中得到3個(gè)角；

②由題意可得，從點(diǎn)。分別引四條射線，圖中的角有

1+2+3=6,回圖中得到6個(gè)角；

③由①②可得，當(dāng)從點(diǎn)。分別引〃條射線，

1+2+3+...+〃-1=-^——L團(tuán)得至——個(gè)角；

22

（2）根據(jù)題意可得，當(dāng)”=16時(shí)，業(yè)二D=也”=120.團(tuán)全部賽完共需120場(chǎng)比賽.

22

【點(diǎn)睛】本題考查了角的定義及其應(yīng)用，掌握角的定義以及歸納規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

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模型3.直線交點(diǎn)計(jì)數(shù)模型與平面分割的計(jì)數(shù)模型

模型解讀

〃條直線，最多有多少個(gè)交點(diǎn)呢？最多能將平面分成多少部分呢？

模型證明

直線的條數(shù)最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)平面最多分成部分?jǐn)?shù)

101+1=2

211+1+2=4X

31+2=31+1+2+3=7

41+2+3=61+1+2+3+4=112

?????????

n

22

模型運(yùn)用

例L（23-24七年級(jí)上?湖南婁底?期末）觀察下列圖形，并閱讀圖形下面的相關(guān)文字

兩直線相交，最多1個(gè)交點(diǎn)；三條直線相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)；四條直線相交，最多有6個(gè)交點(diǎn)；像這樣

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的十條直線相交最多的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.30個(gè)B.35個(gè)C.40個(gè)D.45個(gè)

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)：3條直線相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線相交最多有6個(gè)交點(diǎn)，5條

直線相交最多有10個(gè)交點(diǎn).而3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,故可猜想，"條直線相交，最多有1+2+3+...+

（n-1）=；力（〃-1）個(gè)交點(diǎn).

【詳解】解：10條直線兩兩相交，最多有:；xl0x9=45.

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題在相交線的基礎(chǔ)上，著重培養(yǎng)學(xué)生的觀察、實(shí)驗(yàn)和猜想、歸納能力，掌握從特殊向一般猜想

的方法.

例2.（2023春?浙江嘉興?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若平面內(nèi)互不重合的4條直線只有3個(gè)交點(diǎn)，則平面被分成

了（）個(gè)部分.

A.7或8B.8C.8或9D.10

【答案】C

【分析】根據(jù)題意畫出圖形即可.

【詳解】如圖，

所以，平面內(nèi)互不重合的4條直線只有3個(gè)交點(diǎn)，則平面被分成了8或9個(gè)部分，故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了相交線，關(guān)鍵是根據(jù)直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題，找出規(guī)律，解決問(wèn)題.

例3.（23-24七年級(jí)上?廣西賀州?期末）如圖①，兩條直線相交有一個(gè)交點(diǎn).如圖②，三條直線相交最多

有3個(gè)交點(diǎn).如圖③，四條直線相交最多有6個(gè)交點(diǎn).如圖④，五條直線相交最多有10個(gè)交點(diǎn).則“條

直線相交最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（用含w的代數(shù)式表示）.

第10頁(yè)共39頁(yè)

①②

【答案］」——L

2

【分析】本題考查的是直線兩兩相交的交點(diǎn)數(shù)量的探究，先分別求解三條直線，四條直線，五條直線的最

多交點(diǎn)數(shù)量，再總結(jié)歸納即可得解.

【詳解】解：三條直線交點(diǎn)最多為1+2=3個(gè),

四條直線交點(diǎn)最多為3+3=6個(gè)，

五條直線交點(diǎn)最多為6+4=10個(gè)，

六條直線交點(diǎn)最多為10+5=15個(gè)；……

w條直線交點(diǎn)最多為1+2+3+...+（〃-1）=當(dāng)也.

故答案為：」——

2

例4.（23-24七年級(jí)上?重慶?課后作業(yè)）觀察下列圖形，閱讀下面相關(guān)文字并填空：

（1）在同一平面內(nèi)，兩條直線相交最多有1個(gè)交點(diǎn)，3條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)，4條直線相交最

多有個(gè)交點(diǎn)，……，像這樣，8條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)，〃條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn);

（2）在同一平面內(nèi)，1條直線把平面分成2部分，兩條直線最多把平面分成4部分，3條直線最多把平面

分成部分，4條直線最多把平面分成部分，......，像這樣，8條直線最多把平面分成部分，

n條直線最多把平面分成部分.

圖(2)

3,6,28,“(7)；(2)7,11,37,"(?[)+]

【答案】（1）

【分析】（1）根據(jù)圖形求出兩條直線相交、三條直線相交、四條直線相交時(shí)最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)，總結(jié)出規(guī)律即

可得出〃條直線相交最多有交點(diǎn)的個(gè)數(shù);

（2）根據(jù)圖形求出兩條直線相交、三條直線相交、四條直線相交時(shí)最多把平面分成幾部分，總結(jié)出規(guī)律即

第11頁(yè)共39頁(yè)

可n條直線最多把平面分成幾部分.

【詳解】解：（1）2條直線相交有1個(gè)交點(diǎn)；

3條直線相交最多有1+2=3個(gè)交點(diǎn)；

4條直線相交最多有1+2+3=6個(gè)交點(diǎn)；

5條直線相交最多有1+2+3+4=10個(gè)交點(diǎn)；

6條直線相交最多有1+2+3+4+5=15個(gè)交點(diǎn)；

7條直線相交，最多有1+2+3+4+5+6=21個(gè)交點(diǎn)，

8條直線相交，最多有1+2+3+4+5+6+7=28個(gè)交點(diǎn)，…

n條直線相交最多有1+2+3+...+（〃-1）=若1個(gè)交點(diǎn)；

（2）1條直線最多把平面分成1+1=2部分；

2條直線最多把平面分成1+1+2=4部分；

3條直線最多把平面分成1+1+2+3=7部分；

4條直線最多把平面分成1+1+2+3+4=11部分；

5條直線最多把平面分成1+1+2+3+4+5=16部分；

6條直線最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6=22部分；

7條直線最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6+7=29部分；

8條直線最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6+7+8=37部分；…

n條直線最多把平面分成=1+1+...+5-1）+〃=嗎3+1

2

【點(diǎn)睛】此題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，體現(xiàn)了從一般到特殊再到一般的認(rèn)知規(guī)律，有一定的挑戰(zhàn)性，

弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵.

例5.（23-24七年級(jí)下?河南南陽(yáng)?開學(xué)考試）我們知道，兩條直線相交，最多有1個(gè)交點(diǎn)（如圖①）；三條直

線兩兩相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)（如圖②）；四條直線兩兩相交，最多有6個(gè)交點(diǎn)（如圖③）；五條直線兩兩

相交，最多有多少個(gè)交點(diǎn)（如圖④）；六條直線兩兩相交，最多有多少個(gè)交點(diǎn)…〃條直線兩兩相交，最多

有多少個(gè)交點(diǎn)呢（用含〃的代數(shù)式表示）：

⑴完成下表

第12頁(yè)共39頁(yè)

直線數(shù)23456n

交點(diǎn)數(shù)136

（2）在實(shí)際生活中同樣存在數(shù)學(xué)規(guī)律型問(wèn)題，請(qǐng)你類比上述規(guī)律探究，計(jì)算：某校七年級(jí)舉辦籃球比賽，第

一輪要求每?jī)砂嘀g比賽一場(chǎng)，若七年級(jí)共有12個(gè)班，則這一輪共要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？

【答案】⑴10：15；（2）這一輪要進(jìn)行66場(chǎng)比賽

【分析】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解決本題的關(guān)鍵是要找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么

規(guī)律變化的，通過(guò)分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解.

根據(jù)題意，結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)：3條直線相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線相交最多有6個(gè)交點(diǎn)，5條直線相交最

多有10個(gè)交點(diǎn).6條直線相交最多有15個(gè)交點(diǎn)，而3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,15=1+2+3+4+5,

故可猜想，〃條直線相交，最多有1+2+3+…=〃（〃-1）個(gè)交點(diǎn)；

把每個(gè)班作為一個(gè)點(diǎn)，進(jìn)行一場(chǎng)比賽就是用線把兩個(gè)點(diǎn)連接，用此方法即可.

【詳解】（1）解：①兩條直線相交最多有1個(gè)交點(diǎn)：］=2x（jT）；

4X1

②三條直線相交最多有3個(gè)交點(diǎn)：3=M|zl）,③四條直線相交最多有6個(gè)交點(diǎn)：6=（4~）.

④五條直線相交最多有10個(gè)交點(diǎn)：=,⑤六條直線相交最多有15個(gè)交點(diǎn)：15=6x（；T）...

〃條直線相交最多有一1）個(gè)交點(diǎn);故答案為：10；15；；1）

（2）解：該類問(wèn)題符合上述規(guī)律，所以可將”=12代入;

即-l）=gxl2xll=66；故這■輪要進(jìn)行66場(chǎng)比賽

模型4.多邊形的對(duì)角線條數(shù)計(jì)數(shù)模型和三角形個(gè)數(shù)的計(jì)數(shù)模型

模型解讀

從“邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出對(duì)角線，這些對(duì)角線能把多邊形分割成多少個(gè)三角形呢？“邊形共有多少條對(duì)

角線呢？

模型證明

第13頁(yè)共39頁(yè)

結(jié)論：從〃邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出（w-3）條對(duì)角線；這些對(duì)角線把多邊形分割成（〃-2）個(gè)三角形;

〃邊形共有對(duì)角線。

2

證明：由連接不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫多邊形的對(duì)角線，

可知，從〃邊形的每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)有（〃-3）條對(duì)角線，這些對(duì)角線把多邊形分割成（n-2）個(gè)三角形

刖邊形有"個(gè)頂點(diǎn)，回共有-3）條對(duì)角線

又回能形成對(duì)角線的兩個(gè)點(diǎn)之間只算1條對(duì)角線（即上面的計(jì)算相當(dāng)于每條對(duì)角線重復(fù)計(jì)算了一次），

刖邊形有位2條對(duì)角線.

2

模型運(yùn)用

例1.（23-24八年級(jí)上?湖北武漢?期中）過(guò)一個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線共有4條，則該多邊形是（）

A.九邊形B.八邊形C.七邊形D.六邊形

【答案】C

【分析】本題考查多邊形的對(duì)角線公式，根據(jù)從每一個(gè)頂點(diǎn)處可以作的對(duì)角線的條數(shù)為（〃-3）計(jì)算即可得解.

【詳解】解：回過(guò)一個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線有4條，

回多邊形的邊數(shù)為4+3=7,回這個(gè)多邊形是七邊形.故選：C.

例2.（23-24八年級(jí)上?陜西商洛?階段練習(xí)）若過(guò)〃邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線剛好將該，邊形分成5個(gè)

三角形，貝P的值是（）

A.8B.7C.6D.5

【答案】B

【分析】經(jīng)過(guò)"邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線把多邊形分成（〃-2）個(gè)三角形，根據(jù)此關(guān)系式求邊數(shù)，再求

對(duì)角線條數(shù)即可.

第14頁(yè)共39頁(yè)

【詳解】解：由題可知：〃-2=5,解得：n=7,故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的對(duì)角線，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)多邊形過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線與分成的三

角形的個(gè)數(shù)的關(guān)系列方程求解.

例3.（23-24七年級(jí)上?重慶南岸?期末）一個(gè)多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出8條對(duì)角線，那么這個(gè)多邊形對(duì)

角線的總條數(shù)是（）

A.88B.80C.44D.40

【答案】C

【分析】本題主要考查了多邊形的對(duì)角線的條數(shù)問(wèn)題,.掌握“邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)有（〃-3）條對(duì)角線和其

對(duì)角線總數(shù)為""一3是解題關(guān)鍵.根據(jù)一個(gè)多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)有8條對(duì)角線，可求出該多邊形的邊數(shù)

2

為11,再根據(jù)〃邊形對(duì)角線的總數(shù)為迎心即可求解.

2

【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為小回一個(gè)多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)共引8條對(duì)角線，

回〃-3=8,解得：n=U,回總的對(duì)角線的條數(shù)為：I1義⑴一.二44（條）.故選：C.

2

例4.（23-24八年級(jí)上?湖北咸寧,期末）如圖，一個(gè)四邊形有2條對(duì)角線，一個(gè)五邊形有5條對(duì)角線，一個(gè)

六邊形有9條對(duì)角線，則一個(gè)凸邊形有條對(duì)角線.

【分析】本題主要考查了圖形規(guī)律，根據(jù)已有多邊形對(duì)角線的條數(shù)，歸納出規(guī)律成為解題的關(guān)鍵.

先確定一個(gè)四邊形共有2條對(duì)角線，一個(gè)五邊形共有5條對(duì)角線，一個(gè)六邊形共有9條對(duì)角線，據(jù)此歸納

規(guī)律即可解答.

【詳解】解：一個(gè)四邊形共有2條對(duì)角線，一個(gè)五邊形共有5條對(duì)角線，一個(gè)六邊形共有9條對(duì)角線，

則一個(gè)〃邊形共有"3（n>4,且〃為整數(shù)）條對(duì)角線.故答案為：四二3.

22

例5.（2023春?山東聊城?七年級(jí)校聯(lián)考期末）某中學(xué)七年級(jí)數(shù)學(xué)課外興趣小組在探究：""邊形（〃>3）共有

多少條對(duì)角線”這一問(wèn)題時(shí)，設(shè)計(jì)了如下表格，請(qǐng)?jiān)诒砀裰械臋M線上填上相應(yīng)的結(jié)果：

多邊形的邊數(shù)456n

第15頁(yè)共39頁(yè)

從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)12——

多邊形對(duì)角線的總條數(shù)2———

應(yīng)用得到的結(jié)果解決以下問(wèn)題:

四邊形五邊形六邊形

①求十二邊形有多少條對(duì)角線？②過(guò)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線條數(shù)與這些對(duì)角線分多邊形所得的

三角形個(gè)數(shù)的和可能為2023嗎？若能，請(qǐng)求出這個(gè)多邊形的邊數(shù)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】填表：〃-359當(dāng)芻；①54；②可以為2023,這個(gè)多邊形的邊數(shù)1014

【分析】根據(jù)題意求出相應(yīng)數(shù)據(jù)，填表即可；①由表格探求的〃邊形對(duì)角線總條數(shù)公式：嘴2得出最終

結(jié)果；②從“邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引5-3)條對(duì)角線，這些對(duì)角線分多邊形所得的三角形個(gè)數(shù)為(〃-2),

據(jù)此求解.

【詳解】解：填表如下：

多邊形的邊數(shù)456n

從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)123n-3

川(九一3)

多邊形對(duì)角線的總條數(shù)259

2

故答案為：3,n—3,5,9----------；

2

①把〃=12代入四二力得，12x(12-3)=54十二邊形有54條對(duì)角線.

22

2Q28

②能.由題意得，n-3+n-2=2023,解得〃二:一口。］4.

多邊形的邊數(shù)九是正整數(shù)，，過(guò)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線條數(shù)與這些對(duì)角線分多邊形所得的三角形

個(gè)數(shù)的和可以為2023,這個(gè)多邊形的邊數(shù)1014.

【點(diǎn)睛】本題考查“邊形對(duì)角線公式，過(guò)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線條數(shù)與這些對(duì)角線分多邊形所得的

三角形個(gè)數(shù)，掌握對(duì)角線數(shù)量形成的規(guī)律，熟練應(yīng)用規(guī)律是解題關(guān)鍵.

第16頁(yè)共39頁(yè)

習(xí)題練模型

1.（2024?安徽蚌埠?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，以A為一個(gè)端點(diǎn)的線段共有（）

ABCD

A.1條B.2條C.3條D.4條

【答案】C

【分析】根據(jù)線段的定義"直線上兩點(diǎn)間的有限部分（包括兩個(gè)端點(diǎn)）”找出以A為一個(gè)端點(diǎn)的線段即可選擇.

【詳解】解：根據(jù)題意可知：以A為一個(gè)端點(diǎn)的線段有：AB,AC,A。共3條，故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查線段的定義，理解線段的定義，正確找出以A為一個(gè)端點(diǎn)的線段是解答本題的關(guān)鍵.

2.（2023?四川眉山?七年級(jí)統(tǒng)考期中）六個(gè)好朋友見(jiàn)面互相握手致意，每?jī)蓚€(gè)人握一次手，握手的次數(shù)一共

是（）

A.20B.30C.15D.36

【答案】C

【詳解】試題分析：簡(jiǎn)單的排列問(wèn)題.第一個(gè)人握手5次,第二個(gè)人握手4次,第三個(gè)人握手3次，第四個(gè)人握

手2次,第五個(gè)人握手1次，共計(jì)15次故選C

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單的排列問(wèn)題

3.（2023秋?四川成都?七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，AOE是一條直線，圖中的角共有（）

A.4個(gè)B.8個(gè)C.9個(gè)D.10個(gè)

【答案】D

【詳解】解：圖中的角有EIAOB,0AOC,0AOD,HBOC,0BOD,0BOE,0COD,0COE,0DOE,0AOE,共10

個(gè)，故選D.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)角的定義的理解，注意：數(shù)角時(shí)從一邊數(shù)，目的是為了做到不重不漏，題目較好，但

是一道比較容易出錯(cuò)的題目.

4.（2023春?山東泰安?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）平面上不重合的兩點(diǎn)確定一條直線，不同三點(diǎn)最多可確定3條

第17頁(yè)共39頁(yè)

直線，若平面上不同的〃個(gè)點(diǎn)最多可確定28條直線，則力的值是（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【詳解】?jī)牲c(diǎn)確定一條直線；不同三點(diǎn)最多可確定3條直線；不同4點(diǎn)最多可確定（1+2+3）條直線，不同

5點(diǎn)最多可確定（1+2+3+4）條直線，

因?yàn)?+2+3+4+5+6+7=28,所以平面上不同的8個(gè)點(diǎn)最多可確定28條直線.故選：C.

5.（2023秋?陜西榆林?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖棋盤上有黑、白兩色棋子若干，找出所有三顆顏色相同的

棋并且在同一直線上的直線，這樣直線共有多少條（）

0

r.:

o:。

:；

OL。

：

.。

:.

；

o.。

A.6條B.5條C.4條D.3條

【答案】C

【詳解】試題分析：根據(jù)題意可以畫出適合條件的幾種情況，從而可以解答本題.

解：如下圖所示：

9-一

Q…

.T…

Qg

O-④

a--,

O-②③

則所有三顆顏色相同的棋并且在同一直線上的直線共有四條：①豎直的三顆黑色的，②豎直的三顆白色的,

③斜著三顆黑色的，④斜著三顆白色的，故選C.

考點(diǎn)：直線、射線、線段.

6.（2023?湖北?七年級(jí)階段練習(xí)）平面內(nèi)10條直線把平面分成的部分個(gè)數(shù)最多是（）

A.46個(gè)B.55個(gè)C.56個(gè)D.67個(gè)

【答案】C

第18頁(yè)共39頁(yè)

【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，總結(jié)出規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律解題.

【詳解】設(shè)直線條數(shù)有，7條，分成的平面最多有"2個(gè).

有以下規(guī)律：

nm

11+1

21+1+2

31+1+2+3

n（n+1）

n1+1+2+3+…+〃=-------F1,

2

酬艮據(jù)表中規(guī)律，當(dāng)直線為10條時(shí)，把平面最多分成56部分，為1+1+2+3+...+10=56；故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了過(guò)平面上兩點(diǎn)有且只有一條直線，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

7.（2023春?江蘇宿遷?七年級(jí)?？计谥校┤粢粋€(gè)〃邊形從一個(gè)頂點(diǎn)最多能引出6條對(duì)角線，貝|"是（）

A.5B.8C.9D.10

【答案】C

【分析】可根據(jù)"邊形從一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線與邊的關(guān)系：n-3,列方程求解.

【詳解】解：設(shè)多邊形有〃條邊，則“-3=6,解得〃=9.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的對(duì)角線.解題的關(guān)鍵是明確多邊形有〃條邊，則經(jīng)過(guò)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)所有的

對(duì)角線有（〃-3）條，經(jīng)過(guò)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線把多邊形分成（“-2）個(gè)三角形.

8.（2023秋?山東濟(jì)南?七年級(jí)統(tǒng)考期末）從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫出機(jī)條對(duì)角線，它們將五邊形

分成"個(gè)三角形.貝卜小〃的值分別為（）

A.3,2B.2,2C.2,3D.3,3

【答案】C

【分析】從一個(gè)“邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以連的對(duì)角線的條數(shù)是“-3,分成的三角形數(shù)是"-2.

【詳解】解：對(duì)角線的數(shù)量%=5-3=2（條）；分成的三角形的數(shù)量為"=5-2=3（個(gè)）.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的對(duì)角線及分割成三角形個(gè)數(shù)的問(wèn)題，解答此類題目可以直接記憶：一個(gè)〃邊形

一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以連的對(duì)角線的條數(shù)是〃-3,分成的三角形數(shù)是“-2.

9.（23-24八年級(jí)下?湖南邵陽(yáng)?期中）我們學(xué)習(xí)多邊形后，發(fā)現(xiàn)凸多邊形的對(duì)角線有一定的規(guī)律，①中的四

邊形共有2條對(duì)角線，②中的五邊形共有5條對(duì)角線，③中的六邊形共有9條對(duì)角線，…，請(qǐng)你計(jì)算凸十

第19頁(yè)共39頁(yè)

邊形對(duì)角線的總條數(shù)（）

【答案】A

【分析】本題主要考查了對(duì)角線條數(shù)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一個(gè)w邊形的對(duì)角線條數(shù)為由二9.根

2

據(jù)一個(gè)〃邊形的對(duì)角線條數(shù)為止a進(jìn)行求解即可.

2

【詳解】解：一個(gè)四邊形共有2條對(duì)角線，一個(gè)五邊形共有5條對(duì)角線，一個(gè)六邊形共有9條對(duì)角線……

一個(gè)十邊形共有1°*0°-3）=35條對(duì)角線,故A正確.故選：A.

2

10.（23-24七年級(jí)?黑龍江大慶?期末）往返A(chǔ),8兩地的客車，中途?？?jī)蓚€(gè)站，客運(yùn)站根據(jù)兩站之間的距

離確定票價(jià)（距離不相等，票價(jià)就不同）.若任意兩站之間的距離都不相等，則不同的票價(jià)共有一種.

【答案】6

【分析】本題考查直線、射線、線段，掌握線段條數(shù)的計(jì)算方法是正確解答的關(guān)鍵.

根據(jù)線段的數(shù)量解答即可.

［詳解］解：如圖，-----c----------D-------------R

圖中共有3+2+1=6條線段，即AC,AD,AB,CD,CB,DB,

因此不同的票價(jià)共有6種，故答案為：6.

11.（23-24八年級(jí)上?湖南張家界?期末）我們知道，同一個(gè)平面內(nèi)，1條直線將平面分成4=2部分，2條直

線將平面最多分成的=4部分,3條直線將平面最多分成4=7部分,4條直線將平面最多分成4=11部分…

111

〃條直線將平面最多分成?！安糠?，則^—+--+TL+------=_____.

1-1_%［_〃2024

…全工、4048

【答案一赤

【分析】本題考查數(shù)字類規(guī)律探究.根據(jù)題意，抽象概括出相應(yīng)的數(shù)字規(guī)律，w條直線將平面最多分成

?！?1+1+2+3++〃=1+山⑴部分，進(jìn)而得到，=［］心+1）=一之匕-焉,再進(jìn)行求解即

22~

可.解題的關(guān)鍵是得到4=1+1+2+3++〃=1+曲M.

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【詳解】解：回1條直線將平面分成4=1+1=2部分,

2條直線將平面最多分成出=1+1+2=4部分,

3條直線將平面最多分成的=1+1+2+3=7部分,

4條直線將平面形多分成。4=1+1+2+3+4部分......，

即條直線將平面最多分成%=1+1+2+3++/=1+個(gè)辿部分，

11-2、11

團(tuán)1-+I幾n+1J,

1-1------------

2

1,1,1_1?1L?11)Ji114048乂依4048

1—Gl-a21—出。24122320242025J(2025J20252025,

12.(2023秋?四川達(dá)州?七年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，線段AB上的點(diǎn)數(shù)與線段的總數(shù)有如下關(guān)系:如果線段AB上

有三個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段總共有3條，如果線段AB上有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段總數(shù)有6條，如果線段AB上有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，

線段總數(shù)共有10條，當(dāng)線段AB上有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段總數(shù)共有多少.

??????,....

_3=2+16=3+2+110=4+3+2-1

【答案】△——乙條

2

【分析】根據(jù)給出的條件進(jìn)行觀察找出規(guī)律：當(dāng)有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段總數(shù)為：攻二D條，問(wèn)題可解.

2

【詳解】解：當(dāng)線段AB上有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段總數(shù)為(〃-1)++4+3+2+1=當(dāng)3故答案為：出二D條

22

【點(diǎn)睛】本題考查線段條數(shù)計(jì)算和規(guī)律性探索，解答關(guān)鍵是辨別線段數(shù)目增長(zhǎng)的規(guī)律.

13.(2023秋?江蘇鹽城?七年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，在0AOB的內(nèi)部以。為端點(diǎn)引出1條射線，那么圖中共有3

個(gè)角；如果引出2條射線，共有6個(gè)角；如果引出"條射線，共有個(gè)角.

［答案］5+1),+2)

【分析】首先分析在她。8的內(nèi)部以O(shè)端點(diǎn)引1條射線，有1+2個(gè)角，引2條線段，有1+2+3個(gè)角，…進(jìn)而

得出引"條線段，有角的個(gè)數(shù)，得出答案即可.

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【詳解】在MOB的內(nèi)部以。端點(diǎn)引1條射線，有1+2=3（個(gè)）角，引2條線段，有1+2+3=6（個(gè)）角，…

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