2024-2025學年盤錦市高一數(shù)學上學期期中考試卷及答案解析

2024-2025學年度上學期期中考試高一試題

數(shù)學

考試時間：120分鐘滿分：150分

一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個選項符合要求）

1.設(shè)全集。={'般-3<、<5},"={-2,2},8=卜2,4},則何加8=（）

A.{4}B.{-1,0,4}C.{-2,0,3,4}D.{-2,-1,0,1,3,4}

【答案】D

【解析】

【分析】由補集、并集的概念即可得解.

【詳解】因為。={xeZ]—3<x<5}={—2,—1,0,1,2,3,4},/={-2,2},

所以。/={一1,0,1,3,4},又8={-2,4},

所以=2,—1,0,1,3,4}.

故選：D.

2.命題“VxeR,必+2》_3<0”的否定是（）

A.VxeR,X2+2X-3>0B.VxeR,x2+2x-3>0

C.3xeR,x2+2x-3>0D.HxeR,/+2x-320

【答案】C

【解析】

【分析】全稱命題的否定，先是V于，然后否定結(jié)論即可.

【詳解】“VxeR,M+2X—3<0”的否定是“玉eR，x2+2x-3>0,,

故選：C

3.已知x>4,則函數(shù)y=」一+4x的最小值是（）

x-4

A.8B.12C.16D.20

【答案】D

【解析】

【分析】利用基本不等式求得正確答案.

【詳解】由于x>4,所以x—4>0,

所以>=---+4x=---+4（、-4）+16

JC—4x—4

>2/^―x4（x-4）+16=20，

Vx4

1a

當且僅當——=4（x—4）,x=—時等號成立，

x-42

所以函數(shù)了=—L+4x的最小值是20.

x-4

故選：D

4.函數(shù)y=x+JH+2的最大值是（）

117I—

A.-B.-C.4D.2+V2

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)/=可得y=-〃+/+4,然后配方后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】設(shè)/=則x=2—J,

1]7

因為/NO,所以當f=—時，y=x+J=+2的最大值為二，

24

故選：B.

5.設(shè)在二維平面上有兩個點幺（石,%），5（%,%），它們之間的距離有一個新的定義為

。（48）=歸-々|+|必|，這樣的距離在數(shù)學上稱為曼哈頓距離或絕對值距離.已知A,8兩個點的

坐標為/（x,加），8（-2,x）,如果它們之間的曼哈頓距離大于3恒成立，則實數(shù)切的取值范圍是（）

A.（-co,-5）U（1,+℃）B.（-co,-l）U（5,+co）

C.[-5,1]D.[-1,5]

【答案】A

【解析】

【分析】首先將問題等價轉(zhuǎn)換為當3—卜+2|20時，加>x+3一|x+2|或加<x—(3—歸+2|)恒成立，對x

進行分類討論即可求解.

【詳解】已知A,8兩個點的坐標為冽)，5(-2,x),如果它們之間的曼哈頓距離大于3恒成立，

則卜+2|+|加—>3恒成立，

所以|加—乂>3—卜+2卜恒成立，

情形一：當3—卜+2]<0時，即％>1或x<—5時，

不等式|加一乂>3—|x+2|恒成立，

情形二：當3—|x+2|>0時，|加—x|>3—卜+2]<=^>m—x>3—|x+2]或加—x<—(3—?+2。恒成立，

故加>x+3—卜+2|或加<x—(3—|x+2。恒成立，

(i)當—5W%—2時，加>x+3—|x+2]或機<x—(3―歸+2。恒成立，

當且僅當加<一5或加>2x+5恒成立，

當且僅當加<-5或加〉1符合題意；

(ii)當—2<x<1時，加>x+3—k+2|或加<x—(3—歸+2。恒成立，

當且僅當加<2%一1或加〉1恒成立，

當且僅當加工-5或加〉1符合題意；

綜上所述，實數(shù)加的取值范圍是(-*-5)U(L+8).

故選：A.

丫+加

6.關(guān)于x的方程—-=1有唯一解，則加的取值集合為()

x-4

A.卜B.{2,-2)c.12,2,9}D.12,2,一9}

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)分式方程轉(zhuǎn)化為一次方程、二次方程的情況分類討論，求出m即可.

x+mx+m,

【詳解】由二一=1有唯一解可知7-八;一八=1有唯一解,

x2-4(x-2)(x+2)

當加=2時，方程為」一=1,有一解x=3,滿足題意;

x-2

當777=—2時，方程為^^=1,有一解X=-l,滿足題意；

x+2

當加w±2時，由原方程可得/一工一4一加=0（XH±2）有唯一解,

171

所以A=l+4（4+m）=0,解得機=—i，此時方程有一解x=i,滿足題意.

的取值集合為1-2,2,-9

綜上，m

故選：D

7.已知函數(shù)/（x）=f+2Mx+2機+3有一個零點在區(qū)間（0,2）內(nèi)，求實數(shù)加的取值范圍是（

A.m=-lB,機=-1或〃？=3

37、37

C.機=一1或——〈加?——D.機=-1或—<—

2626

【答案】D

【解析】

【分析】分函數(shù)只有一個零點且在區(qū)間（0,2）內(nèi)和函數(shù)有兩個零點，且一個零點在（0,2）上兩種情況討論,

分別求出參數(shù)的取值范圍.

0<—m<2

【詳解】當函數(shù)只有一個零點，貝叫/(-書=/-2/+2，〃+3=0'解得根=T；

當函數(shù)有兩個零點，且一個零點在（0,2）上時，則/（0）/（2）＜0,

37

即（2加+3）（4+4加+2加+3）＜0,解得——＜m＜——,

26

37

綜上所述，實數(shù)加的取值范圍是加=-1或—＜加＜—.

26

故選：D

8.已知函數(shù)〉="（x+2）定義域為R的偶函數(shù)，且/（3-x）=/（x+5）,當xe[0,2]時,

/（x）=8-4x,則/（1）+/（2）+/（3）+…+/（2024）=（）

A.-506B.0C.506D.2024

【答案】B

【解析】

【分析】由題意得/（x）的一個對稱中心是（2,0）,一條對稱軸是x=4,周期為8,結(jié)合已知求出

/（1）+/（2）+/（3）+/（4）+/（5）+/（6）+/（7）+/（8）即可得解.

【詳解】因為函數(shù)>="（x+2）定義域為R的偶函數(shù)，所以一必■（一》+2）=^（》+2）恒成立，即

-/（-x+2）=/（x+2）,

這表明/（x）的一個對稱中心是（2,0）,

又/（3-x）=/（x+5）,這表明/（X）的一條對稱軸是x=4,

所以/（x）=—/（4—x）=—/（x+4）=/（x+8）,這表明/（x）的周期為8,

當xe[0,2]時，/（x）=8-4x,

所以/（0）=8,/（1）=4,/（2）=0,/（3）=-/（1）=-4,/（4）=-/（0）=-8,

/（5）=/（3）=-4,/（6）=/（2）=0,/（7）=/（1）=4,/（8）=/（0）=8,

所以/⑴+/（2）+/（3）+/（4）+/（5）+〃6）+/⑺+/⑻=4+0-4-8-4+0+4+8=0,

所以/⑴+/⑵+/（3）+…+/（2024）

=253[/（1）+/（2）+/（3）+/（4）+/（5）+/（6）+/（7）+/（8）]=0.

故選：B.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵在于得出函數(shù)/（X）的對稱性、周期性，由此即可順利得解.

二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有

多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分）

9.下列選項敘述中正確的是（）

A.“x>2”是“X>5”的充分不必要條件

B.!”是“a>2”的必要不充分條件

a2

C.若a,beR,則“二〉產(chǎn)，的充要條件是“0>6，，

D."a<1”是中程/+x+°=o有一個正根和一個負根”的必要不充分條件

【答案】BD

【解析】

【分析】利用充分條件、必要條件的定義逐項判斷即得.

【詳解】對于A,取x=3,滿足x>2,而3<5,因此“x>2”不是“x>5”的充分條件，A錯誤；

對于B,a>2=>—<—，而當。<0時，一<一成立，顯然Q>2不成立，

a2a2

則，，<,，，是“。>2”的必要不充分條件，B正確；

a2

對于C1>-2,而F%(—2)2,因止匕““>6”不是“/〉〃，，的充要條件，c錯誤;

對于D,“方程/+X+。=0有一個正根和一個負根”的等價條件是a<0,

所以“a<1”是“方程必+x+a=o有一個正根和一個負根，，的必要不充分條件，D正確.

故選：BD

10.下列選項中正確的是()

A.函數(shù)=的定義域為

j2x+3I2)

B.函數(shù)/(x)=三=的對稱中心為(1,1)

x-2

2

C已知函數(shù)y(x)-2/(3—x)=2x+l,則/(x)=_x—5

,3

D.函數(shù)〃x)=x-[x],xeR,其中[x]表示不超過x最大整數(shù)，則函數(shù)/(x)的最大值為1

【答案】AC

【解析】

【分析】對于A,令2x+3>0即可判斷；對于B,在x=0處有定義，但在x=2處無定義，由方程組法

即可判斷C,對了進行適當劃分即可判斷D.

33

【詳解】對于A,要使得函數(shù)/(%)=不一^有意義,則2x+3〉0,解得x〉—二，所以函數(shù)

j2x+32

/°)=7^75的定義域為[-1>+00]，故A正確；

2x4-1

對于B,函數(shù)/(x)=一不在x=0處有定義，但在x=2處無定義，所以B錯誤；

x-2

對于C，“X)-2/(3一x)=2x+l叱二)](，2(3一小產(chǎn)“力二十5,故C正

確；

對于D,VxeR,3A;eZ,使得左<x(左+1,從而/(x)=x—[x]=x—左<1恒成立，故D錯誤.

故選：AC.

11.已知實數(shù)a,b,。滿足/+人2+,2=i，則下列選項正確的是()

A.a+6+c的最大值為百B.bc+ca的最大值為三

C.+be+CQ的最小值為—1D.當a,b,C￡(O,1)時，-----1---的最小值為8

abcab

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用基本不等式求出a+6+c最大值判斷A；由1=〃+！°2+/+l02結(jié)合基本不等式求出最大

22

值判斷B；由(a+Z?+c)2=a2+Z?2+c2+2(ab+bc+ca)20求出最小值判斷C；由1—/=/十〃22ab

結(jié)合不等式性質(zhì)及基本不等式求出最小值判斷D.

【詳解】對于A,a+b+c<|a+Z?+c[=J(a+1+c)2=Jl+2ab+2bc+2ca

當且僅當。=6=。=?時取等號，A正確；

<71+6Z2+Z?2+Z?2+C2+C2+6Z2

對于B,1=+Z?2+c2——c2+H—，之yp2bc+yfica,則be+caV，

222

當且僅當a=b="20=!或〃=6="2°=—J■時取等號，B正確；

2222

對于C,由(a+Z?+c)2=a1+〃+(?+2(ab+Z?c+ca)>0,^ab+bc+ca>一;,

當且僅當a+6+c=0時取等號，刈=旦,b=c=-旦,則。3+bc+ca=—工，C錯誤；

362

12

對于D,。，仇ce(O,l),1-c2=a2+b2>2ab,則下之一口當且僅當。=6時取等號，

ab1-c

11Izl2l+c22°、

J2

于是而cababc~l-Cc(l-c)c~(l-c+c2,當且僅當。="c=不時取等號，

12,2

因此當a=6=―9,0=工時，，----1---取得最小值8,D正確.

42abcab

故選：ABD

【點睛】思路點睛：在運用基本不等式時，要特別注意“拆”、“拼”、“湊”等技巧，使用其滿足基本不等式

的“一正”、“二定”、“三相等”的條件.

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)

12.若函數(shù)/(x-l)的定義域為[-3,5],則函數(shù)/(2x)的定義域為.

【答案】[-2,2]

【解析】

【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域的求法列不等式即可求解.

【詳解】若函數(shù)/（X—1）的定義域為[一3,5],xe[-3,5]=>x-le[-4,4],

要使得/（2x）有意義，則需—4<2x<4,解得—2WxW2,

所以函數(shù)/（2x）的定義域為[-2,2].

故答案為：-2,2].

13.已知實數(shù)x、y滿足—3Wx—2yW2,-4<2x+y<Q,則4x—3y的取值范圍為.

【答案】[一10,4]

【解析】

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)求得正確答案.

【詳解】通過觀察可知4x—3y=2（x-2y）+（2x+y）,

由于-3Wx-2yW2,則—6<2（x-2y）44,

而—4<2x+y<0,所以—10W4x—3yW4.

故答案為：[-10,4]

14.若不等式必+2"（74/（3必+/）對一切正數(shù)》，y恒成立，則實數(shù)f的取值范圍為.

【答案】[1,+s）

【解析】

1+2亞m1

【分析】首先/NIY/、2~二對一切正數(shù)X，y恒成立，進一步,、1,2,2。-3恒成立且不妨讓

（>----------

3'+1-33/+1

2s/2a-->0,從而只需求出1,之行；“一3的最大值即可.

3—3?--3/-+1-

（、2

1+2立工

【詳解】不等式必+2正中《/（3必+3；2）對一切正數(shù)無，丁恒成立當且僅當不等式~乂對一

3—+1

y)

切正數(shù)》,丁恒成立,

a2+—+2A/2O--2A/26Z—卜一、

令。=—>0,所以+21______2,恒成乂,

yt>------------33=一+

/3/+13/+133/+1

所以不妨讓2夜。—!>0,

3

12缶-：2yj2a--2y[2a--

11

二一+3二一+3

則3+FF2

3325

-\242a-LL+i3(2岳—1+2y/2a-j+一

8133831424

11

-......1------T------------------:—/+_―=1

3-[141a--2513_

H-------彳----------+42,等號成立當且僅當

8324l2V2a-18244

a=-=—>0,

V2

2

x+2V2-

綜上所述，當y=JL;>0時,上有最大值1,

/、2

3—+1

所以/的取值范圍為[1,+8).

故答案為：[1,+℃).

四、解答題(本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

15.已知集合/={x|x?-4x+3=0},B=^x\x2-2ax+2o+3=0}(aeR)

(1)若5/0,求實數(shù)。的取值范圍

(2)若ZU8=Z,求實數(shù)。的取值范圍

【答案】⑴(一*-l]U[3,+⑹

⑵(T3]

【解析】

【分析】(1)轉(zhuǎn)換成一元二次方程x2-2ax+2a+3=0有實數(shù)解即可得判別式非負，由此即可求解;

(2)將問題轉(zhuǎn)換為進一步對集合8中元素個數(shù)分類討論即可求解.

【小問1詳解】

若3/0,這意味著一元二次方程f-2ax+2a+3=0有實數(shù)解,

所以△=4a2—4(2a+3)=4(a—3)(a+l)20=＞a?3或a＜—1,

所以實數(shù)0的取值范圍為(，》,—l]U[3,+8)；

【小問2詳解】

幺={x|x?—4x+3=0}={1,3}；

若ZUB=Z,則當且僅當

情形一：若8=0,顯然滿足題意，此時△=4"—4(2。+3)=4(。—3a+1)<0=>—1<a<3；

情形二：若a=-1,此時8={-1}不是集合A的子集，不符合題意，

若a=3,此時8={3}=2={1,3},符合題意；

[2a=4

情形三：若。＜一1或。＞3,且BuZ,則只能8=/,止匕時、,無解;

—2a+3=

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍為(T3].

16.已知函數(shù)/(x)=/-2ax+a+2(aeR)

(1)方程/(x)=O在(0,6)上有兩個不等實數(shù)根，求。的取值范圍

(2)求解關(guān)于x不等式/+2ax+a+2＞0

【答案】(1)2＜。＜三

(2)答案見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)方程根的分布列出不等式組求解；

(2)根據(jù)對一元二次方程根的情況分類討論，得出不等式的解集.

【小問1詳解】

因為方程/(x)=0在(0,6)上有兩個不等實數(shù)根，

/(0)>0a+2〉0

a>0a>0

所以需滿足＜/\，即〈

/⑹>038—1la>0

A=4/-4(2-8>0(Q-2)(Q+1)〉0

解得2<a<—,

即a的取值范圍為2<。(云.

【小問2詳解】

方程/+2ax+a+2=0的判別式△=4a2—4a—8=4(a—2)(a+l),

①當△<(),即—/<a<2時，方程無實數(shù)根，

所以x?+2ax+a+2>0的解集為R;

②當A=0,即。=—1或°=2時，方程有兩相等實根x=一。，

當a=-1時，不等式x?+2ax+a+2>0的解集為，

當。=2時，不等式寸+2辦+0+2>0的解集為｛刈工0—2｝；

③當△>(),即。<一1或a>2時，方程有兩不相等實根％=_q_J"_2,%=_a+J4_q_2，

所以不等式的解集為“|》<西或》〉/｝；

綜上，當a=-1時，不等式解集為｛x|xwl｝；

當a=2時，不等式解集為｛x|x。-2｝；

當—/<a<2時，不等式解集為R；

當。<一1或a>2時,不等式的解集為｛x\x<-a-\la2-a-2或x〉-a+yja1-a-2]-

17.已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/足+y)=/(x)+/(y)+3,且當x>0時,/(%)>-3.

(1)求/(0)的值，并證明〃x)+3為奇函數(shù)

(2)求證：/(x)在R上是增函數(shù)

(3)若/⑴=2,解關(guān)于x的不等式/(爐+》)+/?！?X)〉9

【答案】(1)/(0)=-3,證明見解析；

(2)證明見解析；(3)(―℃,—1)o(2,+co).

【解析】

【分析】(1)利用賦值法計算，再利用奇函數(shù)定義推理得證.

(2)根據(jù)給定的等式，利用增函數(shù)的定義推理即可.

(3)求出/(3),結(jié)合給定等式化不等式為/(1—》+1)〉/(3),再利用單調(diào)性求解即得.

【小問1詳解】

在R上的函數(shù)/(x)滿足/(x+y)=/(x)+/(j)+3,

取x=y=O,則/(0)=/(0)+/(0)+3,所以/(0)=-3,

VxeR,取V=-x,則/(O)=/(x)+/(-x)+3=-3,

于是/(x)+3=3=-[/(-%)+3],

所以/(x)+3為奇函數(shù).

【小問2詳解】

Vx1；x2eR,X[<x2,則/-司〉0,由當x>0時，f(x)>-3,得/(乙一為)〉一3,

f(x2)=f[xx+(x2-%1)]=/(%1)+/(%-西)+3〉/(%1),

所以/(X)在R上是增函數(shù).

【小問3詳解】

由/(I)=2,得f(2)=/(1)+/(I)+3=7,/(3)=/(1)+/(2)+3=12,

不等式/(x2+x)+/(I一2x)〉9of(x2+x)+f(l-2x)+3>12,

則/(J—x+l)〉/(3),由(2)知，X2-X+1>3>即%—2〉0,解得X<—1或X>2,

所以原不等式的解集為(-叫-1)u(2,+oo).

18.如今中國已經(jīng)成為全球最大的新能源汽車消費市場，并且建成了高效的協(xié)同產(chǎn)業(yè)體系，2024年上半年

新能源汽車銷售469萬輛，同比增長29.7%.某企業(yè)計劃引進新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過市場分析，每生產(chǎn)

75(X2+3),0<X<2

x(千輛)獲利亞(x)(萬元)，關(guān)系如下：%(x)=4750x，該公司預(yù)計2024年全年其他成

----,2<x<6

.1+x

本總投入為30x萬元.由市場調(diào)研知，該種車銷路暢通，供不應(yīng)求.記2024年的全年利潤為/(x)(單位:

萬元).

(1)求函數(shù)/(x)的解析式;

(2)當2024年產(chǎn)量為多少千輛時，該企業(yè)利潤最大？最大利潤是多少？請說明理由.

75x2-3Ox+225,0<x<2

【答案】(1)f(x)=1750x

-30x,2<x<6

、1+x

(2)當2024年產(chǎn)量為4千輛時，該企業(yè)利潤最大，最大利潤是480萬元.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)給定的信息，由/(x)=PF(x)-30x求出解析式即得.

(2)按0<x<2,2<x<6分段求出最大值，再比較大小即得.

【小問1詳解】

75(X2+3),0<X<2

依題意，/(x)=PF(x)-30x,而/X)=<750X

------,2<x<6

、1+x

75(x2+3)-3Ox,0<x<275x2-30x+225,0<x<2

所以函數(shù)/(%)的解析式為=1750x即"")=3-30x,2K6

--------30x,2<x<6

、1+x

【小問2詳解】

當0WxW2時，/(x)=75——30x+225在［0,g上單調(diào)遞減，在［g,2］上單調(diào)遞增，

當x=2時，/(x)max=/(2)=465;

當2<x?6時，/(x)=^^-30x=：750---30(l+x)+30=780-30［—+(l+x)］

\+x1+x\+x

l~2S25

<780-30x2.^-(1+x)=480,當且僅當——=l+x,即x=4時取等號，

V1+x1+x

而465<480,則當x=4時，/(x)max=480,

所以當2024年產(chǎn)量為4千輛時，該企業(yè)利潤最大，最大利潤是480萬元.

19.在數(shù)學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并

構(gòu)成一般不動點定理的基石，布勞威爾不動點定理得名于荷蘭數(shù)學家魯伊茲?布勞威爾(LEJBrouwer),簡

單的講就是對于滿足一定條件的圖象不間斷的函數(shù)/(x),存在點/,使/(x0)=x°，那么我們稱該函數(shù)

為“不動點函數(shù)”，為函數(shù)的不動點.

⑴若定義在R上僅有一個不動點的函數(shù)/(x)滿足/(/(x)--+x)=/(x)——+X,試求函數(shù)/(x)

的解析式.

(2)若對任意的實數(shù)6,若函數(shù)8(%)=?2+(36+1)》+26-1(400)恒有兩個不動點，且滿足如下條

件：

①y=g(x)圖象上兩個不同點M，N的橫坐標是函數(shù)g(x)的不動點;

②跖N的中點C在函數(shù)/z(x)=-2x+^^一的圖象上，求