2024-2025學年人教版八年級數(shù)學上冊夾角模型專項突破

夾角模型專項突破

突破21夾角模型（一）雙內(nèi)角平分線

類型一三角形兩內(nèi)角平分線

1.如圖.BE,CF是AABC的角平分線,/A=4（T,BE,CF相交于點D廁/CDE的度數(shù)是（

A.1000

2.在AABC中,NB,NC的平分線相交于點O,NBOC=150。,則NA的度數(shù)為.

類型二三角形三內(nèi)角平分線

3.如圖.已知P為AABC三條內(nèi)角平分線AD,BE,CF的交點,DGJ_PC于點G，則下列選項中的角一定

與/PDG相等的是（）

A.ZABEB.ZDACC.ZBCFD.ZCPE

類型三三角形兩內(nèi)角的三等分線

4.如圖，在AABC中，NABC,NACB的三等分線交于點E,D,若/BEC=120。,則NBDC的度數(shù)

為.

D

B-C

類型四四邊形一組對角的角平分線

5.如圖，在四邊形ABCD中,NA=/C=9(r,BE平分NABC,交AD于點E,DF平分NADC,BE,CD的延長

線交于點G.

(1)ZABC+ZADC的度數(shù)是______________;

(2)求證:/G=/CDF./

6.如圖，在四邊形ABCD中,NABC與/ADC互補,/DAB和/BCD的平分線交于點O設(shè)/ABC=x。,

則/AOC的度數(shù)用x的代數(shù)式表示為.

類型五多邊形一組鄰角的角平分線

7.如圖，在六邊形ABCDEF中,NA+NF+/E+ND=a,NABC的平分線與NBCD的平分線交于點P,則N

P度數(shù)為()

111

A.—cc—180艮360。-)C.180°--aD.-a-360

222

BC

突破22夾角模型（二）雙外角平分線

類型一雙外角平分線

1.如圖在AABC中,BO,CO分別是/ABC和/ACB的外角平分線,/A+/O=130。,則/A的度數(shù)為

)

A.500B.60°C.70°D.80°

類型二雙外角平分線十單內(nèi)角平分線

2.如圖，在AABC中,NABC=NACB,AD,BD,CD分別平分AABC的外角/EAC,內(nèi)角/ABC,外角NACF,

以下結(jié)論:①AD〃BC;②/ACB=2ZADB;③ZADC=90°-NABD;circle^BDC=|Z-BAC.其中正確的是

)

A.①②③B.①②④C.①②③④D.②③④

類型三雙外角平分線+雙內(nèi)角平分線

3.如圖，在AABC中,BD,CD分別平分/ABC,/ACB,BG,CG分別平分三角形的兩個外角/EBC,NFCB,

則/D和/G的數(shù)量關(guān)系為()

1

A.Z.D=-^GB.ZD+ZG=180°

2

C.2LD+-Z,G=90°DND=90°+-ZG

22

F

Et

G

突破23夾角模型（三）內(nèi)外角平分線

類型一三角形的內(nèi)外角平分線

1.如圖,BP是AABC的角平分線,CP是AABC的外角NACM的平分線，若/ABP=2（r,/ACP=50。廁/

A+ZP=()

A.70°B.80°C.90°D.100°

類型二多重三角形的內(nèi)外角平分線

2.如圖，在AABC中，分別是內(nèi)角/CAB,外角NCBD的三等分線，且/-E±AD=

之4CAB,乙EiBD=W乙CBD,在LABE^,4&,B私分另！I是內(nèi)角.NEMB,夕卜角.NE/D的三等分線，且.

4為4?！源艘?guī)律下去,若/C=m,貝！J./E□的度數(shù)為_______________.

類型三四邊形的內(nèi)外角平分線

3.如圖,DF為四邊形ACDB外角/BDE的平分線,CF平分/ACD,若NA=140o,NB=ll（rJJU/CFD的

度數(shù)是______________.

4.如圖在四邊形ABCD中,/A=x,/C=y,/ABC的平分線與/ADC的外角平分線交于點Q則/Q的

度數(shù)是..（用含x,y的代數(shù)式表示）.

AD

C

B

突破24夾角模型(四)高與角平分線

類型一共頂點的高與角平分線

L如圖在AABC中,NA=35o,NB=75o,CD是AB邊上的高,CE是AABC的角平分線,DFLCE于點F.

⑴求/ECB的度數(shù);

(2)求/CDF的度數(shù).

類型二不共頂點的高與角平分線

2.如圖，在AABC中.BE是AC邊上的高,AD是AABC的角平分線,AD交BE于點F,ZABC=54°,Z

C=76。,求/EFD的度數(shù).

3.如圖1,在AABC中,CD是AB邊上的高,/A=/DCB.

⑴試說明:NACB=90。；

(2)如圖2,如果AE是角平分線,AE,CD相交于點F.那么/CFE與/CEF的大小相等嗎?請說明理由.

圖1圖2

類型三角平分線+垂線

4.如圖，在AABC中,AD平分NBAC,P為AD延長線上一點,PELBC于點E,NACB=7(T,NB=24。,求/

P的度數(shù).

5.⑴如圖1,在AABC中,AD平分NBAC,P為線段AD上的一點，過點P作PEXAD于點P交直線

BC于點E,當/B=5(T,NBCA=70。時,/PED的度數(shù)為;

(2)如圖2,AD平分AABC的外角NCAF,P是AD上一點PFLAD交BA的延長線于點F,交AC的

延長線于點G,若NB=a,/BCA=|3,求NPED的度數(shù)(用含有a,p的式子表示).

圖1圖2

6.如圖,AE是AABC的角平分線,CDLAE,垂足為F,與AB交于點D.

⑴如圖1,若/BAC=8(T,NB=30。,求/BCD的度數(shù);

⑵如圖2,點G在線段BC上，且/BDG=/BAC.求證:NGDC與/CAE互余

圖1圖2

突破21夾角模型（一）雙內(nèi)角平分線

1.D解:；NA=40。,

ZABC+ZACB=180°-ZA=140°.

VBE,CF是AABC的角平分線，

???乙EBC=-Z.ABC,

2

乙FCB=-^ACB,

2

：./-CDE=Z.EBC+乙FCB=(N4BC+N4CB)=]X140°=70。.故選D.

2.120°解：：ZBOC=150°,.\ZOBC+ZOCB=180°—150°=30°.

VZABC與/ACB的平分線相交于點O,

ZABC=2ZOBC,ZACB=2ZOCB,

ZABC+ZACB=2(ZOBC+ZOCB)=60°,

?,.ZBAC=180o-60o=120°.

3.A解:：AD,BE,CF是AABC三條內(nèi)角平分線，

???乙ABE=-^.ABC,

2

1

Z-ACP=^ACBf

i

JNABE+NCAD+NACP=^(ZABC+ZBAC+ZACB)=90°.

NDPG=NCAD+NACP,

ZABE+ZDPG=90°.

VDGXPC,

???ZPGD=90°,

???ZPDG+ZDPG=90°,

NABE=NPDG.故選A.

4.150°解在"EC中，

VZBEC=120°,

???ZEBC+ZECB=60°.

VZABC,ZACB的三等分線交于點E,D,

?.ADBC=二乙EBC,乙DCB=-^LECB,

..乙DBC+乙DCB=-x60°=30°,

2

ZBDC=180。一(/DBC+NDCB)=150。.故答案為150°.

5>:(l)VZA+ZABC+ZC+ZADC=360o,ZA=ZC=90°,.".ZABC+ZADC=180°;

(2)VBE平分/ABC,

???乙EBC=/ABC.

2

???ZC=90°,

.*.ZEBC+ZG=90°.

VDF平分NADC,

..2CDF=-^ADC.

2

VZABC+ZADC=180°,

：.-^ABC+-^LADC=90",

22

JZEBC+ZCDF=90°,

???ZG=ZCDF.

6.(270-x)。解：/BAD與/BCD的平分線交于點O,

???ABAO=-^BAD,

2

ZBCO=-ZBCD.

2

VZABC與NADC互未卜,NABC=x。，

JZADC=(180-x)°.

ZB+ZDAB+ZD+ZDCB=360°,

ZDAB+ZDCB=360°—x°-(l80-x)°=180°,

???乙OAB+AOCB=工x180°=90°,

2

ZAOC=360°—ZABC—(ZOAB+ZOCB)=360o-x°-90o=(270-x)°.

7.A解:：ZA+ZABC+ZBCD+ZD+ZE+ZF=(6-2)x180°=720°,

ZA+ZF+ZE+ZD=a,

ZABC+ZBCD=720°-a.

VZABC的平分線與/BCD的平分線交于點P,

???Z.PBC+APCB=|(720。-a)=360。-:a.

ZP+ZPBC+ZPCB=180°,

zP=180°-(360。一號a)=稱8180。,故選A.

突破22夾角模型(二)雙外角平分線

1.D解:依題意，得/1=N2=?/ACB+/A),/3=/4=XN4BC+N4),

???Z2+Z3=^^ABC+/-ACB+Z4)+|z4=90°+|z4,

??.NO=180°-(90。+*)=90。-2.

ZA+ZO=130°,

.??NA+90°--z.A=130°,

2

，NA=80°.故選D.

2.C解:NEAC=/ABC+NACB=2NACB.

：AD平分NEAC,

???^.EAD=jzFAC=^ABC,

；.AD〃:BC,故①正確；

VAD/7BC,

.*.ZADB=ZDBC.

VBD平分/ABC,

NABC=2/DBC=2/ADB=/ACB,故②正確；

設(shè)NABD=a,則/ABC=NACB=2a,NDAC=/ACB=2a,NACF=180°-2a,

ZACD=90°=a,/ADC=NDCF=/ACD=90。一a=90。一/ABD,故③正確；

BD平分ZABC,CD平分NACF,

.?"DC=|NBAC,故④正確，故選C.

3.B解:：BD,CD分別平分NABC,NACB,

11

???乙DBC=^ABC,乙DCB=^ACB.

VBG,CG分別平分三角形的兩個外角/EBC,/FCB,

..^GBC=-^EBC,

2

1

乙GCB=：乙FCB,

ZDBG=ZDBC+ZGBC=^ABC+ZEBC)=90°.

同理可得NDCG=90。，

???ND+NG=180。.故選B.

突破23夾角模型(三)內(nèi)外角平分線

1.C解:TBP是AABC中NABC的平分線,CP是NACM的平分線,二NABC=2NABP=4()o,NACM=2

ZACP=100°,

JZA=ZACM-ZABC=60°,ZACB=180°-ZACM=80°,

AZBCP=ZACB+ZACP=130°.

ZPBC=20°,

JZP=180°-ZPBC-ZBCP=30°,

???NA+NP=90。.故選C.

2.坦3解：乙Ei=AE^BD-AErAD=|Z.CBD一|"AB=^C=|m.

同理可得=卷???出==奈

3.35°解:延長CA,DB交于點G.

,/ZCAB=140°,ZABD=110°,

ZGAB=40°,ZGBA=70°,

ZG=180°—ZGAB-ZGBA=70°,

.,.ZGDE-ZGCE=70°.

???CF,DF分別平分ZACE,ZGDE,

???LFCD=jzGCE,乙FDE=

*.?ZF=ZFDE-ZFCE,

ZF=-乙GCE)=^x70°=35°.

4.90。+-y)解:設(shè)BQ與AD交于點N.由題意彳導NDNQ==1800-x-

zQDAf=|(180。-乙4OC),

.,.ZQ=180°-ZDNQ-ZQDN=180°-(1800-x-^ABC)-|(180。-N40C)=x+

+Z4DC)-90°=x+180。-總+y)-90°=90°+^(x-y).

突破24夾角模型(四)高與角平分線

1.解:⑴；在AABC中,ZA=35°,ZB=75°,

ZACB=180°-ZA-ZB=180o-35°-75o=70°.

又：CE是/ACB的平分線，

???乙ECB=-4ACB=-x70°=35。；

22

(2)VCD±BD,ZB=75°,

JZBCD=90o-ZB=90°-75o=15°,

JZDCF=ZECB-ZBCD=35°-15°=20°.

VDFXCE于點F,ZDCF=20°,

ZCDF=90o-ZDCF=90°-20o=70°.

2.解:：ZABC=54°,ZC=76°,

ZBAC=180o-54°-76o=50°.

：AD平分NBAC,

11

???=-x50°=25°.

22

VBEXAC,

JZAEB=90°,

JZEFD=ZCAD+ZAEB=25o+90°=115°.

3.解:(1).「CD是AB邊上的高，

???ZCDA=90°,

JZA+ZACD=90°.

VZA=ZDCB,

???ZACB=