《MATLAB教程及實(shí)訓(xùn) 第4版》課件 第4章符號運(yùn)算實(shí)訓(xùn)

第4章符號運(yùn)算

（symbolicmathtoolbox）4.1符號對象的創(chuàng)建和使用4.2符號對象的運(yùn)算4.3符號表達(dá)式的變換4.4符號微積分、極限和級數(shù)4.5符號積分變換4.6符號方程的求解4.7符號函數(shù)的可視化4.8綜合舉例4.9繪圖函數(shù)本章小結(jié)和練習(xí)符號運(yùn)算的對象是非數(shù)值的符號對象，對于像公式推導(dǎo)和因式分解等抽象的運(yùn)算都可以通過符號運(yùn)算來解決。MATLAB具有專用的符號數(shù)學(xué)工具箱（SymbolicMathToolbox）進(jìn)行符號運(yùn)算，由MATLAB實(shí)時(shí)編輯器（LivescriptEditor）代替了原來的Mupadnotebook，可以創(chuàng)建、運(yùn)行和共享符號表達(dá)式，直接生成MATLAB函數(shù)、Simulink函數(shù)塊和Simscape方程，使符號運(yùn)算的功能有了很大的擴(kuò)展。符號工具箱能夠?qū)崿F(xiàn)微積分運(yùn)算、線性代數(shù)、表達(dá)式的化簡、求解代數(shù)方程和微分方程、積分變換和不同精度轉(zhuǎn)換，符號計(jì)算的結(jié)果可以以圖形化顯示。例如：計(jì)算a*x^2+b*x+c的根計(jì)算f=sin(ax)+cos(x)的微分計(jì)算符號運(yùn)算的特點(diǎn)：

（1）符號運(yùn)算以推理解析的方式進(jìn)行，計(jì)算的結(jié)果不受計(jì)算累積誤差影響；（2）符號計(jì)算可以得出完全正確的封閉解和任意精度的運(yùn)算；（3）符號計(jì)算命令調(diào)用簡單與數(shù)值計(jì)算命令基本一致。4.1符號對象的創(chuàng)建和使用創(chuàng)建符號對象可以使用sym和syms函數(shù)實(shí)現(xiàn)。1.sym函數(shù)S=sym(s,參數(shù)) %由數(shù)值創(chuàng)建符號對象S=sym(‘s’,參數(shù))%由字符串創(chuàng)建符號對象例，>>x=sym('x');參數(shù)作用實(shí)例d返回最接近的小數(shù)(默認(rèn)位數(shù)為32位)

>>x=sym(pi,‘d‘)

x=3.1415926535897931159979634685442f返回浮點(diǎn)型數(shù)值

>>x=sym(pi,‘f‘)

x=884279719003555/281474976710656r返回最接近的有理數(shù)型數(shù)值(為系統(tǒng)默認(rèn)方式)

>>x=sym(pi,‘r‘)

x=pie返回最接近的帶浮點(diǎn)估計(jì)誤差的有理數(shù)型

>>x=sym(pi,‘e‘)

x=pi-(198*eps)/3592.syms函數(shù)syms(s1,s2,s3,…,參數(shù)) %創(chuàng)建多個(gè)符號變量symss1s2s3…參數(shù) %創(chuàng)建多個(gè)符號變量，由空格分開變量

symsf(x1,x2,x3)%創(chuàng)建符號變量和符號函數(shù)例：>>symsf(x,y)>>symsabc>>B=sym(‘b’,‘real’)%限定b為實(shí)數(shù)4.1.2符號常量和符號變量符號常量是不含變量的符號表達(dá)式，用sym函數(shù)來創(chuàng)建；符號變量使用sym和syms函數(shù)來創(chuàng)建?！纠?-1】在實(shí)時(shí)編輯器中創(chuàng)建Livescript文件，編寫并運(yùn)行創(chuàng)建符號常量和符號變量。4.1.2符號常量和符號變量設(shè)置假設(shè)條件的命令格式如下：assume(condition) %假設(shè)條件assume(expr,set) %對符號表達(dá)式設(shè)置條件assumptions(var) %變量的假設(shè)條件【例4-2】使用字符串創(chuàng)建符號變量，并使用假設(shè)條件。>>symsx;>>assume(x>5); %設(shè)置假設(shè)條件>>assumeAlso(x<10)>>assumptions %顯示假設(shè)條件ans=[5<x,x<10]4.1.3符號表達(dá)式符號表達(dá)式是由符號常量和符號變量等構(gòu)成的表達(dá)式，使用sym和syms函數(shù)來創(chuàng)建。例4-3

分別使用sym和syms函數(shù)創(chuàng)建符號表達(dá)式。>>symsabcx>>f1=a*x^2+b*x+cf1=a*x^2+b*x+c>>symsf2(z);>>f2=sin(z)^2+cos(z)^2==1 %創(chuàng)建符號方程f2=sin(z)^2+cos(z)^2=14.1.4符號矩陣符號矩陣的元素是符號對象，符號矩陣可以用sym和syms函數(shù)來創(chuàng)建。>>symsabcd;A3=[a,b;c,d]%創(chuàng)建符號矩陣A3=[a,b][c,d]>>B=sym('b',[2,3])B=[b1_1,b1_2,b1_3][b2_1,b2_2,b2_3]4.2符號對象的運(yùn)算

4.2.1符號運(yùn)算的類型轉(zhuǎn)換1.符號變量與數(shù)值變量的相互轉(zhuǎn)換d=double(s) %轉(zhuǎn)換為雙精度型數(shù)據(jù)c=sym2cell(s) %轉(zhuǎn)換為元胞數(shù)值sym、syms、str2sym和cell2sym，可以將數(shù)值、字符串和元胞數(shù)組轉(zhuǎn)換為符號對象。>>S1=sym([sqrt(2),pi])；>>d=double(S1) %轉(zhuǎn)換為雙精度型數(shù)據(jù)d=1.41423.1416>>s3='[a,b;c,d]';S3=str2sym(s3)S3=[a,b][c,d]2.任意精度符號變量的轉(zhuǎn)換VPA型（variable-precisionfloating-pointarithmetic）是指任意精度運(yùn)算，這種運(yùn)算比較靈活，可以設(shè)置任意有效精度。digits(n) %設(shè)定n位有效位數(shù)的精度S=vpa(s,n) %將s按n位有效位數(shù)計(jì)算得出符號對象S不同類型對象轉(zhuǎn)換關(guān)系4.2.2符號對象的基本運(yùn)算1.算術(shù)運(yùn)算（1）“＋”，“－”，“*”，“\”，“/”，“^”（2）“.*”，“./”，“.\”，“.^”（3）“′”，“.′”2.符號矩陣運(yùn)算函數(shù)符號運(yùn)算中的矩陣代數(shù)命令有diag、triu、inv、det、rank、qr、eig、svd和expm、logm等。3.關(guān)系運(yùn)算包括“>”、“>=”、“<”、“<=”、“==”、“~=”，可以結(jié)合assume等函數(shù)使用。。符號矩陣運(yùn)算：>>symsabcd>>C=[a,b;c,d];>>detC=det(C)%求行列式>>invC=inv(C)%求逆陣>>rotC=rot90(B)>>logC=log(C)>>D=sin(C).*cos(C)4.邏輯運(yùn)算包括“&”、“|”和xor，可以對關(guān)系表達(dá)式進(jìn)行邏輯運(yùn)算，函數(shù)all、any、in、isinf、isnan等也進(jìn)行邏輯運(yùn)算。5.算術(shù)運(yùn)算函數(shù)三角函數(shù)包括sin、cos、sinc、cot和tan，雙曲函數(shù)包括sinh、cosh和tanh，三角反函數(shù)包括asin、acos和atan函數(shù)等。指數(shù)函數(shù)sqrt、exp和expm的使用方法與數(shù)值運(yùn)算的完全相同；對數(shù)函數(shù)有自然對數(shù)log（表示ln）、log2和log10。復(fù)數(shù)的共軛conj、實(shí)部real、虛部imag、角度angle和求模abs等函數(shù)，與數(shù)值計(jì)算中的使用方法相同。算術(shù)運(yùn)算的統(tǒng)計(jì)函數(shù)max、min、mod和rem等。例：>>symsabcd>>A=[a,b;c,d];>>B=[1,2;3,4];>>C=A+B*i %C是符號變量C=[a+1i,b+2i][c+3i,d+4i]>>e=logical(A==B)>>conj(C) %求共軛ans=[conj(a)-1i,conj(b)-2i][conj(c)-3i,conj(d)-4i]4.3符號表達(dá)式的變換

4.3.1符號表達(dá)式中的自由符號變量1.自由符號變量的確定以下原則來選擇一個(gè)自由符號變量：符號表達(dá)式中的多個(gè)符號變量，按以下順序來選擇自由符號變量：首先選擇x，如果沒有x，則選擇在字母表順序中最接近x的字符變量，如果字母與x的距離相同，則在x后面的優(yōu)先；字母pi、i和j不能作為自由符號變量；大寫字母比所有的小寫字母都靠后。例如，在符號表達(dá)式“ax2+bx+c”中，自由符號變量的順序?yàn)閤

c

b

a。練習(xí)：確定下面各符號表達(dá)式中的自由符號變量：1/(log(t)+log10(w*t)) sqrt(t)/y 10*i+x*j exp(-a*result)答案：wyxresult

4.3.2符號表達(dá)式的化簡多項(xiàng)式的符號表達(dá)式有多種形式，例如，f(x)=x3-6x2+11x-6可以表示為：>>symsf(x)>>f=x^3-6*x^2+11*x-6合并同類項(xiàng)形式：f(x)=x3-6x2+11x-6

collectexpand因式分解形式：f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)

factor

嵌套形式：f(x)=x(x(x-6)+11)-6

horner例：>>symsf(x)>>f=x^3-6*x^2+11*x-6>>factor(f)>>g=(x-1)*(x-2)*(x-3)>>f=collect(g)>>pretty(f)例：>>symsf(x,y)>>f=cos(x-y)>>g=expand(f)>>p=sym(120)>>factor(p)simplify函數(shù)simplify函數(shù)是一個(gè)功能強(qiáng)大的函數(shù)，利用各種形式的代數(shù)恒等式對符號表達(dá)式進(jìn)行化簡，包括求和、分解、積分、冪、三角、指數(shù)、對數(shù)、Bessel以及超越函數(shù)等方法來簡化表達(dá)式。例：>>symsxy>>f2=cos(x)^2+sin(x)^2;>>g2=simplify(f2)g2=1練習(xí)：對符號表達(dá)式，進(jìn)行化簡。答案：symsxf1=cos(x)+sqrt(-sin(x)^2)F11=simplify(f1)f2=(x^2-1)/(x+1)f21=expand(f2)f22=collect(f2)4.3.3符號表達(dá)式的替換1.subexpr函數(shù)subexpr函數(shù)用來替換符號表達(dá)式中重復(fù)出現(xiàn)的子表達(dá)式，通過替換子表達(dá)式來化簡。2.subs函數(shù)subs函數(shù)用來對符號表達(dá)式中某個(gè)特定符號進(jìn)行替換，命令格式如下：subs(s,old,new)%用new替換符號表達(dá)式s中的old例如：>>f1=subs(f,x-y,S)例：

將符號表達(dá)式f=(x-y)(x+y)+(x-y)2+2(x-y)中的特定符號使用subs函數(shù)替換。>>symsxyzS>>f=(x-y)*(x+y)+(x-y)^2+2*(x-y);>>f1=subs(f,x-y,S)>>x=5;>>y=3;>>f2=subs(f)4.3.4計(jì)算反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)1.反函數(shù)函數(shù)f(x)存在一個(gè)反函數(shù)g(.)，g(f(x))=x，則g和f互為反函數(shù)g=finverse(f,v)%對f(v)按指定自變量v求反函數(shù)例4-12：>>symsxy>>f=5*sin(x)+y;>>g=finverse(f) %對默認(rèn)自由變量求反函數(shù)>>g1=finverse(f,y) %對y求反函數(shù)2.復(fù)合函數(shù)MATLAB提供了compose函數(shù)可以求出f(x)和g(y)的復(fù)合函數(shù)f(g(y))。compose(f,g,x,y,z) %計(jì)算f和g的復(fù)合函數(shù)例：>>symsxytvn>>f=x+y;>>g=t*v;>>y1=compose(f,g) %以x為符號變量求復(fù)合函數(shù)y1=t*v+y>>y4=compose(f,g,y,t,'n')%以n代替t求復(fù)合函數(shù)f(g(n))y4=x+n*v4.3.5多項(xiàng)式符號表達(dá)式1.多項(xiàng)式符號表達(dá)式的運(yùn)算函數(shù)root求多項(xiàng)式的根，resultant計(jì)算兩個(gè)多項(xiàng)式合成，numden進(jìn)行多項(xiàng)式分母通分，ploynomialDegree計(jì)算多項(xiàng)式最高階次。例，已知多項(xiàng)式為>>symsxs；f1=sym(1/(x-1)+1/(x+1)+3);>>[N1,D1]=numden(f1)N1=2*x+3*x^2-3D1=(x-1)*(x+1)>>deg=polynomialDegree(N1) %求多項(xiàng)式的階次deg=22.符號表達(dá)式與多項(xiàng)式的互換sym2poly(s)和poly2sym將符號表達(dá)式與行向量互相轉(zhuǎn)換例：將多項(xiàng)式表達(dá)式轉(zhuǎn)換成>>n1=sym2poly(N1)n1=32-3>>d1=sym2poly(D1);>>f2=poly2sym(n1,s)/poly2sym(d1,s) %轉(zhuǎn)換為以s為符號變量的表達(dá)式f2=(3*s^2+2*s-3)/(s^2-1)4.4符號微積分、極限和級數(shù)

4.4.1符號表達(dá)式的微積分1.微分diff(f,t,n)%計(jì)算f對符號變量t的n階微分例

計(jì)算符號表達(dá)式f=sin(ax)+y2cos(x)的微分。>>symsaxy>>f=sin(a*x)+y^2*cos(x);>>dfdx=diff(f) %對默認(rèn)自由變量x求一階微分dfdx=cos(a*x)*a-y^2*sin(x)>>dfdy2=diff(f,y,2) %對符號變量y求二階微分dfdy2=2*cos(x)2.積分int(f,t,a,b) %計(jì)算符號變量t的積分說明：f為符號表達(dá)式；t為積分符號變量，可以省略，當(dāng)t省略時(shí)則指默認(rèn)自由符號變量；a和b是為積分上下限[ab]，可以省略，省略時(shí)計(jì)算的是不定積分。例：>>symsarphi>>g=r^2*(sin(phi))^2;>>f=int(int(g,r,0,a),phi,0,2*pi)f=(pi*a^3)/34.4.2符號表達(dá)式的極限limit(f,x,a)％求符號表達(dá)式f對x趨近于a的極限例4-22

使用limit函數(shù)計(jì)算符號表達(dá)式的極限，和>>symst>>f1=exp(-t)*sin(t);>>ess=limit(f1,t,inf) %計(jì)算趨向無窮大的極限ess=0>>f2=1/t;>>limitf2_l=limit(f2,'t','0','left') %計(jì)算趨向0的左極限>>limitf2_r=limit(f2,'t','0','right') %計(jì)算趨向0的右極限>>limitf2=limit(f2) %計(jì)算趨向0的極限limitf2=NaN 左右極限不相等，極限不存在表示為NaN

4.4.3符號表達(dá)式的級數(shù)1.級數(shù)求和symsum(s,x,a,b) %計(jì)算表達(dá)式s當(dāng)x從a到b的級數(shù)和例

使用symsum函數(shù)對符號表達(dá)式進(jìn)行級數(shù)求和，已知符號表達(dá)式。>>symsk>>f2=1/k;>>limitf1=symsum(f2,k,0,inf)%計(jì)算無窮級數(shù)和Limitf1=Inf>>symsum(f2,k,1,10)ans=7381/25202.taylor級數(shù)taylor(f,x,x0,’Order’，n) %求泰勒級數(shù)以符號變量x在x0點(diǎn)展開n項(xiàng)例

使用taylor函數(shù)對符號表達(dá)式cos(x)

進(jìn)行泰勒級數(shù)展開。>>symsx>>f1=cos(x);>>taylorf1=taylor(f1,x,1,’order’,3) %計(jì)算x=1級數(shù)展開前3項(xiàng)taylorf1=cos(1)-sin(1)*(x-1)-1/2*cos(1)*(x-1)^24.5符號積分變換

4.5.1Fourier變換F＝fourier(f,t,w)%求f的fourier變換Ff=ifourier(F,w,t)%求F的fourier反變換f例

使用fourier函數(shù)和ifourier函數(shù)對符號表達(dá)式cos(2t)進(jìn)行積分變換。>>symst；f1=cos(2*t);>>ff1=fourier(f1) %fourier變換ff1=pi*(dirac(w-2)+dirac(w+2))>>if1=ifourier(ff1) %fourier反變換if1=exp(-x*2i)/2+exp(x*2i)/2>>if2=simplify(if1) %化簡if2=cos(2*x)dirac4.5.2Laplace變換F=laplace(f,t,s)%求以t為變量f的Laplace變換Ff＝ilaplace(F,s,t)%求F的Laplace反變換f例：計(jì)算表達(dá)式的拉式變換。>>symsABat>>lf1=laplace(heaviside(t))%單位階躍函數(shù)求拉式變換lf1=1/s>>f1=A*t^3+B*exp(a*t)>>F1=laplace(f1)F1=6*A/s^4+B/(s-a)Heaviside例

根據(jù)圖形計(jì)算函數(shù)的laplace變換波形表示為：f(t)=u(t)-u(t-τ)>>symsAt>>tou=sym('tou','positive’);%定義tao為正實(shí)型符號變量>>f1=A*heaviside(t)-A*heaviside(t-tou);>>F1=laplace(f1)F1=A/s-A*exp(-s*tou)/s4.5.3Z變換F=ztrans(f,n,z) %求以n為變量的f的Z變換Ff＝iztrans(F,z,n)%求以z為變量的F的z反變換f例：>>symsknzt>>zf1=ztrans(heaviside(t),n,z)%對單位階躍函數(shù)求Z變換zf1=heaviside(t)*z/(z-1)>>zf12=symsum(heaviside(t)/z^n,n,0,inf) %使用級數(shù)求和求Z變換zf12=heaviside(t)*z/(z-1)4.5.4傅里葉分析和濾波在信號處理應(yīng)用和計(jì)算數(shù)學(xué)中，傅里葉變換和濾波器是用于處理和分析離散數(shù)據(jù)的工具。1.快速傅里葉變換Y=fft(X,n)%用快速傅里葉變換算法計(jì)算X的離散傅里葉變換DFTX=ifft(Y,n)%使用快速傅里葉逆變換計(jì)算Y的逆離散傅里葉變換例：>>Fs=1000; %采樣頻率

>>T=1/Fs;L=100; %信號長度>>t=(0:L-1)*T;>>x=0.7*sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*120*t);>>z1=0.5*randn(size(t)); %白噪聲>>Y=fft(x+z1); %快速傅里葉變換>>N=L/2;f=Fs*(0:(N))/L;>>stem(f(1:N),abs(Y(1:N))) %火柴桿圖2.濾波函數(shù)filter和filter2函數(shù)為一維和二維數(shù)組濾波器:y=filter(b,a,x) %由有理傳遞函數(shù)對x濾波

說明：a和b是有理傳遞函數(shù)的分母和分子系數(shù)。例：對信號進(jìn)行移動(dòng)平均濾波。移動(dòng)平均濾波器是用于對含噪數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑處理的常用方法，沿?cái)?shù)據(jù)移動(dòng)長度為windowSize的窗口，計(jì)算每個(gè)窗口中包含的數(shù)據(jù)的平均值。>>figure(3);windowSize=2; %窗口長度>>b=(1/windowSize)*ones(1,windowSize);a=1;>>y=filter(b,a,x+z1); %移動(dòng)平均濾波>>plot(t,x+z1,t,y);legend('x+z1','y')4.6符號方程的求解

4.6.1代數(shù)方程的求解一般的代數(shù)方程包括線性方程、非線性方程和超越方程。當(dāng)方程不存在解析解又無其他自由參數(shù)時(shí)，MATLAB提供了solve函數(shù)得出方程的數(shù)值解。solve(eqn,var) %求方程關(guān)于指定變量v的解solve(eqns,vars) %求方程組關(guān)于指定變量解例：解方程>>symsx>>assume(x<0)>>x1=solve(x^2-1==0)x1=-1例：解方程組例：>>symsxyzabc;>>f=solve(x^2+x*y+y,x^2-4*x+3)

%解方程組輸出一個(gè)結(jié)果f=x:[1x1sym]y:[1x1sym]>>f.xans=13(x>1)

增加條件x>1>>assume(x>0)>>f=solve(x^2+x*y+y,x^2-4*x+3)>>x=double(f.x)練習(xí)：采用兩種方法解方程組。4.6.2微分方程的求解dsolve(eqn,cond,var) %求解微分方程說明：先使用syms對變量var和函數(shù)進(jìn)行定義，var省略則默認(rèn)為自由符號變量；eqn是符號常微分方程，方程中diff表示微分；cond是初始條件，可省略，當(dāng)初始條件少于微分方程數(shù)時(shí)，在所得解中將出現(xiàn)任意常數(shù)符C1，C2……，解中任意常數(shù)符的數(shù)目等于所缺少的初始條件數(shù)，是微分方程的通解。例

使用dsolve求解微分方程和方程組，微分方程為>>symsc(t)xyx(t)y(t)>>eqn1=diff(c,t,2)+1.414*diff(c,t)+c==1;>>cond1=[c(0)==0,c(1)==0];>>c=dsolve(eqn1,cond1); %解微分方程>>digits8;ct=vpa(c)>>[x,y]=dsolve(diff(x,t)==y,diff(y,t)==-x) %解微分方程組練習(xí)：求符號微分方程的通解和當(dāng)y(0)=2的特解。>>symsxyy(x)>>y=dsolve(diff(y,x)==sin(x))

>>y=dsolve(diff(y,x)==sin(x),y(0)==2)4.7符號函數(shù)的可視化

4.7.1符號函數(shù)計(jì)算器在命令窗口中輸入命令“funtool”，就會(huì)出現(xiàn)該符號函數(shù)計(jì)算器，由兩個(gè)圖形窗口（Figure1、Figure2）和一個(gè)函數(shù)運(yùn)算控制窗口（Figur