2024秋高中數(shù)學第一章常用邏輯用語1.1.3四種命題間的相互關系學案含解析新人教A版選修2-1

PAGE1-1.1.3四種命題間的相互關系自主預習·探新知情景引入在商品大戰(zhàn)中，廣告成了一道漂亮的風景線．幾乎全部的廣告商都熟識這樣的命題變換藝術：“擁有的人們都華蜜，華蜜的人們都擁有”．初聽起來，是幾句贊美語，然而它的實際效果可大哩！原來這句話，變成等價命題就是“不擁有的人們不華蜜”．哪個家庭不希望華蜜呢？掏錢買就是了．瞧！商家就通過這樣奇妙的命題變換達到了目的．本節(jié)我們將學習命題的四種形式及其相互之間的關系．新知導學四種命題的真假關系1．在原命題的逆命題、否命題、逆否命題中，肯定與原命題真假性相同的是__逆否命題__.2．兩個命題互為逆命題或互為否命題時，它們的真假性__沒有關系__.3．一般地，四種命題的真假性有且僅有下面四種狀況：原命題逆命題否命題逆否命題真真__真____真__真__假__假__真____假____真__真假__假__假__假__假預習自測1．設m∈R，命題“若m＞0，則方程x2＋x－m＝0有實根”的逆否命題是(D)A．若方程x2＋x－m＝0有實根，則m＞0B．若方程x2＋x－m＝0有實根，則m≤0C．若方程x2＋x－m＝0沒有實根，則m＞0D．若方程x2＋x－m＝0沒有實根，則m≤0[解析]一個命題的逆否命題，要將原命題的條件、結論都加以否定，并且加以互換位置，故選D．2．命題“若p不正確，則q不正確”的逆命題的等價命題是(D)A．若q不正確，則p不正確B．若q不正確，則p正確C．若p正確，則q不正確D．若p正確，則q正確[解析]其等價命題為原命題的否命題，“若p正確，則q正確．”故選D．3．命題“若a>－3，則a>－6”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數(shù)為(B)A．1 B．2C．3 D．4[解析]易知原命題正確，則其逆否命題也正確，原命題的逆命題“若a>－6，則a>－3”不正確，其否命題也不正確，故選B．4．(山西太原2024－2024學年高二期末)命題“假如x＋y>3，那么x>1且y>2”的逆否命題是__假如x≤1或y≤2，則x＋y≤3__.[解析]命題“假如x＋y>3，那么x>1且y>2”的逆否命題是“假如x≤1或y≤2，則x＋y≤3”．5．命題“已知不共線向量e1、e2，若λe1＋μe2＝0，則λ＝μ＝0”的等價命題為__已知不共線向量e1、e2，若λ，μ不全為0，則λe1＋μe2≠0__，是__真__命題(填“真”或“假”)．[解析]互為逆否的命題為等價命題，同真同假．互動探究·攻重難互動探究解疑命題方向?四種命題間的相互關系典例1下列四個命題：①“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的否命題；②“若a>b，則a2>b2”③“若x≤－3，則x2－x－6>0”的否命題；④“對頂角相等”的逆命題．其中真命題的個數(shù)是(B)A．0 B．1C．2 D．3[規(guī)范解答]①中命題的否命題為“若x＋y≠0，則x，y不互為相反數(shù)”，易知為真命題．②中，當a＝2，b＝－3時，a2<b2，則原命題為假命題，故它的逆否命題為假命題．③中命題的否命題為“若x>－3，則x2－x－6≤0”．當x＝4>－3時，x2－x－6＝16－4－6＝10>0，故它的否命題為假命題．④中命題的逆命題為“若兩個角相等，則這兩個角為對頂角”．易知為假命題．『規(guī)律總結』1.命題的四種形式中，哪個是原命題是相對的，不是肯定的．2．探討命題及其關系時，首先要將命題寫成“若p，則q”形式，再依據(jù)相關概念作出推斷．┃┃跟蹤練習1__■設原命題：若a＋b≥2，則a、b中至少有一個不小于1，則原命題與其逆命題的真假狀況是(A)A．原命題為真，逆命題為假B．原命題為假，逆命題為真C．原命題與逆命題均為真命題D．原命題與逆命題均為假命題[解析]因為原命題“若a＋b≥2，則a、b中至少有一個不小于1”的逆否命題為“若a、b都小于1，則a＋b<2”，明顯為真，所以原命題為真；原命題“若a＋b≥2，則a、b中至少有一個不小于1”的逆命題為“若a、b中至少有一個不小于1，則a＋b≥2”，是假命題，反例為a＝1.2，b＝0.3，故選A．命題方向?原命題與逆否命題的等價應用典例2推斷命題“已知a，x為實數(shù)，若關于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集為空集，則a<2”的逆否命題的真假．[思路分析]推斷這個命題的逆否命題的真假，可先寫出它的逆否命題再推斷，也可以利用互為逆否命題的等價性來推斷．[規(guī)范解答]解法一：原命題的逆否命題為：“已知a，x為實數(shù)，若a≥2，則關于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2推斷真假如下：拋物線y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2開口向上，判別式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝∵a≥2，∴4a－7>0，即拋物線與x∴關于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2解法二：先推斷原命題的真假：∵a，x為實數(shù)，關于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4∴a<eq\f(7,4)<2.∴原命題是真命題．由原命題和它的逆否命題等價，知它的逆否命題為真命題．┃┃跟蹤練習2__■求證：若a＋b≥6，則a，b中至少有一個不小于3.[證明]構造命題p：若a＋b≥6，則a，b中至少有一個不小于3，則其逆否命題為：若a，b都小于3，則a＋b<6.而當a<3，且b<3時，必有a＋b<6，所以逆否命題為真，從而原命題p為真命題．學科核心素養(yǎng)等價性命題在證明中的應用典例3求證：當a2＋b2＝c2時，a，b，c不行能都是奇數(shù)．[思路分析]可將要證明的問題看作一個命題，只需證明這個命題是真命題即可，若證明這個命題本身比較困難，則可以利用命題的等價性證明其逆否命題為真命題．[規(guī)范解答]證明：構造命題p：若a2＋b2＝c2，則a，b，c不行能都是奇數(shù)．該命題的逆否命題是：若a，b，c都是奇數(shù)，則a2＋b2≠c2.下面證明逆否命題是真命題．由于a，b，c都是奇數(shù)，則a2，b2，c2都是奇數(shù)，于是a2＋b2必為偶數(shù)，而c2為奇數(shù)，所以有a2＋b2≠c2，故逆否命題為真命題，從而原命題也是真命題．『規(guī)律總結』正難則反思想的利用：我們在干脆證明某一個命題為真命題有困難時，可以通過證明它的逆否命題為真命題，來間接地證明原命題為真命題．┃┃跟蹤練習3__■已知a、b、c∈R，證明：若a＋b＋c<1，則a、b、c中至少有一個小于eq\f(1,3).[證明]原命題的逆否命題為“已知a、b、c∈R，若a、b、c都大于或等于eq\f(1,3)，則a＋b＋c≥1”．由條件a≥eq\f(1,3)，b≥eq\f(1,3)，c≥eq\f(1,3)，三式相加得a＋b＋c≥1，明顯逆否命題為真命題，所以原命題也為真命題，即已知a、b、c∈R，若a＋b＋c<1，則a、b、c中至少有一個小于eq\f(1,3).易混易錯警示典例4命題“若a，b都是奇數(shù)，則a＋b是偶數(shù)”的否命題是(D)A．若a，b都不是奇數(shù)，則a＋b是偶數(shù) B．若a，b都是奇數(shù)，則a＋b不是偶數(shù)C．若a，b都不是奇數(shù)，則a＋b不是偶數(shù) D．若a，b不都是奇數(shù)，則a＋b不是偶數(shù)[錯解1]B[辨析]在寫一個命題的否命題時，只對結論否定是不正確的．應當對條件和結論同時否定，即“若p，則q”的否命題為“若?p，則?q”．[錯解2