2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)單元素養(yǎng)評(píng)價(jià)第三章圓錐曲線的方程含解析新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

PAGE第三章圓錐曲線的方程(第三章)(120分鐘150分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.已知拋物線的方程為y=2ax2,且過(guò)點(diǎn)(1,4),則焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.(1,0) D.(0,1)【解析】選A.因?yàn)閽佄锞€過(guò)點(diǎn)(1,4),所以4=2a,所以a=2,所以拋物線方程為x2=QUOTEy,焦點(diǎn)坐標(biāo)為QUOTE.2.(2024·浙江高考)橢圓QUOTE+QUOTE=1的離心率是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.因?yàn)闄E圓方程為QUOTE+QUOTE=1,所以a=3,c=QUOTE=QUOTE=QUOTE.所以e=QUOTE=QUOTE.3.已知F是拋物線y=QUOTEx2的焦點(diǎn),P是該拋物線上的動(dòng)點(diǎn),則線段PF中點(diǎn)的軌跡方程是 ()A.x2=2y-1 B.x2=2y-QUOTEC.x2=y-QUOTE D.x2=2y-2【解析】選A.設(shè)P(x0,y0),PF的中點(diǎn)為(x,y),則y0=QUOTE,又F(0,1),所以QUOTE所以QUOTE代入y0=QUOTE得2y-1=QUOTE(2x)2,化簡(jiǎn)得x2=2y-1.4.已知雙曲線x2-QUOTE=1的左頂點(diǎn)為A1,右焦點(diǎn)為F2,P為雙曲線右支上一點(diǎn),則·的最小值為 ()A.1 B.0 C.-2 D.-QUOTE【解析】選C.設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),則QUOTE-QUOTE=1,由題意得A1(-1,0),F2(2,0),則·=(-1-x0,-y0)·(2-x0,-y0)=QUOTE-x0-2+QUOTE,由雙曲線方程得QUOTE=3(QUOTE-1),故·=4QUOTE-x0-5(x0≥1),可得當(dāng)x0=1時(shí),·有最小值-2.5.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)到雙曲線x2-QUOTE=1的漸近線的距離是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.QUOTE【解析】選B.由題意可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),雙曲線的漸近線方程為QUOTEx-y=0或QUOTEx+y=0,則焦點(diǎn)到漸近線的距離d1=QUOTE=QUOTE或d2=QUOTE=QUOTE.6.若雙曲線C:QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的漸近線與拋物線y=x2+QUOTE相切,則C的離心率為()A.QUOTE B.QUOTE C.2 D.QUOTE【解析】選A.由題意得,聯(lián)立直線與拋物線QUOTE得x2-kx+QUOTE=0,由Δ=0得k=±QUOTE,即QUOTE=QUOTE,所以e=QUOTE=QUOTE.7.已知F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn),B是短軸的一個(gè)端點(diǎn),線段BF的延長(zhǎng)線交橢圓C于點(diǎn)D,且=2,則橢圓C的離心率為 ().A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.3【解析】選A.如圖,設(shè)橢圓方程為QUOTE+QUOTE=1(a>b>0),B(0,b)為上頂點(diǎn),F(c,0)為右焦點(diǎn),設(shè)D(x,y),由=2,得(c,-b)=2(x-c,y),即QUOTE解得QUOTE所以DQUOTE.因?yàn)辄c(diǎn)D在橢圓上,所以QUOTE+QUOTE=1,解得a2=3c2,即e2=QUOTE,所以e=QUOTE.8.已知點(diǎn)E是拋物線C:y2=2px(p>0)的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn),點(diǎn)F為拋物線C的焦點(diǎn),點(diǎn)P在拋物線C上,在△EFP中,若sin∠EFP=μ·sin∠FEP,則μ的最大值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.過(guò)P(x軸上方)作準(zhǔn)線的垂線,垂足為H,則由拋物線的定義可得|PF|=|PH|,由sin∠EFP=μ·sin∠FEP,則在△PFE中由正弦定理可知:|PE|=μ|PF|,所以|PE|=μ|PH|,設(shè)PE的傾斜角為α,則cosα=QUOTE=QUOTE,當(dāng)μ取得最大值時(shí),cosα最小,此時(shí)直線PE與拋物線相切,設(shè)直線PE的方程為x=ty-QUOTE,則聯(lián)立直線與拋物線QUOTE即y2-2pty+p2=0,所以Δ=4p2t2-4p2=0,所以t=1,即tanα=1,則cosα=QUOTE,則μ的最大值為QUOTE.二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)9.若橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的和為18,焦距為6,則橢圓的方程可以為 ()A.QUOTE+QUOTE=1 B.QUOTE+QUOTE=1C.QUOTE+QUOTE=1 D.QUOTE+QUOTE=1【解析】選BD.2c=6,所以c=3,2a+2b=18,a2=b2+c2,所以QUOTE所以橢圓方程為QUOTE+QUOTE=1或QUOTE+QUOTE=1.10.設(shè)雙曲線QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的虛軸長(zhǎng)為2,焦距為2QUOTE,則雙曲線的漸近線方程可以為 ()A.y=QUOTEx B.y=-QUOTExC.y=QUOTEx D.y=-QUOTEx【解析】選CD.因?yàn)?b=2,2c=2QUOTE,所以b=1,c=QUOTE,所以a2=c2-b2=3-1=2,所以a=QUOTE,故漸近線方程為y=±QUOTEx.11.設(shè)圓錐曲線Γ的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F2.若曲線Γ上存在點(diǎn)P滿意|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,則曲線Γ的離心率等于A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.2【解析】選AC.設(shè)圓錐曲線的離心率為e,由|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,知①若圓錐曲線為橢圓,由橢圓的定義,則有e=QUOTE=QUOTE=QUOTE;②若圓錐曲線為雙曲線,由雙曲線的定義,則有e=QUOTE=QUOTE=QUOTE.綜上,所求的離心率為QUOTE或QUOTE.12.已知雙曲線C:QUOTE-QUOTE=1,給出以下4個(gè)命題,真命題的是 ()A.直線y=QUOTEx+1與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)B.雙曲線C與QUOTE-QUOTE=1有相同的漸近線C.雙曲線C的焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為3D.雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-13,0),(13,0)【解析】選BC.A錯(cuò)誤,因?yàn)橹本€y=QUOTEx+1與漸近線y=QUOTEx平行,與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn);B正確,兩曲線漸近線方程均為y=±QUOTEx;C正確,右焦點(diǎn)為(QUOTE,0)到漸近線y=QUOTEx的距離為3.D錯(cuò),因c2=a2+b2=13,所以雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(QUOTE,0)和(-QUOTE,0).三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,將答案填在題中的橫線上)13.已知橢圓C:QUOTE+QUOTE=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P是橢圓上一點(diǎn),且滿意|PF2|=|F1F2|,則|PF1|=,△PF1F2的面積等于.

【解析】由QUOTE+QUOTE=1知,a=5,b=4,所以c=3,即F1(-3,0),F2(3,0),所以|PF2|=|F1F2又由橢圓的定義,知|PF1|+|PF2|=10,所以|PF1|=10-6=4,于是QUOTE=QUOTE·|PF1|·h=QUOTE×4×QUOTE=8QUOTE.答案:48QUOTE14.已知P為拋物線y2=4x上的隨意一點(diǎn),記點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d,對(duì)于定點(diǎn)A(4,5),|PA|+d的最小值為.

【解析】拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線l:x=-1.由題意得d=|PF|-1,所以|PA|+d≥|AF|-1=QUOTE-1=QUOTE-1,當(dāng)且僅當(dāng)A,P,F三點(diǎn)共線時(shí),|PA|+d取得最小值QUOTE-1.答案:QUOTE-115.設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P,若△F1PF2為等腰直角三角形,則橢圓的離心率為.

【解析】設(shè)橢圓的方程為QUOTE+QUOTE=1(a>b>0),F2的坐標(biāo)為(c,0),P點(diǎn)坐標(biāo)為QUOTE(不妨取第一象限內(nèi)點(diǎn)P),由題意知|PF2|=|F1F2|,所以QUOTE=2c,a2-c2=2ac,QUOTE+2QUOTE-1=0,解得QUOTE=±QUOTE-1,負(fù)值舍去,所以e=QUOTE=QUOTE-1.答案:QUOTE-116.設(shè)雙曲線QUOTE-QUOTE=1的右頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F.過(guò)點(diǎn)F且與雙曲線的一條漸近線平行的直線與另一條漸近線交于點(diǎn)B,則△AFB的面積為.

【解析】依據(jù)題意,得a2=9,b2=16,所以c=QUOTE=5,且A(3,0),F(5,0).因?yàn)殡p曲線QUOTE-QUOTE=1的漸近線方程為y=±QUOTEx.所以直線BF的方程為y=±QUOTE(x-5).①若直線BF的方程為y=QUOTE(x-5),與漸近線y=-QUOTEx交于點(diǎn)BQUOTE,此時(shí)S△AFB=QUOTE|AF|·|yB|=QUOTE×2×QUOTE=QUOTE;②若直線BF的方程為y=-QUOTE(x-5),與漸近線y=QUOTEx交于點(diǎn)BQUOTE.此時(shí)S△AFB=QUOTE|AF|·|yB|=QUOTE×2×QUOTE=QUOTE.因此,△AFB的面積為QUOTE.答案:QUOTE四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟)17.(10分)給定拋物線C:y2=4x,F是拋物線C的焦點(diǎn),過(guò)F的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn).若|FA|=2|BF|,求直線l的方程.【解析】明顯直線l的斜率存在,故可設(shè)直線l:y=k(x-1),聯(lián)立QUOTE消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2=1,故x1=QUOTE,①又|FA|=2|BF|,所以=2,則x1-1=2(1-x2)②由①②得x2=QUOTE(x2=1舍去),所以BQUOTE,得直線l的斜率為k=kBF=±2QUOTE,所以直線l的方程為y=±2QUOTE(x-1).18.(12分)(2024·全國(guó)卷Ⅱ)已知F1,F2是橢圓C:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)若△POF2為等邊三角形,求C的離心率.(2)假如存在點(diǎn)P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面積等于16,求b的值和a的取值范圍.【解析】(1)連接PF1,由△POF2為等邊三角形可知在△F1PF2中∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=QUOTEc,于是2a=|PF1|+|PF2|=QUOTEc,故C的離心率e=QUOTE=QUOTE-1.(2)由題意可知,滿意條件的點(diǎn)P(x,y)存在,QUOTE|y|·2c=16,QUOTE·QUOTE=-1,即c|y|=16,①x2+y2=c2,②QUOTE+QUOTE=1,③由②③及a2=b2+c2得y2=QUOTE,又由①知y2=QUOTE,故b=4.由②③得x2=QUOTE(c2-b2),所以c2≥b2,從而a2=b2+c2≥2b2=32,故a≥4QUOTE.當(dāng)b=4,a≥4QUOTE時(shí),存在滿意條件的點(diǎn)P.所以b=4,a的取值范圍為[4QUOTE,+∞).19.(12分)橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,焦距為2QUOTE.一雙曲線和該橢圓有公共焦點(diǎn),且雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)比橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)小4,雙曲線離心率與橢圓離心率之比為7∶3,求橢圓和雙曲線的方程.【解析】①焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)橢圓方程為QUOTE+QUOTE=1(a>b>0),且c=QUOTE.設(shè)雙曲線為QUOTE-QUOTE=1(m>0,n>0),m=a-4.因?yàn)镼UOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,解得a=7,m=3.因?yàn)闄E圓和雙曲線的半焦距為QUOTE,所以b2=36,n2=4.所以橢圓方程為QUOTE+QUOTE=1,雙曲線方程為QUOTE-QUOTE=1.②焦點(diǎn)在y軸上,橢圓方程為QUOTE+QUOTE=1,雙曲線方程為QUOTE-QUOTE=1.20.(12分)已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,又知此拋物線上一點(diǎn)P(4,m)到焦點(diǎn)的距離為6.(1)求此拋物線的方程.(2)若此拋物線方程與直線y=kx-2相交于不同的兩點(diǎn)A,B,且AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2,求k的值.【解析】(1)由題意設(shè)拋物線方程為y2=2px,p>0,其準(zhǔn)線方程為x=-QUOTE,因?yàn)镻(4,m)到焦點(diǎn)的距離等于P到其準(zhǔn)線的距離,所以4+QUOTE=6,所以p=4,所以此拋物線的方程為y2=8x.(2)由QUOTE消去y得k2x2-(4k+8)x+4=0,設(shè)直線y=kx-2與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則有QUOTE解得k>-1且k≠0,且x1+x2=QUOTE=4,解得k=2或k=-1(舍去),所以所求k的值為2.21.(12分)設(shè)有三點(diǎn)A,B,P,其中點(diǎn)A,P在橢圓C:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)上,A(0,2),B(2,0),且+=QUOTE.(1)求橢圓C的方程.(2)若過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)的直線l傾斜角為45°,直線l與橢圓C相交于E,F,求三角形OEF的面積.【解析】(1)由題意知,b=2,設(shè)P(x,y),A(0,2),B(2,0),由+=QUOTE,得(2,2)=QUOTE(x,y),則QUOTE橢圓方程為QUOTE+QUOTE=1,可得QUOTE+QUOTE=1,即a2=8.所以橢圓方程為QUOTE+QUOTE=1.(2)c