第18章 圓-假期晉級利器之初升高數(shù)學(xué)銜接教材（原卷版）

第18章圓【知識銜接】————初中知識回顧————垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。箯蕉ɡ淼膽?yīng)用很廣泛，常見的有：（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．（2）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長、半徑、弦心距等問題．切線的性質(zhì)與證明：切線的判定：（1）與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線．（2）到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線．（3）經(jīng)過半徑外端點(diǎn)并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．切線的性質(zhì)：（1）切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)．（2）切線到圓心的距離等于圓的半徑．（3）切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．證明四點(diǎn)共圓的方法有：（1）到一定點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在同一個(gè)圓上（2）同斜邊的直角三角形的各頂點(diǎn)共圓（3）線段同旁張角相等，則四點(diǎn)共圓．學(xué)科-網(wǎng)（4）若一個(gè)四邊形的一組對角再互補(bǔ)，那么它的四個(gè)頂點(diǎn)共圓（5）若四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對角，那么它的四個(gè)頂點(diǎn)共圓（6）四邊形ABCD對角線相交于點(diǎn)P，若PA·PC＝PB·PD，則它的四個(gè)頂點(diǎn)共圓（7）四邊形ABCD的一組對邊AB、DC的延長線交于點(diǎn)P，若，則它的四個(gè)頂點(diǎn)共圓．圓周角定理：同一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑推論3：三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形————高中知識鏈接————直線和圓的位置關(guān)系?相交：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)叫這條直線和圓相交，這條直線叫做圓的割線．?相切：直線和圓有一個(gè)公共點(diǎn)叫這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)點(diǎn)叫做切點(diǎn)．?相離：直線和圓沒有公共點(diǎn)叫這條直線和圓相離．圓和圓的位置關(guān)系?兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)且每個(gè)圓的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓的外離．兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)且除了這個(gè)公共點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部，叫做兩個(gè)圓的外切．?兩個(gè)圓有兩個(gè)交點(diǎn)，叫做兩個(gè)圓的相交．兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)且除了這個(gè)公共點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部，叫做兩個(gè)圓的內(nèi)切．?兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)且每個(gè)圓的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓的內(nèi)含．弦切角定理：弦切角等于所夾弧所對的圓周角?與圓有關(guān)的比例線段(1)相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等．(2)割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等．(3)切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)．(4)切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角．【經(jīng)典題型】初中經(jīng)典題型例1：如圖，在半徑為13cm的圓形鐵片上切下一塊高為8cm的弓形鐵片，則弓形弦AB的長為()10cmB．16cmC．24cmD．26cm例2：如圖，已知在△ABC中，AB＝AC．以AB為直徑作半圓O，交BC于點(diǎn)D．若∠BAC＝40°，則eq\o(AD,\s\up8(︵))的度數(shù)是________度．例3：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直徑，點(diǎn)P是CD延長線上的一點(diǎn)，且AP=AC．（1）求證：PA是⊙O的切線；（2）若PD=，求⊙O的直徑．例4：如圖，設(shè)AB為圓的直徑，過點(diǎn)A在AB的同側(cè)作弦AP、AQ交B處的切線于R、S，求證：P、Q、S、R同點(diǎn)共圓．AABQSRP例5：圓內(nèi)接四邊形ABCD，O為AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心的半圓與BC，CD，DA相切，求證：AD＋BC＝ABAADCOEB高中經(jīng)典題型1、如圖所示，在四邊形ABCP中，線段AP與BC的延長線交于點(diǎn)D，已知AB＝AC且A，B，C，P四點(diǎn)共圓．(1)求證：eq\f(PC,AC)＝eq\f(PD,BD)；(2)若AC＝4，求AP·AD的值．2、如圖，EB，EC是⊙O的兩條切線，B，C是切點(diǎn)，A，D是⊙O上兩點(diǎn)，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，則∠BAD等于________．3、如圖，PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，過PA的中點(diǎn)M作割線交⊙O于點(diǎn)B和C，若∠BMP＝110°，∠BPC＝30°，則∠MPB＝________．學(xué)=科網(wǎng)4、如圖，過圓O外一點(diǎn)P分別作圓的切線和割線交圓于點(diǎn)A，點(diǎn)B，且PB＝7，C是圓上一點(diǎn)，使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，則AB＝________．5、如圖，△ABC為圓的內(nèi)接三角形，BD為圓的弦，且BD∥AC．過點(diǎn)A作圓的切線與DB的延長線交于點(diǎn)E，AD與BC交于點(diǎn)F．若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，則線段CF的長為________．【實(shí)戰(zhàn)演練】————先作初中題——夯實(shí)基礎(chǔ)————A組1、如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為M，若AB=12，OM：MD=5：8，則⊙O的周長為（）A．26πB．13πC．D．2、⊙O的半徑為1，弦AB=，弦AC=，則∠BAC度數(shù)為．3、將一副三角板Rt△ABD與Rt△ACB（其中∠ABD=90°，∠D=60°，∠ACB=90°，∠ABC=45°）如圖擺放，Rt△ABD中∠D所對直角邊與Rt△ACB斜邊恰好重合．以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C，且與AD交于點(diǎn)E，分別連接EB，EC．（1）求證：EC平分∠AEB；（2）求的值．4、如圖，已知AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H，與AC平行的圓O的一條切線交CD的延長線于點(diǎn)M，交AB的延長線于點(diǎn)E，切點(diǎn)為F，連接AF交CD于點(diǎn)N．（1）求證：CA=CN；（2）連接DF，若cos∠DFA=，AN=，求圓O的直徑的長度．5、如圖，AN是⊙M的直徑，NB∥x軸，AB交⊙M于點(diǎn)C．（1）若點(diǎn)A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）若D為線段NB的中點(diǎn)，求證：直線CD是⊙M的切線．6、如圖，設(shè)A為⊙O外一點(diǎn)，AB，AC和⊙O分別切于B，C兩點(diǎn)，APQ為⊙O的一條割線，過點(diǎn)B作BR//AQ交⊙O于點(diǎn)R，連結(jié)CR交AO于點(diǎn)M，試證：A，B，C，O，M五點(diǎn)共圓．AABGPCOMQ7、如圖，PA切⊙O于A，割線PBC交⊙O于B，C兩點(diǎn)，D為PC中點(diǎn)，且AD延長線交⊙O于點(diǎn)E，又，求證：（1）PA＝PD；（2）．AAPBDOEC8、如圖，PA，PB是⊙O的兩條切線，PEC是一條割線，D是AB與PC的交點(diǎn)，若PE長為2，CD＝1，求DE的長度．AACDPOHEB————再戰(zhàn)高中題——能力提升————B組1．如圖，為圓的直徑，為的延長線上一點(diǎn)，過作圓的切線，切點(diǎn)為，過作直線的垂線，垂足為．若，，則．2．如圖，是圓的切線，為切點(diǎn)，是圓的割線，且，則．3．如圖，四邊