第19章 相似形-假期晉級利器之初升高數(shù)學銜接教材（解析版）

第19章相似形【知識銜接】————初中知識回顧————相似三角形的判定(1)兩角對應相等的兩個三角形相似(AAA)．如圖，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，則△ABC∽△DEF．(2)兩邊對應成比例，且夾角相等的兩個三角形相似．如圖，若∠A＝∠D，，則△ABC∽△DEF．(3)三邊對應成比例的兩個三角形相似．如圖，若，則△ABC∽△DEF．相似三角形的性質(1)對應角相等，對應邊成比例．(2)周長之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方．(3)相似三角形對應高的比、對應角平分線的比和對應中線的比等于相似比．————高中知識鏈接————1．(1)相似三角形的判定主要是依據(jù)三個判定定理，結合定理創(chuàng)造條件建立對應邊或對應角的關系．(2)注意輔助線的添加，多數(shù)作平行線．(3)相似三角形的性質應用可用來考查與相似三角形相關的元素，如兩個三角形的高、周長、角平分線、中線、面積、外接圓的直徑、內切圓的面積等．2．涉及與圓有關的等積線段或成比例的線段，常利用圓周角或弦切角證明三角形相似，在相似三角形中尋找比例線段；也可以利用相交弦定理、切割線定理證明線段成比例，在實際應用中，一般涉及兩條相交弦應首先考慮相交弦定理，涉及兩條割線就要想到割線定理，見到切線和割線時要注意應用切割線定理．【經典題型】初中經典題型1、已知：四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，對角線AC、BD交于點E，點F在邊BC上，且∠BEF=∠BAC．（1）求證：△AED∽△CFE；（2）當EF∥DC時，求證：AE=DE．【分析】（1）首先根據(jù)已知得出∠ABD=∠FEC，以及∠DAE=∠ECF，進而求出△AED∽△CFE，（2）根據(jù)相似三角形的判定得出△AEB∽△DEC，再利用相似三角形的性質解答即可．∴∠FEC=∠ADB，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠ECF，∴△AED∽△CFE；（2）∵EF∥DC，∴∠FEC=∠ECD，∵∠ABD=∠FEC，∴∠ABD=∠ECD，∵∠AEB=∠DEC．∴△AEB∽△DEC，∴，∵AD∥BC，∴，∴．即AE2=DE2，∴AE=DE．2、某一天，小明和小亮來到一河邊，想用平面鏡和皮尺測量這條河的大致寬度，兩人在確保無安全隱患的情況下，現(xiàn)在河岸邊選擇了一點C（點C與河對岸岸邊上的一棵樹的底部點B所確定的直線垂直于河岸）．小明到F點時正好在平面鏡中看到樹尖A，小亮在點D放置平面鏡，小亮到H點時正好在平面鏡中看到樹尖A，且F、D、H均在BC的延長線上，小明的眼睛距地面的高度EF=1．5m，小亮的眼睛距地面的高度GH=1．6m，測得CF=1m，DH=2m，CD=8．4m，AB⊥BH，EF⊥BH，GH⊥BH，根據(jù)以上測量過程及測量數(shù)據(jù)，請你求出河寬BC是多少米？【分析】根據(jù)題意求出△ABC∽△EFC，△ABD∽△GHD，再根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求解即可．【解析】由題意可得：∠ACB=∠ECF，∠ADB=∠GDH．∵AB⊥BH，EF⊥BH，GH⊥BH，∴∠ABC=∠EFC=∠CHD=90°，∴△ABC∽△EFC，∴=，即=．∵∠ADB=∠GDH，∠ABC=∠GHD=90°，∴△ABD∽△GHD，∴=，即=，解得BC=9．6m．答：河寬BC是9．6m．3、在正方形ABCD中，AB=8，點P在邊CD上，tan∠PBC=，點Q是在射線BP上的一個動點，過點Q作AB的平行線交射線AD于點M，點R在射線AD上，使RQ始終與直線BP垂直．（1）如圖1，當點R與點D重合時，求PQ的長；學-科網（2）如圖2，試探索：的比值是否隨點Q的運動而發(fā)生變化？若有變化，請說明你的理由；若沒有變化，請求出它的比值；（3）如圖3，若點Q在線段BP上，設PQ=x，RM=y，求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出它的定義域．【解析】（1）由題意，得AB=BC=CD=AD=8，∠C=∠A=90°，在Rt△BCP中，∠C=90°，∴，∵，∴PC=6，∴RP=2，∴，∵RQ⊥BQ，∴∠RQP=90°，∴∠C=∠RQP，（2）的比值隨點Q的運動沒有變化，如圖1，∵MQ∥AB，∴∠1=∠ABP，∠QMR=∠A，∵∠C=∠A=90°，∴∠QMR=∠C=90°，∵RQ⊥BQ，∴∠1+∠RQM=90°、∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°，∴∠RQM=∠PBC，∴△RMQ∽△PCB，∴，∵PC=6，BC=8，∴，∴的比值隨點Q的運動沒有變化，比值為；（3）如圖2，延長BP交AD的延長線于點N，∵PD∥AB，∴，∵PD∥AB，MQ∥AB，∴PD∥MQ，∴，∵，RM=y，∴又PD=2，，∴，∴，如圖3，當點R與點A重合時，PQ取得最大值，高中經典題型1．如圖，在平行四邊形中，點在上且，與交于點，則．【答案】【解析】由于四邊形為平行四邊形，則，因此，由于，所以，因此，故．2．如圖，在中，作平行于的直線交于，交于，如果和相交于點，和相交于點，的延長線和相交于．證明：（1）；（2）．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【解析】試題分析：（1）由平行線分線段成比例有，所以；（2）由（1）有①，由平行線分線段成比例有，同理，所以②，由①②得，即．試題解析：（1）∵，∴，即，同理，于是．（2）∵，∴，即，同理，所以，又由（1）有，所以，即．3．過圓外一點，作圓的切線、，、為切點，為弦上一點，過作直線分別交、于點、．（Ⅰ）若，求線段的長；（Ⅱ）若，求證：．學-科網【答案】（I）；（II）證明見解析．【解析】試題分析：（I）過點作交于點，可證，，等腰三角形可得，進而可得線段的長；（II）先證四點、、、共圓，四點、、、共圓，進而可得，從而．試題解析：（I）如圖1，過點作交于點，則，且，所以．因為、是圓的切線，所以，所以，從而，得．由，得．（II）如圖2，連接、、、，則．因為，所以，故四點、、、共圓，四點、、、共圓，所以．又，所以，故．從而．4．如圖，為圓的直徑，為圓的切線，點為圓上不同于的一點，為的平分線，且分別與交于，與圓交于，與交于，連接．（1）求證：平分；（2）求證：【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【解析】5．如圖所示，以直角三角形的斜邊為直徑作外接圓，為圓上任一點，連接，過點作邊上的高，過點作圓的切線與的延長線交于點．（1）求證：；（2）若，求的長．【答案】（1）詳見解析；（2）．【解析】試題分析：（1）根據(jù)同弧所對對圓周角相等，可得，那么在直角三角形中，所以，即可證明；（2）根據(jù)切割線定理，，再在不同的直角三角形內求，再根據(jù)（1）的關系求長．試題解析：（1）由題可知，是直徑，所以，又由題可知，所以，又，所以，從而得，即．．．．．．．．．5分（2）由條件可知，，因為為圓的切線，所以，從而得到，所以，，由（1）得，，所以．6．在中，AB=AC，過點A的直線與其外接圓交于點P，交BC延長線于點D．（1）求證：；（2）若，求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】試題分析：（1）先由角相等，證得三角形相似，再結合線段相等即可所證比例關系；（2）由于，從而得出兩個三角形相似，結合相似三角形的對應邊成比例，即得的值．試題解析：（1），，～，又，（2），，～，，7．如圖，為四邊形外接圓的切線，的延長線交于點，與相交于點，且．（1）求證：；（2）若，，，求的長．【答案】（1）詳見解析；（2）．【解析】試題分析：（1）根據(jù)切線的性質首先證明，再利用即可得證；（2）首先根據(jù)切割線定理求得，的長度，再利用即可求解．【實戰(zhàn)演練】————先作初中題——夯實基礎————A組1．已知△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點P、Q同時從B、A兩點出發(fā)，分別沿BA、AC勻速運動，其中點P運動的速度是1cm/s，點Q運動的速度是2cm/s，當點Q到達點C時，P、Q兩點都停止運動，設運動時間為t（s），解答下列問題：（1）當t為何值時，AP=2AQ？（2）當t為何值時，△APQ為直角三角形？（3）作DQ∥AB交BC于點D，連接PD，當t為何值，△BDP∽△PDQ？【分析】（1）由題意可知BP=t，AQ=2t，則AP=6﹣t，由AP=2AQ可得到關于t的方程，可求得t的值；（2）分∠APQ=90°和∠AQP=90°兩種情況，再利用含30°角的直角三角形的性質可和AP=2AQ，或AQ=2AP，分別求t即可；（3）由△BDP∽△PDQ可知∠BDP=∠PDQ，且∠BDQ+∠B=180°，可求得∠PDQ=60°，又∠PBD=∠PQD=60°=∠APQ，可證得△APQ為等邊三角形，可得AP=AQ，得到關于t的方程，可求出t．（2）若△APQ為直角三角形，則∠APQ=90°或∠AQP=90°，當∠APQ=90°時，=cosA=cos60°=，即=，解得t=3；當∠AQP=90°時，=cosA=cos60°=，即=，解得t=．∴當t=3或t=時，△APQ為直角三角形；（3）∵DQ∥AB，∴=，∵CA=CB，∴BD=AQ=2t，又∵DQ∥AB，∴∠APQ=∠PDQ，當△BDP∽△PDQ時，∴∠B=∠PQD，∴∠B=∠APQ=60°，∴△APQ為等邊三角形，∴AP=AQ，即6﹣t=2t，解得t=2．所以當t=2時，△BDP∽△PDQ．2．如圖，小華在晚上由路燈AC走向路燈BD．當他走到點P時，發(fā)現(xiàn)他身后影子的頂部剛好接觸到路燈AC的底部；當他向前再步行12m到達點Q時，發(fā)現(xiàn)他身前影子的頂部剛好接觸到路燈BD的底部．已知小華的身高是1．6m，兩個路燈的高度都是9．6m，且AP=QB．（1）求兩個路燈之間的距離；學！科網（2）當小華走到路燈BD的底部時，他在路燈AC下的影長是多少？【分析】（1）如圖1，先證明△APM∽△ABD，利用相似比可得AP=AB，再證明△BQN∽△BAC，利用相似比可得BQ=AB，則AB+12+AB=AB，解得AB=18（m）；（2）如圖2，他在路燈A下的影子為BN，證明△NBM∽△NAC，利用相似三角形的性質得=，然后利用比例性質求出BN即可．【解析】（1）如圖1，∵PM∥BD，∴△APM∽△ABD，=，即=，∴AP=AB，∵NQ∥AC，∴△BNQ∽△BCA，∴=，即=，∴BQ=AB，而AP+PQ+BQ=AB，∴AB+12+AB=AB，∴AB=18．答：兩路燈的距離為18m；【名師點撥】本題考查了相似三角形的應用：通常利用相似三角形的性質即相似三角形的對應邊的比相等和“在同一時刻物高與影長的比相等”的原理解決．3．如圖1，∠BAC的余切值為2，AB=2，點D是線段AB上的一動點（點D不與點A、B重合），以點D為頂點的正方形DEFG的另兩個頂點E、F都在射線AC上，且點F在點E的右側，聯(lián)結BG，并延長BG，交射線EC于點P．（1）點D在運動時，下列的線段和角中，④⑤是始終保持不變的量（填序號）；①AF；②FP；③BP；④∠BDG；⑤∠GAC；⑥∠BPA；（2）設正方形的邊長為x，線段AP的長為y，求y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出定義域；（3）如果△PFG與△AFG相似，但面積不相等，求此時正方形的邊長．【分析】（1）作BM⊥AC于M，交DG于N，如圖，利用三角函數(shù)的定義得到=2，設BM=t，則AM=2t，利用勾股定理得（2t）2+t2=（2）2，解得t=2，即BM=2，AM=4，設正方形的邊長為x，則AE=2x，AF=3x，由于tan∠GAF==，則可判斷∠GAF為定值；再利用DG∥AP得到∠BDG=∠BAC，則可判斷∠BDG為定值；在Rt△BMP中，利用勾股定理和三角函數(shù)可判斷PB在變化，∠BPM在變化，PF在變化；（2）易得四邊形DEMN為矩形，則NM=DE=x，證明△BDG∽△BAP，利用相似比可得到y(tǒng)與x的關系式；（3）由于∠AFG=∠PFG=90°，△PFG與△AFG相似，且面積不相等，利用相似比得到PF=x，利用y與x的關系式得到y(tǒng)=3x+x=x=x，然后解方程求出x即可．設正方形的邊長為x，在Rt△ADE中，∵cot∠DAE==2，∴AE=2x，∴AF=3x，在Rt△GAF中，tan∠GAF===，∴∠GAF為定值；∵DG∥AP，∴∠BDG=∠BAC，∴∠BDG為定值；在Rt△BMP中，PB=，而PM在變化，∴PB在變化，∠BPM在變化，∴PF在變化，所以∠BDG和∠GAC是始終保持不變的量；故答案為④⑤；（3）∵∠AFG=∠PFG=90°，△PFG與△AFG相似，且面積不相等，∴=，即=，∴PF=x，∴AP=x，∴=x，解得x=即正方形的邊長為．————再戰(zhàn)高中題——能力提升————B組1．如圖，與相交于點，過作的平行線與的延長線交于點，已知，，則____．【答案】．【解析】分析：利用已知條件判斷，列出比例關系，即可求解的值．詳解：，，且在圓中，，故答案為．2．在直角三角形ABC中，，它的內切圓分別與邊，，相切于點，，，聯(lián)結，與內切圓相交于另一點，聯(lián)結，，，，已知，求證：（1）；（2）?！敬鸢浮?1)見解析;(2)見解析．【解析】分析：（1）可證∽；（2）可證同位角或內錯角相等，如證或，這又可通過證明∽證得．詳解：（1）聯(lián)結，，則是等腰直角三角形，于是，故。又，則∽，所以①．3．如圖，在ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D為垂足，E是BC的中點．求證：∠EDC=∠ABD．【答案】詳見解析【解析】試題分析：先由直角三角形斜邊上中線性質，再由，與互余，與互余，得，從而得證．試題解析：證明：在和中，因為為公共角，所以∽，于是．在中，因為是的中點，所以，從而．所以．【名師點睛】1．相似三角形的證明方法：（1）找兩對內角對應相等；（2）若只有一個角對應相等，再判定這個角的兩鄰邊是否對應成比例；（3）若無角對應相等，就要證明三邊對應成比例．2．利用相似三角形的性質進行對應邊的比、對應角的度數(shù)的相關運算時，要善于聯(lián)想變換比例式，通過添加輔助線構造相似三角形，同時注意面積法的應用．4．如圖，在正方形ABCD中，E，G分別在邊DA，DC上（不與端點重合），且DE=DG，過D點作DF⊥CE，垂足為F．（Ⅰ）證明：B，C，G，F(xiàn)四點共圓；（Ⅱ）若AB=1，E為DA的中點，求四邊形BCGF的面積．【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）．【解析】試題分析：（Ⅰ）證再證四點共圓；（Ⅱ）證明四邊形的面積是面積的2倍．試題