2024年北京九中高二（上）10月月考數(shù)學(xué)試題及答案

2024北京九中高二10月月考數(shù)學(xué)2024.10一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選擇符合題目要求的一項(xiàng)．1.如果點(diǎn)A在直線a上，而直線a在平面α內(nèi)，點(diǎn)B在平面α內(nèi)，則可以表示為（）A.A?aaα，B∈αC.A?a，aα，B?α2.下列結(jié)論中正確的是（B.A∈aaα，B∈αD.A∈a，aα，B∈α）A.各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B.以三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C.當(dāng)正棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等時(shí)該棱錐可能是六棱錐D.圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任一點(diǎn)的連線都是母線3.如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖C是邊長為2的菱形，且OD2，則原平面圖形的=周長為（）A.42+4B.46+4C.82D.84.若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是（）A.異面或平行C.異面B.異面或相交D.相交、平行或異面5.給出下列關(guān)于互不相同的直線lm、n和平面α、β、γ的三個(gè)命題：①若l與m為異面直線，l?α，m?，則α∥β；②若α∥β，?α，m?β，則l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥，則m∥n.其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A.3C.1B.2D.06.已知圓柱的上、下底面的中心分別為1，2，過直線O的平面截該圓柱所得的截面是面積為82方形，則該圓柱的表面積為A.122πB.πC.82πD.10π7.設(shè)m，n為兩條不同的直線，m，n，則“//是“m//，為兩個(gè)不同的平面，且且n//的（）A.充分不必要條件C.充要條件B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件8.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（）5?15?15+15+1A.B.C.D.4242?ABCAB=BC=BB1=ABC=90，點(diǎn)D為側(cè)棱上的動(dòng)19.如圖，在直三棱柱中，111+D?的體積為（1點(diǎn)．當(dāng)最小時(shí)，三棱錐）11131A.1B.C.D.24ABCD?ABCDE,FBC,CC的中點(diǎn)，P是側(cè)面110.如圖所示，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)分別是棱AP，則線段長度的取值范圍是（111111BAP1AEF內(nèi)一點(diǎn)，若∥平面）1553245B.,C.,22,3A.D.222二、填空題共5小題，每小題4分，共20分母線長為1的圓錐體，其側(cè)面展開圖的面積為，則該圓錐的體積為________________.2?中，已知12.如圖，在正三棱柱ABCABCAA'上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)三棱錐C?'的=2，點(diǎn)M是棱體積為3時(shí)，AA'________=a13.設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長都為，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為______，體積為______.ABCD?ABCD的中點(diǎn)，平面經(jīng)過直線且與直線CE平行，若正方體的114.正方體中，E是BC111棱長為2，則平面截正方體所得的多邊形的面積為_____.15.如圖是一幾何體的平面展開圖，其中ABCD為正方形，E，F(xiàn)，G，H分別為，PD，PC，PB的中點(diǎn)．在此幾何體中，給出下面四個(gè)結(jié)論：①平面EFGH∥平面ABCD；②直線∥平面BDG；③直線EF∥平面PBC；④直線EF∥平面BDG.其中正確的序號(hào)是________．三、解答題共5小題，共40分，解答題應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.如圖，圓錐中，，CD為底面圓的兩條直徑，CDO，SO2，P為SB的中===點(diǎn).SA（1）求證：平面；（2）求圓錐的表面積.17.如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，上，且:=:=1:2.（1）求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；（2）設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P，A，C三點(diǎn)共線.P?E,F,C,DAP,BP,BQ,18.如圖，在三棱錐中，分別是PCD中點(diǎn)，平面平面=.求證：AB//GH.19.如圖，四棱柱ABCD-ABCDABCD是正方形．1111(1)證明：平面ABDCDB；111(2)若平面ABCD∩平面BDC＝直線，證明BD∥l.111120.如圖在四棱錐A?中，DE∥，，分別是MN的中點(diǎn)，=3．AB，CD（1）求證：MN∥平面AED；（2）若點(diǎn)F在棱AD上且滿足AD=AF，AB∥平面CEF，求的值．參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選擇符合題目要求的一項(xiàng)．1.【答案】B【分析】直接按照平面內(nèi)點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,寫出結(jié)果即可.aaaa，?α，B∈α.【詳解】點(diǎn)A在直線上，而直線在平面αB在平面α內(nèi)，表示為A∈故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查空間中，點(diǎn)、線、面的符號(hào)表示方法,基本知識(shí)的考查.2.【答案】D【分析】舉例正八面體可說明A錯(cuò)誤；若以銳角三角形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸得到的幾何體為兩個(gè)圓錐的組合體可說明B錯(cuò)誤；說明正六棱錐的側(cè)棱長大于底面邊長，可說明C錯(cuò)誤；根據(jù)圓錐母線的概念可判斷D.【詳解】對(duì)于A，正八面體的各個(gè)面都是三角形，但不是三棱錐，所以A錯(cuò)誤.對(duì)于B，若以銳角三角形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體是兩個(gè)圓錐形成的組合體，所以B錯(cuò)誤.對(duì)于C，正六棱錐的底面六邊形的外接圓半徑與底面邊長相等，而正棱錐的側(cè)棱長大于底面多邊形外接圓半徑，所以正六棱錐的側(cè)棱長大于底面邊長，所以C錯(cuò)誤.對(duì)于D，圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任一點(diǎn)的連線都是母線，所以D正確.故選：D3.【答案】B【分析】利用斜二測(cè)畫法還原直觀圖即得.===【詳解】由題可知ODADAOD45，=∴OA22，還原直觀圖可得原平面圖形，如圖，則ODODO22,ABDC2，======2()22∴AD=2+2=+24=26，∴原平面圖形的周長為46+4.故選：B.4.【答案】D【分析】根據(jù)空間中直線的位置關(guān)系，結(jié)合已知條件，即可容易判斷.【詳解】a和b是異面直線，b和c是異面直線，根據(jù)異面直線的定義可得：a,c可以是異面直線，如下所示：也可以相交也可以平行故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查空間中直線之間的位置關(guān)系，屬簡(jiǎn)單題.5.【答案】C【分析】利用面面關(guān)系的判定與性質(zhì)逐項(xiàng)排除.【詳解】①中當(dāng)α與β不平行時(shí)，也可能存在符合題意的、m；②中l(wèi)與m也可能異面；l//ll//n③中，同理，l∥m，則∥，正確．mnn故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查有關(guān)面面關(guān)系的判定與性質(zhì).6.【答案】B【詳解】分析：首先根據(jù)正方形的面積求得正方形的邊長，從而進(jìn)一步確定圓柱的底面圓半徑與圓柱的高，從而利用相關(guān)公式求得圓柱的表面積.詳解：根據(jù)題意，可得截面是邊長為22的正方形，結(jié)合圓柱的特征，可知該圓柱的底面為半徑是2的圓，且高為22，S=(2)+222=，故選B.2所以其表面積為點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)圓柱的表面積的求解問題，在解題的過程中，需要利用題的條件確定圓柱的相關(guān)量，即圓柱的底面圓的半徑以及圓柱的高，在求圓柱的表面積的時(shí)候，一定要注意是兩個(gè)底面圓與側(cè)面積的和.7.【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用面面平行的性質(zhì)，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即可.mn，//，m//且n//，【詳解】由，則m//且n//時(shí)，若m//n，則//或與相交，反之，當(dāng)所以“//是“m//且n//的充分不必要條件.故選：A8.【答案】C1【分析】設(shè)CD=a,PE=b，利用2=CD得到關(guān)于a,b的方程，解方程即可得到答案.22a【詳解】如圖，設(shè)CD=a,PE=b，則PO，=PE2OE2?=b2?41a21bb2=ab，即b2?=ab4()2?2?1=0由題意，化簡(jiǎn)得，242aab1+5=（負(fù)值舍去）.解得a4故選：C.【點(diǎn)晴】本題主要考查正四棱錐的概念及其有關(guān)計(jì)算，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力，是一道容易題.9.【答案】C?ABC1A1+1于D，此時(shí)【分析】如圖，將直三棱柱展開成矩形，連結(jié)交11111最小，則BD1，利用等體積法和棱錐的體積公式計(jì)算即可求解.=?ABC1A，1【詳解】將直三棱柱展開成矩形111+于D，此時(shí)最小，1如下圖，連接，交11∵ABBCBBABC90，則====⊥1⊥，而，1ABBB1=BABB1A⊥面ABB1A由且都在面，則，面ABD，ABBD11CBC⊥ABB1ABC⊥，即11又BC//，則面11111BD+==，得BD=1，點(diǎn)D為側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，即11AC133D?又為直角三角形，此時(shí)三棱錐的體積為：1111BC=ABBDBC=1D?=1?=S.111133231故選：C10.【答案】BAP1【分析】根據(jù)線面平行的條件構(gòu)造面面平行從而得到P點(diǎn)的軌跡，在根據(jù)平面幾何知識(shí)求出的范圍.【詳解】如圖，取BC的中點(diǎn)M，的中點(diǎn)N，連接AM,AN,MN1//，顯然，且111111=，AEMA//1MAM1平面AEF，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)?AE平面AEF,所以AM//1AEF//1//，平面AEF，平面，因?yàn)镋F平面AEF,所以MN//平面AEF，又因?yàn)锳M1MAMN//，所以平面平面AEF，1AP1AP//11B，點(diǎn)P在側(cè)面上，所以點(diǎn)P位于線段1因?yàn)槠矫鍭MN，所以平面AEF上，2125因?yàn)?M1N==1+=，222112=+=M,NAP122，所以當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)時(shí)，最大，2當(dāng)點(diǎn)P位于的中點(diǎn)O時(shí)，AP1最小，222532此時(shí)O=?=，24453243251PAP長度的取值范圍是,.所以，所以線段1242故選：B二、填空題共5小題，每小題4分，共20分3【答案】2412123r1=r=【詳解】圓錐體其側(cè)面展開圖為扇形，S=，解得，由圓錐的截面圖可得h=，2211133V=r2h==3342243故答案為2412.【答案】3【分析】利用等體積法求解即可.?中，【詳解】解：因?yàn)檎庵鵄BCABC=2,所以點(diǎn)M到平面BCC'B'的距離為3，111所以根據(jù)等體積法，C?'=M?CBC'=S3=2AA'3=3332AA'=3.解得：故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題考查等體積法，是基礎(chǔ)題.77215413.【答案】①.a2.πa33【分析】利用正棱柱外接球的性質(zhì)，結(jié)合正弦定理與勾股定理，球的表面積與體積公式即可得解.【詳解】根據(jù)題意條件可知三棱柱是棱長都為a的正三棱柱，上下底面中心連線的中點(diǎn)就是球心，如圖：a3=a，則的外接圓的半徑為2sin6032a2237216所以其外接球的半徑為R=+a=2a=a，3127a27S=4R2=4π=a2；所以球的表面積為12344216721體積為V=R3=π(a)3=πa3a3.3354772154a2故答案為：；3914.【答案】.2【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)作出平面α與正方體的截面，計(jì)算截面梯形的各邊長即可求出截面面積.//1EBCCD于11N，連接，【詳解】過B作交于M，過M作BD的平行線，交11則平面BDMN即為符合條件的平面，M,NBC,CD的中點(diǎn)，1111由圖可知分別為故BD=22，=2，且==5，232∴等腰梯形MNDB的高為h=(5)2?(2==，)22132292(2+22∴梯形MNDB的面積為.292故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的性質(zhì)，幾何體中截面面積，屬于中檔題．15.【答案】①②③【分析】作出立體圖形，連接FH四點(diǎn)構(gòu)成平面EFGH，利用線面平行的判定定理和面面平行的判定定理以及性質(zhì)依次分析選項(xiàng)即可.【詳解】作出立體圖形，連接FH四點(diǎn)構(gòu)成平面EFGH，①：因?yàn)?、F分別是PA、PD的中點(diǎn)，所以//，又平面ABCD，AD平面所以EF//平面ABCD，同理//平面ABCD，又EH，EH平面EFGH，ABCD，=所以平面EFGH∥平面ABCD，故①正確；②：連接，交于點(diǎn)M，連接，則M為的中點(diǎn)，得MG//PA，又PA平面BDG，平面ABCD，所以//平面BDG，故②正確；③：由①的分析可知EF//ADAD//BC，所以//，因?yàn)槠矫鍼BC，BC平面，PBC所以EF//平面PBC，故③正確；④：由③的分析可知//，結(jié)合圖形，可知所以直線EF與平面BDG不平行，故④錯(cuò)誤.故答案為：①②③，三、解答題共5小題，共40分，解答題應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．4(2+1)16.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】(1)證明SA//OP即可.(2)分別計(jì)算側(cè)面積與底面積求和即可.【詳解】(1)連接,因?yàn)镺,P分別為AB,SB中點(diǎn).故SA//OP又面,SA故平面.(2)圓錐的側(cè)面積1=SB=22+22=4.2()S=OB22=.故表面積S=1S242+=+=4421+.底面積【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行的判定與表面積的算法,屬于基礎(chǔ)題型.17.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析）根據(jù)已知條件，可得EF∥BD以及GH∥BD，所以∥，進(jìn)而得出四點(diǎn)共面；（2）因?yàn)槭瞧矫婧推矫鍭CD的交線，只需證明P點(diǎn)是平面和平面ACD的交點(diǎn)，即可證得P，進(jìn)而得到三點(diǎn)共線.【小問1因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，的中點(diǎn)，所以EF∥BD.BG12CGCH23在△BCD中，因?yàn)樗浴?==，所以==，所以GH∥BD，CBCD所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面.【小問2因?yàn)镋GFH=P，所以PEG.AB，GBC，AB由已知可得，E平面ABC，平面ABC，AC所以EG平面ABC，所以P平面ABC.同理PFH，F(xiàn)H平面ADC，P平面ADC.所以P為平面ABC與平面ADC的一個(gè)公共點(diǎn).ABCADC=P，所以，又平面平面所以P，A，C三點(diǎn)共線.18.【答案】證明見解析【分析】先根據(jù)線面平行證明//，結(jié)合平行的傳遞性可得AB//GH.D,C,E,FAQ,BQ,AP,EF//AB,DC//AB的中點(diǎn)，所以，所以//.【詳解】因?yàn)榉謩e是平面，DC又平面，所以平面EF//.因?yàn)镋F平面EFQ，平面EFQ平面PCD=，所以//.又//，所以AB//GH.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間中的直線與直線平行，線線平行可以通過線面平行轉(zhuǎn)化，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).19.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析）根據(jù)平行四邊形可知BD∥BD，可得BD∥平面CDB，同理可得AB∥DCAB∥平面1111111CDB，即可證明（2）根據(jù)兩平面平行的性質(zhì)定理可知l∥直線BD，再根據(jù)平行四邊形知BDBD，即1111可證明BD∥l.111【詳解】證明：(1)由題設(shè)知BB∥，111所以四邊形BBDD是平行四邊形，11所以BD∥BD.11又BD?平面CDB，11BD