2024年北京北師大二附中高三（上）統(tǒng)練二數(shù)學(xué)試題及答案

2024北京北師大二附中高三（上）統(tǒng)練數(shù) 學(xué)一?選擇題（共10小題）1.設(shè)全集??={?3,?2,?1,0,1,2,3}，集合??={?1,0,1,2}, ??={?3,0,2,3}，則

UB（ A.{（

B.C.

D.{?3,?2,?1,1,3}下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞增的是（ ）f(x)lnx

f(x)12xC.f(x)1x

D.f(x)3|x1|已知a，b，c滿足cba，且ac0，那么下列各式中不一定成立的是（ ）A.abacC.cb2ab22下列各式化簡(jiǎn)運(yùn)算結(jié)果為1的是（ ）2

B.cba0D.acac0

ln

0.253

lg

1lg5222a 5 3 log a2（a0且a1） D.log3log2loga 5 3 5.若alog30.8，b30.8，c0.32.1，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）abc

cba

cab

acb6.fx6x 2

x，在下列區(qū)間中，包含??(??)零點(diǎn)的區(qū)間是A.0,1 B.2 C.2,47.已知a,bR，“a2b2”是“a2b22ab”的（ ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條已知函數(shù)f(x)3x2x1，則不等式f(x)0的解集是（ ）

D.4,A.0,1

B.0,

C.,0S

D.,01,CWlog2N，其中C為最大數(shù)據(jù)傳輸速率，S單位為bis/s；W為信道帶寬，單位為Hz；N

為信噪比.香農(nóng)公式在5G技術(shù)中發(fā)揮著舉足輕重的作用.當(dāng)S99，W2000Hz時(shí)，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為C；當(dāng)S

9999，W3000Hz時(shí)，最大數(shù)據(jù)傳輸速率N 1 N2記為C，則C2為（ ）2C15 A.1 B. 2

D.34已知數(shù)列n滿足，nN*，4n3 1，a4n1 1，a2nan，該數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，則下論斷中的是（ ）A.a311C.非零常數(shù)T，使得anTan二?填空題（共5小題）

B.a202412nN*S2n22不等式x1

3的解集是 .an為等比數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，an12Sn2，則a4.x4,函數(shù)y x

1x

的值域?yàn)?.43 3

, 0x2甲乙兩人射擊，每人射擊一次.已知甲命中的概率是0.8，乙命中的概率是0.7，兩人每次射擊是否命互不影響.設(shè)事件A為“兩人至少命中一次”，事件B為“甲命中”則條件概率P∣A的值為 .kbFx和Gxx都滿足：FxkxGxkxbykxFxGx的“隔離直線”，已知函數(shù)fxx2xRgx1x0hxx(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，有下列命題：x32①mxfxgxx1 32,0 fx和gx之間存在“隔離直線”b的最小值為4；fx和gx之間存在“隔離直線”k的取值范圍是4,1；fx和hx之間存在唯一的“隔離直線”y

exe．其中真命題的序號(hào)為 ．(請(qǐng)?zhí)顚?xiě)正確命題的序號(hào))三?解答題（共2小題）某城市一條地鐵新線開(kāi)通了試運(yùn)營(yíng)，此次開(kāi)通了AB、CDEF6座車(chē)站．在試運(yùn)營(yíng)期200名乘客，記錄了他們的乘車(chē)情況，得到下表（單位：人：下車(chē)站上車(chē)站ABCDEF合計(jì)A///5642724B12///20137860C57///38124D1399///1638E410162///335F25543///19合計(jì)363656262125200B1人，估計(jì)該乘客在C站下車(chē)的概率；以頻率估計(jì)概率，在試運(yùn)營(yíng)期間，從在A站上車(chē)的B站上車(chē)的所有乘客中各隨機(jī)選取1人，設(shè)其中在C站下車(chē)的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列以及數(shù)學(xué)期望；為了研究各站客流量的相關(guān)情況，用1B站上下車(chē)的乘客的上、下車(chē)情況，1”表示上0”表示下車(chē)．相應(yīng)地，用23分別表示在CD，D2大小關(guān)系．f(x)lnxa(x1)exaR.（Ⅰ）a0fx的單調(diào)性；（Ⅱ）若0a1，efx恰有兩個(gè)零點(diǎn)x0fxx1fxx0，證明3x02.參考答案一?選擇題（共10小題）【答案】C【分析】首先進(jìn)行補(bǔ)集運(yùn)算，然后進(jìn)行交集運(yùn)算即可求得集合的運(yùn)算結(jié)果.【詳解】由題意結(jié)合補(bǔ)集的定義可知：???={?2,?1,1}，則??∩(???)={?1,1}.U U故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查補(bǔ)集運(yùn)算，交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.【答案】C【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷ABC，舉反例排除D即可.Aylnx在0yx在0上單調(diào)遞減，fxlnx在0A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)閥2x在0,上單調(diào)遞增，y1在0,上單調(diào)遞減，xfx12x

在0,上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)閥1在0,上單調(diào)遞減，yx在0,上單調(diào)遞減，xfx1在0C正確；x1

1

21 對(duì)于D，因?yàn)閒 2

32

，f3

f23

3，3fx3x1在0上不單調(diào)，D故選：C.3【答案】C【分析】由已知可得a0，c0，再由不等式的基本性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】解：因?yàn)閏ba，且ac0，所以a0，c0，對(duì)于Aa0bc0abaca(bc)0abac，故A正確；Bc(ba)0B正確；對(duì)于C，當(dāng)b0時(shí)，cb2ab2，故C錯(cuò)誤；Dac0ac0ac(ac)0D正確．C．【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.2 1233

12【詳解】對(duì)于，en30.12533

3

1，故A錯(cuò)誤；B

8 221lg51lg21lg5111，故B錯(cuò)誤；22 2 2 2 2C

a2log 1aa21a

414，故C錯(cuò)誤；D3log2log5lg3?1D正確.故選：D.

5 3 2

【答案】D【分析】分別根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出a,b,c三數(shù)的取值范圍，即可得答案.alog30c0.32.10.301故acb,故選：D【答案】C

30，b30.8301，【詳解】因?yàn)閒(2)310，f(4)320，所以由根的存在性定理可知：選C.2考點(diǎn)：本小題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)知識(shí)，正確理解零點(diǎn)定義及根的存在性定理是解答好本類題目的關(guān)鍵.【答案】B【分析】根據(jù)充分、必要性定義判斷條件的推出關(guān)系，即可得答案.a2b2ab，當(dāng)ab0a2b22aba2b22ab，則(ab)20ab，顯然a2b2成立，必要性成立；a2b2a2b22ab的必要不充分條件故選：B【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性判斷極小值點(diǎn)在0x01，再由函數(shù)的單調(diào)性及f(0)得不等式的解集.f(x3xln32f(0)ln320f3ln320，(0,1f(x00，所以當(dāng)xx0時(shí)，f(x)0，當(dāng)xx0時(shí)，f(x)0，所以函數(shù)f(x)在,x0上單調(diào)遞減，在x0,上單調(diào)遞增，

f(1)0可又f(0)

f(1)0，且0x01，所以由f(x)0可得0x1，故選：A【答案】D【分析】根據(jù)定義，代入數(shù)據(jù)分別求C和C，再根據(jù)換底公式計(jì)算C2的值.C1 2C1【詳解】由條件可知C12000log21992000log2100，C23000log2199993000log210000，C2log23log 3.C 100 2

1001 2故選：D【答案】C【分析】由已知

a31

a4811可得 A 正確；由已知遞推關(guān)系a4811a2024

a21012

a2506

a506

a2253

a253

a4643 1可得B正確；由已知遞推關(guān)系總結(jié)數(shù)列的CnnD確.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)閍4n1 1，所以對(duì)于B，因?yàn)閍4n3 1，a2nan，

a481 1A正確；

a21012

a2506

a506

a2253

a253

a4643 1B正確；對(duì)于C，由a4n3 1可得1，由a4n1 1可得a7 1，由a2nan可得a2a4 1而a6a24 1，所以an0，設(shè)存在非零常數(shù)T,nN*，使得anTan，則aTTaT2aTaT0，矛盾，所以不存在非零常數(shù)TnN*anTanCn1S1S2121()2，n2S22S4123411112，n2時(shí)，有相鄰兩項(xiàng)a3a4即有接下來(lái)2212個(gè)項(xiàng)和為零；當(dāng)n3時(shí)，S23S8a1a2a3a4a5a6a7a8111111112，即n3時(shí)，有相鄰兩項(xiàng)a3a4的和與相鄰四項(xiàng)a5a6a7a8為零，22

231

6個(gè)項(xiàng)和為零；nk21

k

2(1

kk即有接下來(lái)的2 2 2

12

2項(xiàng)和為零，所以S2n123 2n202，故D正確.222個(gè)故選：C.DS2n到4項(xiàng)，5到8項(xiàng)，9到16項(xiàng)和分別為零.二?填空題（共5小題）【答案】{x|x1x5}3

2的意義，即表示數(shù)列中前兩項(xiàng)和2為外的33x50，等價(jià)于x13x50，求解即可x1

x10【詳解】233x50，所以x13x50x1x5，所以不等式23x1

x1

x10

3 x1的解集是{x|x1或x5}.3故答案為：{x|x1或x5}3【答案】54【分析】由題意對(duì)所給的遞推關(guān)系式進(jìn)行賦值，得到關(guān)于首項(xiàng)、公比的方程組，求解方程組確定首項(xiàng)和公比的值，然后結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求得a4的值.qq0，由an12Sn2，得a22S122a12,a32S222a1a22，2 2即aq22aaq2，解得q3，1 1 1 所以aaq354.4 1故答案為：54.13.0169【分析】分1x0和0x2兩種情況，結(jié)合冪函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求值域.【詳解】解：當(dāng)1x0yx4單調(diào)遞減，所以函數(shù)的值域?yàn)?,1，4x

16當(dāng)0x2時(shí)，y 3 3

單調(diào)遞增，所以函數(shù)的值域?yàn)椋?9y的值域?yàn)?16.99故答案為：0,16【答案】

94047PAPAB，再根據(jù)條件概率的計(jì)算公式即可求解.PA1PA10.20.30.94，PAB0.80.70.80.30.8，PAB 0.8 40所以PA .40故答案為： 47

PA

0.94 47【答案】①②④【分析】由題意結(jié)合“隔離直線”的定義逐一考查所給的說(shuō)法是否正確即可.【詳解】結(jié)合題意逐一考查所給命題的真假：1 1 1 2x31①∵m(x)=f(x)?g(x)=x2?

，x

,0，則m'x2x 0，32x 321

x2 x2∴F(x)=f(x)?g(x)在 32,0內(nèi)單調(diào)遞增，故①對(duì)； ②、③設(shè)f(x)、g(x)的隔離直線為y=kx+b,則x2?kx+b對(duì)一切實(shí)數(shù)x成立,即有△1?0,k2+4b?0，b?0，又1?kx+b對(duì)一切x<0成立,則kx2+bx?1?0,即△2?0,b2+4k?0，k?0，x即有k2??4b且b2??4k,k4?16b2??64k??4?k?0，同理可得?4?b?0，故②對(duì)，③錯(cuò)；f(x)h(x)x

e處有公共點(diǎn)

e,e,ee因此若存在f(x)和g(x)的隔離直線，那么該直線過(guò)這個(gè)公共點(diǎn),eeky?e=k(x?

),y=kx?k

+e，ef(x)?kx?ke

+e(x∈R),x2?kx+k

?e?0當(dāng)x∈R恒成立，e則△?0,即ke

e20k2

,y

exe，ehxe

exe：令Gx

exehx

exelnx，則G'x

exe，exex

e時(shí),G′(x)=0,當(dāng)0x 時(shí),G′(x)<0,當(dāng)x

e時(shí),G′(x)>0，則當(dāng)xe時(shí),G(x)取到極小值，極小值是0，也是最小值.所以Gx

exehx0,hx2

exe當(dāng)x>0時(shí)恒成立.f(x)g(x)y故答案為①②④.

exe，故④正確.【點(diǎn)睛】“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.但是，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說(shuō)“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬(wàn)變才是制勝法寶.三?解答題（共2小題）1（1）37（2）分布列見(jiàn)解析；期望為（3）D(2)D(1)D(3)【分析】（1）利用頻率來(lái)求概率即可；X0，1，2X的分布列及數(shù)學(xué)期望；利用兩點(diǎn)分布的方差公式依次求出進(jìn)行比較即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)選取的乘客在B站上車(chē)、在C站下車(chē)為事件M，由已知，在B站上車(chē)的乘客有60人，其中在C站下車(chē)的乘客有20人，所以P(M)201．60 3【小問(wèn)2詳解】6 1從在A站上車(chē)的所有乘客中任選1人，該乘客在C站下車(chē)的概率為24 4由題意可知，X可取0，1，2P(X0)(11)(11)1，4 3 2P(X1)1(11)(11)15，4 3 4 3 12P(X2)111，4 3 12X的分布列為X012P12512112所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為EX0115217．2 12 12 12【小問(wèn)3詳解】因?yàn)樵贐站上車(chē)的有60人，下車(chē)的有36人，所以P(1)605，P(

0)363，1 96 8

96 8所以D()53150.2344，1 8 8 64因?yàn)樵贑站上車(chē)的有24人，下車(chē)的有56人，

1)243，P(

0)567，2 80 10

80 10

37

210.21，2 10 10 100因?yàn)樵贒站上車(chē)的有38人，下車(chē)的有26人，

3819，P(64 32

0)2613，64 32D(1913

247

0.2412，3 32

1024所以D(2)D(1)D(3).17.【答案】（I）f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.；（（））見(jiàn)解析.（；首先寫(xiě)出函數(shù)的定義域，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷導(dǎo)數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間上的符號(hào)，從而得到結(jié)果；（（）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性，求得極值的符號(hào)，從而確定出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，得到結(jié)果；（ii）首先根據(jù)題意，列出方程組，借助于中介函數(shù)，證得結(jié)果.【詳解】（I）解：由已知，f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，且f'(x)1[ae

xa(x

1ax2ex] x xa0時(shí)，1ax2ex0f'(x)0f(x在(0,內(nèi)單調(diào)遞增.1ax2ex（）證明（）由（）知，f(x) ，x令g(x)1ax2ex，由0a1，可知g(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減，e又g(1)1ae0，且g(ln1)1a(ln1)211(ln1)20，a a a a故g(x)0在(0,+∞)內(nèi)有唯一解，從而f'(x)0在(