北京市昌平區(qū)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測試卷（含答案）

北京市昌平區(qū)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三總分評分一、單選題1．已知直線l：x+y?2=0，則直線A．π4 B．π2 C．2π32．已知a=(x，1，?2)A．?92 B．2 C．?23．橢圓x2A．(?5，0) B．(3，0) C．4．已知正方體ABCD?A1B1C1DA．a(chǎn)+b+C．a(chǎn)?b?5．在(x?3)5A．?270 B．?90 C．90 D．2706．設(shè)m，n是兩條不同的直線，A．若α∥β，m?αB．若α⊥β，m∥αC．若m∥n，m⊥αD．若m⊥n，m⊥α7．“m=2”是“雙曲線x2?yA．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知直線l：y=kx?1與曲線C：A．[?12，C．(?∞，?2]∪[2，9．某社區(qū)征集志愿者參加為期5天的“垃圾分類，全民行動”的宣傳活動，要求志愿者每人只參加一天且每天至多安排一人.現(xiàn)有甲?乙?丙3人報名，甲要求安排在乙?丙的前面參加活動，那么不同的安排方法共有（）A．18種 B．20種 C．24種 D．30種10．已知正四棱錐P?ABCD的八條棱長均為4，S是四邊形ABCD及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合.設(shè)集合T={Q∈S|A．3π4 B．π C．2π D．二、填空題11．已知直線l1：ax+2y+1=0，l212．從0，2中選一個數(shù)字，從1，3，5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有個．（用數(shù)字作答）13．若(1+2x)4=14．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美?寓意美好的曲線，曲線G：①曲線G有且僅有四條對稱軸；②曲線G上任意兩點之間的距離的最大值為6；③曲線G恰好經(jīng)過8個整點（即橫坐標(biāo)?縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）；④曲線G所圍成的區(qū)域的面積大于16.其中所有正確結(jié)論的序號是.15．在三棱錐P?ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥AC，PA=1，AB=AC=2，則異面直線PC與AB所成角的大小為；點16．已知雙曲線C經(jīng)過點(1，4)，離心率為324，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為三、解答題17．已知圓C的圓心坐標(biāo)為C(1，0)，且經(jīng)過點（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點P作圓C的切線l與x軸交于點M，求直線l的方程及△PCM的面積.18．如圖，在三棱柱ABC?A1B1C（1）求證：AC1⊥（2）求直線C1C與平面19．已知拋物線C：y2（1）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)M(1，4)，直線l：y=x+b與拋物線C有兩個不同的交點A，B.若△MAB是以20．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PD⊥平面ABCD，DA=DC=DP=2，點M在棱PC上，且PA//（1）求證：M是棱PC的中點；（2）再從條件①?條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：（i）二面角M?BD?C的余弦值；（ii）在棱PA上是否存在點Q，使得BQ⊥平面BDM？若存在，求出PQPA條件①：∠BAD=60°；條件②：BD=2.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.21．已知橢圓G：x24+y2b2=1(0<b<2)的離心率為22，其左?右頂點分別為A1（1）求橢圓G的方程；（2）若線段MN的長等于453，求直線（3）設(shè)直線A1M，A2

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】因為直線l：化成斜截式為y=?x+2，所以直線l的斜率k=?1，設(shè)直線l的傾斜角為θ，則有tanθ=?1又因為θ∈[所以θ=3π故答案為：D

【分析】利用已知條件結(jié)合直線的斜率與直線的傾斜角的關(guān)系式，進(jìn)而得出直線l的傾斜角的值。2．【答案】B【解析】【解答】a=(x，1則xy?1×2=01×1?(?2)y=0，解之得y=?12故答案為：B

【分析】利用已知條件結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示，進(jìn)而得出x，y的值，從而得出xy的值。3．【答案】C【解析】【解答】因為橢圓x2所以橢圓焦點落在x軸上，a2所以c2=a所以橢圓x225+y2故答案為：C.

【分析】利用已知條件結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得出a，b的值，再結(jié)合橢圓中a，b，c三者的關(guān)系式，進(jìn)而得出c的值，從而得出橢圓的右焦點的坐標(biāo)。4．【答案】D【解析】【解答】在正方體ABCD?A1B則DB=又點E是BB1的中點，則所以DE=故答案為：D.

【分析】利用已知條件結(jié)合直方圖的結(jié)構(gòu)特征和中點的性質(zhì)，再結(jié)合三角形法則、向量共線定理和平面向量基本定理，進(jìn)而得出DE→5．【答案】C【解析】【解答】(x?3)5令5?r=3，則r=2，則x3的系數(shù)為C故答案為：C

【分析】利用已知條件結(jié)合二項式定理求出展開式中的通項公式，再利用通項公式得出x36．【答案】C【解析】【解答】作長方體ABCD?A對于A，取平面α為平面ABCD，平面β為平面A1B1C1D1，直線m為直線BC，直線n對于B，取平面α為平面ABCD，平面β為平面A1B1BA，直線m為直線C1D1，直線n對于D，取平面α為平面ABCD，平面β為平面A1B1BA，直線m為直線C1C，直線n為直線對于C，如圖過直線n作平面γ與平面β相交，且β∩γ=l，因為n//β，n?γ，β∩γ=l，所以n//l，又m//n，所以m//l，因為m//l，m⊥α，所以l⊥α，又l?β，所以α⊥β，C符合題意.故答案為：C.

【分析】利用已知條件結(jié)合線線平行的判斷方法、線線垂直的判斷方法、面面垂直的判定定理、面面平行的判定定理，從而找出真命題的選項。7．【答案】A【解析】【解答】若m=2，則x2?y若漸近線方程為y=±2x，則ba=|m|故“m=2”是“雙曲線x2?y故答案為：A.

【分析】利用已知條件結(jié)合充分條件和必要條件的判斷方法，進(jìn)而推出“m=2”是“雙曲線x2?y8．【答案】D【解析】【解答】將y=1?x24得x24+y2=1(y≥0)，故曲線C為橢圓x24+y2當(dāng)直線l：y=kx?1與曲線C：y=1?x24有公共點時，則故答案為：D

【分析】將y=1?x24轉(zhuǎn)化為x24+y2=1(y≥0)，故曲線C為橢圓x24+y2=1的上半部分包括x軸上的部分，再利用直線9．【答案】B【解析】【解答】根據(jù)題意可知：需要從5天中選擇3天分別安排甲乙丙3名志愿者，且甲在乙丙的前面，第一步：從5天中選擇3天，共有C5第二步：將甲乙丙按照“甲乙丙”或者“甲丙乙”的順序安排在已選好的3天中，共有2種選擇，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得：不同的安排方法共有2×10=20。故答案為：B

【分析】利用已知條件結(jié)合組合數(shù)公式，再結(jié)合分步乘法計數(shù)原理，進(jìn)而得出不同的安排方法共有的種數(shù)。10．【答案】B【解析】【解答】設(shè)頂點P在底面上的投影為O，連接BO，則O為正方形ABCD的中心，如圖，且BO=12×因為當(dāng)PQ=3時，故OQ=P故T的軌跡為以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上以及圓內(nèi)，而正方形ABCD內(nèi)切圓的圓心為O，半徑為2>1，故T的軌跡在正方形ABCD內(nèi)部，故其面積為π。故答案為：B.

【分析】設(shè)頂點P在底面上的投影為O，連接BO，則O為正方形ABCD的中心，且BO=12×2×4=22，再利用勾股定理得出PO的長，再利用當(dāng)PQ=3時結(jié)合勾股定理得出OQ的長，故T的軌跡為以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上以及圓內(nèi)，而正方形ABCD內(nèi)切圓的圓心為O，半徑為11．【答案】6【解析】【解答】由于l1⊥l2，所以故答案為：6

【分析】利用已知條件結(jié)合兩直線垂直斜率之積等于-1，進(jìn)而得出實數(shù)a的值。12．【答案】12【解析】【解答】根據(jù)題意，要使組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)為偶數(shù)，則從0，2中選一個數(shù)字為個位數(shù)，有2種可能，從1，3，5中選兩個數(shù)字為十位數(shù)和百位數(shù)，有A3故這個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)為偶數(shù)的個數(shù)為2×6=12。故答案為：12。

【分析】利用已知條件結(jié)合排列數(shù)公式，再結(jié)合分步乘法計數(shù)原理，進(jìn)而得出從1，3，5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有的個數(shù)。13．【答案】40【解析】【解答】由(1+2x令x=1，得a0令x=?1，得a0兩式聯(lián)立得a1故答案為：40。

【分析】利用已知條件結(jié)合賦值法和聯(lián)立發(fā)，進(jìn)而得出a114．【答案】①③④【解析】【解答】對于①：設(shè)點P(x0，y0顯然點P(x0，y0)關(guān)于x軸的對稱點P1(x0，?y0)，點P(x0，y0)關(guān)于y軸的對稱點P2(?x0，y對于②：因為x2+y所以有4+|xy|≥2|xy|，則|xy|≤4，所以有x2即曲線G上任意一點到原點的距離d=x又曲線G的圖象關(guān)于O點中心對稱，所以曲線G上任意兩點之間的距離的最大值為2d=42，故②對于③：令x=0，則y2=4，解得y=±2，可得點(0，令x=±1，則y2?|y|?3=0，顯然令x=±2，則y2?2|y|=0，解得y=±2或y=0，可得點(?2，0)，(2，0)，(?2，當(dāng)|x|≥3，x2≥9，此時將x2+y此時Δ=(?|x|)因為x2≥9，所以?3x綜上所述，曲線G恰好經(jīng)過8個整點.故③正確；對于④：顯然由(?2，0)，(2，0)，(?2，?2)，(?2，2)，(2，?2)，(2，故答案為：①③④.

【分析】利用已知條件結(jié)合曲線的圖形的對稱性、兩點距離公式、均值不等式求解方法、整點的定義、正方形的面積公式，進(jìn)而找出結(jié)論正確的序號。15．【答案】π2；【解析】【解答】∵在三棱錐P?ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥AC，∴以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，PC=(0，2設(shè)異面直線PC與AB所成角為θ，0<θ≤則cosθ=|PC?AB設(shè)平面PBC的法向量為m=(x，y，z)，則m所以點A到平面PBC的距離為|m故答案為：π2，6

【分析】在三棱錐P?ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥AC，PA=1，AB=AC=2，以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，從而得出點的坐標(biāo)，再結(jié)合向量的坐標(biāo)表示得出向量的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積求向量夾角公式得出異面直線PC與AB所成角的余弦值，再結(jié)合為0<θ≤π2，進(jìn)而得出角θ的值，再利用平面的法向量求解方法得出平面16．【答案】y27【解析】【解答】當(dāng)雙曲線C的焦點在x軸上時，可設(shè)雙曲線C為：x2離心率為e=ca=1+b2a又因為雙曲線C經(jīng)過點(1，4)，則有1a2?當(dāng)雙曲線C的焦點在y軸上時，可設(shè)雙曲線C為：y2離心率為e=ca=1+b2a又因為雙曲線C經(jīng)過點(1，4)，則有16a2?1b則c2=a則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y27?故答案為：y27?

【分析】利用已知條件結(jié)合分類討論的方法在，再結(jié)合焦點所在的位置，再利用代入法、雙曲線的離心率公式、雙曲線中a，b，c三者的關(guān)系式，進(jìn)而得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而結(jié)合焦距的定義得出雙曲線的焦距。17．【答案】（1）解：由題意可知，設(shè)圓的方程為(x?1)2+y2=r2，又因為P(0（2）解：由題意知，直線的斜率存在，則設(shè)直線方程為y?3=k(x?0)，即kx?y+3=0，因為直線與圓相切，則圓心到直線的距離d=|k+3|k2+1=2，解得k=33，則直線方程為x?3y+3=0【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合兩點距離公式得出圓的半徑長，進(jìn)而得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

（2）由題意知，直線的斜率存在，則設(shè)直線方程為kx?y+3=0，再利用直線與圓相切結(jié)合點到直線的距離公式得出圓心到直線的距離和已知條件得出直線的斜率，從而得出直線方程，進(jìn)而得出點M的坐標(biāo)，根據(jù)題意知，三角形△PCM為直角三角形，再利用勾股定理得出PM的長和PC的長，再結(jié)合三角形的面積公式得出三角形18．【答案】（1）證明：∵C1C⊥平面ABC，AC?∴C∵AC=CC∴平行四邊形ACC∴AC∵C1C⊥平面ABC，∴C∵BC⊥AC，AC∩CCAC?平面ACC1A1，∴BC⊥平面ACC∵AC1?∴AC∵BC∩A1C=C，BC?平面A∴AC1⊥（2）解：記AC1與A1由(1)知AC1⊥所以C1D⊥平面故直線C1C與平面A1由(1)知平行四邊形ACC∴∠C故直線C1C與平面A1【解析】【分析】（1）利用C1C⊥平面ABC結(jié)合線面垂直的定義證出線線垂直，所以C1C⊥AC，再利用AC=CC1，所以平行四邊形ACC1A1為正方形，所以BC⊥平面ACC1A1，再利用線面垂直的定義證出線線垂直，所以AC1⊥BC，再利用線線垂直證出線面垂直，從而證出AC1⊥平面A1BC。

（2）記AC1與A1C交點為D，由(1)知AC1⊥平面A19．【答案】（1）解：因為拋物線C：y2=2px(所以拋物線C的方程為y2=4x，準(zhǔn)線方程為（2）證明：設(shè)A(x1，y聯(lián)立方程組y2=4xy=x+b，可得可得Δ=(2b?4)2?4x1+x2=4?2b因為△MAB是以AB為底邊的等腰三角形，所以MT⊥AB，即可得kMT又因為kAB=1，M(1，4)，T(2?b，2)所以l：y=x?1，經(jīng)過拋物線C的焦點【解析】【分析】（1）利用拋物線C：y2=2px(p>0)經(jīng)過點(1，2)結(jié)合代入法得出p的值，從而得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再結(jié)合拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程得出準(zhǔn)線方程。

（2）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，再利用中點坐標(biāo)公式得出AB中點T的坐標(biāo)，再利用直線與拋物線相交，聯(lián)立二者方程結(jié)合判別式法得出b的取值范圍，再結(jié)合韋達(dá)定理得出x20．【答案】（1）證明：連接AC交BD于F，連接MF則MF是平面PAC與平面BDM的交線，∵PA//平面BDM，PA?平面PAC，∴PA又底面ABCD為平行四邊形，則F是AC的中點，∴M是棱PC的中點，（2）解：因為底面ABCD為平行四邊形，又DA=DC=2，則底面ABCD為菱形，選擇條件①：∠BAD=60°，或選擇條件②：BD=2，均可得△ABD為正三角形.取AB中點N，連接DN，則DN⊥AB，即DN⊥DC又PD⊥平面ABCD，DQ，DC?平面ABCD，所以PD⊥DN，PD⊥DC，如圖以D為原點，則D(0，（i）由于PD⊥平面ABCD，則DP=(0，0設(shè)平面BDM的法向量為n=(x，y所以DB?n=0DM?則cosDP，n所以二面角M?BD?C的余弦值為217（ii）若在棱PA上否存在點Q，設(shè)PQPA=λ，則PQ=λPA，且則BQ=若BQ⊥平面BDM，則BQ//n，所以故在棱PA上不存在點Q，使得BQ⊥平面BDM.【解析】【分析】（1）連接AC交BD于F，連接MF，則MF是平面PAC與平面BDM的交線，再利用PA//平面BDM結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理證出線線平行，所以PA//MF，再利用底面ABCD為平行四邊形，則F是AC的中點，從而證出點M是棱PC的中點。

（2）利用底面ABCD為平行四邊形，再利用DA=DC=2，則底面ABCD為菱形。選擇條件①：∠BAD=60°，或