數(shù)學(xué)課堂探究：復(fù)數(shù)的加法與減法

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一復(fù)數(shù)的加法與減法運(yùn)算1．復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算類比實(shí)數(shù)的加減運(yùn)算，若有括號(hào),括號(hào)優(yōu)先；若無(wú)括號(hào),可從左到右依次進(jìn)行．2．算式中出現(xiàn)字母時(shí)，首先確定其是否為實(shí)數(shù),再提取各復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，將它們分別相加．3．準(zhǔn)確提取虛、實(shí)部,正確進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算有利于提高解題的準(zhǔn)確率．【典型例題1】計(jì)算下列各式：(1)(13－5i）＋(－3＋4i）；(2)（－3＋2i)－（4－5i）；（3)（10－9i）＋（－8＋7i)－(3＋3i）;(4）（1－2i）－(2－3i)＋（3－4i)－(4－5i)＋…＋（2013－2014i）－(2014－2015i）．思路分析:根據(jù)復(fù)數(shù)加法、減法的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．解:(1）（13－5i)＋（－3＋4i）＝（13－3)＋（－5＋4）i＝10－i；（2)(－3＋2i)－(4－5i)＝（－3－4)＋（2＋5）i＝－7＋7i；(3）（10－9i)＋（－8＋7i）－（3＋3i）＝(10－8－3)＋（－9＋7－3）i＝－1－5i;(4）原式＝（1－2＋3－4＋…＋2013－2014）＋（－2＋3－4＋5－…－2014＋2015）i＝－1007＋1007i.探究二復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義1．復(fù)數(shù)加法、減法的幾何意義與平面向量的平行四邊形法則、三角形法則有關(guān)，因此在求解與平行四邊形、三角形有關(guān)的復(fù)數(shù)問(wèn)題時(shí)，主要應(yīng)根據(jù)復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義求解計(jì)算．2．由于復(fù)數(shù)可用向量表示，因而可將復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題,利用向量的方法解決復(fù)數(shù)問(wèn)題．3．在復(fù)平面內(nèi)，z1，z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A，B，z1＋z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為C，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則四邊形OACB：(1)為平行四邊形；（2)若|z1＋z2｜＝｜z1－z2|，則四邊形OACB為矩形；（3）若｜z1|＝｜z2｜，則四邊形OACB為菱形；（4）若|z1|＝｜z2｜且｜z1＋z2｜＝|z1－z2｜，則四邊形OACB為正方形．【典型例題2】已知平行四邊形ABCD中,eq\o(AB，\s\up6(→))與eq\o（AC,\s\up6（→））對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是3＋2i與1＋4i,兩對(duì)角線AC與BD相交于O點(diǎn)．(1）求eq\o(AD，\s\up6（→）)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；（2）求eq\o（DB,\s\up6(→））對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù);（3）求△AOB的面積．思路分析：由復(fù)數(shù)加法、減法運(yùn)算的幾何意義可直接求得eq\o(AD,\s\up6(→)），eq\o（DB,\s\up6（→）)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，先求出向量eq\o（OA,\s\up6（→）)，eq\o(OB,\s\up6(→）)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，通過(guò)平面向量的數(shù)量積求△AOB的面積．解：（1)由于ABCD是平行四邊形，所以eq\o（AC，\s\up6(→）)＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)），于是eq\o（AD,\s\up6（→）)＝eq\o(AC,\s\up6（→))－eq\o(AB，\s\up6(→）)，而(1＋4i）－(3＋2i）＝－2＋2i，即eq\o（AD，\s\up6（→)）對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是－2＋2i。（2)由于eq\o（DB，\s\up6(→）)＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o（AD，\s\up6（→））,而（3＋2i)－（－2＋2i)＝5，即eq\o（DB,\s\up6（→）)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是5。(3)由于eq\o（OA,\s\up6(→))＝eq\f（1,2)eq\o（CA，\s\up6(→))＝－eq\f（1，2)eq\o(AC，\s\up6(→)）＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2）),eq\o（OB，\s\up6（→））＝eq\f(1，2)eq\o（DB，\s\up6(→））＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（5，2)，0）)，即eq\o（OA,\s\up6（→)）＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2）)，eq\o（OB,\s\up6（→））＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（5,2），0))，于是eq\o(OA,\s\up6(→）)·eq\o（OB，\s\up6(→）)＝－eq\f(5,4),而|eq\o（OA,\s\up6（→))|＝eq\f（\r(17），2），｜eq\o(OB，\s\up6（→）)｜＝eq\f(5，2)，所以eq\f(\r(17)，2）·eq\f（5，2)·cos∠AOB＝－eq\f（5，4),因此cos∠AOB＝－eq\f（\r(17),17），故sin∠AOB＝eq\f(4\r(17),17),故S△AOB＝eq\f（1，2）｜eq\o(OA,\s\up6（→）)｜｜eq\o(OB,\s\up6（→))|sin∠AOB＝eq\f(1,2）×eq\f(\r(17)，2)×eq\f（5，2）×eq\f（4\r（17），17）＝eq\f(5,2)，即△AOB面積為eq\f（5，2）。探究三復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的綜合問(wèn)題在進(jìn)行復(fù)數(shù)的加法、減法以及模的運(yùn)算時(shí),主要依據(jù)加減運(yùn)算法則、模的公式計(jì)算求解．【典型例題3】(1)已知復(fù)數(shù)z滿足｜z|＝eq\r（5)，且z＋1是純虛數(shù)，求z；(2)設(shè)f(z）＝z＋3i－eq\x\to(z)－｜z｜,若z1＝2－i，z2＝－1＋2i，求f(z1－z2）．思路分析：（1)設(shè)z＝x＋yi（x，y∈R）代入求解；（2)先求出z1－z2，再代入f(z)中計(jì)算．解：（1）設(shè)z＝x＋yi（x，y∈R）,則z＋1＝（x＋1）＋yi，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r（x2＋y2)＝\r(5)，，x＋1＝0，，y≠0，)）解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－1，，y＝2））或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－1,，y＝－2。）)于是復(fù)數(shù)z＝－1＋2i或z＝－1－2i.(2)由已知得z1－z2＝（2－i)－（－1＋2i)＝3－3i，于是f(z1－z2）＝f(3－3i）＝3－3i＋3i－（3＋3i)－|3－3i|＝－3i－3eq\r(2）。故f（z1－z2）＝－3eq\r(2)－3i。探究四復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式及應(yīng)用1．|z1－z2｜表示復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z1與Z2之間的距離,在應(yīng)用時(shí),要注意絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)應(yīng)是兩個(gè)復(fù)數(shù)差的形式;2．涉及復(fù)數(shù)模的最值問(wèn)題以及點(diǎn)的軌跡問(wèn)題,均可從兩點(diǎn)間距離公式的復(fù)數(shù)表達(dá)形式入手進(jìn)行分析判斷，然后通過(guò)幾何方法進(jìn)行求解．【典型例題4】已知z∈C,且|z＋3－4i｜＝1,求|z｜的最大值與最小值．思路分析：|z＋3－4i｜＝|z－(－3＋4i)|表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)－3＋4i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離，從而可知z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡為圓，然后借助幾何方法求解．解：由于｜z＋3－4i|＝｜z－(－3＋4