平面向量的運算講義

專題2：平面向量的運算核心知識點1:向量的加法運算.向量的加法(1)定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法．兩個向量的和仍然是一個向量．(2)三角形法則：如圖甲所示，已知非零向量a(2)三角形法則：如圖甲所示，已知非零向量a、b，在平面內(nèi)任取一點，作AB=a,BC=b，則向量AC叫做向量a與b的和，記作a+b.這種求向量和的方法叫做向量加法的三角形法則.(3)平行四邊形法則：已知兩個不共線向量a、b(如圖乙所示)，作AB=a,AD=b，則A、B、D三點不共線，以AB、AD為鄰邊作平行四邊形ABCD，則向量AC=a+b，這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則．【知識微點評】向量加法的平行四邊形法則和三角形法則(1)在使用向量加法的三角形法則時，要注意“首尾相接”，即第一個向量的終點與第二個向量的起點重合，則以第一個向量的起點為起點，并以第二個向量的終點為終點的向量即兩向量的和；向量加法的平行四邊形法則的應(yīng)用前提是“共起點”，即兩個向量是從同一點出發(fā)的不共線向量．(2)三角形法則適用于所有的兩個非零向量求和，而平行四邊形法則僅適用于不共線的兩個向量求和．當(dāng)向量不共線時，三角形法則和平行四邊形法則的實質(zhì)是一樣的，三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出的圖形的一半．但當(dāng)兩個向量共線時，平行四邊形法則便不再適用了．(3)向量求和的多邊形法則RR①已知n個向量，依次首尾相接，則由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量即為這n個向量的和，這稱為向量求和的多邊形法則．即A0Al+A1A2+A2A3+…+An-2An-1+An-14=A(A②首尾順次相接的若干向量求和，若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為0..向量加法的交換律已知向量a、b，如圖所示，作AB=a,BC=b，如果A、B、C不共線，則AC=a+b.

作AD="連接DC如果我們能證明DC=訪那么也就證明了加法交換律成立.由作圖可知，AD=BC="所以四邊形ABCD是平行四邊形，這就證明了DC=〃，即a+b=b+a.向量的加法滿足交換律..向量加法的結(jié)合律如圖，作魂=〃，BC=b,CD=c,由向量加法的定義，知元=贏+/=〃+" :/個、BD=BC-\-CD=b-\-c,所以助=1&+歷=(〃+))+c,病=贏+礪="+S+c). 1f從而(a+b)+c=a+(b+c)，即向量的加法滿足結(jié)合律.【知識微點評】.我們可以從位移的物理意義理解向量加法的交換律：一質(zhì)點從點A出發(fā)，①先走過的位移為向量a,再走過的位移為向量b,②先走過的位移為向量b，再走過的位移為向量a，則方案①②中質(zhì)點A一定會到達同一終點..多個向量的加法運算可按照任意的次序與任意的組合進行.如5+b)+(c+d)=(b+d)+(a+c);a+b+c+d+e=[d+(a+c)]+(b+e).核心知識點2:向量的減法運算Aa1.相反向量Aa定義如果兩個向量長度相等，而方向相反那么稱這兩個向量是相反向量性質(zhì)①對于相反向量有：a+(—a)=0②若a、b互為相反向量，則a=—b,a+b=0③零向量的相反向量仍是零向量2.向量的減法定義a—b=a+(—b)，即減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量作法在平面內(nèi)任取一點。，作OA=a,OB=b，則向量a—b=BA.如圖所示幾何意義如果才把兩個向量a、b的起點放在一起，則a—b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量【知識微點評】.向量減法的三角形法則中，BA表示a—b，強調(diào)了差向量的“箭頭”指向被減向量.即作非零向量a,b的差向量a—b，可以簡記為“共起點，連終點指向被減”．.由上可知，可以用向量減法的三角形法則作差向量；也可以用向量減法的定義a—b=a+(—b)(即平行四邊形法則)作差向量，顯然，此法作圖較煩瑣．.如圖，以AB,AD為鄰邊作平行四邊形ABCD,則兩條對角線所對應(yīng)的向量AC=a+b,DDB=a-b，這一結(jié)論在以后的學(xué)習(xí)中應(yīng)用非常廣泛.核心知識點3：向量的數(shù)乘運算.向量的數(shù)乘定義一般地，實數(shù)A與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作加長度IAaI=IAIIaI方向A>0Aa的方向與a的方向相同A=0Aa=0A<0Aa的方向與a的方向相反2．?dāng)?shù)乘的幾何意義加的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或反方向擴大或縮小I丸倍.【知識微點評】(1M是實數(shù)，a是向量，它們的積加仍然是向量.實數(shù)與向量可以相乘，但是不能相加減，如丸+a,丸—a均沒有意義.(2)對于非零向量a，當(dāng)丸=1時時，曲表示a方向上的單位向量.|a|(3)注意向量數(shù)乘的特殊情況：①若丸=0,則Aa=0;②若a=0,則Aa=0.應(yīng)該特別注意的是結(jié)果是向量0，而非實數(shù)0.3．向量數(shù)乘的運算律向量的數(shù)乘運算滿足下列運算律：設(shè)A、〃為實數(shù)，則A(pa)=(A〃)a；(2)(A+〃)a=Aa+〃a；(3)A(a+b)=Aa+Ab(分配律).特別地，我們有(一A)a=—(Aa)=A(—a),A(a—b)=Aa—Ab.4．共線向量定理向量a(aW0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)A,使b=Aa.5．向量的線性運算向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，對于任意向量a、b以及任意實數(shù)A、〃「〃2,恒有A必a±p2b)=Ap1a±Ap2b.【知識微點評】

向量共線定理的理解注意點及主要應(yīng)用.定理中aW0不能漏掉.若a=b=0,則實數(shù)丸可以是任意實數(shù)；若a=0,bW0,則不存在實數(shù)九使得b=入a..這個定理可以用一般形式給出：若存在不全為0的一對實數(shù)t,s,使ta+sb=0,則a與b共線；若兩個非零向量a與b不共線，且ta+sb=0,則必有t=s=0.核心知識點4：向量的數(shù)量積.平面向量的數(shù)量積的定義定義已知兩個非零向量a與b，我們把數(shù)量IaIIbIcos6叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，其中6是a與b的夾角記法記作a?b，即a?b=IIaIIbIcos6規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0投影IaIcos6(IbIcos6)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影幾何意義數(shù)量積a?b等于a的長度IaI與b在a的方向上的投影IbIcos6的乘積2．兩個向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a、b都是非零向量，a±b臺a?b=0.(2)當(dāng)a與b同向時，a?b=|a11bI；當(dāng)a與b反向時，a?b=一1a11bI.特別地，a?a=a2=1a|2或|a|=\；a?a.(3)Ia?b閆aIIbI.3.平面向量數(shù)量積的運算律已知向量a、b、c和實數(shù)九(1)交換律：a?b=b?a.(2)結(jié)合律：(Aa)?b=A(a?b)=a?(Xb).(3)分配律：(a+b)?c=a?c+b?c.0A+08+0C40A+08+0C40"則 等于【典型例題】設(shè)M是。ABCD的對角線的交點，O為任意一點，TOC\o"1-5"\h\z0M 0M 0M 0MA． B．2 C．3 D．4-I-I T—IAB4+80+QM【題型強化】1.化簡( ) 的結(jié)果為—.2.一條河寬40km，一船從A出發(fā)垂直到達正對岸的B處，船速為20km/h，水速為12km/h，則船到達B處所需時間為一.【名師點睛】向量的加減法運算有如下方法：

（1）利用相反向量統(tǒng)一成加法（相當(dāng)于向量求和）；QA-OB=BA2）運用減法公式 （正用或逆用均可）;（3）運用輔助點法，利用向量的定義將所有向量轉(zhuǎn)化為以其中一確定點為起點的向量，使問題轉(zhuǎn)化為有共同起點的向量問題.必考必會題型2:三角形（平行四邊形）法則的應(yīng)用ac【典型例題】如圖，用，，-表示下列向量.(3)(3)nb 5【題型強化】1.如圖，已知向量';，用向量加法的三角形法則作出向量GA+GB+GC=02.G為^ABC內(nèi)一點，若 ，求證：點G是^ABC的重心.【名師點睛】利用已知向量表示其他向量的思路：解決這類問題時，要根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)，正確運用向量加法、減法和共線（相等）向量，要注意向量的方向及運算式中向量之間的關(guān)系.當(dāng)運用三角形法則時，要注意兩個向量首尾順次相接，當(dāng)兩個向量共起點時，可以考慮用減法.所以及常用結(jié)論：任意一個非零向量一定可以表示為兩個不共線向量的和（差）,所以及AB=NB-NA（AB=NB-NA（M，N均是同一平面內(nèi)的任意點）.必考必會題型3：向量的線性運算【典型例題】下列四個等式：比+6=6+口 - □插IB+HC+C4=0n.-+① ；②-（“）一」；③ ；④」（其中正確的是 （填序號）.BC=-aDA—bn【題型強化】1.已知點E,F分別為四邊形ABCD的對角線AC,BD的中點，設(shè), ，則用二EF=表示 AB=aBC=bCA=ca+r=【收官驗收】在^ABC中， ， ，，則.2.解決向量的線性運算問題的基本方法：向量的數(shù)乘運算類似于實數(shù)運算，遵循括號內(nèi)的運算優(yōu)先的原則，將相同的向量看作“同類項”進行合并.要注意向量的數(shù)乘所得結(jié)果仍是向量，同時要在理解其幾何意義的基礎(chǔ)上，熟練運用運算律.向量的線性運算也可以通過方程形式來考查，把所求向量當(dāng)作未知量，利用解代數(shù)方程（組）的方法求解.必考必會題型4:用已知向量表示相關(guān)向量A€=aBD=￡■abABEC【典型例題】如圖，在。ABCD中，設(shè)對角線 ， ，試用;表示，.i；EC（3）用"，，-表示；（4）【名師點睛】用已知向量表示相關(guān)向量的基本思路:用已知向量來表示其他向量是解向量相關(guān)問題的基礎(chǔ)，除了要利用向量的加、減、數(shù)乘運算外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理、性質(zhì)，如三角形的中位線定理，相似三角形對應(yīng)邊成比例等，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量進行求解.必考必會題型5：向量共線定理的應(yīng)用0 AB—a+5AC-a4b【典型例題】已知,是不共線的向量，且 入1 , %（入1，%CR）.若A,B,C三點共線，則入1入2=—.TOC\o"1-5"\h\z_ _. _卜 T _r —卜 —t -8- - ■-r "卜 —1―]~n— =3 -2e7c=2e-i+3s?a=mi4?ic【題型強化】1.已知'“一['", ' ',一"且 ，則m+n= .ab n+&a—k.b2.設(shè)向量一，不共線，向量 與2共線，則實數(shù)k=（ ）A.-2 B.-1 C.1 D.2【名師點睛】解決向量共線的判定問題的基本方法：a A5=Ac向量共線的判定一般是用其判定定理，即是一個非零向量，若存在唯一一個實數(shù)，使得，則向量b a與非零向量共線解題過程中，需要把兩向量用共同的已知向量來表示，進而互相表示，由此判斷共線.三點共線的證明問題及求解思路：1.證明三點共線，通常轉(zhuǎn)化為證明由這三點構(gòu)成的兩個向量共線，向量共線定理是解決向量共線問題的依據(jù).. 蠲前說 。…一 *,……2.若A，B，C三點共線，則向量 在同一直線上，因此必定存在實數(shù)，使得其中兩個向量之間存在線性關(guān)系，而向量共線定理是實現(xiàn)線性關(guān)系的依據(jù).必考必會題型6:向量線性運算在三角形中的運用QP=向十向十北【典型例題】O是平面上一定點，△ABC中AB=AC，一動點P滿足： 入（ ），入C（0，+8），則直線AP通過△ABC的—（請在橫線上填入正確的編號）①外心②內(nèi)心 ③重心 ④垂心.而二°甘+°’+【題型強化】1.O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足… ""且入W1，則點P的軌跡一定通過^ABC的—（填重心，垂心，外心或內(nèi)心）2.已知4ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，O為^ABC內(nèi)一點，若分別

滿足下列四個條件：②tanA,。達4OB4 0E=0tanB, tanC?三—3一064—③sin2A, sin2B, sin2C,0C=0OB+OC=D則點O分別為△ABC的( )人.外心、內(nèi)心、垂心、重心B．內(nèi)心、外心、垂心、重心滿足下列四個條件：②tanA,。達4OB4 0E=0tanB, tanC?三—3一064—③sin2A, sin2B, sin2C,0C=0OB+OC=D則點O分別為△ABC的( )人.外心、內(nèi)心、垂心、重心B．內(nèi)心、外心、垂心、重心。垂心、內(nèi)心、重心、外心D．內(nèi)心、垂心、外心、重心【名師點睛】三角形的“四心:(1)三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心，三角形三條角平分線的交點，內(nèi)心到三角形三邊的距離相等.(2)三角形的外心：三角形外接圓的圓心，三角形三條邊的中垂線的交點，外心到三角形三個頂點的距離相-I—Iflfgi等.若M是匕ABC內(nèi)一點，滿足一, 一，貝則點M為卜ABC的外心.(3)三角形的垂心：三角形三條高線的交點.GA+麗+面=0(4)三角形的重心：三角形三條中線的交點.若G是匕ABC內(nèi)一點，且滿足 ，則G是^ABC的重心.必考必會題型7：向量數(shù)量積的運算【典型例題】在直角三角形ABC中，/C;AC=3,取點D使8D=DA2CDCA=則-( )A．6B．C．27D．36ab【題型強化】1.「1=11=4,<0.,6>=60°1=(A．4B．C．37D．13ACBC2.三角形ABC中，I1=11=1AB則8C4C5CA的值是(A.1B.-1C.【名師點睛】求向量的數(shù)量積的兩個關(guān)鍵點:求向量的數(shù)量積時，需明確兩個關(guān)鍵點：相關(guān)向量的模和夾角.若相關(guān)向量是兩個或兩個以上向量的線性運算，則需先利用向量數(shù)量積的運算律及多項式乘法的相關(guān)公式進行化簡.解決平面幾何圖形中的向量數(shù)量積問題的基本思路解決平面幾何圖形中的向量數(shù)量積問題，要充分利用圖形特點及其含有的特殊向量，這里的特殊向量主要

指具有特殊夾角或已知長度的向量.對于以圖形為背景的向量數(shù)量積的題目，解題時要充分把握圖形的特征.必考必會題型8：向量的夾角U6Q+3的夾角為（【典型例題】若門=II=I I的夾角為（A．30°B．60C．150°D．A．30°B．60C．150°D．120°【題型強化】1.已知向量八的夾角為60°的夾角等于（ ）A．150°B．90°C．60°D．30°Q方2.設(shè)向量，滿足『1=11=1及13:一2「a3則，的夾角為【名師點睛】求兩向量夾角的基本思路:msB=【名師點睛】求兩向量夾角的基本思路:msB=求兩非零向量的夾角e或其余弦值一般利用夾角公式ab”白求解.據(jù)題中條件分別求出""和""—『E—『E曲網(wǎng)］,COS9>0,

確定e時要注意 ，當(dāng) 時，CQS&<0"后7rCO50=0；當(dāng) 時，-；當(dāng) I時,"此外，往往將夾角的最值問題轉(zhuǎn)化為模的范圍研究，因此基本不等式是重要的工具此外，往往將夾角的最值問題轉(zhuǎn)化為模的范圍研究，因此基本不等式是重要的工具.必考必會題型9:向量的?！镜湫屠}】圖中，小正方形的邊長為1AB

則I1=CD

,【典型例題】圖中，小正方形的邊長為1AB

則I1=CD

,II=EFI1=【題型強化】1.已知三個非零平面向量%兩兩夾角相同，且3=1|'|=2,I；I=3a—64月則I23-IAB-AB-aHC=bHD-ca+04c,那么I I的大小為,…一—一 聾52.如圖所示，已知矩形ABCD中，II=4，設(shè)BtfC【名師點睛】解決與向量的模有關(guān)的問題的基本思路："一或"="是求向量的模及用向量求解圖形中線段長度的依據(jù).這種通過求自身的數(shù)量積從而求模的思想是解決向量的模的問題的主要方法.此外，根據(jù)平面圖形求向量的模時，注意利用圖形的性質(zhì)對向量的數(shù)量積或夾角等進行轉(zhuǎn)化.【課后鞏固】TOC\o"1-5"\h\z.三角形ABC所在平面內(nèi)一點P滿足PA-PB=PB-PC=PC-PA，那么點P是三角形ABC的（ ）A.重心 B.垂心 C.外心 口.內(nèi)心.點P是AABC所在平面上一點，滿足惘』P牛|PB+PC-2PA\=0，則AABC的形狀是（ ）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 ——口7邊三角形^一.著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理.設(shè)點O,H分別是△ABC的外心、垂心，且M為BC中點，則（ ）A.AB+AC=3HM+3MO B.AB+AC=3HM-3MOC.AB+AC=2HM+4MO D.AB+AC=2HM-4MO.O