第1章 直角三角形的邊角關(guān)系 北師大版數(shù)學(xué)九年級下冊單元測試卷(含答案)

第一章直角三角形的邊角關(guān)系一選擇題(共10小題,每小題3分,共30分.每小題有四個(gè)選項(xiàng),其中只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意)1.如圖,在△ABC中,∠C=90°,則BCAB=()A.sinA B.sinBC.tanA D.tanB2.(2021·浙江杭州一模)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC∶BC=1∶2,則cosA的值為()A.255 B.2 C.53.(2020·貴州黔西南州中考)如圖,某停車場入口的欄桿AB,從水平位置繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到A'B'的位置,已知AO的長為4米.若欄桿的旋轉(zhuǎn)角∠AOA'=α,則欄桿A端升高的高度為()A.4sinα米 B.4sinα米 C.4cosα(第3題圖)(第4題圖)4.(2021·浙江溫州瑞安一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,第一象限內(nèi)的點(diǎn)P在射線OA上,OP=13,cosα=513,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A.(5,13) B.(13,5) C.(12,5) D.(5,12)5.(2020·安徽黃山期中)在△ABC中,∠A,∠B,∠C所對的邊分別為a,b,c,且∠B和∠C均為銳角,若c·cosB=b·cosC,則△ABC是()A.直角三角形 B.等邊三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形6.(2020·河北遵化一模)如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=16cm,AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D,連接BD.若cos∠BDC=35,則BD的長是()A.10cm B.6cm C.8cm D.4cm(第6題圖)(第7題圖)7.(2021·江蘇無錫濱湖區(qū)一模)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿AC以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)D作DE∥AB交BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EF⊥BC交AB于點(diǎn)F.當(dāng)四邊形ADEF為菱形時(shí),點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為()A.32s B.52s C.127s8.(2020·四川綿陽游仙區(qū)模擬)如圖,在300m高的山頂上測得一塔的塔頂D與塔基C的俯角分別為30°和60°,則塔高CD為()A.2003m B.200mC.1003m D.100m(第8題圖)(第9題圖)9.定義:在等腰三角形中,底邊與腰的比值叫做頂角的正對,頂角A的正對記作sadA,即sadA=底邊腰.如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=4∠B,則cosB·sadA=()A.1 B.32 C.3210.某地下車庫出口處安裝了“兩段式欄桿”,如圖(1)所示,點(diǎn)A是欄桿轉(zhuǎn)動(dòng)的支點(diǎn),點(diǎn)E是兩段欄桿的連接點(diǎn).當(dāng)車輛經(jīng)過時(shí),欄桿AEF最多只能升起到如圖(2)所示的位置,其示意圖如圖(3)所示(欄桿寬度忽略不計(jì)),其中AB⊥BC,EF∥BC,∠AEF=143°,AB=AE=1.2m,那么適合該地下車庫的車輛限高標(biāo)志牌為(參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)()圖(1)圖(2)圖(3)ABCD二填空題(共6小題,每小題3分,共18分)11.(2021·上海模擬)一商場內(nèi)有一座自動(dòng)扶梯,小明站在自動(dòng)扶梯上,當(dāng)他沿著自動(dòng)扶梯前進(jìn)了13米時(shí),他在鉛垂方向上升高了5米,則自動(dòng)扶梯的坡度i是.

12.(2021·四川樂山模擬)如圖,已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在方格圖的格點(diǎn)上,則cosC的值為.

13.(2021·浙江紹興中考改編)如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,cosB=14,點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn),以AD為底邊在其右側(cè)作等腰三角形ADE,使AB∥DE,連接CE,則ECAD的值為(第13題圖)(第14題圖)14.(2020·遼寧葫蘆島一模)如圖,甲,乙兩艘船同時(shí)從港口A出發(fā),甲船沿北偏東45°的方向前進(jìn),乙船沿北偏東75°方向以每小時(shí)30海里的速度前進(jìn),兩船航行2小時(shí)分別到達(dá)B,C處,此時(shí)測得甲船在乙船的正西方向,則甲船每小時(shí)行駛海里.(結(jié)果精確到個(gè)位,參考數(shù)據(jù):tan15°≈0.27,sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,3≈1.73)

15.圖(1)是一個(gè)地鐵站入口的雙翼閘機(jī).如圖(2),它的雙翼展開時(shí),雙翼邊緣的端點(diǎn)A與B之間的距離為10cm,雙翼的邊緣AC=BD=54cm,且與閘機(jī)側(cè)立面夾角∠PCA=∠BDQ=27°.當(dāng)雙翼收起時(shí),可以通過閘機(jī)的物體的最大寬度約為cm.(參考數(shù)據(jù):sin27°≈0.45,cos27°≈0.89,tan27°≈0.51)

圖(1)圖(2)16.[新風(fēng)向·新定義試題]如果三角形一邊上的中線長恰好等于這條邊的長,那么稱這個(gè)三角形為“好玩三角形”.若Rt△ABC是“好玩三角形”,∠C=90°,則tanA=.

三解答題(共6小題,共52分)17.(共2小題,每小題4分,共8分)計(jì)算:(1)(2021·北京石景山區(qū)期末)sin60°·tan30°+cos60°(2)(2021·安徽合肥期末)(tan6018.(8分)如圖,射線OA放置在3×5的正方形網(wǎng)格中,現(xiàn)請你在圖中找出格點(diǎn)(即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn))B,并連接OB,AB,使△AOB為直角三角形,且(1)使tan∠AOB的值為1;(2)使tan∠AOB的值為12圖(1)圖(2)19.(8分)(2021·湖南永州中考)已知銳角三角形ABC中,∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c,邊角總滿足關(guān)系式:asinA=bsin(1)如圖(1),若a=6,∠B=45°,∠C=75°,求b的值;(2)某公園準(zhǔn)備在園內(nèi)一個(gè)銳角三角形水池ABC中建一座小型景觀橋CD[如圖(2)所示],若CD⊥AB,AC=14米,AB=10米,sin∠ACB=5314,求景觀橋CD圖(1)圖(2)20.(9分)小明在課外活動(dòng)中觀察吊車的工作過程,繪制了如圖所示的平面圖形,已知吊車吊臂的支點(diǎn)O距離地面的高OO'=1.5米,吊臂OA的長度為6米,當(dāng)?shù)醣垌敹擞葾點(diǎn)抬升至A'點(diǎn)(吊臂長度不變)時(shí),地面B處的重物(大小忽略不計(jì))被吊至B'處,并且從O點(diǎn)觀測到點(diǎn)A的仰角為45°,從O點(diǎn)觀測到點(diǎn)A'的仰角為60°.(1)求此重物在水平方向移動(dòng)的距離BC;(2)求此重物在豎直方向移動(dòng)的距離B'C.21.(9分)(2020·河南鄭州模擬)某“綜合與實(shí)踐”小組開展了測量本校旗桿高度的實(shí)踐活動(dòng).他們制訂了測量方案,并完成了實(shí)地測量.他們在該旗桿底部所在的平地上,選取兩個(gè)不同測點(diǎn),測量了該旗桿頂端的仰角以及這兩個(gè)測點(diǎn)之間的距離.為了減小測量誤差,該小組在測量仰角的度數(shù)以及兩個(gè)測點(diǎn)之間的距離時(shí),都分別測量了兩次并取它們的平均值作為測量結(jié)果,測量數(shù)據(jù)如表(尚不完整).課題測量旗桿的高度成員組長:×××組員:×××,×××測量工具測量角度的儀器,皮尺等測量示意圖說明:線段GH表示學(xué)校旗桿,測量角度的儀器的高度AC=BD=1.5m,測點(diǎn)A,B與H在同一條水平直線上,A,B之間的距離可以直接測得,且點(diǎn)G,H,A,B,C,都在同一豎直平面內(nèi),點(diǎn)C,D,E在同一條直線上,點(diǎn)E在GH上.測量數(shù)據(jù)測量項(xiàng)目第一次第二次平均值∠GCE的度數(shù)26.4°26.6°26.5°∠GDE的度數(shù)32.7°33.3°33°A,B之間的距離5.9m6.1m……任務(wù)一:兩次測量A,B之間的距離的平均值是m.

任務(wù)二:根據(jù)以上測量結(jié)果,請你幫助該“綜合與實(shí)踐”小組求出學(xué)校旗桿GH的高度.(參考數(shù)據(jù):sin26.5°≈0.45,cos26.5°≈0.89,tan26.5°≈0.50,sin33°≈0.54,cos33°≈0.84,tan33°≈0.65)22.(10分)(2021·湖北荊門中考)某海域有一小島P,在以P為圓心,半徑R為10(3+3)海里的圓形海域內(nèi)有暗礁.一海監(jiān)船自西向東航行,它在A處測得小島P位于其北偏東60°的方向上,當(dāng)海監(jiān)船行駛202海里后到達(dá)B處,此時(shí)測得小島P位于B處北偏東45°的方向上.(1)求A,P之間的距離AP.(2)若海監(jiān)船由B處繼續(xù)向東航行是否有觸礁危險(xiǎn)?請說明理由.如果有觸礁危險(xiǎn),那么海監(jiān)船由B處開始沿南偏東至多多少度的方向航行能安全通過這一海域?第一章直角三角形的邊角關(guān)系1.A2.C設(shè)AC為x,則BC=2x,由勾股定理得AB=AC2+BC2=5x,∴cosA=3.B如圖,過點(diǎn)A'作A'C⊥AB于點(diǎn)C.由題意知A'O=AO=4米,∴sinα=A'CA'O,∴A'C=4sinα(第3題圖)(第4題圖)4.D如圖,過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則OE=x,PE=y.在Rt△OPE中,∵cosα=513=OEOP,OP=13,∴OE=5,∴PE=132-52=12,5.C過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D,則cosB=BDc,cosC=CDb,∴BD=c·cosB,CD=b∵c·cosB=b·cosC,∴BD=CD,∴AD是線段BC的垂直平分線,∴b=c,即AC=AB,∴△ABC是等腰三角形.故選C.6.A∵cos∠BDC=CDBD=35,∴設(shè)DC=3xcm,BD=5xcm.∵M(jìn)N是線段AB∴AD=BD=5xcm.∵AC=16cm,∴3x+5x=16,解得x=2,∴BD=10cm.7.D設(shè)經(jīng)過ts后,四邊形ADEF是菱形,則AD=DE=t,CD=3-t,∠ABC=∠DEC.∵∠C=90°,AC=3,BC=4,∴AB=AC2+BC2=32+42=∴DCDE=ACAB,∴3-tt=38.B如圖,延長CD交過A的水平線于點(diǎn)E.∵在300m高的山頂上測得一塔的塔基C的俯角為60°,∴∠CAB=30°,AB=300m,∴BC=AB·tan30°=1003(m).易得AE=1003m,CE=AB=300m.∵在300m高的山頂上測得一塔的塔頂D的俯角為30°,∴DE=AE·tan30°=100(m),∴CD=CE-DE=200m.9.C∵在△ABC中,AB=AC,∴∠B=∠C,∵∠A+∠B+∠C=180°且∠A=4∠B,∴6∠B=180°,解得∠B=30°,∴cosB=32.如圖,過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D,設(shè)AD=a,則AB=2a,BD=3∵BC=2BD=23a,∴sad∠BAC=BCAB=23a2a=3,∴cosB·sad∠BAC=32×3（第9題圖）（第10題圖）10.A如圖,過點(diǎn)A作BC的平行線AG,過點(diǎn)E作EH⊥AG于點(diǎn)H,則∠AHE=∠EHG=∠HEF=90°.因?yàn)椤螦EF=143°,所以∠AEH=∠AEF-∠HEF=53°,所以∠EAH=37°.在Rt△EAH中,EH=AE×sin∠EAH≈1.2×0.60=0.72(m),所以AB+EH=1.2+0.72=1.92(m).故選A.11.1∶2.4設(shè)此時(shí)水平距離為x米,根據(jù)勾股定理,得x2+52=132,解得x=12(負(fù)值已舍去),故坡度i=5∶12=1∶2.4.12.31010在CB的延長線上取格點(diǎn)D,令∠ADC=90°,如圖,在Rt△ADCAC=AD2+CD2=22+62=210(第12題圖)(第13題圖)13.2如圖,設(shè)DE交AC于點(diǎn)T,過點(diǎn)E作EH⊥CD于點(diǎn)H.∵AB∥DE,∴∠DTC=∠BAC=90°.∵DT∥AB,BD=DC,∴AT=TC,∴EA=EC=ED,∴∠EDC=∠ECD.∵EH⊥CD,∴CH=DH.∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B,∴∠ECD=∠B,∴cos∠ECH=cosB=14即CHEC=14,∴ECAD=ECCD=14.11設(shè)甲船每小時(shí)行駛x海里,則AB=2x海里,過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D.由題意得,∠BAD=30°,∠C=15°,AC=60海里,∴AD=AB·cos30°=3x≈1.73x(海里),BD=AB·sin30°=x(海里),DC=BDtan15°=xtan15°≈x0.27(海里).∵AD+DC=AC,∴解得x≈11.【一題多解】設(shè)甲船每小時(shí)行駛x海里,則AB=2x海里,如圖,過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D,在AC上取點(diǎn)E,使BE=CE,根據(jù)題意知,∠BAD=30°,∠C=15°,∴∠BED=30°,∴DE=AD=AB·cos30°=3x(海里),CE=BE=AB=2x海里,∴AD+DE+CE=60海里,即3x+3x+2x=60,解得x=15(3-1)≈11.

15.58.6過點(diǎn)A作AE⊥CP于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作BF⊥DQ于點(diǎn)F,則Rt△ACE中,AE=AC·sin27°≈54×0.45=24.3(cm),同理可得,BF≈24.3cm,∵點(diǎn)A與B之間的距離為10cm，∴通過雙翼閘機(jī)的物體的最大寬度約為24.3+10+24.3=58.6(cm).16.32或233由題意得,只能是直角邊上的中線①如圖(1),BD是AC邊上的中線,BD=AC.設(shè)AD=DC=k(k>0),則BD=AC=2k.在Rt△BCD中,∠C=90°,∴BC=BD2-CD2=3k,∴tanA=②如圖(2),AD是BC邊上的中線,AD=BC.設(shè)BD=DC=m(m>0),則AD=BC=2m.在Rt△ACD中,∠C=90°,∴AC=AD2-CD2=3m,∴tan∠CAB=BCAC=2m3m=圖(1)圖(2)17.【參考答案】(1)原式=32×33+12÷1(2=12+12(3分=1.(4分)(2)原式=3-1+1-32-2×1×12(3分=32-1.(4分)18.【解題思路】根據(jù)tan∠AOB的值分別為1,12,構(gòu)造直角三角形進(jìn)而畫出△(1)如圖(1)所示.(4分)(2)如圖(2)所示.(8分)圖(1)圖(2)19.【參考答案】∵∠B=45°,∠C=75°,∴∠A=180°-45°-75°=60°.∵asinA=bsinB,∴∴b=26.(4分)(2)∵ABsin∠ACB=ACsinB,∴105314=14sinB,∴sinB=3∴tanB=CDBD=3,∴BD=3∵AC2=CD2+AD2,∴142=CD2+(10-33CD)2,∴CD=83,CD=-33(舍去∴景觀橋CD的長為83米.(8分)20.【解題思路】(1)過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D,交A'C于點(diǎn)E,則EC=DB=OO'=1.5米,ED=BC,解直角三角形AOD和A'OE得出OD與OE,從而求出BC;(2)先解直角三角形A'OE,得出A'E,然后求出B'C.(1)【參考答案】過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D,交A'C于點(diǎn)E.根據(jù)題意可知,EC=DB=OO'=1.5米,ED=BC,∠A=45°,∠A'=30°,∠A'ED=∠ADO=90°.(2分)在Rt△AOD中,∵cosA=ADOA,OA=6米,∴AD=OD=32米在Rt△A'OE中,∵sinA'=OEOA',OA'=6米,∴OE=3∴BC=ED=OD-OE=(32-3)(米),故此重物在水平方向移動(dòng)的距離BC是(32-3)米.(5分)(2)在Rt△A'OE中,A'E=OA'·cosA'=33(米).∴B'C=A'C-A'B'=A'E+CE-AB=A'E+CE-(AD+BD)=33+1.5-(