新高考數學二輪復習講練專題22 新高考新題型第19題新定義壓軸解答題歸納（9大題型）（練習）（原卷版）

專題22新高考新題型第19題新定義壓軸解答題歸納目錄01集合新定義 102函數與導數新定義 303立體幾何新定義 504三角函數新定義 805平面向量與解三角形新定義 906數列新定義 1107圓錐曲線新定義 1308概率與統(tǒng)計新定義 1609高等數學背景下新定義 1701集合新定義1．（2024·北京·高三北師大實驗中學校考階段練習）已知SKIPIF1<0元正整數集合SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，且對任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0(1)若SKIPIF1<0，寫出所有滿足條件的集合SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0恰有SKIPIF1<0個正約數，求證：SKIPIF1<0；(3)求證：對任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0.2．（2024·北京·高三北京交通大學附屬中學?？茧A段練習）設集合SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.若集合SKIPIF1<0滿足對于任意的兩個非空集合SKIPIF1<0，都有集合SKIPIF1<0的所有元素之和與集合SKIPIF1<0的元素之和不相等，則稱集合SKIPIF1<0具有性質SKIPIF1<0.(1)判斷集合SKIPIF1<0是否具有性質SKIPIF1<0，并說明理由；(2)若集合SKIPIF1<0具有性質SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0；(3)若集合SKIPIF1<0具有性質SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值.3．（2024·北京門頭溝·統(tǒng)考一模）已知集合SKIPIF1<0.若對于集合M的任意k元子集A，A中必有4個元素的和為SKIPIF1<0，則稱這樣的正整數k為“好數”，所有“好數”的最小值記作SKIPIF1<0.(1)當SKIPIF1<0，即集合SKIPIF1<0.（i）寫出M的一個子集B，且B中存在4個元素的和為SKIPIF1<0；（ii）寫出M的一個5元子集C，使得C中任意4個元素的和大于SKIPIF1<0；(2)證明：SKIPIF1<0；(3)證明：SKIPIF1<0.02函數與導數新定義4．（2024·上海黃浦·高三格致中學?？奸_學考試）對于函數SKIPIF1<0的導函數SKIPIF1<0，若在其定義域內存在實數SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，則稱SKIPIF1<0是“躍點”函數，并稱SKIPIF1<0是函數SKIPIF1<0的“SKIPIF1<0躍點”.(1)若函數SKIPIF1<0是“SKIPIF1<0躍點”函數，求實數SKIPIF1<0的取值范圍；(2)若函數SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的“1躍點”函數，且在定義域內存在兩個不同的“1躍點”，求實數SKIPIF1<0的取值范圍；(3)若函數SKIPIF1<0是“1躍點”函數，且在定義域內恰存在一個“1躍點”，求實數SKIPIF1<0的取值范圍.5．（2024·江西宜春·高三江西省豐城中學校考開學考試）俄國數學家切比雪夫（П.Л.Чебышев，1821-1894）是研究直線逼近函數理論的先驅.對定義在非空集合SKIPIF1<0上的函數SKIPIF1<0，以及函數SKIPIF1<0，切比雪夫將函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大值稱為函數SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的“偏差”.(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求函數SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的“偏差”；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求實數SKIPIF1<0，使得函數SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的“偏差”取得最小值，并求出“偏差”的最小值.6．（2024·上海楊浦·復旦附中?？寄M預測）設SKIPIF1<0是定義域為SKIPIF1<0的函數，如果對任意的SKIPIF1<0、SKIPIF1<0均成立，則稱SKIPIF1<0是“平緩函數”.(1)若SKIPIF1<0，試判斷SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是否為“平緩函數”?并說明理由;(參考公式:SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立)(2)若函數SKIPIF1<0是“平緩函數”，且SKIPIF1<0是以1為周期的周期函數，證明:對任意的SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0;(3)設SKIPIF1<0為定義在SKIPIF1<0上函數，且存在正常數SKIPIF1<0使得函數SKIPIF1<0為“平緩函數”.現(xiàn)定義數列SKIPIF1<0滿足:SKIPIF1<0，試證明:對任意的正整數SKIPIF1<0.7．（2024·上海浦東新·高三上海市建平中學?？茧A段練習）若定義域為D的函數SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0是定義域為D的嚴格增函數，則稱SKIPIF1<0是一個“T函數”.(1)分別判斷SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是否為T函數，并說明理由；(2)已知常數SKIPIF1<0，若定義在SKIPIF1<0上的函數SKIPIF1<0是T函數，判斷SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的大小關系，并證明；(3)已知T函數SKIPIF1<0的定義域為R，不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0．證明：SKIPIF1<0在R上嚴格增.03立體幾何新定義8．（2024·江蘇·高三專題練習）如圖1所示為一種魔豆吊燈，圖2為該吊燈的框架結構圖，由正六棱錐SKIPIF1<0和SKIPIF1<0構成，兩個棱錐的側棱長均相等，且棱錐底面外接圓的直徑為SKIPIF1<0，底面中心為SKIPIF1<0，通過連接線及吸盤固定在天花板上，使棱錐的底面呈水平狀態(tài)，下頂點SKIPIF1<0與天花板的距離為SKIPIF1<0，所有的連接線都用特殊的金屬條制成，設金屬條的總長為y．（1）設∠O1AO=SKIPIF1<0(rad)，將y表示成θ的函數關系式，并寫出θ的范圍；SKIPIF1<0（2）請你設計θ，當角θ正弦值的大小是多少時，金屬條總長y最小．9．（2024·遼寧沈陽·東北育才學校校考二模）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示.蜂房結構是由正六棱柱截去三個相等的三棱錐SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再分別以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為軸將SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別向上翻轉SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點重合為點SKIPIF1<0所圍成的曲頂多面體（下底面開口），如圖2所示.蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個菱形的各個頂點的曲率之和，而每一頂點的曲率規(guī)定等于SKIPIF1<0減去蜂房多面體在該點的各個面角之和（多面體的面角是多面體的面的內角，用弧度制表示）.例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是SKIPIF1<0，所以正四面體在各頂點的曲率為SKIPIF1<0.(1)求蜂房曲頂空間的彎曲度；(2)若正六棱柱底面邊長為1，側棱長為2，設SKIPIF1<0（i）用SKIPIF1<0表示蜂房（圖2右側多面體）的表面積SKIPIF1<0；（ii）當蜂房表面積最小時，求其頂點SKIPIF1<0的曲率的余弦值.10．（2024·北京·高三統(tǒng)考期末）用光線照射物體，在某個平面上得到的影子叫做物體的投影，照射光線叫做投影線，投影所在的平面叫做投影面.由平行光線形成的投影叫做平行投影，由點光源發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影.投影線垂直于投影面產生的平行投影叫做正投影，投影線不垂直于投影而產生的平行投影叫做斜投影.物體投影的形狀?大小與它相對于投影面的位置和角度有關.如圖所示，已知平行四邊形SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內的平行投影是四邊形SKIPIF1<0.圖SKIPIF1<0圖SKIPIF1<0圖SKIPIF1<0(1)若平行四邊形SKIPIF1<0平行于投影面（如圖SKIPIF1<0），求證：四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形；(2)在圖SKIPIF1<0中作出平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交線（保留作圖痕跡，不需要寫出過程）；(3)如圖SKIPIF1<0，已知四邊形SKIPIF1<0和平行四邊形SKIPIF1<0的面積分別為SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交線是直線SKIPIF1<0，且這個平行投影是正投影.設二面角SKIPIF1<0的平面角為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為銳角），猜想并寫出角SKIPIF1<0的余弦值（用SKIPIF1<0表示），再給出證明.11．（2024·山東濟南·高三統(tǒng)考期末）射影幾何學中，中心投影是指光從一點向四周散射而形成的投影，如圖，SKIPIF1<0為透視中心，平面內四個點SKIPIF1<0經過中心投影之后的投影點分別為SKIPIF1<0．對于四個有序點SKIPIF1<0，定義比值SKIPIF1<0叫做這四個有序點的交比，記作SKIPIF1<0．

(1)證明：SKIPIF1<0；(2)已知SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．04三角函數新定義12．如果對于三個數a、b、c能構成三角形的三邊，則稱這三個數為“三角形數”，對于“三角形數”a、b、c，如果函數SKIPIF1<0使得三個數SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0仍為“三角形數”，則稱SKIPIF1<0為“保三角形函數”．SKIPIF1<0對于“三角形數”SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，判斷函數SKIPIF1<0是否是“保三角形函數”，并說明理由；SKIPIF1<0對于“三角形數”SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，判斷函數SKIPIF1<0是否是“保三角形函數”，并說明理由．13．數學家發(fā)現(xiàn)：SKIPIF1<0，其中n!SKIPIF1<0利用該公式可以得到：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0證明：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0設SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0時，值域也為SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的“和諧區(qū)間”．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0是否存在“和諧區(qū)間”?若存在，求出SKIPIF1<0的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請說明理由．14．已知函數SKIPIF1<0，若存在實數m、SKIPIF1<0，使得對于定義域內的任意實數x，均有SKIPIF1<0成立，則稱函數SKIPIF1<0為“可平衡”函數；有序數對SKIPIF1<0稱為函數SKIPIF1<0的“平衡”數對．SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，求函數SKIPIF1<0的“平衡”數對；SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，判斷SKIPIF1<0是否為“可平衡”函數，并說明理由；SKIPIF1<0若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0均為函數SKIPIF1<0的“平衡”數對，求SKIPIF1<0的取值范圍．05平面向量與解三角形新定義15．古希臘數學家托勒密對凸四邊形SKIPIF1<0凸四邊形是指沒有角度大于SKIPIF1<0的四邊形SKIPIF1<0進行研究，終于有重大發(fā)現(xiàn)：任意一凸四邊形，兩組對邊的乘積之和不小于兩條對角線的乘積，當且僅當四點共圓時等號成立．且若給定凸四邊形的四條邊長，四點共圓時四邊形的面積最大．根據上述材料，解決以下問題：如圖，在凸四邊形ABCD中，SKIPIF1<0若SKIPIF1<0圖SKIPIF1<0，求線段BD長度的最大值；SKIPIF1<0若SKIPIF1<0圖SKIPIF1<0，求四邊形ABCD面積取得最大值時角A的大小，并求出四邊形ABCD面積的最大值．16．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，對任意兩個向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，作：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共線時，記以OM，ON為鄰邊的平行四邊形的面積為SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共線時，規(guī)定SKIPIF1<0SKIPIF1<0ⅠSKIPIF1<0分別根據下列已知條件求SKIPIF1<0：①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0ⅡSKIPIF1<0若向量SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0ⅢSKIPIF1<0若A，B，C是以O為圓心的單位圓上不同的點，記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0ⅰSKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0的最大值；SKIPIF1<0ⅱSKIPIF1<0寫出SKIPIF1<0的最大值．SKIPIF1<0只需寫出結果SKIPIF1<017．（2024·全國·模擬預測）定義：一個幾何體的表面積與體積之比稱為幾何體的相對表面積.（1）若一個直三棱柱高為SKIPIF1<0，底面三角形的內切圓半徑為SKIPIF1<0，相對表面積為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0；（2）如圖，一塊直三棱柱形狀的蛋糕，底面三邊長分別為3，4，5，若蛋糕的最外層包裹著薄薄的一層巧克力（厚度忽略不計），用刀垂直于底面將蛋糕切開，使之成為兩塊直棱柱狀的小蛋糕，要求兩塊小蛋糕的相對表面積相等，且包裹的巧克力面積相等，有幾種切法.06數列新定義18．（2024·上海徐匯·統(tǒng)考三模）對于數列SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0．(1)若數列SKIPIF1<0通項公式為：SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)若數列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0的充分必要條件是SKIPIF1<0；(3)已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求SKIPIF1<0的最大值．19．（2024·上海松江·高三上海市松江二中?？奸_學考試）若實數數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則稱數列SKIPIF1<0為SKIPIF1<0數列.(1)請寫出一個5項的SKIPIF1<0數列SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，且各項和大于零；(2)如果一個SKIPIF1<0數列SKIPIF1<0滿足：存在正整數SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0組成首項為1，公比為SKIPIF1<0的等比數列，求SKIPIF1<0的最小值；(3)已知SKIPIF1<0為SKIPIF1<0數列，求證：SKIPIF1<0為SKIPIF1<0數列且SKIPIF1<0為SKIPIF1<0數列”的充要條件是“SKIPIF1<0是單調數列”.20．（2024·北京豐臺·高三統(tǒng)考期末）若有窮數列SKIPIF1<0且SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0為M數列．(1)判斷下列數列是否為M數列，并說明理由；①1，2，4，3．②4，2，8，1．(2)已知M數列SKIPIF1<0中各項互不相同．令SKIPIF1<0，求證：數列SKIPIF1<0是等差數列的充分必要條件是數列SKIPIF1<0是常數列；(3)已知M數列SKIPIF1<0是SKIPIF1<0且SKIPIF1<0個連續(xù)正整數SKIPIF1<0的一個排列．若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的所有取值．21．（2024·北京石景山·高三統(tǒng)考期末）記實數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中的較大者為SKIPIF1<0，例如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，對于無窮數列SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，若對于任意的SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0，則稱數列SKIPIF1<0為“趨勢遞減數列”.(1)已知數列SKIPIF1<0的通項公式分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，判斷數列SKIPIF1<0是否為“趨勢遞減數列”，并說明理由；(2)已知首項為SKIPIF1<0公比為SKIPIF1<0的等比數列SKIPIF1<0是“趨勢遞減數列”，求SKIPIF1<0的取值范圍；(3)若數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為正實數，且SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0為“趨勢遞減數列”的充要條件為SKIPIF1<0的項中沒有SKIPIF1<0.22．（2024·北京海淀·統(tǒng)考）已知數列SKIPIF1<0是由正整數組成的無窮數列，若存在常數SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，對任意的SKIPIF1<0成立，則稱數列SKIPIF1<0具有性質SKIPIF1<0．（1）分別判斷下列數列SKIPIF1<0是否具有性質SKIPIF1<0；（直接寫出結論）①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0（2）若數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求證：“數列SKIPIF1<0具有性質SKIPIF1<0”是“數列SKIPIF1<0為常數列的充分必要條件；（3）已知數列SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．若數列SKIPIF1<0具有性質SKIPIF1<0，求數列SKIPIF1<0的通項公式．07圓錐曲線新定義23．已知點SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0上一動點，點SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0的垂直平分線交線段SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0.(1)求動點SKIPIF1<0的軌跡方程SKIPIF1<0；(2)定義：兩個離心率相等的圓錐曲線為“相似”曲線.若關于坐標軸對稱的曲線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0相似，且焦點在同一條直線上，曲線SKIPIF1<0經過點SKIPIF1<0.過曲線SKIPIF1<0上任一點SKIPIF1<0作曲線SKIPIF1<0的切線，切點分別為SKIPIF1<0，這兩條切線SKIPIF1<0分別與曲線SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0（異于點SKIPIF1<0），證明：SKIPIF1<0.24．橢圓曲線加密算法運用于區(qū)塊鏈．橢圓曲線SKIPIF1<0．SKIPIF1<0關于x軸的對稱點記為SKIPIF1<0．C在點SKIPIF1<0處的切線是指曲線SKIPIF1<0在點P處的切線．定義“SKIPIF1<0”運算滿足：①若SKIPIF1<0，且直線PQ與C有第三個交點R，則SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，且PQ為C的切線，切點為P，則SKIPIF1<0；③若SKIPIF1<0，規(guī)定SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)當SKIPIF1<0時，討論函數SKIPIF1<0零點的個數；(2)已知“SKIPIF1<0”運算滿足交換律、結合律，若SKIPIF1<0，且PQ為C的切線，切點為P，證明：SKIPIF1<0；(3)已知SKIPIF1<0，且直線PQ與C有第三個交點，求SKIPIF1<0的坐標．參考公式：SKIPIF1<025．（2024·全國·高三專題練習）閱讀材料：（一）極點與極線的代數定義；已知圓錐曲線G：SKIPIF1<0，則稱點P(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)和直線l：SKIPIF1<0是圓錐曲線G的一對極點和極線.事實上，在圓錐曲線方程中，以SKIPIF1<0替換SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0替換x(另一變量y也是如此)，即可得到點P(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)對應的極線方程.特別地，對于橢圓SKIPIF1<0，與點P(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)對應的極線方程為SKIPIF1<0；對于雙曲線SKIPIF1<0，與點P(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)對應的極線方程為SKIPIF1<0；對于拋物線SKIPIF1<0，與點P(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)對應的極線方程為SKIPIF1<0.即對于確定的圓錐曲線，每一對極點與極線是一一對應的關系.（二）極點與極線的基本性質?定理①當P在圓錐曲線G上時，其極線l是曲線G在點P處的切線；②當P在G外時，其極線l是曲線G從點P所引兩條切線的切點所確定的直線（即切點弦所在直線）；③當P在G內時，其極線l是曲線G過點P的割線兩端點處的切線交點的軌跡.結合閱讀材料回答下面的問題：(1)已知橢圓C：SKIPIF1<0經過點P(4，0)，離心率是SKIPIF1<0，求橢圓C的方程并寫出與點P對應的極線方程；(2)已知Q是直線l：SKIPIF1<0上的一個動點，過點Q向（1）中橢圓C引兩條切線，切點分別為M，N，是否存在定點T恒在直線MN上，若存在，當SKIPIF1<0時，求直線MN的方程；若不存在，請說明理由.26．（2024·上海虹口·高三統(tǒng)考階段練習）已知橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，直線l的斜率為k，在y軸上的截距為m.(1)設SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的焦距為2，l過點SKIPIF1<0，求l的方程；(2)設SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的一點，且SKIPIF1<0，l與SKIPIF1<0交于不同的兩點A、B，Q為SKIPIF1<0的上頂點，求SKIPIF1<0面積的最大值；(3)設SKIPIF1<0是l的一個法向量，M是l上一點，對于坐標平面內的定點N，定義SKIPIF1<0.用a、b、k、m表示SKIPIF1<0，并利用SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小關系，提出一個關于l與SKIPIF1<0位置關系的真命題，給出該命題的證明.08概率與統(tǒng)計新定義27．（2024·北京東城·高三統(tǒng)考期末）已知隨機變量SKIPIF1<0的取值為不大于SKIPIF1<0的非負整數值，它的分布列為：SKIPIF1<0012SKIPIF1<0nSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）滿足：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．定義由SKIPIF1<0生成的函數SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0．（I）若由SKIPIF1<0生成的函數SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（II）求證：隨機變量SKIPIF1<0的數學期望SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方差SKIPIF1<0；（SKIPIF1<0）（Ⅲ）現(xiàn)投擲一枚骰子兩次，隨機變量SKIPIF1<0表示兩次擲出的點數之和，此時由SKIPIF1<0生成的函數記為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．28．（2024·四川成都·高三成都七中?？奸_學考試）在三維空間中，立方體的坐標可用三維坐標SKIPIF1<0表示，其中SKIPIF1<0．而在n維空間中SKIPIF1<0，以單位長度為邊長的“立方體”的項點坐標可表示為n維坐標SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．現(xiàn)有如下定義：在n維空間中兩點間的曼哈頓距離為兩點SKIPIF1<0與SKIPIF1<0坐標差的絕對值之和，即為SKIPIF1<0．回答下列問題：(1)求出n維“立方體”的頂點數；(2)在n維“立方體”中任取兩個不同頂點，記隨機變量X為所取兩點間的曼哈頓距離①求出X的分布列與期望；②證明：在n足夠大時，隨機變量X的方差小于SKIPIF1<0．（已知對于正態(tài)分布SKIPIF1<0，P隨X變化關系可表示為SKIPIF1<0）09高等數學背景下新定義29．（2024·吉林長春·東北師大附中模擬預測）概率論中有很多經典的不等式，其中最著名的兩個當屬由兩位俄國數學家馬爾科夫和切比雪夫分別提出的馬爾科夫（Markov）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不等式．馬爾科夫不等式的形式如下：設SKIPIF1<0為一個非負隨機變量，其數學期望為SKIPIF1<0，則對任意SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0，馬爾科夫不等式給出了隨機變量取值不小于某正數的概率上界，闡釋了隨機變量尾部取值概率與其數學期望間的關系．當SKIPIF1<0為非負離散型隨機變量時，馬爾科夫不等式的證明如下：設SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0，則對任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中符號SKIPIF1<0表示對所有滿足SKIPIF1<0的指標SKIPIF1<0所對應的SKIPIF1<0求和．切比雪夫不等式的形式如下：設隨機變量SKIPIF1<0的期望為SKIPIF1<0，方差為SKIPIF1<0，則對任意SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0(1)根據以上參考資料，證明切比雪夫不等式對離散型隨機變量SKIPIF1<0成立．(2)某藥企研制出一種新藥，宣稱對治療某種疾病的有效率為SKIPIF1<0．現(xiàn)隨機選擇了100名患者，經過使用該藥治療后，治愈的人數為60人，請結合切比雪夫不等式通過計算說明藥廠的宣傳內容是否真實可信．30．（2024·湖北·高三黃岡中學校聯(lián)考階段練習）隨機變量的概念是俄國數學家切比雪夫在十九世紀中葉建立和提倡使用的.切比雪夫在數論?概率論?函數逼近論?積分學等方面均有所建樹，他證明了如下以他名字命名的離散型切比雪夫不等式：設SKIPIF1<0為離散型隨機變量，則SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為任意大于0的實數.切比雪夫不等式可以使人們在隨機變量SKIPIF1<0的分布未知的情況下，對事件SKIPIF1<0的概率作出估計.(1)證明離散型切比雪夫不等式；(2)應用以上結論，回答下面問題：已知正整數SKIPIF1<0.在一次抽獎游戲中，有SKIPIF1<0個不透明的箱子依次編號為SKIPIF1<0，編號為SKIPIF1<0的箱子中裝有編號為SKIPIF1<0的SKIPIF1<0個大小?質地均相同的小球.主持人邀請SKIPIF1<0位嘉賓從每個箱子中隨機抽取一個球，記從編號為SKIPIF1<0的箱子中抽取的小球號碼為SKIPIF1<0，并記SKIPIF1<0.對任意的SKIPIF1<0，是否總能保證SKIPIF1<0（假設嘉賓和箱子數能任意多）？并證明你的結論.附：可能用到的公式（數學期望的線性性質）：對于離散型隨機變量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0.31．（2024·北京西城·統(tǒng)考二模）給定奇數SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0