新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練專題11 平面向量小題全歸類（練習(xí)）（解析版）

專題11平面向量小題全歸類目錄01平面向量基本定理及其應(yīng)用 202平面向量共線的充要條件及其應(yīng)用 403平面向量的數(shù)量積 604平面向量的模與夾角 905等和線問(wèn)題 1206極化恒等式 1507矩形大法 1708平面向量范圍與最值問(wèn)題 1909等差線、等商線問(wèn)題 2610奔馳定理與向量四心 3311阿波羅尼斯圓問(wèn)題 3712平行四邊形大法 4113向量對(duì)角線定理 4301平面向量基本定理及其應(yīng)用1．（2023·江蘇南通·高三江蘇省如東高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎猄KIPIF1<0，SKIPIF1<0是兩個(gè)不共線的向量，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0是兩個(gè)不共線的向量，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C2．（2023·安徽·高三合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）古希臘數(shù)學(xué)家特埃特圖斯（Theaetetus）利用如圖所示的直角三角形來(lái)構(gòu)造無(wú)理數(shù).已知SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，由題意得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（負(fù)值舍去），所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：A.3．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，SKIPIF1<0可設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，SKIPIF1<0可設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故選：B.02平面向量共線的充要條件及其應(yīng)用4．（2023·四川成都·高一成都七中?？茧A段練習(xí)）如圖，在SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的直線分別交直線SKIPIF1<0于不同的兩點(diǎn)SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0SKIPIF1<0則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又因?yàn)镾KIPIF1<0三點(diǎn)共線，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0有最小值為SKIPIF1<0.故選:A.5．（2023·重慶北碚·高一西南大學(xué)附中?？计谀鰽BC中，D為AB上一點(diǎn)且滿足SKIPIF1<0，若P為線段CD上一點(diǎn)，且滿足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為正實(shí)數(shù)），則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】因?yàn)镻為線段CD上一點(diǎn)，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立，所以SKIPIF1<0的最小值為4.故選：B.6．（2023·浙江寧波·高二校聯(lián)考期末）在SKIPIF1<0中，點(diǎn)O滿足SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交射線AB，AC于點(diǎn)M，N，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．4【答案】A【解析】由題可知，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0三點(diǎn)共線，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立.所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：A03平面向量的數(shù)量積7．（多選題）（2021?新高考Ⅰ）已知SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【解析】法一、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正確；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0錯(cuò)誤；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正確；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0錯(cuò)誤．故選：SKIPIF1<0．法二、如圖建立平面直角坐標(biāo)系，SKIPIF1<0，作出單位圓SKIPIF1<0，并作出角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使角SKIPIF1<0的始邊與SKIPIF1<0重合，終邊交圓SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，角SKIPIF1<0的始邊為SKIPIF1<0，終邊交圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，角SKIPIF1<0的始邊為SKIPIF1<0，交圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由向量的模與數(shù)量積可知，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0正確；SKIPIF1<0、SKIPIF1<0錯(cuò)誤．故選：SKIPIF1<0．8．（2023·安徽安慶·高三安慶市第十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，P在CD上，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【答案】4【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.9．（2023·上海靜安·高三校考階段練習(xí)）已知向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影向量等于．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（負(fù)值舍去），∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影向量為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<010．（2023·上海閔行·高三?？计谥校┢矫嫔嫌幸唤M互不相等的單位向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，若存在單位向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0是向量組SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0的平衡向量．已知SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0是向量組SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的平衡向量，當(dāng)SKIPIF1<0取得最大值時(shí)，SKIPIF1<0的值為．【答案】SKIPIF1<0【解析】當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最大值，又SKIPIF1<0，如圖所示，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<004平面向量的模與夾角11．（2023?北京）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．0 D．1【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故選：SKIPIF1<0．12．（2023?甲卷）向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【解析】因?yàn)橄蛄縎KIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故選：SKIPIF1<0．13．（2023·廣東廣州·高三廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正三角形SKIPIF1<0的邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角=．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】由題意知，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.14．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量SKIPIF1<0，若實(shí)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】因?yàn)橄蛄縎KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．15．（2023·四川廣安·高三?？茧A段練習(xí)）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影數(shù)量為SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為．【答案】SKIPIF1<0【解析】∵SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影數(shù)量為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.05等和線問(wèn)題16．（2023·湖北·高一校聯(lián)考期中）給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，它們的夾角為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為圓心的圓弧SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)，若SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0 B．5 C．SKIPIF1<0 D．6【答案】A【解析】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．則SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)．故選A．17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，它們的夾角為90°，如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)，若SKIPIF1<0，其中x，y∈R，則x＋y的最大值是（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】B【解析】由題得SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝x2＋y2＋2xySKIPIF1<0＝x2＋y2，∴x2＋y2＝1，則2xy≤x2＋y2＝1.又(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，故x＋y的最大值為SKIPIF1<0.故選：B18．（2023·上海黃浦·高二格致中學(xué)?？计谥校┰赟KIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0為SKIPIF1<0所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則給出下面四個(gè)結(jié)論：①SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0；

②SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0；

④SKIPIF1<0的最大值為10.其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】如圖，以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，SKIPIF1<0所在的直線分別為SKIPIF1<0軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以①③錯(cuò)誤；SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以②正確，④錯(cuò)誤；故選：A19．（2023·吉林·統(tǒng)考一模）在直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的重心、外心、垂心、內(nèi)心分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0），當(dāng)SKIPIF1<0取最大值時(shí)，SKIPIF1<0（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，SKIPIF1<0的重心為SKIPIF1<0，如圖所示，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的外心為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，如圖所示，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的垂心為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0點(diǎn)重合，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的內(nèi)心為SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0是三角形內(nèi)角平分線交點(diǎn)，直角三角形SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的對(duì)邊分別為SKIPIF1<0，設(shè)內(nèi)切圓半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0最大，所以當(dāng)SKIPIF1<0取最大值時(shí)，SKIPIF1<0.故選：B.06極化恒等式20．（2023·山東師范大學(xué)附中模擬預(yù)測(cè)）邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓，SKIPIF1<0是內(nèi)切圓的一條弦，點(diǎn)SKIPIF1<0為正方形四條邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦SKIPIF1<0的長(zhǎng)度最大時(shí)，SKIPIF1<0的取值范圍是_________．【答案】SKIPIF1<0【解析】如下圖所示：設(shè)正方形SKIPIF1<0的內(nèi)切圓為圓SKIPIF1<0，當(dāng)弦SKIPIF1<0的長(zhǎng)度最大時(shí)，SKIPIF1<0為圓SKIPIF1<0的一條直徑，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為正方形SKIPIF1<0的某邊的中點(diǎn)時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0與正方形SKIPIF1<0的頂點(diǎn)重合時(shí)，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．21．（2023·湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖直角梯形ABCD中，EF是CD邊上長(zhǎng)為6的可移動(dòng)的線段，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為_(kāi)_______________．

【答案】SKIPIF1<0【解析】在SKIPIF1<0上取一點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如圖所示：則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值，此時(shí)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<022．（2023·陜西榆林·三模）四邊形SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是菱形SKIPIF1<0所在平面的任意一點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最小值為_(kāi)_______．【答案】SKIPIF1<0【解析】由題設(shè)，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<007矩形大法23．設(shè)向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．1【答案】B【解析】建立坐標(biāo)系，以向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的角平分線所在的直線為SKIPIF1<0軸，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐標(biāo)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0，表示以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓，則SKIPIF1<0的最小值表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值，因?yàn)閳A到原點(diǎn)的距離為SKIPIF1<0，所以圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為SKIPIF1<0，故選：B24．（2023·河北石家莊·高三階段練習(xí)）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值是．【答案】SKIPIF1<0．【解析】分析題意可知，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即點(diǎn)SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓上，∴SKIPIF1<0，故填：SKIPIF1<0．25．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為.【答案】SKIPIF1<0【解析】求出向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0可求得點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡方程，由SKIPIF1<0的幾何意義結(jié)合圓的幾何性質(zhì)可求得SKIPIF1<0的最大值.設(shè)向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，其中點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，點(diǎn)SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的幾何意義為點(diǎn)SKIPIF1<0到定點(diǎn)SKIPIF1<0的距離，如下圖所示：由圓的幾何性質(zhì)可得SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.08平面向量范圍與最值問(wèn)題26．（2022?上海）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0的最小值為．【答案】SKIPIF1<0．【解析】建立平面直角坐標(biāo)系如下，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在直線上，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．27．（2023?上海）已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為空間中三組單位向量，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為空間任意一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0最大值為．【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不妨設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．28．（多選題）（2023·安徽·高三安徽省宿松中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A，B兩點(diǎn)不重合，則（

）A．SKIPIF1<0的最大值為2B．SKIPIF1<0的最大值為2C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0最大值為SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0最大值為4【答案】AD【解析】A選項(xiàng)，由已知A，B為單位圓上任意兩點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A正確；B選項(xiàng)，設(shè)D為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0，由于A，B兩點(diǎn)不重合，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，當(dāng)P，A，B共線時(shí)，SKIPIF1<0，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，當(dāng)P，A，B共線時(shí)，若SKIPIF1<0坐標(biāo)分別為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0或SKIPIF1<0與SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0兩點(diǎn)重合，此時(shí)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0坐標(biāo)不同時(shí)為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0時(shí)，此時(shí)SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故D正確.故選：AD29．（多選題）（2023·福建南平·高一武夷山一中?？计谥校﹫A冪定理是平面幾何中的一個(gè)定理，是相交弦定理、割線定理、切割線定理的統(tǒng)一，（其中相交弦定理:圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等，例如，如果交點(diǎn)為SKIPIF1<0的兩條相交直線與圓SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0），如下圖，已知圓SKIPIF1<0的半徑為3，點(diǎn)SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0內(nèi)的定點(diǎn)，且SKIPIF1<0，弦SKIPIF1<0、SKIPIF1<0均過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．SKIPIF1<0·SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0·SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0C．當(dāng)AC⊥BD時(shí)，SKIPIF1<0·SKIPIF1<0為定值 D．AC⊥BD時(shí)，SKIPIF1<0·SKIPIF1<0的最大值為28【答案】CD【解析】如圖，設(shè)直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故A錯(cuò)誤；取SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，故B錯(cuò)誤；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故C正確；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，圓SKIPIF1<0半徑SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點(diǎn)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0為矩形，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，不等式等號(hào)成立，所以SKIPIF1<0·SKIPIF1<0的最大值為28，故D正確．故選：CD．30．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在平面四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．12 D．15【答案】C【解析】如圖，以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0軸建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可知，點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡為SKIPIF1<0外接圓的一段劣弧SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即外接圓半徑SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0外接圓的方程為SKIPIF1<0，代入點(diǎn)SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），即點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡方程為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，此時(shí)點(diǎn)SKIPIF1<0在劣弧上，滿足題意，故SKIPIF1<0的最大值為12.故選：C31．（2023·北京西城·高三北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，定點(diǎn)A的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.若當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)時(shí)，SKIPIF1<0的最大值為0，則（

）A．SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0【答案】C【解析】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，對(duì)任意SKIPIF1<0，可知當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：C.32．（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動(dòng)點(diǎn)P滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值是（

）A．6 B．SKIPIF1<0 C．5 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由SKIPIF1<0，得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以SKIPIF1<0為圓心，以1為半徑的圓，其方程為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，表示圓C上的點(diǎn)P到點(diǎn)SKIPIF1<0的距離，所以SKIPIF1<0.故選：A.33．（2023·四川宜賓·四川省宜賓市南溪第一中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不妨設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的幾何意義是圓上的點(diǎn)SKIPIF1<0到原點(diǎn)SKIPIF1<0的距離，而原點(diǎn)SKIPIF1<0也在圓SKIPIF1<0上，所以，SKIPIF1<0的最大值為圓SKIPIF1<0的直徑長(zhǎng)，故SKIPIF1<0.故選：A.09等差線、等商線問(wèn)題34．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，它們的夾角為120°，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)，若SKIPIF1<0，其中x、SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0的最大值為；SKIPIF1<0的取值范圍是.【答案】2SKIPIF1<0【解析】如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0.由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.根據(jù)SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0從而SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故答案為：2，SKIPIF1<035．（2023·山西·高一統(tǒng)考期末）已知在SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0(不含端點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)上移動(dòng)，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【答案】3【解析】如圖，由題意得存在實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0不共線，故由平面向量的分解的唯一性得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.故答案為：3.36．（2023·高一單元測(cè)試）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若延長(zhǎng)CB到點(diǎn)D，使SKIPIF1<0，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上移動(dòng)時(shí)，設(shè)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0取最大值時(shí)，SKIPIF1<0的值是.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1