新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練專題10 數(shù)列不等式的放縮問題 （練習(xí)）（解析版）

專題10數(shù)列不等式的放縮問題目錄01先求和后放縮 102裂項放縮 503等比放縮 904SKIPIF1<0型不等式的證明 1105SKIPIF1<0型不等式的證明 2006SKIPIF1<0型不等式的證明 2407SKIPIF1<0型不等式的證明 3201先求和后放縮1．（2023·山東菏澤·高三菏澤一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0______請在SKIPIF1<0是公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列；SKIPIF1<0是公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，這三個條件中任選一個補充在上面題干中，并解答下面問題.(1)求SKIPIF1<0的通項公式SKIPIF1<0(2)在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間插入SKIPIF1<0個實數(shù)，使這SKIPIF1<0個數(shù)依次組成公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0【解析】（1）若選SKIPIF1<0：當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0累加得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0滿足上式，故SKIPIF1<0.若選SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0是公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，首項為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0滿足上式，故SKIPIF1<0.若選SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0是公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，首項為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0累加得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0滿足上式，故SKIPIF1<0.（2）證明：由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.2．（2023·吉林白城·高三?？茧A段練習(xí)）已知公差不為零的等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等比數(shù)列.(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)若SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.【解析】（1）設(shè)SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0成等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）由（1）得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.3．（2023·天津·高三校聯(lián)考期中）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0是等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0(3)設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0．證明：SKIPIF1<0．【解析】（1）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，即SKIPIF1<0．（2）當(dāng)SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0也滿足，故SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.（3）當(dāng)n為奇數(shù)時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0,當(dāng)n為偶數(shù)時，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得證．4．（2023·陜西西安·高三西安市第三中學(xué)?？计谥校┰O(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)記SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0.證明：對一切正整數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【解析】（1）因為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），當(dāng)SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是首項為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式是SKIPIF1<0（2）由（1）可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.02裂項放縮5．（2023·貴州黔東南·高三天柱民族中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正項數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)設(shè)SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.【解析】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由數(shù)列為正項數(shù)列可知，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即數(shù)列SKIPIF1<0是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0成立，所以SKIPIF1<0（2）由（1）可知，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，成立，SKIPIF1<0，成立，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.綜上可知，SKIPIF1<0，得證.6．（2023·湖南常德·高三臨澧縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通項公式；(2)已知SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0；(3)求證：SKIPIF1<0.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）當(dāng)SKIPIF1<0是奇數(shù)時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0是偶數(shù)時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0①SKIPIF1<0②①-②得：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0化簡得：SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.（3）SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0也成立.故SKIPIF1<0.7．（2023·福建廈門·高三廈門一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)判斷數(shù)列SKIPIF1<0是否是等比數(shù)列？若是，給出證明；否則，請說明理由；(2)若數(shù)列SKIPIF1<0的前10項和為361，記SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.【解析】（1）數(shù)列SKIPIF1<0成等比數(shù)列，證明如下：根據(jù)SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即數(shù)列SKIPIF1<0成等比數(shù)列.（2）由（1）得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，綜上，知SKIPIF1<08．（2023·河北唐山·模擬預(yù)測）已知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是公差相等的等差數(shù)列，且公差SKIPIF1<0的首項SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．【解析】（1）由已知得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．（2）由（1）得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，得證．03等比放縮9．（2023·廣東梅州·高三梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的等差中項．(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，若數(shù)列SKIPIF1<0是遞增數(shù)列，求SKIPIF1<0的取值范圍．(3)設(shè)SKIPIF1<0，且數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的等差中項，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）由（1）得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0為遞增數(shù)列，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；①當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0為遞減數(shù)列，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時，SKIPIF1<0，由①知：數(shù)列SKIPIF1<0為遞減數(shù)列，則數(shù)列SKIPIF1<0為遞增數(shù)列，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；綜上所述：SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.（3）由（1）得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<010．（2023·全國·高三專題練習(xí)）求證：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.【解析】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即不等式SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）得證.11．（2023·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）記數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求證：數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列；(2)求證：SKIPIF1<0.【解析】（1）由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是一個首項為1，公比為2的一個等比數(shù)列；（2）由（1）可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以原式SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0.04SKIPIF1<0型不等式的證明12．（2023·河南·方城第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.(1)證明：SKIPIF1<0；(2)若正項數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.【解析】（1）證明：（1）令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，∴當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（2）（2）由（1）知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0則當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），∴當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，接下來只需證明：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，由函數(shù)SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，對稱軸為SKIPIF1<0，試證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，顯然成立，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0成立，綜上，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.13．（2023·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)證明：當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立；(2)首項為SKIPIF1<0的數(shù)列SKIPIF1<0滿足：當(dāng)SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.【解析】（1）要證SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，只需證SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，即SKIPIF1<0單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立；（2）SKIPIF1<0，由（1）知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，依此類推，可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等價于SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0（等價于SKIPIF1<0），下證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，則只要證SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0單調(diào)遞增，即SKIPIF1<0單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.14．（2023·重慶·高三校聯(lián)考期中）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項之積為SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0.(1)設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式SKIPIF1<0；(2)設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項之和為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.【解析】（1）因為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項之積為SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，化為SKIPIF1<0，變形為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列所以SKIPIF1<0．（2）由（1）可得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，需要證明SKIPIF1<0，即證明SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．15．（2023·廣東廣州·高三華南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知正數(shù)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（函數(shù)SKIPIF1<0求導(dǎo)SKIPIF1<0次可用SKIPIF1<0表示）(1)求SKIPIF1<0的通項公式.(2)求證：對任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0.【解析】（1）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）證明：當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，……SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，……所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，所以SKIPIF1<0，綜上對任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0.16．（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)當(dāng)SKIPIF1<0時，證明：SKIPIF1<0；(2)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0；（?。┣骃KIPIF1<0；（ⅱ）求證：SKIPIF1<0．【解析】（1）證明：令SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0不恒為零，所以，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（2）（i）對任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，上述兩個等式作差可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，數(shù)列SKIPIF1<0是首項為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，故SKIPIF1<0；（ii）令SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0不恒為零，所以，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時，等號成立，因為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，則有SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此時數(shù)列SKIPIF1<0從第二項開始單調(diào)遞減，所以，對任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，上述兩個等式作差可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，綜上所述，對任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.17．（2023·四川·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍；(2)證明：SKIPIF1<0.【解析】（1）由題設(shè)SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0有兩個零點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0均小于零，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，則SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可設(shè)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0，不符合題意.綜上，SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.（2）當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時取等號，令SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.18．（2023·海南·?？谑协偵饺A僑中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)若函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上只有一個零點，求SKIPIF1<0的取值范圍；(2)若SKIPIF1<0，記數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．【解析】（1）根據(jù)題意得，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為函數(shù)SKIPIF1<0的一個零點．SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時等號成立，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，且SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，故SKIPIF1<0恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時等號成立，故SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0僅有SKIPIF1<0這一個零點．當(dāng)SKIPIF1<0時，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)零點存在性定理，必存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，故當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，此時SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，可知SKIPIF1<0，故函數(shù)SKIPIF1<0還有一個在SKIPIF1<0上的零點，不合題意，舍去．綜上所述，SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0．（2）證明：依題意，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，因為SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成立，當(dāng)SKIPIF1<0時，由（1）可知，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0），綜合以上可知SKIPIF1<0.05SKIPIF1<0型不等式的證明19．（2023·黑龍江大慶·高二大慶一中?？茧A段練習(xí)）已知曲線Cn：x2﹣2nx+y2=0，（n=1，2，…）.從點P（﹣1，0）向曲線Cn引斜率為kn（kn>0）的切線ln，切點為Pn（xn，yn）.(1)求數(shù)列{xn}與{yn}的通項公式；(2)證明：SKIPIF1<0.【解析】(1)設(shè)直線ln：y=kn（x+1），聯(lián)立x2﹣2nx+y2=0，得（1+kn2）x2+（2kn2﹣2n）x+kn2=0，則△=（2kn2﹣2n）2﹣4（1+kn2）kn2=0，∴knSKIPIF1<0（負(fù)值舍去），可得xnSKIPIF1<0，yn=kn（1+xn）SKIPIF1<0；(2)證明：SKIPIF1<0，由4n2>4n2﹣1，即為SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，x1x3x5…x2n﹣1SKIPIF1<0，可得x1x3x5…x2n﹣1SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，設(shè)f（x）=xSKIPIF1<0cosx，f′（x）=1SKIPIF1<0sinx，由0SKIPIF1<0，可得sinx>0，即f′（x）>0，f（x）在（0，SKIPIF1<0]遞增，由f（0）SKIPIF1<00，f（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0cosSKIPIF1<0（cosSKIPIF1<0cosSKIPIF1<0）<0，可得xSKIPIF1<0cosx，即有SKIPIF1<0cosSKIPIF1<0，即SKIPIF1<0cosSKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.20．（2023·浙江溫州·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0及SKIPIF1<0；（2）猜想SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通項公式，并證明你的結(jié)論；（3）證明：對所有的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【解析】（1）因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）證明：猜測SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)SKIPIF1<0時，由上可得結(jié)論成立.②假設(shè)當(dāng)SKIPIF1<0時，結(jié)論成立，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，結(jié)論也成立.由①②，可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0對一切正整數(shù)都成立.（3）由（2）知，SKIPIF1<0，于是所證明的不等式即為SKIPIF1<0（?。┫茸C明：SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（ⅱ）再證明SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因為在區(qū)間SKIPIF1<0上SKIPIF1<0為增函數(shù)，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上為單調(diào)遞減函數(shù)，因此SKIPIF1<0對于一切SKIPIF1<0都成立，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0綜上所述，對所有的SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0成立.21．（2023·山東青島·高二統(tǒng)考期末）在各項為正數(shù)的數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在曲線SKIPIF1<0上；對于數(shù)列SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在過點SKIPIF1<0，且以SKIPIF1<0為方向向量的直線SKIPIF1<0上．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項公式；(2)若SKIPIF1<0，問是否存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0成立？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，請說明理由；(3)對任意正整數(shù)SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0都成立，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．【解析】（1）由題意可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以，數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，且首項為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.過點SKIPIF1<0，且以SKIPIF1<0為方向向量的直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0.（2）由已知可得SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0為正奇數(shù)時，則SKIPIF1<0為偶數(shù)，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，合乎題意；當(dāng)SKIPIF1<0為正偶數(shù)時，則SKIPIF1<0為奇數(shù)，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，合乎題意.綜上所述，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.（3）因為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，故數(shù)列SKIPIF1<0為單調(diào)遞增數(shù)列，所以數(shù)列SKIPIF1<0的最小項為SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.06SKIPIF1<0型不等式的證明22．（2023·山西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)證明：對SKIPIF1<0恒成立；(2)是否存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立？請說明理由．【解析】（1）證明：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，故SKIPIF1<0