7.5 三角形的內(nèi)角和定理 第2課時 數(shù)學北師大版八年級上冊教案1

第七章平行線的證明7.5三角形的內(nèi)角和定理第2課時教材分教材分析本節(jié)是北師大版教材八年級上冊第七章《平行線的證明》第五節(jié)的內(nèi)容.通過上一節(jié)課的學習，學生對于平行線的判定定理和性質(zhì)定理以及與平行線相關(guān)的簡單幾何證明是比較熟悉的，他們已經(jīng)具有初步的幾何意識，形成了一定的邏輯思維能力和推理能力.本節(jié)課旨在利用平行線的相關(guān)知識來證明三角形的內(nèi)角和定理以及靈活運用這個定理解決相關(guān)問題，使學生突破原有的形象思維限制，引入幾何證明中的重要方法——添加輔助線法，從而為下一節(jié)三角形外角的學習作好鋪墊，同時也為以后繼續(xù)學習幾何證明打下良好的基礎(chǔ).因此，本節(jié)課的內(nèi)容在教材編排上起著承上啟下的重要作用.教學目標教學目標掌握三角形外角的兩條性質(zhì)；進一步熟悉和掌握證明的步驟、格式、方法、技巧．經(jīng)歷探索與證明的過程，培養(yǎng)學生探索、歸納的能力，一題多解的能力、轉(zhuǎn)化知識并解決問題的能力，發(fā)展學生的推理能力.通過在數(shù)學活動中進行教學使學生能自主地“做數(shù)學”，特別是培養(yǎng)有條理的想象和探索能力，從而做到強化基礎(chǔ)，激發(fā)學習興趣.教學重難點教學重難點【教學重點】1.了解并掌握三角形的外角的定義；(重點)2．掌握三角形內(nèi)角和定理的兩個推論，利用這兩個推論進行簡單的證明和計算．(難點)【教學難點】掌握三角形內(nèi)角和定理的兩個推論，利用這兩個推論進行簡單的證明和計算．(難點)課前準備課前準備教師準備課件，學生預(yù)習課本內(nèi)容.教學過程教學過程復習回顧活動內(nèi)容：三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于1800，△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°∠A+∠B+∠C=180°的幾種變形:∠A=180°–(∠B+∠C)∠B=180°–(∠A+∠C)∠C=180°–(∠A+∠B)∠A+∠B=180°–∠C∠B+∠C=180°–∠A∠A+∠C=180°–∠B這里的結(jié)論,以后可以直接運用.在證明三角形內(nèi)角和定理時，用到了把△ABC的一邊BC延長得到∠ACD，這個角叫做什么角呢？下面我們就給這種角命名，并且來研究它的性質(zhì)．活動目的：引出三角形外角的概念，并對其進行研究，激發(fā)學生學習興趣.注意事項：教師應(yīng)在學生充分展示自己的意見之后，有意識地引導學生從三角形的外角的角度進行思考.合作交流，探究新知活動內(nèi)容：1.三角形的外角定義：三角形的一邊與另一邊的延長線所組成的角，叫做三角形的外角，結(jié)合圖形指明外角的特征有三：(1)頂點在三角形的一個頂點上.(2)一條邊是三角形的一邊.(3)另一條邊是三角形某條邊的延長線.2．兩個推論及其應(yīng)用由學生探討三角形外角的性質(zhì)：問題1：如圖，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一個外角，能由∠A、∠B求出∠ACD嗎？如果能，∠ACD與∠A、∠B有什么關(guān)系？問題2：任意一個△ABC的一個外角∠ACD與∠A、∠B的大小會有什么關(guān)系呢？

由學生歸納得出：推論1：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.推論2：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.運用新知活動內(nèi)容：1.已知，如圖，在三角形ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C．求證：AD∥BC分析：要證明AD∥BC,只需證明“同位角相等”,即需證明∠DAE=∠B.證明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）∠B=∠C（已知）BACDE∴∠B=BACDE∵AD平分∠EAC（已知）∴∠DAE=∠EAC（角平分線的定義）∴∠DAE=∠B（等量代換）∴AD∥BC（同位角相等，兩直線平行）想一想，還有沒有其他的證明方法呢？這個題還可以用“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”來證.證明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）∠B=∠C（已知）∴∠C=∠EAC（等式的性質(zhì)）∵AD平分∠EAC（已知）∴∠DAC=∠EAC（角平分線的定義）∴∠DAC=∠C（等量代換）∴AD∥BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）還可以用“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”來證.證明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）∠B=∠C（已知）∴∠C=∠EAC（等式的性質(zhì)）∵AD平分∠EAC（已知）∴∠DAC=∠EAC∴∠DAC=∠C（等量代換）∵∠B+∠BAC+∠C=180°∴∠B+∠BAC+∠DAC=180°即：∠B+∠DAB=180°∴AD∥BC（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）例2已知:如圖,P是△ABC內(nèi)一點,鏈接PB，PC.求證:∠BPC＞∠A.ABCDE1F2例3已知：如圖，在三角形ABC中，∠1是它的一個外角，E為邊AC上一點，延長BC到D，連接ABCDE1F2證明：∵∠1是△ABC的一個外角（已知）∴∠1>∠ACB（三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角）∵∠ACB是△CDE的一個外角（已知）∴∠ACB>∠2（三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角）∴∠1>∠2（不等式的性質(zhì)）四、鞏固新知1.已知：如圖所示,在△ABC中,外角∠DCA=100°,∠A=45°求：∠B和∠ACB的大小.2.如圖，求證：（1）∠BDC>∠A.（2）∠BDC=∠B+∠C+∠A.如果點D在線段BC的另一側(cè)，結(jié)論會怎樣？［分析］通過學生的探索活動，使學生進一步了解輔助線的作法及重要性，理解掌握三角形的內(nèi)角和定理及推論.證法一：（1）連接AD，并延長AD，如圖，則∠1是△ABD的一個外角，∠2是△ACD的一個外角.∴∠1>∠3∠2>∠4（三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角）∴∠1+∠2>∠3+∠4（不等式的性質(zhì)）即：∠BDC>∠BAC（2）連結(jié)AD，并延長AD，如圖.則∠1是△ABD的一個外角，∠2是△ACD的一個外角.∴∠1=∠3+∠B∠2=∠4+∠C（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C（等式的性質(zhì)）即：∠BDC=∠B+∠C+∠BAC證法二：（1）延長BD交AC于E（或延長CD交AB于E），如圖.則∠BDC是△CDE的一個外角.∴∠BDC>∠DEC.（三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角）∵∠DEC是△ABE的一個外角（已作）∴∠DEC>∠A（三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角）∴∠BDC>∠A（不等式的性質(zhì)）（2）延長BD交AC于E，則∠BDC是△DCE的一個外角.∴∠BDC=∠C+∠DEC（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）∵∠DEC是△ABE的一個外角∴∠DEC=∠A+∠B（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC（等量代換）變式1如果點D在線段BC的另一側(cè),結(jié)論會怎樣呢?變式2如圖：在△ABC中，P是∠B、∠C角平分線的交點，∠BPC與∠A有怎樣的大小關(guān)系？（兩內(nèi)角角平分線）變式3如圖：在△ABC中，P是∠B、∠C外角的角平分線的交點，∠BPC與∠A有怎樣的大小關(guān)系？（兩外角角平分線）變式4如圖：在△ABC中，P是∠B的角平分線和∠C外角的角平分線的交點，∠BPC與∠A有怎樣的大小關(guān)系？（一內(nèi)角角平分線和一外角角平分線）活動目的：讓學生接觸各種類型的幾何證明題，提高邏輯推理能力，培養(yǎng)學生的證明思路，特別是不等關(guān)系的證明題，因為學生接觸較少，因此更需要加強練習．注意事項：學生對于幾何圖形中的不等關(guān)系的證明比較陌生，因此有必要在證明第2小題中，要引導學生找到一個過渡角∠ACB，由∠1>∠ACB，∠ACB>∠2，再由不等關(guān)系的傳遞性得出∠1>∠2.3.我們知道：“在三角形的每個頂點處各取一個外角，它們的和就是這個三角形的外角和”.（1）三角形的外角和是多少度？（2）如果將三角形三條邊都向兩邊延長，并且在每條線上任取兩點連接起來，那么在原三角形外又得到三個新三角形，如圖所示，猜想：∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的和是多少？請用（1）的結(jié)論證明你的猜想.4.已知：國旗上的正五角星形如