2024-2025學(xué)年浙江省寧波市高二年級(jí)上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年浙江省寧波市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.拋物線了一一/x的準(zhǔn)線方程是（）

11

y=—

A.2B.2

11

y=-y=一

C8D.-8

5

:--

2_直線4（3"+1）”+2即—1=°和直線4：3y+3=0,貝廣3”是"4”2，，的（

）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.如圖，在平行六面體48co—4用。2中，2B=5,AD=b,點(diǎn)p在4c上,

且4尸=3尸C,則9=（）

BC

3_311-31-11-313一

—a+—b+—c-a+—b+—c—a+—b+—c

A.444B,444C.444D.

-a+-b--S

444

22

土+匕=1

4.已知片，鳥(niǎo)是橢圓0：43的兩個(gè)焦點(diǎn)，/，8是橢圓°上關(guān)于％軸對(duì)稱(chēng)的不同

的兩點(diǎn)，則M'H'用的取值范圍為（）

(2,3]

5.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體/BCD-HB'C'。'中，若點(diǎn)P是棱上一點(diǎn)，則滿(mǎn)足

丑/+「。'=2的點(diǎn)尸的個(gè)數(shù)為（）

A.10B.8C.6D.4

6.已知拋物線C：/=12x和圓〃：/+/—4x—4.v+4=0,點(diǎn)尸是拋物線C的焦點(diǎn)，圓

M上的兩點(diǎn)43滿(mǎn)足"=2同，忸。|=2|町其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸在圓”上

運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P到直線的最大距離為（）

A.2+夜B.6

C.4+夜D,2^2

7.如圖，三棱柱ABC—44G滿(mǎn)足棱長(zhǎng)都相等且“41平面ABC,D是棱℃1的中點(diǎn)，

￡是棱”4上的動(dòng)點(diǎn).設(shè)/E=x,隨著x增大，平面ADE與底面N5C所成銳二面角的平面

8.如圖，/（一°，°），片?°）分別為雙曲線r?/〃—"的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

片作直線/,使直線/與圓（X一°）2+/=/相切于點(diǎn)尸,設(shè)直線/交雙曲線r的左右兩支分別

于42兩點(diǎn)（43位于線段公尸上），若閨聞」4sH8P=2:2:1,則雙曲線r的離心率

為（）

A.5B,5c,2A/6+2A/3D.

2V6+V3

二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.

9.已知直線’的方向向量是,，兩個(gè)平面見(jiàn)夕的法向量分別是血，萬(wàn)，則下列說(shuō)法中正確的是

（）

A.若2〃成，貝M'aB.若小成=0,貝M'a

C.若應(yīng)〃萬(wàn)，則4D.若應(yīng),萬(wàn)=0,則0，廣

22

_二+匕=1

10.已知直線/"=入67°）交橢圓/b2于/,3兩點(diǎn)，F(xiàn)],且為橢圓的左、右焦

點(diǎn)，M,N為橢圓的左、右頂點(diǎn)，在橢圓上與月關(guān)于直線/的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為。，則（）

V2

A.若左=1,則橢圓的離心率為2

,,_1V3

KMAKMB=~~~

B.若3,則橢圓的離心率為3

CI"。

D.若直線8Q平行于X軸，則％=土石

11.如圖，在棱長(zhǎng)為6的正方體48co—'NC中，￡，尸，G分別為4S，8C,CC1的中點(diǎn),

點(diǎn)尸是正方形°CG°i面內(nèi)（包含邊界）動(dòng)點(diǎn)，則（）

A.℃與斯所成角為30。

B.平面MG截正方體所得截面的面積為27百

C.ZQ〃平面EPG

D.若N4PD=NFPC,則三棱錐尸-BCD的體積最大值是12G

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知直線乙片"+%+1（八2,則直線/過(guò)定點(diǎn)；若直線/與兩坐標(biāo)軸圍成

的三角形的面積為2,則這樣的直線/有條.

13.已知圓河：/+/-2x-2歹-2=0,直線尸為/上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

尸作圓M的切線04叫切點(diǎn)為4巴^PM\'\AB\

的最小值為_(kāi)__________.

14.如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體48co—4耳012中，￡為棱8c的中點(diǎn)，尸是底面/BCD

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知圓C：（）（）,（）

(1)過(guò)點(diǎn)尸作圓C的切線/,求出/的方程；

(2)設(shè)/為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，G為三角形/P。的重心，求動(dòng)點(diǎn)G的軌跡方程.

16.如圖，在梯形中，AB〃CD,AD=DC=CB=\,ZABC=600,四邊形

/C五E為矩形，平面ZCPE,平面48。。，C「=l,點(diǎn)M是線段跖的中點(diǎn).

(1)求平面MAB與平面EAD所成銳二面角8的余弦值；

(2)求出直線。到平面M48的距離

17.已知平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)“(一2,0)，8(2,0),滿(mǎn)足直線力與抬的斜率之積為W的動(dòng)點(diǎn)尸的

軌跡為曲線C,直線/與曲線°交于不同兩點(diǎn)M，N.

(1)求曲線C的軌跡方程；

1

(2)若直線//和"N的斜率之積為12,試證明直線/過(guò)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo).

18.圖1是直角梯形Z8C。，ABHCD,ZD=90\AB=2,DC=3,5=拒,

CE=2ED,以為折痕將ABCE折起，使點(diǎn)C到達(dá)G的位置，且“G=n,如圖2.

(2)在棱0G上是否存在點(diǎn)P,使得a到平面P8E的距離為2?若存在，求出二面角

0-BE-N的大小；若不存在，說(shuō)明理由.

22(3、

C:=+二=1(口〉6〉0)-\~

19.已知橢圓或b-的焦距為2,且過(guò)點(diǎn)I2).

(1)求°的方程.

(2)記片和耳分別是橢圓°的左、右焦點(diǎn).設(shè)。是橢圓°上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且縱坐標(biāo)不

為直線。片交橢圓C于點(diǎn)A(異于0),直線0鳥(niǎo)交橢圓°于點(diǎn)2(異于0).若

N8的中點(diǎn)為求三角形片鳥(niǎo)”面積的最大值.

2024-2025學(xué)年浙江省寧波市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.拋物線J=一2必的準(zhǔn)線方程是（）

【正確答案】C

【分析】由拋物線方程結(jié)合準(zhǔn)線定義計(jì)算即可得.

2_1_1

_Q2x——yp=一

【詳解】由y=可得2,，故4,且開(kāi)口向下，

1

7丫2y=-

故拋物線y一一2X的準(zhǔn)線方程是8.

故選：C.

_5

2,直線4：（3。+1卜+2即T=0和直線乙：儀-3丁+3=0,則“°是JK，，的（

）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】B

【分析】由題意先求出4,,2的充要條件，然后根據(jù)充分不必要條件的定義判斷即可.

【詳解】由題設(shè)oax(3a+l)+2ax(-3)=0.

5

a=—

解得4=0或3

J_/2(_L(中Q=*

a=-^ll

故3.3

5

Q=-

所以“3”是，"4’’2，，的充分不必要條件.

故選：B.

8

3.如圖，在平行六面體4co-4用。12中,方=萬(wàn)，AD=b,9=己，點(diǎn)P在4上,

)

-a+-b+-c-a+-b+-c

A.444B.444c444D.

-a+-b--c

444

【正確答案】A

【分析】結(jié)合幾何圖形,利用向量的線性運(yùn)算公式，即可求解.

__kk3___k

AP=AAi+A^P=AAl+-A^C

【詳解】4

3—?3—?1—?33-1

-AB+-AD+-AA.=-a+-b+-c

444'444

故選：A

4.已知片，鳥(niǎo)是橢圓°：43的兩個(gè)焦點(diǎn)，/,8是橢圓°上關(guān)于％軸對(duì)稱(chēng)的不同

的兩點(diǎn)，則1幽'照1的取值范圍為（）

ADIB.HlC,8,41D.（叫

【正確答案】D

【分析】設(shè)/（x/）'8（x，—。由橢圓性質(zhì)和已知條件得—2<x<2,由兩點(diǎn)間的距離公式

得|淚.怛閶=1（x+l）+y-—,然后化簡(jiǎn)、換元結(jié)合二次函數(shù)單調(diào)性可求

【詳解】由題意，設(shè)'（x，y），'（x，—y）,

由于4,8是橢圓C上關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的不同的兩點(diǎn)，

所以-2<x<2,又片

222

|^|.|^|=^+1）+/J（x-l）+j

=Jx2+2x+1+3——x?,jx?-2x+1+3——x2

令/=/,因?yàn)椤?<x<2,所以0W/<4,

11,

f（A=_L2-2t+16=—（t-16y

v7tv

所以1616）

由于對(duì)稱(chēng)軸為"16,所以/在口寸單調(diào)遞減,

/（0）=16,/（4）=^（4-16）2=9

所以"4）</（。4/（0）,又

即9c6,所以3<|淚.愿,4

故選:D

A

BO/F1x

B

5.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體力BCO-HB'C'D中，若點(diǎn)P是棱上一點(diǎn)，則滿(mǎn)足

0/+夕。'=2的點(diǎn)尸的個(gè)數(shù)為（）

B.8C.6D.4

【正確答案】C

【分析】首先連接輔助線，結(jié)合給定條件確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡，再判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.

【詳解】如圖，連接4C,???正方體的棱長(zhǎng)為1,,AC=5

,-,尸N+尸。=2,.??點(diǎn)P在以4°為焦點(diǎn)的橢圓繞AC旋轉(zhuǎn)得到的橢球上，

???P在正方體的棱上，，尸應(yīng)是橢球與正方體的棱的交點(diǎn)，

結(jié)合正方體的性質(zhì)可知，在棱B，C,CD',CC,AA',AB,AD上

各有一點(diǎn)滿(mǎn)足條件，故C正確.

故選：C

6.已知拋物線C：/二⑵和圓拉：丁+了2—4x-4y+4=0,點(diǎn)尸是拋物線c的焦點(diǎn)，圓

M上的兩點(diǎn)45滿(mǎn)足"=2網(wǎng)，忸。|=2|町其中O是坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)尸在圓M上

運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P到直線AB的最大距離為（）

A.2+近B.6

C.4+CD,2^2

【正確答案】A

【分析】由條件可知48滿(mǎn)足到兩定點(diǎn)。，尸距離比為常數(shù)2,設(shè)動(dòng)點(diǎn)N滿(mǎn)足

|N0|=2|N列求解動(dòng)點(diǎn)N軌跡為圓，可知48為兩圓相交弦，得直線48方程，再結(jié)合圖形

由點(diǎn)線距離公式得到圓M上動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離最大值.

【詳解】拋物線C：V=12x的焦點(diǎn)E(3,0),

圓M:(x-2)+(y-2)=4,其圓心"(2,2),半徑八=2.

設(shè)點(diǎn)N(x,y)是滿(mǎn)足陷=2網(wǎng)的任意一動(dòng)點(diǎn)，°(。,。),

則3=4[(—)2+匚

化簡(jiǎn)得爐+-12=0,即-4y+/=4.

故動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以Q(4,0)為圓心，2為半徑的圓.

由已知陷=2|第，忸。|=2|四,則圓四上的兩點(diǎn)45也在圓。上.

所以AB是圓/與圓。的公共弦，

X?+y2-41-4y+4=0

<

將圓〃與圓。的方程聯(lián)立〔廠+廣一8》+12=°,

兩式相減化簡(jiǎn)得直線的方程為“一y一2=0,

|-2|廠

d=.-=V2

由動(dòng)點(diǎn)P在圓M上運(yùn)動(dòng)，又圓心〃(2,2)到直線48的距離Vl2+12,

結(jié)合圖形可知，點(diǎn)P到直線ZB的最大距離為"+4=41+2_

故選：A.

7.如圖，三棱柱'8C—451G滿(mǎn)足棱長(zhǎng)都相等且“4工平面A8C,。是棱CG的中點(diǎn),

E是棱”4上的動(dòng)點(diǎn).設(shè)ZE=x,隨著無(wú)增大，平面2DE與底面N8C所成銳二面角的平面

B.減小C.增大D.先減小再

增大

【正確答案】D

【分析】以NC中點(diǎn)°為坐標(biāo)原點(diǎn)，°民℃分別為x,歹軸，并垂直向上作z軸建立空間直

角坐標(biāo)系.

G

15

L_l)2+

設(shè)所有棱長(zhǎng)均為2,則xe(0,2),通過(guò)空間向量來(lái)求二面角的COS。=I24,故

xe(0,—)xe(~；2)

cos6在2上單增，2上單減，即隨著x增大先變大后變小，所以8隨著x

增大先變小后變大.即可得出結(jié)果.

以NC中點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，°民℃分別為軸，并垂直向上作Z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)所有棱長(zhǎng)均為2,則*e(0,2),5(73,0,0),0(0,1,1)E(0,-l,x)DB=(V3,-l,-l)

DE=(0,-2,x-1)設(shè)平面BDE法向量〃=&人c),

a=x+1

n-DB-0也a=b+c=1)

則［萬(wàn)=01-2b+c(x-1)=0,令c=2百有C=2G,

故〃=(x+l,V3(x—1),2A/3)

又平面/8C的法向量機(jī)=(°，°，1),故平面BDE與底面ABC所成銳二面角的平面角3的余弦

m-n_35_75

COS0=

剜“7(x+l)2+3(x-l)2+12Vx2-x+4

V3

J(x—)"H,Axe(0,_),2)

V24,又xe(0,2),故cosd在2,上單增，2上單減，

即隨著x增大先變大后變小，所以?隨著x增大先變小后變大.

故選：D.

本題考查了用空間向量求二面角的余弦值，考查了解決問(wèn)題能力和計(jì)算能力，屬于中檔題目.

_x2J2_

8.如圖，下(一。"鳥(niǎo)(%°)分別為雙曲線b2"的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

片作直線/,使直線/與圓(X—c)2+「=/相切于點(diǎn)P,設(shè)直線/交雙曲線『的左右兩支分別

于/、2兩點(diǎn)（43位于線段片尸上），若閨4MBHAPbzai,則雙曲線r的離心率

2V6+2V3

cD.

2V6+V3

【正確答案】B

【分析】連接'鳥(niǎo)，眼，^.\BP\=x^\FxA\=\AB|=2x；由題意可知|典|=2a+2x,

222222

\BF,|=4x-2tz=n\PF4=(4x-2a)-x=(2tz+2x)-(3x)=(2c)-(5x)即

653

x=—a—a2=c2

5,則5,求解離心率即可.

［詳解］連接因，設(shè)|8尸|=》則|片Z|=|48|=2x,gp\PFx\=5x\PA|=3x

根據(jù)雙曲線定義可知,

\BFx\-\BF2^2a即|BF2|=|BFX|-2a=4x-2tz

IAF21-|FXA|=2a即|AF2\=2a+\FXA|=2a+2x

???直線/與圓(X-c)2+V=/相切于點(diǎn)尸

?PF21PF\

2

在Rt^PF2中|Pg『=|FXF.I-|PF^=(2c>—(5x>=4c2_25x2①

222222

在Rt\APF2中I「月『=|AF2I-|PA|=(2a+2x)-(3x)=4a-5x+Sax②

住及AS"中|2=|B^12Tp5/=(4x_2a)2一(斤=15/+4/一］6辦③

x—_6a

②③聯(lián)立得4/-5工2+8辦=15%2+4/一16辦，即5

①②聯(lián)立得4c2-25x2=4/-5x2+Sax即4c2=4a2+20x2+Sax④

6

x=-a

將5

2

C

整理得

故選：B

本題考查雙曲的離心率，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)雙曲線的定義表示出I"月?與舊￡［本題

屬于中檔題.

二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.

9.已知直線/的方向向量是兩個(gè)平面生耳的法向量分別是應(yīng)，方，則下列說(shuō)法中正確的是

()

A.若,〃成，貝"'aB,若g.玩=0,貝”'a

C,若玩〃為，則力D.若而?亢=0,則尸

【正確答案】AD

【分析】利用空間向量判斷直線、平面間的位置關(guān)系.

【詳解】若&〃陽(yáng)，則,'a,故A正確；

若。?機(jī)=0,則/〃［或/在a內(nèi)，故B錯(cuò)；

若加〃〃，則a〃尸，故c錯(cuò)；

若而工=0,則aJ?夕，故D正確.

故選：AD.

22

_'+匕=1

10.己知直線/：＞=玄（左70）交橢圓/b-于/,3兩點(diǎn)，片，耳為橢圓的左、右焦

點(diǎn)，M,N為橢圓的左、右頂點(diǎn)，在橢圓上與月關(guān)于直線/的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為。，則（）

V2

A.若左=1,則橢圓的離心率為2

,7_1V3

KMAKMB=~~~

B.若3,則橢圓的離心率為3

CJ/FQ

D.若直線3Q平行于X軸，則％=土百

【正確答案】ACD

【分析】對(duì)于A,左=1則°（°，c）,故b=c,則利用/=〃+/與離心率公式即可得解；

對(duì)于B,設(shè)4（/）0）,8（-/，—%）,接著利用十,=1/2一結(jié)合離心率公式

直接計(jì)算即可求解；對(duì)于C,根據(jù)三角形中位線即可得解；對(duì)于D,設(shè)'（/，為）,則

k*

%,根據(jù)已知條件求出。和中點(diǎn)G,再利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的理論列式求出與，為即可

得解.

【詳解】如圖，直線/與。鳥(niǎo)交于G,

對(duì)于A,若左=1,則°（°，c）,所以，=。，

c_c_1_V2

e=-

揚(yáng)+°2至2,故A正確;

所以a41

22b2（a2-

^0_2kly2=

對(duì)于B,設(shè)4a0）0）,則B（—X。，一盟）2十+N=1%

，且ab即a1

b~（a2-x；）

2b2]_

kk_%.一汽_%Q

~,一22222

所以x0+a-x0+ax0-axQ-aa3

b~a2-c2,c2,1a

——-------I____—I—e2—_>?—__

所以/?2/33,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,由題意可知°G是中位線，故〃陰°,故c正確;

球\l:y=-x

對(duì)于D,設(shè)點(diǎn)（/'%1人則直線為

"/v

因?yàn)橹本€時(shí)平行于x軸，所以點(diǎn)。㈠。,比），加的中點(diǎn)°0

2'2

%」o.c-Xo

2Xg2

%.%;1

所以由點(diǎn)G在直線/上且羥G勺=-1得f—cx0

123c、下）

xo=~cy=-ry=±-c

解得2,04即02

因此2,故D正確.

故選：ACD.

方法點(diǎn)睛：點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的計(jì)算求解步驟：

（1）設(shè)所求點(diǎn)坐標(biāo)，

（2）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出中點(diǎn)坐標(biāo)，

（3）利用中點(diǎn)坐標(biāo)在直線上和兩點(diǎn)所在直線與已知直線垂直則斜率乘積為-1這兩個(gè)條件建

立關(guān)于所求點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，利用該方程組即可求解.

（4）遇特殊直線如x=加或〉="一般直接得解.

11.如圖，在棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD-AiB￡D］中，E,F,G分別為AB,BC,CQ的中點(diǎn),

點(diǎn)尸是正方形℃G2面內(nèi)（包含邊界）動(dòng)點(diǎn)，則（）

A.01c與EE所成角為30°

B.平面MG截正方體所得截面的面積為27月

C.ZA〃平面

D.若N4PD=NFPC,則三棱錐尸的體積最大值是12G

【正確答案】BCD

【分析】A選項(xiàng)，如圖建立以/為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可判斷選項(xiàng)；做出

截面求得截面面積可判斷B；利用線線平行可得線面平行判斷C,求得尸的軌跡方程可求得

三棱錐？—的體積最大值判斷D.

【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以/民所在直線分別為x軸，了軸，z軸，建立如圖所

示的空間直角坐標(biāo)系，

->

y

則￡(3,0,0),8(6,0,0),F(6,3,0)；C(6,6,0),4(0,6,6),G(6,6,3),4(6,0,6),

,5^=(6,0,-6)函=(—6,6,0)EF=(3,3,0),EG=(3,6,3)

?,9，，

____.___.DC

cos<D、C,EF>=f竺_18_￡

對(duì)A選項(xiàng)，lD1Cl-??736+36x79+92,

則直線℃與所所成角為60°,故A錯(cuò)誤；

對(duì)B選項(xiàng)，由平面在兩平行平面上的交線互相平行，取G"的中點(diǎn)N，42的中點(diǎn)，，

"4的中點(diǎn)K,連接GN,NH,HK,KE,延長(zhǎng)NG一定與CD交于一點(diǎn)所以

E，F(xiàn)，G,N四點(diǎn)共面，同理可證E,￡K,H四點(diǎn)共面，

則過(guò)點(diǎn)瓦尸，G作正方體的截面，截面為正六邊形EFGM/K,邊長(zhǎng)為3/，

6S?=6X-X3A/2X3V2X—=27A/3

則正六邊形ENGNHK的面積為22,故B正確.

由正方體"8-20cA可得皿"吟

???F，G分別為BC,CCX的中點(diǎn),FG//g,

...FG//ADXFGu平面EFG,ADX仁平面EFG,

.??/01”平面跖6,故c正確；

如圖，40,面C〃2G,又PQu面故4DLDP,同理尸CJ_C尸,

4D\

3

cF

3DP_

ZAPD=ZFPC,:.—

又DP懣序一

根據(jù)題意可得0(°，6,0),C(6,6,0)；設(shè)尸(x,6,z),

"=2?叱=4

又CP，CP2

X2+Z7/

-----------------4

...(x—6y+z~,整理得(x—8)2+z?=16,

??.在正方形面內(nèi)(包括邊界)，尸是以。(8,6，°)為圓心，半徑「=4的圓上的點(diǎn),

令x=6,可得及1=2百,

???當(dāng)尸為圓。與線段CG的交點(diǎn)時(shí)，尸到底面4sC。的距離最大，最大距離為2道，

-xSBCDX2A/3=-x-x6x6x2V3=1273

???三棱錐尸—的體積最大值是3"32，故D正確.

故選:BCD.

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，用向量的方法研究點(diǎn)線面的位置關(guān)系及

數(shù)量計(jì)算.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.己知直線人歹=丘+無(wú)+l("eR),則直線/過(guò)定點(diǎn)；若直線/與兩坐標(biāo)軸圍成

的三角形的面積為2,則這樣的直線/有條.

【正確答案】①.LU）②.3

x+1=0

【分析】k區(qū)+"+10eR）可化為>—1="（川），令tvT=°,解出即可得空一；

計(jì)算出直線/橫縱截距后，結(jié)合面積公式計(jì)算即可得空二.

【詳解】由歹（）,^^導(dǎo)，（），

x+1=0[x=-1

<V

令2―1=°,解得U=1,所以直線/過(guò)定點(diǎn)（T，l）;

當(dāng)左二°時(shí)，y=i,此時(shí)直線/與％軸沒(méi)有交點(diǎn)，所以無(wú)力°,

_k+l

在〉=Ax+L+l（%eR）中，令》=0,得卜=k+1,令廣。，得“k,

1II4+1

一k+1卜—=2.—

依題意得2k,解得左=1或左=—3±2j2,

所以滿(mǎn)足條件的直線/有3條.

故（一1,1）；3

13.已知圓/d+r—2x-2y-2=0,直線/:2，J◎Q0,尸為/上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

尸作圓M的切線尸4尸巴切點(diǎn)為4巴則忸叫的最小值為.

【正確答案】4

【分析】由圓的方程可確定圓心和半徑；由尸W45可利用面積橋?qū)⑥D(zhuǎn)化為

，當(dāng)??最小時(shí),\PM\為圓心到直線的距離，由此可求得結(jié)果.

【詳解】由2x-2y-2=0得：（x-1）+（J-1）=4,.圓心"（1,1）,半徑

r=2

■■\PA=\PB\,\MA\=\MB\^尸”為線段Z3的垂直平分線,

.■.\PM\-\AB\=2SmpAMB=眨加=2網(wǎng).r=4M小4

...若I尸M,網(wǎng)最小,則忸M最小,

I?|2+1+2l1—

故答案為.4

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查切線長(zhǎng)最小值的求解問(wèn)題，解題關(guān)鍵是能夠?qū)⑺蟮拈L(zhǎng)度之積轉(zhuǎn)化為

四邊形面積，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為切線長(zhǎng)最小值的求解問(wèn)題.

14.如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體48co—481G3中，￡為棱BC的中點(diǎn)，尸是底面N8C。

B〔P1D[E

內(nèi)的一點(diǎn)(包含邊界)，且，則線段與尸的長(zhǎng)度的取值范圍是.

【正確答案】?"125V5'

【分析】首先利用向量垂直的坐標(biāo)表示，求得點(diǎn)尸的軌跡方程，再代入兩點(diǎn)間的距離公式，

求線段長(zhǎng)度的取值范圍.

【詳解】以。為原點(diǎn)，以D4,DC,")1所在的直線分別為x軸，了軸，z軸，建立空間直

角坐標(biāo)系，

如圖所示，則1(，'),(，，),1(，，)

設(shè)尸(xj,O)(OWxW4,OWyW4),則函=(4—x,4—y,4),

西=(-2,-4,4),又RE,所以國(guó).函=0,

即一2(4—x)—4x(4—y)+4x4=0,則x+2y—4=0.

當(dāng)x=0時(shí)，＞=2,設(shè)廠(0,2,0),所以點(diǎn)尸在底面we。內(nèi)的軌跡為一條線段正

故L」

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知圓C：()(),JiA(),().

(1)過(guò)點(diǎn)尸作圓C的切線/,求出/的方程;

(2)設(shè)/為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，G為三角形4PQ的重心，求動(dòng)點(diǎn)G的軌跡方程.

【正確答案】⑴x=5或5x+12y-37=0；

(2)

【分析】(1)分切線的斜率不存在和切線的斜率存在兩種情況求解即可；

a=3x—4

(2)設(shè)"9力),結(jié)合重心的性質(zhì)可得伍=3>+1,進(jìn)而結(jié)合/為圓c上的動(dòng)

點(diǎn)求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

由C(x-3)2+3—4)2=4,

則圓心CO4),半徑r=2,

當(dāng)切線/的斜率不存在時(shí)，直線/的方程為x=5,符合題意;

當(dāng)切線I的斜率存在時(shí)，則設(shè)切線I的方程為JT=MX—5),即去—y-5左+1=0,

|3左一4—5左+1|_25

所以VF+1,解得12,

-x-_y-5x|--—|+1=0

此時(shí)切線/的方程為12'I12),即5x+12y—37=0.

綜上所述，切線/的方程為》=5或5x+12y—37=°

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)G(xj),A(a,b)

因?yàn)槭?5』)，。(-L-2),G為三角形/尸。的重心,

。+5—1

-------二x

<3

'b+1-2fa=3x-4

所以〔3，即歷=3了+1,

由/為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，得(”3)+0-4)=4,

則但-"3)2+國(guó)+1-4戶(hù)4,整理得［-3+3—1)7；

K+3-1)2=g

即動(dòng)點(diǎn)G的軌跡方程為I3)9.

16.如圖，在梯形中，ABUCD,AD=DC=CB=l,ZABC=600,四邊形

NCFE為矩形，平面ZCPE，平面NBC。，W=1,點(diǎn)河是線段斯的中點(diǎn).

(1)求平面MAB與平面EAD所成銳二面角3的余弦值；

(2)求出直線CD到平面MAB的距離d.

2則

【正確答案】(1)19

2國(guó)

(2)19

【分析】(1)由面面垂直性質(zhì)得線面垂直，利用垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系。一師，分

別求平面MAB與平面EAD的法向量，再求解夾角即可得；

(2)由線面平行關(guān)系，將直線CD到平面M42的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)。到平面版45的距離，利

用法向量求解可得.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)樵谔菪?BCD中，CD,AD=DC=CB=l,N4BC=60°,

如圖，過(guò)C作CG//Z。交/B于G,則四邊形/GCD是平行四邊形.

可得。4=。6=。8=63=1,AB=AG+GB=DC+GB=\+\=1

在V/3c中，由余弦定理得4c2=/32+BC2—2/8/CCOS60°=3,

所以加=4=/C?+叱，得BC1ACt

又平面ACFE±平面ABCD,平面ACFEn平面ABCD=AC,BCu平面ABCD,

所以8C，平面4c廠￡；

因?yàn)樗倪呅蜰CEE為矩形，所以NC1C產(chǎn)，

又平面4CFE±平面ABCD,平面ACFEn平面ABCD=AC,CFu平面ACFE,

所以C尸，平面48C。，。8<Z平面48。。，則CF_LC5

uuuuuuu

如圖，分別以C4c瓦C廠所在直線為x/,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,

則心，。，。）,…），"仃叫，咿,?！唬?。月「六

/叼，商《百，i，°）,以=（。,。,-1）,3=「丁一5'°

設(shè)平面MAB的法向量為〃=（否，%，4）,

二——■百

n-AM=-xl+4=0

則［心益=-島+必=0,取占=2,得〃=（2,2后百），

設(shè)平面EAD的法向量為加=GM，Z2）,

m?EA=-z2=0

〈一一V31_

m-AD=-x--y=0蔡=（2,—2百,0）

則12222，取“2,得L、，人

n-m_|4-12|_2^/19

cos8=cos(7?,m

X|m-J4+12+3xV4+12.19

所以

2V19

所以平面M>18與平面E/D所成銳二面角8的余弦值為19

由DC〃4ff,DC.平面48u平面版45,

則。C//平面版45

則直線CD到平面版48的距離即為點(diǎn)0到平面的距離.

正浮;刀

，平面M48的-個(gè)法向量〃=（2,2G，G）

由（1）知,

1V3+V3_2757

J4+12+3—19

則點(diǎn)。到平面版48的距離r

2局

故直線CD到平面MAB的距離d為19.

17.已知平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)“（—2,0），3（2,0）,滿(mǎn)足直線R4與總的斜率之積為W的動(dòng)點(diǎn)尸的

軌跡為曲線°,直線/與曲線°交于不同兩點(diǎn)

（1）求曲線°的軌跡方程；

1

（2）若直線和4N的斜率之積為12,試證明直線/過(guò)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo).

V2,、

--y2=］（yw0）

【正確答案】（1）4

（2）證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)為（1°）

【分析】(1)設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)條件建立方程，再化簡(jiǎn)求解即可.

8kb-4ZJ2-4

國(guó)+/=-----7X\X2=-------

(2)聯(lián)立方程組并利用韋達(dá)定理表示出一1一4左一,“1-4左，再結(jié)合給定

條件得到匕b之間的關(guān)系，進(jìn)而求出定點(diǎn)即可.

【小問(wèn)1詳解】

一y=1

設(shè)尸(x/),(xw±2),由題意得—2—x2-x4,

22

——j2=1——y1=l(j0)

化簡(jiǎn)得到4"，所以曲線C的軌跡方程為4'

【小問(wèn)2詳解】

1

因?yàn)橹本€AM和AN的斜率之積為12,所以直線I的斜率存在,

設(shè)/:>=丘+b,M（xi，%）,%（%2，%）,

2

-/=1

4_,,（1-4^2>2—8左樂(lè)一4Z?2—4=01左w土;

[y-kx+b消V得到,

由；

_8kb_-4b2-4

則A=64k2M+4（4M+4）（l_4k2）>0,-+9一]_止,A1%2-l-4k2

k卜：,%_01+6）儂2+，）

AN

而n"%j+2x2+2XjX2+2（%[+X2）+4

EQ4b2-4）+8k2b2+b2-4b2k21

―—4-2—4+I6妨+4—1642—12,

化簡(jiǎn)整理得至］」2/+姑一〃=0,得到6=2左或6=一左，

當(dāng)6=2左時(shí)，y=kx+2k=k(x+2),直線過(guò)定點(diǎn)(-2,0)與A重合，

不合題意，

當(dāng)6=-左時(shí)，y=kx-k=k(x-T),直線過(guò)定點(diǎn)(1,0),所以直線/過(guò)定點(diǎn)(1，°).

18.圖1是直角梯形Z5C。，ABHCD,ZD=90\AB=2,DC=3,AD=^t

CE=2ED,以BE為折痕將ABCE折起，使點(diǎn)°到達(dá)G的位置，且，G=C,如圖2.

(1)求證：平面'Cg，平面48￡Q；

底

(2)在棱0G上是否存在點(diǎn)P,使得01到平面P3E的距離為2?若存在，求出二面角

P—BE—4的大小;若不存在，說(shuō)明理由.

【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析

71

(2)4

【分析】(1)根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系可證得△CREQ'BE為等邊三角形，取BE中點(diǎn)G,由等腰三

角形三線合一和勾股定理可證得GG，BE、GG'/G,由線面垂直和面面垂直的判定可

證得結(jié)論；

(2)以G為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)存在尸("Z)且Z>P="Z>G(O"'"1),

由共線向量可表示出尸點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)到面的距離的向量求法可求得2,進(jìn)而由二面角的向

量求