數(shù)學(xué)?？級狠S題華師版九年級專題04黃金分割與平行線分線段成比例的五種考法含答案及解析

專題04黃金分割與平行線分線段成比例的五種考法目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 2類型一、利用黃金分割求解 2類型二、證明黃金分割點(diǎn) 5類型三、由平行判斷成比例的線段 9類型四、由平行截線求相關(guān)線段的長 12類型五、由平行截線求相關(guān)線段的比值 15壓軸能力測評（18題） 19解題知識(shí)必備1.黃金分割如圖，若線段AB上一點(diǎn)C，把線段AB分成兩條線段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即），則稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中，，AC與AB的比叫做黃金比．（注意：對于線段AB而言，黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．）2.平行線分線段成比例定理兩條直線被三條平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例，簡稱為平行線分線段成比例定理．如圖：如果，則，，．【小結(jié)】若將所截出的小線段位置靠上的（如AB）稱為上，位置靠下的稱為下，兩條線段合成的線段稱為全，則可以形象的表示為，，．3.平行線分線段成比例定理的推論平行于三角形一邊的直線，截其它兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例．如圖：如果EF//BC，則，，．壓軸題型講練類型一、利用黃金分割求解例題：（23-24八年級下·山東青島·期末）射影中有一種拍攝手法叫黃金分割構(gòu)圖法，其原理是：如圖，將正方形的邊取中點(diǎn)，以為圓心，線段為半徑作圓，其與邊的延長線交于點(diǎn)，這樣就把正方形延伸為黃金矩形，若，則．【變式訓(xùn)練1】（2024·江蘇常州·模擬預(yù)測）20世紀(jì)70年代初，我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國大規(guī)模推廣，利用黃金分割法，所作將矩形窗框分為上下兩部分，．已知為2米，則線段的長為米．【變式訓(xùn)練2】（23-24八年級下·河南許昌·期末）如圖，已知線段，經(jīng)過點(diǎn)作，使，連接AD，在AD上截取；在AB上截取，則．【變式訓(xùn)練3】（2024·山東濰坊·模擬預(yù)測）在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設(shè)計(jì)一座高度為的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設(shè)計(jì)高度約是（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，）．類型二、證明黃金分割點(diǎn)例題：（23-24八年級下·廣西南寧·階段練習(xí)）【背景知識(shí)】寬與長的比等于的矩形稱為黃金矩形．黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感．世界上很多著名建筑，為了取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計(jì)，如希臘帕特農(nóng)神廟等．（1）經(jīng)測量帕特農(nóng)神廟的長約為30米，求它的寬度是多少米?（結(jié)果保留根號(hào)）【實(shí)驗(yàn)操作】折一個(gè)黃金矩形第一步：在矩形紙片的一端利用圖1的方法折出一個(gè)正方形，然后把紙片展平；第二步：如圖2，將正方形折成兩個(gè)相等的矩形，再將其展平；第三步：折出內(nèi)側(cè)矩形的對角線，并將折到圖3所示的處；第四步：展平紙片，按照所得的點(diǎn)D折出，得到矩形（如圖4）．

【問題思考】（2）若的長為2，請證明：矩形是黃金矩形；（3）在（2）的條件下，以圖3中的折痕為邊，構(gòu)造黃金矩形，直接寫出這個(gè)矩形的面積．【變式訓(xùn)練1】（23-24九年級上·上?！るA段練習(xí)）如圖，正方形紙片．現(xiàn)對紙片做如下操作：第一步，對折紙片，使邊與重合，得到折痕；第二步，將折疊，得到折痕；第三步，將折疊，使頂點(diǎn)落在折痕上點(diǎn)處．(1)求證：點(diǎn)恰為線段的黃金分割點(diǎn)；(2)現(xiàn)有矩形紙片，其中，如圖所示．請你借助這張紙片，設(shè)法折出一個(gè)的角．要求寫出折紙的步驟（可仿照上面的表述），并在圖中畫出各步驟的折痕位置，注明角的位置，不需要證明．【變式訓(xùn)練2】（23-24九年級上·四川自貢·階段練習(xí)）閱讀下面的材料：如圖1，在線段上找一點(diǎn)C，若，則稱點(diǎn)C為線段的黃金分割點(diǎn)，這時(shí)比值為，人們把稱為黃金分割數(shù)，長期以來，很多人都認(rèn)為黃金分割數(shù)是一個(gè)很特別的數(shù)，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生所推廣的優(yōu)選法中，就有一種0.618法應(yīng)用了黃金分割數(shù)．

我們可以這樣作圖找到已知線段的黃金分割點(diǎn)：如圖2，在中，的長為2，過點(diǎn)E作，且，連接；以F為圓心，長為半徑作弧，交于H；再以O(shè)為圓心，長為半徑作弧，交于點(diǎn)P．根據(jù)材料回答下列問題：(1)根據(jù)作圖，寫出圖中相等的線段：________；(2)求的長；(3)求證：點(diǎn)P是線段的黃金分割點(diǎn)．類型三、由平行判斷成比例的線段例題：（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，連接，點(diǎn)在邊上，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則下列式子一定正確的是（）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練1】（23-24九年級下·寧夏吳忠·階段練習(xí)）如圖，已知直線，下列結(jié)論中不成立的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練2】（23-24九年級上·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，，與相交于點(diǎn)，且，，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練3】（23-24九年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，是線段延長線上的一個(gè)點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，下列說法錯(cuò)誤的是（

）

A． B． C． D．類型四、由平行截線求相關(guān)線段的長例題：（23-24九年級上·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）如圖，已知，它們依次交直線、于點(diǎn)、、和點(diǎn)、、，如果，，，那么．【變式訓(xùn)練1】（23-24九年級上·四川達(dá)州·期末）如圖，直線被平行線所截，交點(diǎn)分別為，且，，，則．【變式訓(xùn)練2】（23-24九年級上·上海·階段練習(xí)）如圖，已知,與交于點(diǎn)，若，求和的長．【變式訓(xùn)練3】（23-24九年級上·安徽合肥·期中）如圖，．直線m、n與a、b、c分別相交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F．

(1)若，求的長；(2)若，，求的長．類型五、由平行截線求相關(guān)線段的比值例題：（2024·山東臨沂·二模）如圖，，它們依次交直線，于點(diǎn)，，和點(diǎn)，，，若，，則的值是．【變式訓(xùn)練1】（2024·云南·模擬預(yù)測）如圖，直線，相交于點(diǎn)，且，若，，，則．【變式訓(xùn)練2】（23-24八年級下·山東煙臺(tái)·期末）如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在的邊上，，，，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)N，求的值．【變式訓(xùn)練3】（23-24九年級上·全國·單元測試）如圖，是的中線．(1)若為的中點(diǎn)，射線交于點(diǎn)，求；(2)若為上的一點(diǎn)，且，射線交于點(diǎn)，求．壓軸能力測評（18題）一、單選題1．（2024·廣西·模擬預(yù)測）如圖，已知，，，，則的長為（

）A． B．7 C．8 D．2．（23-24九年級上·遼寧錦州·期末）如圖，直線，直線m，n與a，b，c分別交于點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，若，則的值是（）A． B． C． D．3．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，連接并延長交的延長線于點(diǎn)F，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．4．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）如圖，是的中線，點(diǎn)在上，交于點(diǎn)，若，則為（

）A． B． C． D．5．（2024·山東濰坊·模擬預(yù)測）如圖，樂器上的一根弦，兩個(gè)端點(diǎn)固定在樂器面板上，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，則支撐點(diǎn)之間的距離為（

）．（結(jié)果保留根號(hào)）

A． B．C． D．二、填空題6．（2024·江蘇泰州·一模）如圖，已知直線，如果

則．

7．（23-24九年級下·新疆烏魯木齊·期末）如圖中點(diǎn)DE分別在邊上，，若，則的長是．8．（2024·山西朔州·三模）如圖，在中，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F為上一點(diǎn)，與相交于點(diǎn)H．若，，，則的長為．9．（2024·江蘇宿遷·模擬預(yù)測）如圖，樂器上的一根弦，兩個(gè)端點(diǎn)、固定在樂器板面上，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，則．10．（22-23九年級下·廣東惠州·開學(xué)考試）如圖，在直角中，，，，且點(diǎn)，分別在，上，連接和交于點(diǎn)．若，，則的長為．三、解答題11．（23-24九年級上·上海·階段練習(xí)）已知：如圖，，，，，，求，的長．12．（23-24九年級上·安徽淮南·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)在正方形的對角線上，于點(diǎn)，連接并延長，交邊于點(diǎn)，交邊的延長線于點(diǎn)，若，，(1)的值為________；(2)求的值．13．（23-24九年級上·江蘇南京·期末）如圖，相交于點(diǎn)E，在一條直線上．．(1)求的值；(2)求的長．14．（2022九年級·江蘇·專題練習(xí)）如圖，在中，是邊上的中線，M是的中點(diǎn)，的延長線交于N．求證：．

15．（2023·河北石家莊·模擬預(yù)測）閱讀材料：角平分線分線段成比例定理：如圖1，在中，平分，則．下面是這個(gè)定理的部分證明過程：證明：如圖2，過點(diǎn)C作，交的延長線于點(diǎn)E．……解決問題：(1)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余過程；(2)如圖3，在中，是角平分線，，，，求的長．16．（2024八年級·全國·競賽）如圖1，在中，截線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若截線經(jīng)過的重心點(diǎn)，如圖2，利用（1）中的結(jié)論，求證：．17．（2022九年級上·浙江·專題練習(xí)）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：公元前300年前后，歐幾里得撰寫的《幾何原本》系統(tǒng)地論述了黃金分割，成為最早的有關(guān)黃金分割的論著．黃金分割（）是指把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與較大部分的比值．如圖①，在線段上找一個(gè)點(diǎn)C，C把分為和兩段，其中是較小的一段，如果，那么稱線段被C點(diǎn)黃金分割，點(diǎn)C叫做線段的黃金分割點(diǎn)，與的比值叫做黃金分割數(shù)．為簡單起見，設(shè)，則．∵，∴……任務(wù)：(1)請根據(jù)上面的部分解題過程，求黃金分割數(shù)．(2)如圖②，采用如下方法可以得到黃金分割點(diǎn)：①設(shè)是已知線段，過點(diǎn)B作且使；②連接，在上截??；③在上截??；則點(diǎn)C即為線段黃金分割點(diǎn)．你能說說其中的道理嗎？(3)已知線段，點(diǎn)C，D是線段上的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，則線段的長是．18．（23-24九年級上·江蘇無錫·階段練習(xí)）【教材呈現(xiàn)】下面是華師版教材九年級上冊52頁的部分內(nèi)容：我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩條直線與一組平行踐相交時(shí)，所截得的線段存在一定的比例關(guān)系：．這就是如下的基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所傅的對應(yīng)線段成比例，（簡稱“平行線分線段成比例“

【問題原型】如圖①，中，點(diǎn)為邊上的點(diǎn)，過點(diǎn)作交為邊于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，，，則．【結(jié)論應(yīng)用】（1）如圖②，中，點(diǎn)在的延長線上，直線交于點(diǎn)交于點(diǎn)．求證：；（2）如圖③，中，，，，若、分別是邊、的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，連接、分別交于點(diǎn)、，則周長的最小值是．

專題04黃金分割與平行線分線段成比例的五種考法目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 2類型一、利用黃金分割求解 2類型二、證明黃金分割點(diǎn) 5類型三、由平行判斷成比例的線段 9類型四、由平行截線求相關(guān)線段的長 12類型五、由平行截線求相關(guān)線段的比值 15壓軸能力測評（18題） 19解題知識(shí)必備1.黃金分割如圖，若線段AB上一點(diǎn)C，把線段AB分成兩條線段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即），則稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中，，AC與AB的比叫做黃金比．（注意：對于線段AB而言，黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．）2.平行線分線段成比例定理兩條直線被三條平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例，簡稱為平行線分線段成比例定理．如圖：如果，則，，．【小結(jié)】若將所截出的小線段位置靠上的（如AB）稱為上，位置靠下的稱為下，兩條線段合成的線段稱為全，則可以形象的表示為，，．3.平行線分線段成比例定理的推論平行于三角形一邊的直線，截其它兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例．如圖：如果EF//BC，則，，．壓軸題型講練類型一、利用黃金分割求解例題：（23-24八年級下·山東青島·期末）射影中有一種拍攝手法叫黃金分割構(gòu)圖法，其原理是：如圖，將正方形的邊取中點(diǎn)，以為圓心，線段為半徑作圓，其與邊的延長線交于點(diǎn)，這樣就把正方形延伸為黃金矩形，若，則．【答案】/【分析】本題考查了黃金分割，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，設(shè)，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，則，然后根據(jù)黃金矩形的定義可得，從而可得，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵.【詳解】解：設(shè)，∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∵四邊形是黃金矩形，∴，∴，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解，∴，故答案為：．【變式訓(xùn)練1】（2024·江蘇常州·模擬預(yù)測）20世紀(jì)70年代初，我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國大規(guī)模推廣，利用黃金分割法，所作將矩形窗框分為上下兩部分，．已知為2米，則線段的長為米．【答案】【分析】本題主要考查了黃金分割，根據(jù)黃金分割比例為進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵E為邊的黃金分割點(diǎn)，，∴米，故答案為：．【變式訓(xùn)練2】（23-24八年級下·河南許昌·期末）如圖，已知線段，經(jīng)過點(diǎn)作，使，連接AD，在AD上截取；在AB上截取，則．【答案】【分析】先求得，再根據(jù)所給作圖步驟，分別求出出和AB即可解決問題．本題主要考查了黃金分割，能根據(jù)題中所給作圖步驟，理清各線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，在中，．因?yàn)?，所以，所以，所以．故答案為：【變式?xùn)練3】（2024·山東濰坊·模擬預(yù)測）在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設(shè)計(jì)一座高度為的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設(shè)計(jì)高度約是（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，）．【答案】【分析】本題考查黃金分割及分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出分式方程解決問題．設(shè)下部高為，根據(jù)雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比列方程可解得答案．【詳解】解：設(shè)下部的高度為，則上部高度是，雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，，解得或（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，，故答案為：．類型二、證明黃金分割點(diǎn)例題：（23-24八年級下·廣西南寧·階段練習(xí)）【背景知識(shí)】寬與長的比等于的矩形稱為黃金矩形．黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感．世界上很多著名建筑，為了取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計(jì)，如希臘帕特農(nóng)神廟等．（1）經(jīng)測量帕特農(nóng)神廟的長約為30米，求它的寬度是多少米?（結(jié)果保留根號(hào)）【實(shí)驗(yàn)操作】折一個(gè)黃金矩形第一步：在矩形紙片的一端利用圖1的方法折出一個(gè)正方形，然后把紙片展平；第二步：如圖2，將正方形折成兩個(gè)相等的矩形，再將其展平；第三步：折出內(nèi)側(cè)矩形的對角線，并將折到圖3所示的處；第四步：展平紙片，按照所得的點(diǎn)D折出，得到矩形（如圖4）．

【問題思考】（2）若的長為2，請證明：矩形是黃金矩形；（3）在（2）的條件下，以圖3中的折痕為邊，構(gòu)造黃金矩形，直接寫出這個(gè)矩形的面積．【答案】（1）（米）；（2）見詳解；（3）或．【分析】（1）由題意得帕特農(nóng)神廟寬的與長的比等于，已知長為30，則可以求出寬．（2）若的長為2，由折紙的過程可知，，．求得，則，則可得，進(jìn)而可求得，即可得證．（3）分為黃金矩形的長和黃金矩形的寬，兩種情況，進(jìn)行討論求解即可．本題考查黃金分割，掌握黃金矩形的定義，是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）由題意得帕特農(nóng)神廟寬與長的比等于，∴它的寬為：（米）．（2）證明：，由題意得，，，，，，，∴矩形是黃金矩形．（3）由折疊的性質(zhì)可得，又，，∴，又，，．當(dāng)為黃金矩形的長時(shí)，則寬為，則面積為．當(dāng)為黃金矩形的寬時(shí)，則長為，則面積為．綜上，矩形的面積為：或．【變式訓(xùn)練1】（23-24九年級上·上?！るA段練習(xí)）如圖，正方形紙片．現(xiàn)對紙片做如下操作：第一步，對折紙片，使邊與重合，得到折痕；第二步，將折疊，得到折痕；第三步，將折疊，使頂點(diǎn)落在折痕上點(diǎn)處．(1)求證：點(diǎn)恰為線段的黃金分割點(diǎn)；(2)現(xiàn)有矩形紙片，其中，如圖所示．請你借助這張紙片，設(shè)法折出一個(gè)的角．要求寫出折紙的步驟（可仿照上面的表述），并在圖中畫出各步驟的折痕位置，注明角的位置，不需要證明．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查折疊作圖，黃金分割點(diǎn)的定義，勾股定理，掌握黃金分割的比值是解題的關(guān)鍵．（1）先運(yùn)用勾股定理得到，然后在和中，運(yùn)用解題計(jì)算即可證明；（2）先對折矩形，然后再折疊，使得點(diǎn)落在第一次的折痕上，即可得到角．【詳解】（1）證明：如圖，連接，設(shè)正方形的邊長為，則．在中，，則．設(shè)，則，在和中，有，即，解得，即點(diǎn)P是AD的黃金分割點(diǎn)()；（2）方法如圖所示:第一步：對折矩形紙片ABCD,使與重合，得到折痕，把紙片展平；第二步：再一次折疊紙片，使點(diǎn)落在上，落點(diǎn)為點(diǎn)，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)，得到折痕BM，同時(shí)，得到線段.則【變式訓(xùn)練2】（23-24九年級上·四川自貢·階段練習(xí)）閱讀下面的材料：如圖1，在線段上找一點(diǎn)C，若，則稱點(diǎn)C為線段的黃金分割點(diǎn)，這時(shí)比值為，人們把稱為黃金分割數(shù)，長期以來，很多人都認(rèn)為黃金分割數(shù)是一個(gè)很特別的數(shù)，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生所推廣的優(yōu)選法中，就有一種0.618法應(yīng)用了黃金分割數(shù)．

我們可以這樣作圖找到已知線段的黃金分割點(diǎn)：如圖2，在中，的長為2，過點(diǎn)E作，且，連接；以F為圓心，長為半徑作弧，交于H；再以O(shè)為圓心，長為半徑作弧，交于點(diǎn)P．根據(jù)材料回答下列問題：(1)根據(jù)作圖，寫出圖中相等的線段：________；(2)求的長；(3)求證：點(diǎn)P是線段的黃金分割點(diǎn)．【答案】(1)，(2)(3)見解析【分析】（1）由題意知，，，然后作答即可；（2）由勾股定理得，根據(jù)，計(jì)算求解即可；（3）由，可得，，，則，即，進(jìn)而結(jié)論得證．【詳解】（1）解：由題意知，，，故答案為：，；（2）解：∵，∴∵，∴，由勾股定理得，∵∴，∴．（3）證明：∵，∴，，，∴，即，∴點(diǎn)P是線段的黃金分割點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了畫線段，勾股定理，黃金分割．解題的關(guān)鍵在于對知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．類型三、由平行判斷成比例的線段例題：（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，連接，點(diǎn)在邊上，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則下列式子一定正確的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查由平行判斷成比例的線段，解題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例．．據(jù)此解答即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴．故選：A．【變式訓(xùn)練1】（23-24九年級下·寧夏吳忠·階段練習(xí)）如圖，已知直線，下列結(jié)論中不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例，熟練掌握兩直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線分線段成比例即可進(jìn)行解答．【詳解】解：，，，，選項(xiàng)A、B、C正確，不符合題意，故選：D．【變式訓(xùn)練2】（23-24九年級上·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，，與相交于點(diǎn)，且，，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．【詳解】解：A．，則，正確，故本選項(xiàng)不符合題意；B．，則，正確，故本選項(xiàng)不符合題意；C．，則，錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)符合題意；D．，則，正確，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【變式訓(xùn)練3】（23-24九年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，是線段延長線上的一個(gè)點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，下列說法錯(cuò)誤的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)得到平行線，利用平行線分線段成比例定理計(jì)算判斷即可．【詳解】∵平行四邊形，∴，∴，∴，∴，故A正確；∵平行四邊形，∴，∴，∴，故C正確；∵平行四邊形，∴，∴,故D正確；∵平行四邊形，∴，∴，∴，故B錯(cuò)誤；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．類型四、由平行截線求相關(guān)線段的長例題：（23-24九年級上·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）如圖，已知，它們依次交直線、于點(diǎn)、、和點(diǎn)、、，如果，，，那么．【答案】6【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得到結(jié)論．本題考查了平行線分線段成比例，找準(zhǔn)對應(yīng)線段是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴∵，，，∴，解得．故答案為：6．【變式訓(xùn)練1】（23-24九年級上·四川達(dá)州·期末）如圖，直線被平行線所截，交點(diǎn)分別為，且，，，則．【答案】【分析】本題考查了平行線等分線段定理，根據(jù)平行線等分線段定理可得，據(jù)此即可求解，掌握平行線等分線段定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵直線被平行線所截，∴，即，∴，故答案為：．【變式訓(xùn)練2】（23-24九年級上·上海·階段練習(xí)）如圖，已知,與交于點(diǎn)，若，求和的長．【答案】,【分析】本題主要考查了平行線等分線段定理，根據(jù)平行線等分線段定理列出比例式成為解題的關(guān)鍵．先根據(jù)線段的和差求得，根據(jù)平行線等分線段定理可得即可得，進(jìn)而得到，再根據(jù)平行線等分線段定理可得即，然后求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴，∵，∴，∴，即，解得：．【變式訓(xùn)練3】（23-24九年級上·安徽合肥·期中）如圖，．直線m、n與a、b、c分別相交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F．

(1)若，求的長；(2)若，，求的長．【答案】(1)；(2)．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，代入計(jì)算得到答案．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，，∴，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．類型五、由平行截線求相關(guān)線段的比值例題：（2024·山東臨沂·二模）如圖，，它們依次交直線，于點(diǎn)，，和點(diǎn)，，，若，，則的值是．【答案】/【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例，掌握平行線分線段所得線段對應(yīng)成比例是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線分線段成比例可得，代入即可求得答案．【詳解】解：，，故答案為：．【變式訓(xùn)練1】（2024·云南·模擬預(yù)測）如圖，直線，相交于點(diǎn)，且，若，，，則．【答案】43/【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計(jì)算即可．本題考查的是平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】，，，，，，故答案為：．【變式訓(xùn)練2】（23-24八年級下·山東煙臺(tái)·期末）如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在的邊上，，，，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)N，求的值．【答案】．【分析】本題考查了平行線分線段成比例，全等三角形的判定與性質(zhì)．先根據(jù)平行線性質(zhì)和中點(diǎn)性質(zhì)證明，再證明，從而可得答案．【詳解】解：如圖，設(shè)與的交點(diǎn)為H，∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴．【變式訓(xùn)練3】（23-24九年級上·全國·單元測試）如圖，是的中線．(1)若為的中點(diǎn)，射線交于點(diǎn)，求；(2)若為上的一點(diǎn)，且，射線交于點(diǎn)，求．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握此知識(shí)點(diǎn)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．由得出，結(jié)合是的中線得出，由得出，結(jié)合為的中點(diǎn)得出，即可得解；（2）過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．由得出結(jié)合得出，由（1）知，從而得出，進(jìn)而得出，即可得解．【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．，，，又是的中線，，．，，又為的中點(diǎn)，，，；（2）解：如圖，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．，，，，，即，由（1）知，，，．壓軸能力測評（18題）一、單選題1．（2024·廣西·模擬預(yù)測）如圖，已知，，，，則的長為（

）A． B．7 C．8 D．【答案】A【分析】本題考查平行線分線段成比例，根據(jù)平行線分線段成比例，即可求出結(jié)果．【詳解】解：∵．∴，∴，故選：A．2．（23-24九年級上·遼寧錦州·期末）如圖，直線，直線m，n與a，b，c分別交于點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，若，則的值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題考查了平行線分線段成比例定理，根據(jù)得到，由即可進(jìn)一步得到答案．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故選：C．3．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，連接并延長交的延長線于點(diǎn)F，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，先由平行四邊形的性質(zhì)得到，，根據(jù)，得出，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出，然后逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：在平行四邊形中，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，，故A、D不符合題意；∴，故C符合題意；∵，，∴，故D不符合題意．故選：C．4．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）如圖，是的中線，點(diǎn)在上，交于點(diǎn)，若，則為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了構(gòu)造平行線并利用平行線分線段成比例進(jìn)行解決問題，正確構(gòu)造平行線是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)作交于點(diǎn)，利用，得，再利用平行線分線段成比例可得，再利用比例的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，如圖，∵是的中線，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故選：B．5．（2024·山東濰坊·模擬預(yù)測）如圖，樂器上的一根弦，兩個(gè)端點(diǎn)固定在樂器面板上，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，則支撐點(diǎn)之間的距離為（

）．（結(jié)果保留根號(hào)）

A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了黃金分割的概念：把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與較大的比值，比值為．正確掌握黃金分割的概念是解題的關(guān)鍵．因?yàn)榫€段有兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，因此根據(jù)黃金分割的概念分別求出兩段較長線段的長度，最后根據(jù)即可得出結(jié)論．【詳解】點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，，，點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，，，支撐點(diǎn)之間的距離為．故選：A．二、填空題6．（2024·江蘇泰州·一模）如圖，已知直線，如果

則．

【答案】【分析】本題考查了平行線分線段成比例．熟練掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．由，可得，即，計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵，∴，即，解得，，故答案為：．7．（23-24九年級下·新疆烏魯木齊·期末）如圖中點(diǎn)DE分別在邊上，，若，則的長是．【答案】【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，由中，點(diǎn)分別在邊上，，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得，又由，即可求得答案，注意掌握各比例線段的對應(yīng)關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．【詳解】∵，∴，∵，∴，解得：，∴．故答案為：．8．（2024·山西朔州·三模）如圖，在中，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F為上一點(diǎn)，與相交于點(diǎn)H．若，，，則的長為．【答案】20【分析】延長交的延長線于點(diǎn)G．證明，得出，求出，根據(jù)平行線分線段成比例定理，得出，代入求出結(jié)果即可．【詳解】如圖，延長交的延長線于點(diǎn)G．四邊形為平行四邊形，．，．點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)，．在和中，，，．，，．，．，，即，解得．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，證明．9．（2024·江蘇宿遷·模擬預(yù)測）如圖，樂器上的一根弦，兩個(gè)端點(diǎn)、固定在樂器板面上，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，則．【答案】【分析】本題考查了黃金分割點(diǎn)的概念，熟記黃金分割的比值是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)“較長部分與全長之比等于較短部分與較長部分之比，比值為”，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】.解：支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，，，故答案為：．10．（22-23九年級下·廣東惠州·開學(xué)考試）如圖，在直角中，，，，且點(diǎn)，分別在，上，連接和交于點(diǎn)．若，，則的長為．【答案】【分析】本題考查了平行線分線段成比例、勾股定理等知識(shí)，由題目的比例關(guān)系可作對應(yīng)的平行線，根據(jù)平行線分線段成比例和勾股定理可列等式，從而得出答案，準(zhǔn)確作出平行線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作設(shè)，則，，故答案為：．三、解答題11．（23-24九年級上·上?！るA段練習(xí)）已知：如圖，，，，，，求，的長．【答案】，．【分析】本題考查平行線分線段成比例定理，根據(jù)平行線分線段成比例定理即可解決問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理．【詳解】解：∵，∴，，∵，，，，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，．12．（23-24九年級上·安徽淮南·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)在正方形的對角線上，于點(diǎn)，連接并延長，交邊于點(diǎn)，交邊的延長線于點(diǎn)，若，，(1)的值為________；(2)求的值．【答案】(1)1(2)【分析】（1）先根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求出，再證明從而得出，（2）求出長度后再通過勾股定理求出長度．【詳解】（1）∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴，∴，∴∴又∵；∴解得：故在和中∴（）∴∴故答案為：1（2）由（1）可知：∴【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理和全等三角形性質(zhì)和判斷，勾股定理，掌握這些是解本題關(guān)鍵．13．（23-24九年級上·江蘇南京·期末）如圖，相交于點(diǎn)E，在一條直線上．．(1)求的值；(2)求的長．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了平行線分線段成比例；（1）由，利用平行線分線段成比例，可得出，由，再利用平行線分線段成比例，即可求出的值；（2）由，利用平行線分線段成比例，可得出，結(jié)合，，即可求出的長．【詳解】（1）∵，，又∵，；（2）∵，，又，，．14．（2022九年級·江蘇·專題練習(xí)）如圖，在中，是邊上的中線，M是的中點(diǎn)，的延長線交于N．求證：．

【答案】見解析【分析】過D作交于N，證明，，即可證明結(jié)論．【詳解】證明：過D作交于N，如圖所示：

，，∵M(jìn)為的中點(diǎn)，，，是邊上的中線，，，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．15．（2023·河北石家莊·模擬預(yù)測）閱讀材料：角平分線分線段成比例定理：如圖1，在中，平分，則．下面是這個(gè)定理的部分證明過程：證明：如圖2，過點(diǎn)C作，交的延長線于點(diǎn)E．……解決問題：(1)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余過程；(2)如圖3，在中，是角平分線，，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，角平分線的定義，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解決問題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，由，可求證，，，可得，即可求解；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，，．∵平分，∴，∴，∴，∴．（2）解：∵是角平分線，∴．∵，，，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．故的長為．16．（2024八年級·全國·競賽）如圖1，在中，截線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交的延長線