數(shù)學(xué)?？級狠S題九年級人教版壓軸題10圓的五種考法含答案及解析

壓軸題10圓的五種考法目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 1類型一、四點(diǎn)共圓 1類型二、圓中最值問題 14類型三、定點(diǎn)定長構(gòu)造輔助圓 22類型四、定弦定角構(gòu)造輔助圓 26類型五、對角互補(bǔ)構(gòu)造輔助圓 33壓軸能力測評（10題） 40類型一、四點(diǎn)共圓一．填空題1．（2022秋?大豐區(qū)期中）如圖，中，，，．以為弦的圓分別交、于、兩點(diǎn)．點(diǎn)在邊上，且滿足．若，則的面積的最小值是．二．解答題2．（2022秋?建湖縣期中）如圖，在的內(nèi)接四邊形中，，是四邊形的一個(gè)外角．（1）若，則；（2）過點(diǎn)作于，判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系并證明；（3）若、，求的值．3．（2023秋?鄞州區(qū)期中）如圖，在△中，點(diǎn)，為，上的點(diǎn)，，，交于，△與△的外接圓相交于點(diǎn)（異于，，分別為△和△的垂心．證明：（1）平分；（2），，三點(diǎn)共線．（注：利用坐標(biāo)系、復(fù)數(shù)解題者不給分）4．（2022秋?沙坪壩區(qū)校級期中）在中，已知，作，是上一點(diǎn)，，連接、，在上截取，連接．（1）如圖1所示，若，，求的周長；（2）如圖2所示，若分別取、的中點(diǎn)、，連接、，求證：；（3）如圖3所示，，，將沿著直線翻折得到，連接，直線交于點(diǎn)，為中點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，請直接寫出的面積．5．（2022秋?鼓樓區(qū)期中）以下是“四點(diǎn)共圓”的幾個(gè)結(jié)論，你能證明并運(yùn)用它們嗎？Ⅰ．若兩個(gè)直角三角形有公共斜邊，則這兩個(gè)三角形的4個(gè)頂點(diǎn)共圓（圖1、；Ⅱ．若四邊形的一組對角互補(bǔ)，則這個(gè)四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)共圓（圖；Ⅲ．若線段同側(cè)兩點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)連線的夾角相等，則這兩點(diǎn)和線段兩端點(diǎn)共圓（圖．（1）在圖1、2中，取的中點(diǎn)，根據(jù)得，即，，，共圓；（2）在圖3中，畫經(jīng)過點(diǎn)，，（圖．假設(shè)點(diǎn)落在外，交于點(diǎn)，連接，可得，所以，得出矛盾；同理點(diǎn)也不會落在內(nèi)，即，，，共圓．結(jié)論Ⅲ同理可證．（3）利用四點(diǎn)共圓證明銳角三角形的三條高交于一點(diǎn)．已知：如圖6，銳角三角形的高，相交于點(diǎn)，射線交于點(diǎn)．求證：是的高．（補(bǔ)全以下證明框圖，并在圖上作必要標(biāo)注）（4）如圖7，點(diǎn)是外部一點(diǎn)，過作直線，，的垂線，垂足分別為，，，且點(diǎn)，，在同一條直線上．求證：點(diǎn)在的外接圓上．類型二、圓中最值問題一．填空題1．（2022秋?長沙期中）如圖，的半徑為1，，為的切線，切點(diǎn)為，，，點(diǎn)為劣弧上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，分別交，于點(diǎn)，，的最小值是．二．解答題2．（2022秋?東城區(qū)校級期中）對于平面直角坐標(biāo)系中的圖形和點(diǎn)給出如下定義；為圖形上任意一點(diǎn)，若，兩點(diǎn)間距離的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的倍，則稱點(diǎn)為圖形的“分點(diǎn)”．已知點(diǎn)，，，．（1）①在點(diǎn)，，中，線段的“分點(diǎn)”是；②點(diǎn)，若點(diǎn)為線段的“二分點(diǎn)”，求的值；（2）以點(diǎn)為圓心，為半徑畫圖，若線段上存在的“二分點(diǎn)”，直接寫出的取值范圍．3．（2022秋?江陰市期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)在軸的正半軸上，且，以點(diǎn)為圓心，1為半徑畫，與軸交于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的下方），點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的一個(gè)動點(diǎn)，從點(diǎn)開始以5度秒的速度沿圓周逆時(shí)針運(yùn)動一周，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為秒．（1）如圖1，連接，當(dāng)時(shí)，求的值；（2）如圖2，點(diǎn)在運(yùn)動過程中，連接，以為邊在左側(cè)作等邊，①當(dāng)秒時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②連接，當(dāng)最大時(shí)，求此時(shí)的值和這個(gè)最大值．類型三、定點(diǎn)定長構(gòu)造輔助圓一．填空題1．（2023秋?常州期中）如圖，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接，的最大值為．二．解答題2．（2022秋?秀洲區(qū)期中）如圖，中，，，過點(diǎn)任作一條直線，將線段沿直線翻折得線段，直線交直線于點(diǎn)．（1）小智同學(xué)通過思考推得當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，的角度是不變的，請按小智的思路幫助小智完成以下推理過程：，、、三點(diǎn)在以為圓心以為半徑的圓上．．（2）若，求的長．（3）線段最大值為；若取的中點(diǎn)，則線段的最小值為．類型四、定弦定角構(gòu)造輔助圓一．填空題1．（2023春?梁子湖區(qū)期中）如圖，矩形的邊，，為的中點(diǎn)，是矩形內(nèi)部一動點(diǎn)，且滿足，為邊上的一個(gè)動點(diǎn)，連接，，則的最小值為．二．解答題2．（2023秋?濱海縣期中）（1）【學(xué)習(xí)心得】小趙同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題，如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易．我們把這個(gè)過程稱為“化隱圓為顯圓”．①已知：如圖1，，若，求的度數(shù)．解：若以點(diǎn)為圓心，為半徑作輔助圓，是的圓心角，而是圓周角，從而可容易得到．②如圖2，點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，且，若，求的最小值．解：，，點(diǎn)在以為直徑的圓上，設(shè)圓心為點(diǎn)，則、、三點(diǎn)共線時(shí)最小，最小值為．（2）【問題解決】①如圖3，在平行四邊形中，已知，，，點(diǎn)是邊上一動點(diǎn)（點(diǎn)不與，重合），連接，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，則線段的最小值為．②如圖4，△中，，，，為上一動點(diǎn)，以為直徑的交于，求線段的最小值．（3）【問題拓展】如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，，軸上有一動點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．3．（2022秋?泗洪縣期中）已知：和外一點(diǎn)．（1）如圖甲，和是的兩條切線，、分別為切點(diǎn)，求證：．（2）尺規(guī)作圖：在圖乙中，過點(diǎn)畫的兩條切線、，、為切點(diǎn)（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）．類型五、對角互補(bǔ)構(gòu)造輔助圓1．（2021秋?越秀區(qū)校級期中）如圖1，在中，，平分，且于點(diǎn)．（1）判斷的形狀；（2）如圖2，在（1）的結(jié)論下，若，，，求的長；（3）如圖3，在（1）的結(jié)論下，若將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，作交于點(diǎn)．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．2．（2021秋?西城區(qū)校級期中）如圖，為等邊三角形，點(diǎn)是線段上一動點(diǎn)（點(diǎn)不與，重合），連接，過點(diǎn)作直線的垂線段，垂足為點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．（1）求證：；（2）延長交于點(diǎn)，求證：為的中點(diǎn)；（3）若的邊長為1，直接寫出的最大值．3．（2023秋?東城區(qū)校級期中）如圖1，在中，，，直線是過點(diǎn)的直線于點(diǎn)，連接．（1）觀察猜想張老師在課堂上提出問題：線段，，之間有什么數(shù)量關(guān)系．經(jīng)過觀察思考，小明出一種思路：如圖1，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，進(jìn)而得出：．（2）探究證明將直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置寫出此時(shí)線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明（3）拓展延伸在直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)面積取得最大值時(shí)，若長為1，請直接寫的長．1．（2023秋?旌陽區(qū)校級期中）如圖，在中，直徑，于點(diǎn)，．點(diǎn)是弧上動點(diǎn)，且與點(diǎn)、不重合，是直徑上的動點(diǎn)，設(shè)，則的取值范圍是A． B． C． D．二．解答題2．（2023秋?義烏市期中）如圖1，在中，，，，是的中點(diǎn)．經(jīng)過，，的交于點(diǎn)．（1）求的長．（2）當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)勻速運(yùn)動到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)恰好從點(diǎn)勻速運(yùn)動點(diǎn)．記，．①求關(guān)于的表達(dá)式．②連結(jié)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的值．（3）如圖2，連結(jié)，，延長交于點(diǎn)，連結(jié)．當(dāng)與中的某一邊相等時(shí)，求四邊形的面積．

壓軸題10圓的五種考法目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 1類型一、四點(diǎn)共圓 1類型二、圓中最值問題 14類型三、定點(diǎn)定長構(gòu)造輔助圓 22類型四、定弦定角構(gòu)造輔助圓 26類型五、對角互補(bǔ)構(gòu)造輔助圓 33壓軸能力測評（10題） 40類型一、四點(diǎn)共圓一．填空題1．（2022秋?大豐區(qū)期中）如圖，中，，，．以為弦的圓分別交、于、兩點(diǎn)．點(diǎn)在邊上，且滿足．若，則的面積的最小值是．【分析】連接，利用四點(diǎn)共圓和同弧所對的圓周角相等證明，從而得到△，當(dāng)最小時(shí)，的面積就最小，作的外接圓，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接、，，當(dāng)最小時(shí)，就最小，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)，在中，，求出，可得的最小值為，再求，即的面積的最小值為．【解答】解：連接，，，，，，，、、、四點(diǎn)共圓，，，，，，，，△，，，，，邊上的高，當(dāng)最小時(shí)，的面積就最小，作的外接圓，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接、，，，，是等腰直角三角形，，是等腰直角三角形，，，，當(dāng)最小時(shí)，就最小，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)，，在中，，解得或，，，的最小值為，，的面積的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握圓心角與圓周角的關(guān)系，四點(diǎn)共圓的性質(zhì)，三角形外接圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二．解答題2．（2022秋?建湖縣期中）如圖，在的內(nèi)接四邊形中，，是四邊形的一個(gè)外角．（1）若，則；（2）過點(diǎn)作于，判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系并證明；（3）若、，求的值．【分析】（1）根據(jù)四邊形外接圓的性質(zhì)，同弧所對的圓周角相等，可得；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，可證明，，則；（3）在中，，在中，，再求解即可．【解答】解：（1）四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，，是四邊形的一個(gè)外角，，，，弧所對的圓周角分別為、，，，，故答案為：75；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，，，，，又，，，，，即；（3）在中，，在中，，，，，，，．【點(diǎn)評】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握同弧所對的圓周角相等，四點(diǎn)共圓的性質(zhì)，直角三角形勾股定理，三角形全等的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋?鄞州區(qū)期中）如圖，在△中，點(diǎn)，為，上的點(diǎn)，，，交于，△與△的外接圓相交于點(diǎn)（異于，，分別為△和△的垂心．證明：（1）平分；（2），，三點(diǎn)共線．（注：利用坐標(biāo)系、復(fù)數(shù)解題者不給分）【分析】（1）通過證明△△得出，然后由推導(dǎo)出，再由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)得出，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)題意構(gòu)造、、、四點(diǎn)共，以及、、、四點(diǎn)共，然后由相似三角形推導(dǎo)出點(diǎn)、對于和等冪，再由根軸的性質(zhì)得出是的垂直平分線，最后根據(jù)得到，進(jìn)而證得三點(diǎn)共線．【解答】（1）證明：在△和△中，，，，△△．，，為△的外接圓半徑）．．又，，平分．（2）證明：連接、并延長分別交于、，連接、并延長交于、．中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，，、、、四點(diǎn)共．，，、、、四點(diǎn)共．，△，△△，，．同理得．點(diǎn)、對于和等冪，，在和的根軸上．和的根軸是過兩圓的交點(diǎn)的直線．，在和的公共弦上．又，即和是等圓，四邊形為菱形．是的垂直平分線，為中點(diǎn)．由（1）知△△，、分別為△和△的對應(yīng)邊上的中線，，點(diǎn)在的垂直平分線上．，，三點(diǎn)共線．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，圓冪定理，菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等．本題輔助線繁多，綜合性強(qiáng)，通過四點(diǎn)共圓判斷出、兩點(diǎn)對于和等冪是解答本題的關(guān)鍵．4．（2022秋?沙坪壩區(qū)校級期中）在中，已知，作，是上一點(diǎn)，，連接、，在上截取，連接．（1）如圖1所示，若，，求的周長；（2）如圖2所示，若分別取、的中點(diǎn)、，連接、，求證：；（3）如圖3所示，，，將沿著直線翻折得到，連接，直線交于點(diǎn)，為中點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，請直接寫出的面積．【分析】（1）過點(diǎn)作于，則，由，可得，設(shè)，則，由勾股定理可得，，可得，，利用勾股定理可得，進(jìn)而可得，即可求得答案；（2）延長至，使，在上截取，連接，，設(shè)，則，可證得是等邊三角形，得出：，，再證得，可得，利用三角形中位線定理可得，再由直角三角形性質(zhì)可得，即可證得結(jié)論；（3）連接，先證得點(diǎn)在的外接圓上，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為半徑經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最小值，連接，過點(diǎn)作于，利用解直角三角形可得，，，，，，由勾股定理可得，，再利用，即可求得答案．【解答】（1）解：過點(diǎn)作于，則，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，，，，，，，，，，，在中，，，，，，的周長；（2）證明：延長至，使，在上截取，連接，，設(shè)，則，，，，，，，，，是等邊三角形，，，，，，，在和中，，，，，，、分別是、的中點(diǎn)，，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，，；（3）解：如圖，連接，由翻折得：，，，，，，，，，，，點(diǎn)在的外接圓上，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為半徑經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最小值，如圖，連接，過點(diǎn)作于，，，，，，，，，，在中，，，，，．【點(diǎn)評】本題是幾何綜合題，考查了等腰三角形性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓內(nèi)接四邊形的判定，三角形面積等，涉及知識點(diǎn)多，難度大，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵與難點(diǎn)．5．（2022秋?鼓樓區(qū)期中）以下是“四點(diǎn)共圓”的幾個(gè)結(jié)論，你能證明并運(yùn)用它們嗎？Ⅰ．若兩個(gè)直角三角形有公共斜邊，則這兩個(gè)三角形的4個(gè)頂點(diǎn)共圓（圖1、；Ⅱ．若四邊形的一組對角互補(bǔ)，則這個(gè)四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)共圓（圖；Ⅲ．若線段同側(cè)兩點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)連線的夾角相等，則這兩點(diǎn)和線段兩端點(diǎn)共圓（圖．（1）在圖1、2中，取的中點(diǎn)，根據(jù)得，即，，，共圓；（2）在圖3中，畫經(jīng)過點(diǎn)，，（圖．假設(shè)點(diǎn)落在外，交于點(diǎn)，連接，可得，所以，得出矛盾；同理點(diǎn)也不會落在內(nèi)，即，，，共圓．結(jié)論Ⅲ同理可證．（3）利用四點(diǎn)共圓證明銳角三角形的三條高交于一點(diǎn)．已知：如圖6，銳角三角形的高，相交于點(diǎn)，射線交于點(diǎn)．求證：是的高．（補(bǔ)全以下證明框圖，并在圖上作必要標(biāo)注）（4）如圖7，點(diǎn)是外部一點(diǎn)，過作直線，，的垂線，垂足分別為，，，且點(diǎn)，，在同一條直線上．求證：點(diǎn)在的外接圓上．【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）由圓周角的性質(zhì)可得，再結(jié)合題干條件，得出矛盾，由此可得出結(jié)論；（3）如圖，連接，由點(diǎn)、、、四點(diǎn)共圓得，由點(diǎn)、、、四點(diǎn)共圓得，從而證明即可；（4）連接和，由點(diǎn)，，，四點(diǎn)共圓可得，，由點(diǎn)，，，四點(diǎn)共圓可得，再由外角的性質(zhì)及角的和差可得，由此可得點(diǎn)，，，四點(diǎn)共圓，即點(diǎn)在的外接圓上．【解答】解：（1）在圖1、2中，取的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得，即，，，共圓；故答案為：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（2）在圖3中，畫經(jīng)過點(diǎn)，，（圖．假設(shè)點(diǎn)落在外，交于點(diǎn)，連接，可得，，得出矛盾；同理點(diǎn)也不會落在內(nèi)，即，，，共圓．結(jié)論Ⅲ同理可證．故答案為：；；（3）如圖6，連接，由點(diǎn)、、、四點(diǎn)共圓得，由點(diǎn)、、、四點(diǎn)共圓得，，，，，，為的邊上的高．（4）如圖7，連接和，由點(diǎn)，，，四點(diǎn)共圓可得，由點(diǎn)，，，四點(diǎn)共圓可得，，，，，，點(diǎn)，，，四點(diǎn)共圓，即點(diǎn)在的外接圓上．【點(diǎn)評】本題考查了圓的定義，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半，圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，圓周角定理，內(nèi)心的定義．第（3）（4）題解題關(guān)鍵是選取適當(dāng)?shù)乃狞c(diǎn)證明共圓，再利用圓周角定理證明角相等．類型二、圓中最值問題一．填空題1．（2022秋?長沙期中）如圖，的半徑為1，，為的切線，切點(diǎn)為，，，點(diǎn)為劣弧上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，分別交，于點(diǎn)，，的最小值是．【分析】由切線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形外心的性質(zhì)，可以求解．【解答】解：連接，，，，，，為的切線，切于，，，，四邊形內(nèi)角和是，，，，，，，同理：，，設(shè)的外心是點(diǎn)，作于，連接，，，，點(diǎn)是的外心，，，，，，，，，，，，，，的最小值是，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查有關(guān)圓的最值問題，關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形外心的性質(zhì)．二．解答題2．（2022秋?東城區(qū)校級期中）對于平面直角坐標(biāo)系中的圖形和點(diǎn)給出如下定義；為圖形上任意一點(diǎn)，若，兩點(diǎn)間距離的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的倍，則稱點(diǎn)為圖形的“分點(diǎn)”．已知點(diǎn)，，，．（1）①在點(diǎn)，，中，線段的“分點(diǎn)”是；②點(diǎn)，若點(diǎn)為線段的“二分點(diǎn)”，求的值；（2）以點(diǎn)為圓心，為半徑畫圖，若線段上存在的“二分點(diǎn)”，直接寫出的取值范圍．【分析】（1）①分別求出點(diǎn)、、到線段的最小值和最大值，看是否滿足“分點(diǎn)”定義即可，②對的取值分情況討論：，，和，根據(jù)“二分點(diǎn)”的定義可求解，（2）設(shè)線段上存在的“二分點(diǎn)”為，．對的取值分情況討論，且，且，，根據(jù)二分點(diǎn)的定義可求解．【解答】（1）解：①如圖，點(diǎn)在上，故最小值為0，不符合題意，點(diǎn)到的最小值為，最大值為，點(diǎn)是線段的“分點(diǎn)”，點(diǎn)到的最小值為1，最大值為點(diǎn)不是線段的“分點(diǎn)”，故答案為：點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到的最小值為，點(diǎn)到的最大值為，點(diǎn)為線段的“二分點(diǎn)”，，即，△，故無解，舍去；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到的最小值為1，點(diǎn)到的最大值為，最大值不是最小值的2倍，所以舍去，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到的最小值為1，點(diǎn)到的最大值為，點(diǎn)為線段的“二分點(diǎn)”，，（舍去），當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到的最小值為，點(diǎn)到的最大值為，點(diǎn)為線段的“二分點(diǎn)”，同時(shí)，無解，舍去；綜上，．（2）如圖所示，設(shè)線段上存在的“二分點(diǎn)”為，，當(dāng)時(shí)，最小值為：，最大值為：，，即，，，當(dāng)且時(shí)，最小值為：，最大值為，，即，，，，不存在，當(dāng)且時(shí)，最小值為：，最大值為：，，即，，，不存在．當(dāng)時(shí)，最小值為：，最大值為：，，即，．綜上所述，的取值范圍為或．【點(diǎn)評】本題考查坐標(biāo)上的兩點(diǎn)距離，勾股定理，點(diǎn)到圓的距離．根據(jù)題目所給條件，掌握“分點(diǎn)”的定義是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋?江陰市期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)在軸的正半軸上，且，以點(diǎn)為圓心，1為半徑畫，與軸交于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的下方），點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的一個(gè)動點(diǎn)，從點(diǎn)開始以5度秒的速度沿圓周逆時(shí)針運(yùn)動一周，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為秒．（1）如圖1，連接，當(dāng)時(shí)，求的值；（2）如圖2，點(diǎn)在運(yùn)動過程中，連接，以為邊在左側(cè)作等邊，①當(dāng)秒時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②連接，當(dāng)最大時(shí)，求此時(shí)的值和這個(gè)最大值．【分析】（1）如圖，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，，由平行得出點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角，進(jìn)而可得出時(shí)間；（2）①將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到線段，連接，易證△，所以，；過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，所以，由互余可知，，所以，，所以，，，則，，進(jìn)而可得點(diǎn)的坐標(biāo)；②由旋轉(zhuǎn)可知，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，1長為半徑的圓上運(yùn)動，當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，設(shè)與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，則，，由點(diǎn)是的中點(diǎn)可知，，，，，進(jìn)而可得，所以，易證△，進(jìn)而可得△，所以，即此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，所以．【解答】解：（1）如圖：是直角三角形，是中點(diǎn)，，，又，，點(diǎn)的軌跡是中圓心角所對的弧，，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到延長線與的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是中圓心角所對的弧，．故的值為6或42；（2）①如圖，，，，，當(dāng)時(shí)，，，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到線段，連接，由旋轉(zhuǎn)可知，，，是等邊三角形，，，，△，，，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，．，；②由旋轉(zhuǎn)可知，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，1長為半徑的圓上運(yùn)動，當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，如圖所示，設(shè)與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，由①可知，，，，，，，，，，，△，，，，△，，即此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，．綜上，，最大值是4．【點(diǎn)評】本題屬于圓的綜合題，涉及考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的相似與判定，含的直角三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)題意得出點(diǎn)的軌跡是解題關(guān)鍵．類型三、定點(diǎn)定長構(gòu)造輔助圓一．填空題1．（2023秋?常州期中）如圖，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接，的最大值為．【分析】先判斷出點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是在半徑為2的上，再取，連接，則是的中位線，，進(jìn)而可得最大值時(shí)，取最大值，此時(shí)、、三點(diǎn)共線，計(jì)算即可求出結(jié)果．【解答】解：為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，，點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是在半徑為2的上，如圖，取，連接，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，是的中位線，，最大值時(shí)，取最大值，此時(shí)、、三點(diǎn)共線，此時(shí)在中，，，的最大值是．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了坐標(biāo)和三角形的中位線，定點(diǎn)定長構(gòu)造輔助圓等，解題關(guān)鍵是確定點(diǎn)的運(yùn)動軌跡．二．解答題2．（2022秋?秀洲區(qū)期中）如圖，中，，，過點(diǎn)任作一條直線，將線段沿直線翻折得線段，直線交直線于點(diǎn)．（1）小智同學(xué)通過思考推得當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，的角度是不變的，請按小智的思路幫助小智完成以下推理過程：，、、三點(diǎn)在以為圓心以為半徑的圓上．．（2）若，求的長．（3）線段最大值為；若取的中點(diǎn)，則線段的最小值為．【分析】（1）根據(jù)，得、、三點(diǎn)在以為圓心以為半徑的圓上，根據(jù)圓周角定理可知的度數(shù)；（2）由是等腰三角形可求出，利用勾股定理求出的長，從而得出答案；（3）根據(jù)直徑是圓中最大的弦知當(dāng)經(jīng)過圓心時(shí)，線段的最大值為，取的中點(diǎn)，連接，可證，則點(diǎn)在以為直徑的圓上，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，最短，此時(shí)，從而解決問題．【解答】解：（1），、、三點(diǎn)在以為圓心以為半徑的圓上，，故答案為：，45；（2）由折疊可知，垂直平分，，設(shè)、交于點(diǎn)，則，，，，在中，由勾股定理得，，；當(dāng)點(diǎn)在的下方時(shí)，如圖，，、、三點(diǎn)在以為圓心以為半徑的圓上，，即，由翻折可知，，，是等腰直角三角形，，在中，，，綜上所述，的長為或；（3），，，三點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上，當(dāng)經(jīng)過圓心時(shí)，線段的最大值為，在中，，，，，，連接，取的中點(diǎn)，連接，如圖，垂直平分，，，，，，，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為直徑的圓上，，點(diǎn)在上，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，最短，此時(shí)，，，即線段的最小值為，故答案為：8；．【點(diǎn)評】本題是圓的綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，圓周角定理，利用定點(diǎn)定長構(gòu)造輔助圓是解題的關(guān)鍵．類型四、定弦定角構(gòu)造輔助圓一．填空題1．（2023春?梁子湖區(qū)期中）如圖，矩形的邊，，為的中點(diǎn)，是矩形內(nèi)部一動點(diǎn)，且滿足，為邊上的一個(gè)動點(diǎn)，連接，，則的最小值為．【分析】先找出點(diǎn)的運(yùn)動路線為以為直徑的圓，設(shè)圓心為，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，可推出的長即為的最小值，再求出的長即可．【解答】解：四邊形是矩形，，，，點(diǎn)的運(yùn)動路線為以為直徑的圓，作以為直徑的，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，，則，，，的最小值為；連接，四邊形是矩形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，四邊形是矩形，，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，，在△中，由勾股定理，得，的最小值為，故答案為：7．【點(diǎn)評】本題考查軸對稱最短路線問題，矩形的性質(zhì)，勾股定理，能利用一條線段的長表示兩線段的和的最小值是解題的關(guān)鍵．二．解答題2．（2023秋?濱?？h期中）（1）【學(xué)習(xí)心得】小趙同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題，如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易．我們把這個(gè)過程稱為“化隱圓為顯圓”．①已知：如圖1，，若，求的度數(shù)．解：若以點(diǎn)為圓心，為半徑作輔助圓，是的圓心角，而是圓周角，從而可容易得到．②如圖2，點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，且，若，求的最小值．解：，，點(diǎn)在以為直徑的圓上，設(shè)圓心為點(diǎn)，則、、三點(diǎn)共線時(shí)最小，最小值為．（2）【問題解決】①如圖3，在平行四邊形中，已知，，，點(diǎn)是邊上一動點(diǎn)（點(diǎn)不與，重合），連接，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，則線段的最小值為．②如圖4，△中，，，，為上一動點(diǎn)，以為直徑的交于，求線段的最小值．（3）【問題拓展】如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，，軸上有一動點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）①利用圓周角定理即可求得答案；②由正方形性質(zhì)可得：，，，由勾股定理得：，推出點(diǎn)在以為直徑的上，則、、三點(diǎn)共線時(shí)最小，即可求得答案；（2）①過點(diǎn)作于，利用解直角三角形得，，，由勾股定理得，再由，可得點(diǎn)在以為圓心為半徑的上，即當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)最小，的最小值；②連接，由是的直徑，可得，推出，即點(diǎn)在以為直徑的圓上，進(jìn)而可得當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，運(yùn)用勾股定理即可求得答案；（3）當(dāng)最大時(shí)，過、兩點(diǎn)的與軸相切，利用待定系數(shù)法可得直線的解析式為，線段的垂直平分線為，設(shè)，根據(jù)，建立方程求解即可得出答案．【解答】解：（1）①如圖1，以點(diǎn)為圓心，為半徑作輔助圓，，，，故答案為：25．②點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，且，若，求的最小值．如圖②，以為直徑作，四邊形是正方形，，，，在△中，，，，點(diǎn)在以為直徑的上，則、、三點(diǎn)共線時(shí)最小，的最小值，故答案為：．（2）①如圖3，過點(diǎn)作于，，，，則，，，在△中，，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，，點(diǎn)在以為圓心為半徑的上，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)最小，的最小值，故答案為：．②如圖4，連接，是的直徑，，，即點(diǎn)在以為直徑的圓上，以為直徑作，交于，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，△中，，，，，，，故線段的最小值為．（3）當(dāng)最大時(shí)，過、兩點(diǎn)的與軸相切，設(shè)直線的解析式為，把，代入，得：，解得：，直線的解析式為，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，圓心在的垂直平分線上，線段的垂直平分線為，設(shè)，，，解得：或（舍去），點(diǎn)的坐標(biāo)為，，故答案為：．【點(diǎn)評】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關(guān)知識，正方形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋?泗洪縣期中）已知：和外一點(diǎn)．（1）如圖甲，和是的兩條切線，、分別為切點(diǎn)，求證：．（2）尺規(guī)作圖：在圖乙中，過點(diǎn)畫的兩條切線、，、為切點(diǎn)（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）．【分析】（1）如圖，連接、、．只要證明，可得．（2）以為直徑作，兩圓交于點(diǎn)、，直線、即為所求；【解答】解：（1）如圖，連接、、．、是切線，，，，在和中，，，．（2）以為直徑作，兩圓交于點(diǎn)、，直線、即為所求；【點(diǎn)評】本題考查切線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，直徑的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會利用輔助圓解決問題，屬于中考常考題型．類型五、對角互補(bǔ)構(gòu)造輔助圓1．（2021秋?越秀區(qū)校級期中）如圖1，在中，，平分，且于點(diǎn)．（1）判斷的形狀；（2）如圖2，在（1）的結(jié)論下，若，，，求的長；（3）如圖3，在（1）的結(jié)論下，若將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，作交于點(diǎn)．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）由，知點(diǎn)、、、上四點(diǎn)共圓，則，即可得出結(jié)論；（2）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接，過點(diǎn)作的垂線，交的延長線于，得是等腰直角三角形，從而可解直角三角形，在中，利用勾股定理得可求出的長度，從而解決問題；（3）在上截取，利用證明，得，，可證明、是等腰直角三角形，從而解決問題．【解答】解：（1），平分，，，點(diǎn)、、、上四點(diǎn)共圓，，，是等腰直角三角形；（2）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接，過點(diǎn)作的垂線，交的延長線于，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，在中，由勾股定理得，；（3）．，理由如下：如圖，在上截取，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，是等腰直角三角形，，．【點(diǎn)評】本題主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，四點(diǎn)共圓等知識，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2021秋?西城區(qū)校級期中）如圖，為等邊三角形，點(diǎn)是線段上一動點(diǎn)（點(diǎn)不與，重合），連接，過點(diǎn)作直線的垂線段，垂足為點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．（1）求證：；（2）延長交于點(diǎn)，求證：為的中點(diǎn)；（3）若的邊長為1，直接寫出的最大值．【分析】（1）利用證明，即可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，利用等角對等邊可得，由（1），得，再利用證明，從而解決問題；（3）由（2）知，則點(diǎn)，，，四點(diǎn)在以為直徑的圓上，故的最大值為直徑．【解答】（1）證明：線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，，，在和中，，，；（2）證明：如圖，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，，，，，，由（1）可知，，，，，，，，，，在和中，，，，即為的中點(diǎn)；（3）解：如圖，連接，是等邊三角形，，，，，點(diǎn)，，，四點(diǎn)在以為直徑的圓上，的最大值為直徑，即最大值為1．【點(diǎn)評】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，四點(diǎn)共圓等知識，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋?東城區(qū)校級期中）如圖1，在中，，，直線是過點(diǎn)的直線于點(diǎn)，連接．（1）觀察猜想張老師在課堂上提出問題：線段，，之間有什么數(shù)量關(guān)系．經(jīng)過觀察思考，小明出一種思路：如圖1，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，進(jìn)而得出：．（2）探究證明將直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置寫出此時(shí)線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明（3）拓展延伸在直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)面積取得最大值時(shí)，若長為1，請直接寫的長．【分析】（1）由題意：，推出