2024年北京某中學初三（上）期中數學試題與答案

2024北京八十中初三(上)期中

2024.11

班級：姓名：考號：總成績

一、選擇題(每題3分，共24分)

下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的.

1.下列各曲線是在平面直角坐標系xOy中根據不同的方程繪制而成的，其中是中心對稱圖形的是

。斗斗、

iiiii1iiiiii一人?。?/p>

::人!……一")十一廠「L十行、十片十「「iKt一才一

1產

3

(A)(B)(C)(D)

2.將拋物線>=必向上平移1個單位，得到的拋物線的解析式為()

A._y=x2+1B.y=x2-1C.丁=(%+1]D.y=(x-l『

3.在△48C中，CA=CB,點。為中點.以點C為圓心，CO長為半徑作。C,則。。與48的位置關

系是

C

A.相交B.相切

C.相離D.不確定AB

0

4.用配方法解方程必—2%-3=0時，配方后得到的方程為()

A.(%-1)2=4B.(%-1)2=-4C.(X+1)2=4D.(X+1)2=-4

5.如圖，AB是。。的直徑，CD是。0的弦，ZABD=59°,則/C等于

()

A.29°B.31°C.59°Da

6.已知二次函數＞=%2一41+機(機為常數)的圖象與x軸的一個交點為,

(1,0),則關于x的一元二次方程――4x+〃2=。的兩個實數根是()

A.石=1,%2=-1B.%]二—1,%2=2

C.xx=-1,x2=0D.Xj=1,x2=3

,若在/C中點。處建一個5G基夕'、

7.如圖，A,B,。是某社區(qū)的三棟樓

站，其覆蓋半徑為300m,則這三棟樓中在該5G基站覆蓋范圍內的

是

(B)只有5-------5°*m

(A)A,B,C都不在

(C)只有/,c(D)A,B,C

8.二次函數y=2尤2-8x+加滿足以下條件：當-2。<-1時，它的圖象位于x軸的下方；當6Vx<7時，它

的圖象位于無軸的上方，則加的值為

B.-10C.-42D.-24

、填空題（本題共16分，每小題2分）

9.如圖，PA,尸8分別與。。相切于點A,B,連接AA

ZAPB=60°,

A3=5,則PA的長是,

10.若關于了的一元二次方程——4x+左=0有兩個相等的實數根，

則左的值為.

11.已知點4>1力+2）與2（-2,4）關于原點對稱，則.=,b=.

12.已知。為△ABC的外接圓圓心，若。在△ABC外，則△ABC是（填“銳角三角形”或“直角

三角形”或“鈍角三角形”）.

13.石拱橋是中國傳統(tǒng)橋梁四大基本形式之一，它的主橋拱是圓弧形.如第

圖，已知某公園石拱橋的跨度/8=16米，拱高CD=4米，那么橋拱所在圓式\:—7"

的半徑。4=米.'、>'

O

14.已知二次函數的圖象經過點（0,1）,且頂點坐標為（2,5）,則此

二次函數的解析式為.

15.如圖，直線yfcc+a與拋物線2硒序交于點/,B,且點N在/\\

y軸上，點2在x軸上，則不等式2x淤8>區(qū)+。的解集為/,

16.當x>0時，均有[（a+l）x—1][7—a乂―1]20,則實數a的所有可能值

為?

三、解答題（17—18題每題4分，19—26題每題5分，27—28題每題6分）

17.解方程：x2+3x—1=0.

18.解方程：一x油?

2

19.如圖，在等腰直角△4BC中，ZBAC=90°,。是2c邊上任意一點（不與2,C重合），將線段繞點

/逆時針旋轉90。得到線段連接CE,DE.

（1）求/ECO的度數；

(2)若N3=4,BD=y/2,求DE的長.

20.已知二次函數

（1）求二次函數x句理圖象的頂點坐標;

BD

（2）在平面直角坐標系x（方中，畫出二次函數尤對筆的圖象；

（3）結合圖象直接寫出自變量0ScW3時，函數的最大值和最小值.

21.用長為6米的鋁合金條制成如圖所示的窗框，若窗框的高為x米，窗戶的透光面積為y平方米（鋁合

金條的寬度不計）.

（1）y與x之間的函數關系式為（不要求寫自變量的取值范圍）；

（2）如何安排窗框的高和寬，才能使窗戶的透光面積最大？并求出此時的最大面積.

22.如圖，AB是的直徑，CD是O。的一條弦，ABLCD,連接AC,

OD.x米

(1)求證：NBOD=2/A；

（2）連接。8,過點C作交。8的延長線于點￡,延長。O,交

NC于點尸.若尸為NC的中點，求證：直線CE為。。的切線.

23.已知關于x的一元二次方程/+（2-m）x+1-m=0.

（1）求證：方程總有兩個實數根;

（2）若加＜0,且此方程的兩個實數根的差為3,求機的值.

24.裝有水的水槽放置在水平臺面上，其橫截面是以A8為直徑的半圓。，AB=50cm.如圖①和圖②所

示，為水面截線，GH為臺面截線，MN//GH.

計算在圖①中，已知MN=48cm,作OC_LMN于點C.

（1）求0c的長.

操作將圖①中的水槽沿G8向右作無滑動的滾動，使水流出一部分，當NANM=30。時停止?jié)L動，如圖

②.其中，半圓的中點為。，GH與半圓的切點為E,連接OE交于點。.

探究在圖②中.

（2）操作后水面高度下降了多少？

（3）連接。。并延長交GH于點尸，求線段EF的長度.

25.如圖，在RtA42C中，ZACB=90°,。為NC上一點，以點。為圓心,

。。為半徑的圓恰好與相切，切點為。，。。與NC的另一個交點為區(qū)

(1)求證：2。平分N/5C；

(2)若N/=30。，AE=l,求3。的長.

26.在平面直角坐標系xOy中，拋物線了=辦2+法+。(a>0)的對稱軸

為％=二，點A(；f,R7),B(2t,n),CO。,%)在拋物線上.

(1)當f=2時，直接寫出山與〃的大小關系;

(2)若對于6</<7,都有〃?<%<〃，求f的取值范圍.

27.如圖，在△N8C中，ZABC=90°,BA=BC.將線段繞點/逆時針旋轉90。得到線段E是邊BC

上的一動點，連接。￡交/C于點尸，連接

(1)求證：FB=FD；

(2)點H在邊BC上,且BH=CE,連接AH交BF于點、N.

①判斷4ff與2尸的位置關系，并證明你的結論；

②連接CN.若48=4,請直接寫出線段CN長度的最小值.

28.對于平面直角坐標系xOy中的線段和點尸，給出如下定義：點/是線段上一個動點，過點/

作線段兒加的垂線/,點P是垂線/上的另外一個動點.如果以點P為旋轉中心，將垂線/沿逆時針方

向旋轉60。后與線段有公共點，我們就稱點P是線段"N的“關聯點”.

如圖，M(1,2),N(4,2).

(1)在點馬(1,3),P2(4,0),P3(3,2)中，線段的“關聯點”有；

(2)如果點P在直線y=x+l上，且點P是線段的“關聯點”，求點P的橫坐標x的取值范圍；

(3)如果點P在以。(1,-1)為圓心，廠為半徑的。。上，且點尸是線段的“關聯點”，直接寫出

。。半徑r的取值范圍.

Ay

5-

4-

3-

MN

2------------------?

1-

-3-2-1O12345

-1-

-2-

-3-

備用圖

北京市第八十中學2024-2025學年九年級上學期期中考試數學試卷參考答案

一.選擇題

1.C

2.A

3.B

4.A

5.B

6.D

7.D

8.D

二.填空題

9.5

10.4

11.3-6

12.鈍角三角形

13.10

14y~4-4x4-1.

151。<大<3.

三..解答題

17.。=1,6=3,￡?一1.

^=3,-4XlX(-l)=13>0.

方程有兩個不相等的實數根.工=

-—±_一3士

la2.

un_-3+/13--3-/13-

即Xri--------2'工：-----2?

18.

—z2-3工=4工+7,

2

/—141=14,

z2-14x4-49=144-49,

(±-7)2=63,

±-7=±3"

的=7+3V斤，X2=7-3Vz7.

19.

(1)r.HtaABC中，ZBAC=90,AB=AC,

￡ABC=￡ACB=45°,

由旋轉可知：AD=AE,LDAE=90\

LBAD+LDAC=Z.CAE+^DAC=90;

^BAD=Z.CAE,

在△1L4O與△C4E中，

AB=AC

</.BAD=Z.CAE,

kAD=AE

^BAD^/\CAE(SAS),

ZACE=Z.ABD=45,

ZECD=45°4-45°=90\

(2)/LBAC=90\AB=AC=4,

BC=x/ABi+AC2=46,

由(1)得,

BD=CE=y/2,

CD=BC-BD=3v/2,

乙DCE=90。.

CE2+CD2=ED2,

DE=/e用+儲戶=2限

,該函數的頂點坐標為(1,-4);

(2),/y=x2—2x—3=(x—I)2—4=(x—3)

(工+1)

該函數的頂點坐標為(1,-4),與工軸的交點為(3,0)

.(-1,0),與,/軸交于點(0,—3),過點(2,-3),

函數圖象如圖所示；

(3)由圖象可得，

當自變?0WzW3時，函數的最大值是0,最小伍值

是一4.

21.

(1)根據題意，得

窗框的高為工米，則長為](6-3工)，

所以y=/(6-3工)?x=+3工，

因為c>0,6-3x>0,

所以0<工V2.

故答案為y=-尚/+3](0<a,<2).

(2)y=_?1/+3工=-y(r-1)2+尚，

<°'

，當工=1時，y有最大值,

即窗框的高為1米，寬為L5米，才能使窗戶的透光面

積最大，最大面積是1.5平方米，

答：窗框的高為1米，寬為1.5米，才能使窗戶的透光

面積最大，最大面積是L5平方米.

22.

證明：(1)設4B交。。于H,連接OC,

由題可知，OCOD,AOHC=Z.OHD90,

又；OH=OH,RtACOH三Rt^DOH(HL)

s

???LCOH=NDOH,

??.比=彷，

.,?乙COB=乙BOD,

丁ZCOB=2ZA,

.?.NBOO=2乙4;

(2)如圖，連接OC,

F為4c的中點，

DFVAC,

：.AD=CD,

：.Z.ADF=NCDF,

：BC=Bb,

Z.CAB=NDAB,

4/OA=ODt

.?.NO4D=NOO4,

?

..ZCDF=ZCABf

?/OC=ODt

.?./CDF=ZOCD,

.?.LOCD=Z.CAB,

\BC=BCt

???LCAB=NODE,

???LCDE=ZOCD,

*/Z.E=90\

??.Z.CDE+ADCE=90,

.?.ZOCD4-ZDCE=90°,

即OC_LCE,

?/OC為半徑，

直線CE為。O的切線.

23.

(1)證明：??一元二次方程

/+(2-rn)x+1—m=0,

/.△=(2—m)2—4(1—m)

=m2—4m+4—4+4m=m2.

Vm220,

???△20.

??.該方程總有兩個實數根.

(2)\?一元二次方程工24-(2-m)x+1-m=0,

解方程，得口=-1,X2=m—1.

?；m<0,

-1>m—1.

?.該方程的兩個實數根的差為3,

/,-1—(m—1)=3.

/.m=-3.

24.

(1)連接OAf,如圖,

由題意得：04=OB=OM=25cm,

?/OC1MN,

：.CM=CN=^MN=24cm,

/.OC=\/OM2-CM2=V252-242=7(cm),

故答案為：7;

(2)由題意得：OQ=OE=OB=ON=25cm,

B(N)

?.?GH與半圓的切點為E,

..OE1.GH,

■：MN//GH,

OD±MN,

DN=DM=1A/JV,

?/Z.ANM=30”,

.-.OD=^ON=^-(cm),

..25_llz、

..操作后水面高度下降了竽cm.

故答案為：號;

(3),.?半圓的中點為Q,

/.乙BOQ=90°,

*/OB=OQ=25cm,

B(N)

BQ=v/205=25依⑹.

故答案為：25/i

25.

(1)證明：連接oo,

B

???43與圓O相切，

???LODB=90\

在和底△BCO中，

(DO=CO

{OB=OB'

???RtABDO^RtABCO(HL),

??.ZDBO=Z.CBO,

??.BO平分N4BC;

(2)設圓。的半徑為應則OD=OE=OC=i,

VZA=30°,AE-lt

.?.2x=1+

/.AC=1+1+1=3,

在RiZXACB中，tan4=袈，

A\-/

BC=AC-tan30°=3x=\/3

?5

BO=y/co2+BC2=“2+(e)2=2.

26.

(1),.拋物線y=ax2+bi+c中，a>0,

拋物線開口向上，

???點B(4,n)在拋物線

y=ax2+fcr+C(Q>0)上，對稱軸為直線工=2,

.?.點4(1,m)到對稱軸的距離小于點3(4,n)到對稱軸

的距離，

.?.m<n]

(2)由題意可知，點m)在對稱軸的左側，點

B(2t,n),在對稱軸的右側，

:對于都有

6<x0<7,m<yo<n,

C(x?,物)到對稱軸的距離大于點4到對稱軸的距

離,小于點8到對稱軸的距鹿，

(\x0-t\>t-

|10—t]v2t—t

??/一力<?,

Q

當了o>?時,則(<知<20

?:6<工。<7,

<6

.?.(2-,解得3.5w￡於4;

⑸27

當與<t時，則0<小<^t.

??'6<小<7,

??.>7,

A014,

??.t的取值范圍是3.5&t(4或2214.

27.

(1)證明：如圖1中,

圖I

；

?/BA=BCtZ,ABC=90

/.ZBAC=Z4CB=45\

?.線段工6統(tǒng)點A逆時針旋轉90得到線段40,

/.Z.BAD=90",BA=DAt

.?.LFAD=LFAB=45°,

??,AF=AF,

??.AFADwAFAB(SAS),

??.BF=DF.

(2)

OAH±BFO

o證明：因為=乙48。=90°,

BH=CE,所以△4BH會ABCE(