2024北京重點校初二（下）期中數(shù)學匯編：平行四邊形（京改版）（解答題）

2024北京重點校初二（下）期中數(shù)學匯編

平行四邊形（京改版）（解答題）1

一、解答題

1.（2024北京人大附中初二下期中）如圖，四邊形ABC。中，AD//BC,/BCD=90。,對角線8。平分

ZABC,過點A作3。的垂線AE,分別交BC,BD于點E,O,連接￡）及

（1）求證：四邊形ASED是菱形；

（2）連接CO,若AB=3,CE=2,求CO的長.

2.（2024北京西城初二下期中）如圖，在四邊形ABC。中，AB//CD,對角線AC、8。相交于點0,

BO=DO.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

3.（2024北京房山初二下期中）如圖，在uABCD中，對角線ACLOC,延長。C到點E,使CE=OC,連

接AE,交2C于點E連接3E.

（1）求證：四邊形ABEC是矩形.

⑵若CD=3,CF=3,求BE的長.

4.（2024北京第一^t一中學初二下期中）如圖，在正方形ABCZ）中，E是邊上的一動點，點尸在邊

BC的延長線上，且CF=AE,連接DE、DF.

備用圖

⑴求證：DELDF；

（2）連接E/L取E/中點G,連接DG并延長交BC于77,連接BG.

①依題意，補全圖形；

②求證：BG=DG；

③若ZEGB=45。,用等式表示線段BG、形與AE之間的數(shù)量關系，并證明.

5.（2024北京人大附中朝陽學校初二下期中）如圖，在VABC中，ZABC=9Q°,在邊AC上截取

AD=AB,連接8D,過點A作于點E.已知AB=6,BC=8,如果歹是邊BC的中點，連接

EF,求的長.

6.（2024北京育才學校初二下期中）如圖，在DABCD中，點E、尸分別在2C,AD上，且BE=DF,

連接AE,CF.求證：AE//CF.

7.（2024北京第十三中學初二下期中）在平面直角坐標系xOy中，如果點A,C為某個菱形一組對角的頂

點，且點A,C在直線'=彳上，那么稱該菱形為點A,C的“關聯(lián)菱形”.例如，圖1中的四邊形ABCZ）為

點A,C的“關聯(lián)菱形”.

已知點"（1,1）,點P（°M）.

①在點磯2,1),歹(1,3),G(T5)中，點能夠成為點尸的“關聯(lián)菱形”的頂點;

②當點P的“關聯(lián)菱形”MNP。的面積為8時，求點N的坐標;

⑵已知直線N=-2x+6與無軸交于點A,與'軸交于點8,若線段ABV5,且點A是點尸的“關聯(lián)菱

形''的頂點，直接寫出。的取值范圍.

8.(2024北京人大附中朝陽學校初二下期中)在平面直角坐標系中，對于點2與，%)，給出如下定

義：當點。(三，％)滿足玉=＞「%時，稱點。是點尸的等積點.已知點尸(1,2).

⑴在Q(3,6),Q(2,l),°式-1,-；)中，點P的等積點是.

(2)點。是P點的等積點，點C在V軸上，以0,P,Q,C為頂點的四邊形是平行四邊形，求點C的坐

標，寫出求解過程.

9.(2024北京八一學校初二下期中)已知：如圖所示，在平行四邊形ABC。中，對角線AC、8D相交于

點O,BD=2AD,E、F、G分別是OC、OD、A3的中點.求證：

AGB

(1)BE±AC.

⑵EG=EF.

10.(2024北京日壇中學初二下期中)如圖，在nABCD中，點"、N分別在邊BC上，且

BM=DN,連接AM、CN.求證：AM//CN.

11.(2024北京廣渠門中學初二下期中)如圖，平行四邊形中，點E,歹分別在邊BC,AD上,

(1)求證：四邊形AEC尸是矩形；

(2)連接所，若AB=4,ZABC=60°,BF平分/ABC,求AD的長.

12.(2024北京人大附中朝陽學校初二下期中)已知矩形A5CD,以A8為一邊求作一個平行四邊形

ABEF,使得該平行四邊形的一個內角為30。，且面積為矩形面積的一半.

DC

A---------------------'B

(1)利用尺規(guī)作圖作出符合題意的平行四邊形ABEF(保留作圖痕跡)；

(2)寫出判定四邊形ABE尸是平行四邊形的依據(jù)是.

13.(2024北京海淀初二下期中)已知正方形ABC。中，點E是射線上一點，連接AE,作AE的垂直

平分線交直線C。于點交直線AB于點M交AE于點尸.

⑴如圖1,當點E在正方形的邊上時.

①依題意補全圖形；

②求證：MN=AE；

(2)如圖2,當點E在BC的延長線上時.連接3D并延長交的延長線于點P,連接PE.

①直接寫出NPE4的度數(shù)為；

②用等式表示線段PF,PM,五N之間的數(shù)量關系

14.（2024北京大興初二下期中）如圖，在口ABCD中，AE±BC,b,AD垂足分別為E,F.求證:

BE=DF.

15.（2024北京匯文中學初二下期中）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，3E平分/ABC交AD于E,

D尸平分/ADC交于尸.

求證：四邊形￡B㈤是平行四邊形.

16.（2024北京匯文中學初二下期中）如圖是由邊長為1的小正方形構成的6x4的網(wǎng)格，點A、8均在格

⑴在圖1中畫出以A5為邊且周長為8+2新的平行四邊形AB。，且C點和。點均在格點上（畫出一個即

可）；

（2）在圖2中畫出以AB為對角線的菱形尸，且點E和點尸均在格點上.

17.（2024北京海淀初二下期中）如圖，在RCABC中，NACB=90。，點。是的中點，連接C。，過

點B作BE〃CD,過點C作CE〃AB,BE、GE相交于點E.

（1）求證：四邊形CEB。是菱形；

（2）過點。作DFLCE于點E交CB于點G,若AB=10,CF=3,求DG的長.

18.（2024北京海淀初二下期中）己知：在△AOD中，ZAOD=90°.求作：菱形ABCD.

A

作法：

①延長AO,以點。為圓心，長為半徑作弧，與AO的延長線交于點C；

②延長。O,以點。為圓心，OD長為半徑作弧，與。。的延長線交于點以

③連接ABICCO.

所以四邊形A2CD即為所求作的菱形.

（1）使用直尺和圓規(guī)作圖（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：VAO=,D0=,

二四邊形ABCD是平行四邊形.

NAOD=90。，

AC.LBD.

二平行四邊形是菱形.（i）（填推理的依據(jù)）.

19.（2024北京清華附中初二下期中）如圖，VABC中，AB=BC,過A點作的平行線與/ABC的平

分線交于點。，連接co.

（1）求證：四邊形ABC。是菱形；

（2）連接AC與8。交于點。，過點。作DE1.3C交BC的延長線于E點，連接EO,若EO=2辨,

DE=4,求CE的長.

20.（2024北京十一實驗中學初二下期中）在平面直角坐標系xOv中，已知線段。，P為線段。上任意一

點，已知圖形。為圖形M上任意一點，當尸，。兩點間的距離最小時，將此時PQ的長度稱為圖形

M與線段。的近點距；當尸，。兩點間的距離最大時，將此時PQ的長度稱為圖形加與線段。的遠點距.

如圖1,在平面直角坐標系中，點A的坐標為(-2,-2),正方形ABCZ)的對稱中心為原點0.

(1)線段A3與線段CD的近點距是,遠點距是.

(2)如圖2,直線y=-x+6與x軸，＞軸分別交于點E,F,則線段所和正方形ABCD的近點距是

，遠點距是.

⑶直線y=x+Z^H0)與X軸，V軸分別交于點R,S,線段RS與正方形A2CD的近距點是2&，則6的值

(4)在平面直角坐標系中，有一個矩形GffiWN,若此矩形至少有一個頂點在以0為圓心1為半徑的圓

上，其余各點可能在圓上或圓內，將正方形ABC。繞點。旋轉一周，在旋轉過程中，它與矩形的近

點距的最小值是,遠點距的最大值是.

21.(2024北京第六十六中學初二下期中)如圖1,將邊長為1的正方形A2CD壓扁為邊長為1的菱形

圖1圖2

(1)請補全表格：

a30°45°60°90°120°135°150°

S1旦

2

(2)填空：由(1)可以發(fā)現(xiàn)單位正方形在壓扁的過程中，菱形的面積隨著NA大小的變化而變化，不妨把

單位菱形的面積S記為S(e).例如：當夕=30。時，5=5(30。)=；；當2=135。時，

5=5(135°)=^.由表格可以歸納出S(180。-a)=S(_).

（3）兩塊相同的等腰直角三角板按圖2的方式放置，AD=3,ZAOB^a,試探究圖中兩個帶陰影的三角

形面積是否相等，并說明理由.（注：可以利用（2）中的結論）

22.（2024北京第六十六中學初二下期中）按要求畫出圖形：

（1）在6x6的正方形網(wǎng)格中，每個小方格的頂點叫做格點，按下列要求在網(wǎng)格中畫出圖形:

在圖1中，以格點為頂點畫一個面積為8的正方形；

在圖2中，以格點為頂點畫一個三角形，使三角形三邊長分別為4、6、舊;

請你判斷這個三角形一直角三角形（填“是”或“不是”）.

⑵如圖3,已知點A（-3,1）,8為第二象限內的一個整點（即橫縱坐標都為整數(shù)的點），且。4=03.

①直接寫出點B的坐標為」

②畫出以A、B,。及合適的第四個點C為頂點的所有平行四邊形.

23.（2024北京第六十六中學初二下期中）在平面直角坐標系xQy中，對于P,。兩點給出如下定義：若

點尸到兩條坐標軸的距離之和等于點。到兩條坐標軸的距離之和，則稱尸，。兩點為和諧點.例如，圖1

中的尸，。兩點即為和諧點.

y八

6-

5-

y八

P一4-

3-

：2--------------Q2-

：1-；1-

1I?_______?[」＞??????______111111A

-3-2-10123x-6-5-4-3-2^1j°_123456a:

-1-

一2-

圖1-3-

-4-

-5-

—6-

（1）已知點A（3,—1）.

①在點石（7,0）,廠（l,l）,G（2,0）中，點A的和諧點是」

②若點2在y軸上，且A,B兩點為和諧點，則點8的坐標是一；

（2）已知點C（3,0）,點0（0,-3）,連接C。，點M為線段CD上一點.

①經(jīng)過點（凡。）且垂直于x軸的直線記作直線/,若在直線/上存在點N,使得M,N兩點為和諧點，則”的

取值范圍是二

②若點S（見0）,點T（〃?+2,0）,在以線段ST為斜邊的等腰直角三角形的某條邊上存在點K,使得M,K

兩點為和諧點，則機的取值范圍是

24.（2024北京第六十六中學初二下期中）如圖，在菱形ABC。中，延長AD到點E,使=延長

CD到點E使Db=CD,連接AC、CE、EF、AF.

（1）求證：四邊形AC所是矩形；

⑵若NB=60。，AB=1,求四邊形ACE尸的周長.

25.（2024北京大峪中學初二下期中）對于平面直角坐標系xOy中的兩點A和C,給出如下定義：若A,C

是某個矩形對角線的頂點，且該矩形的每條邊均與x軸或y軸垂直，則稱該矩形為點A,C的“對角矩

形如圖1為A,C的“對角矩形''的示意圖，已知點A（2,0）,C?,5）.

yjk

圖1圖2

⑴①當，=3時，在圖2中畫出點A,C的“對角矩形”，并直接寫出它的面積S的值;

②若點A,C的“對角矩形”的面積是30,求r的值；

⑵若點3（0,1）,在線段A5上存在一點。，使得點C的“對角矩形”是正方形，請直接寫出f的取值范

圍.

26.（2024北京人大附中朝陽學校初二下期中）如圖，在VABC中，AB=AC,,點、D,E,尸分別為BC,

AB,AC的中點.

（1）求證：四邊形AED尸是菱形;

（2）若AB=6,BC=8,求菱形的面積.

27.（2024北京交大附中初二下期中）如圖，平行四邊形ABCD,E、尸兩點在對角線2D上，且

BE=DF,連接AE,EC,CF,FA.求證：四邊形AECb是平行四邊形.

28.（2024北京第十八中學初二下期中）如圖，在VABC中,AB=AC,D,E分別是AB,BC的中點,

BF//DE,EF//DB.

（1）求證：四邊形BDEF是菱形;

(2)連接CD,若3E=4,AC=2小,求CD的長.

29.（2024北京日壇中學初二下期中）如圖，矩形ABCZ）中,AB=4,AD=3,將矩形ABC。沿對角線AC

折疊，使點8落在點E處，AE交C。于點?

（1）寫出折疊后的圖形中的等腰三角形:

⑵求CF的長.

30.（2024北京廣渠門中學初二下期中）在正方形ABCZ）中,點￡為邊上一個動點（點E不與點2,C

重合），連接AE,點尸在對角線AC的延長線上，連接所,使得ER=AE.作點廠關于直線BC的對稱點

G,連接CG,EG.

（1）依題意補全圖形；

（2）求證：ZBAE=AGEC-,

（3）用等式表示線段AC,CE,CG之間的數(shù)量關系，并證明.

31.（2024北京海淀初二下期中）VABC中，點。是邊2C上一點（不與3、C組合），連結AD,若P是

AD的中點，則稱點P為VABC中邊2C的“有緣點”.其中，若力（久1，乃）、以西,%），則點P的坐標為

I2'2J"

已知A（1,4）,B（-3,0）,C（2,0）

八y八y

5-5-

4-4-

3-3-

2-2-

1-1-

?i???_________11111A—i__i__i__i__i_____i__i__i__i__i>

-5-4-312345x-5-4-312345x

—2-—2-

-3--3-

-4--4-

-5--5-

備用圖

⑴點￡（一1,2）、lg，2、4。，2）中

是VABC中邊3C的“有緣點”的有

⑵已知ADE尸中，EF±DE,ZEDF=60°,D[m,-1）,￡（/n+4,-1）,點尸在x軸上方，若第二、四象限的角

平分線上存在邊取的“有緣點”，求加的取值范圍；

（3）4A4G中，a在X軸上，點A的橫坐標為r,A與交y軸于點。（0,2）,8G交X軸于點”（1,0）,且

Q、M分別是4月、4G的中點，假設△ABC三邊的“有緣點”組成圖形G,若圖形G的面積S滿足：

1<S<2,直接寫出r的值.

32.（2024北京海淀初二下期中）正方形A3CZ）中，點尸是射線8。上一動點，連結AP,過尸作

PE±AP,交射線CD于連結AE.

(1)如圖①，請補全圖形：

(2)如圖②，當點E在C。的延長線上時，試確定線段3P與CE之間的數(shù)量關系，并說明理由：

(3)如圖③，當點P在3。的延長線上，若AB=3,DPf,直接寫出四邊形ADPE的面積.

33.(2024北京朝陽初二下期中)下面是小明設計的“利用已知矩形作一個內角為30。角的平行四邊形”的尺

規(guī)作圖過程.

已知：矩形ABCD.

求作：平行四邊形AGHD,使/G4D=30。.

作法：如圖，

①分別以48為圓心，以大于;A8長為半徑，在A8兩側作弧，分別交于點E,F；

②作直線研；

③以點A為圓心，以A8長為半徑作弧，交直線族于點G,連接AG；

④以點G為圓心，以AD長為半徑作弧，交直線EF于點H,連接則四邊形AGHD即為所求作的平

行四邊形.

根據(jù)小明設計的尺規(guī)作圖過程，填空：

(1)NBAG的大小為；

(2)判定四邊形AGHD是平行四邊形的依據(jù)是.

34.(2024北京西城初二下期中)如圖，平行四邊形ABCD中，AB=6cm,BC=10cm,/B=60。，點G

是CD的中點，點E是邊AD上的動點，EG的延長線與2C的延長線交于點尸，連接CE,DF.

(1)求證：四邊形CEL于是平行四邊形.

請補全證明過程：

,點G是CD的中點，

①=.

四邊形ABCD是平行四邊形，

:.BC//AD（依據(jù)：②）.

③Z=N_________.

又r/FGC=/EGD,

:.^FCG^EDG（ASA）.

CF=DE.

又?：CF〃DE,

，四邊形是平行四邊形（依據(jù)：④）.

（2）直接寫出：當初二⑤cm時，四邊形CEDF是菱形;

當AE=?cm時，四邊形CEO尸是矩形.

參考答案

1.（1）證明見解析；

（2）回.

2

【分析】（1）先證明AB=AD,再由等腰三角形的性質得05=0。，然后證△<?班經(jīng)△OZM（ASA）,得

OE=OA,則四邊形至瓦>是平行四邊形，然后由菱形的判定即可得出結論；

（2）由勾股定理得8=6，BD=圓,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得出CO.

【詳解】（1）證明：??,4）〃3C,

ZADB=ZDBE,

平分2ABC,

ZABD=ZDBE,

:.ZABD;ZADB,

:.AB=AD,

?；AE_LBD,

:.BO=DO,

'：AD//BC,

在石和M0D4中，

ZDBE=ZADB

OB=OD,

ZBOE=ZDOA

:.△OBE%ODA（AS0,

/.OE=OA,

四邊形ABED是平行四邊形，

5L-.-AB=AD,

,平行四邊形A5ED為菱形；

（2）解：：四邊形ABED為菱形，

ABE=DE=AB=3,BO=DO,

,?/BCD=90。，

:.CD=y/DE2-CE2=V32-22=如，

BC=BE+CE=3+2=5,

.?.在RtZXBCD中，根據(jù)勾股定理得：

BD=VBC2+CD2=J5?+（灼?=癡,

VBO=DO,△BCD為直角三角形,

CO=LBD=L屈.

22

【點睛】本題考查了菱形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質以及勾股定理、直

角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，二次根式的混合運算等知識，熟練掌握菱形的判定與性質是解題

的關鍵.

2.見解析

【分析】本題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質、平行線的性質，通過證明三角形全等

可以等到AO=CO,再由對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得結論.

【詳解】證明：

AZOAB=ZOCD,ZOBA=ZODC,

又：OB=OD,

：.AOAB^OCD(AAS),

：.OA=OC,

四邊形ABC。是平行四邊形.

3.(1)證明見解析

(2)373

【分析】此題考查了矩形的判定和性質、平行四邊形的性質、勾股定理等知識，熟練掌握矩形的判定和性

質、平行四邊形的性質是解題的關鍵.

(1)利用平行四邊形的性質得到AB=C2AB||CD,得到CE〃AB,再禾獅CE=DC得至UCE=M,則四

邊形ABEC是平行四邊形.再利用AC_LDC得到NACE=90。，即可證明四邊形ABEC是矩形.

(2)證明CE=AB=CD=3,BC=2CF=6,NBEC=90°,利用勾股定理即可得到答案.

【詳解】(1)證明：在DMCD中，AB=CD,AB\\CD,

CE//AB,

CE=DC,

：.CE=AB,

???四邊形ABEC是平行四邊形.

AC.LDC,

：.NACE=90。，

???四邊形ABEC是矩形.

⑵解：VCD=3,CE=DC,CE=AB

：.CE=AB=CD=3,

VCF=3,四邊形ABEC是矩形，

ABC=2CF=6,/BEC=9伊,

在RUBCE中，BE=^BC2-CE2=762-32=373；

4.(1)證明見解析

(2)①作圖見解析；②證明見解析；③BG2+HG2=4AE2,證明見解析

【分析】(1)證AADE絲ACDb(SAS),得ZADE=/CDF,再證NED產(chǎn)=90。，即可得出結論;

(2)①依題意，補全圖形即可；

②由直角三角形斜邊上的中線性質得。G=工即，BG=-EF,即可得出結論；

22

③先證ADEF是等腰直角三角形，得NDEG=45°,再證。GLE尸，DG=^EF=EG,

BG=-EF=EG=FG,得NG。尸=45°,/EDG=/DEG=45°,Z.GBF=Z.GFB,然后證

2

ACDH^ACDF（ASA）,得CH=CF,再由勾股定理即可求解.

【詳解】（1）證明：,??四邊形A3CL（是正方形，

:.AD=CD,ZA=NB=NBCD=ZADC=90。,

:.ZDCF=90°,

又?.?A￡=CF,

.-.△ADE^ACDF（SAS）,

\?ADE2CDF,

ZADE+ZCDE=90°,

ZCDF+ZCDE=90°,即ZEDF=90°,

:.DE.LDF；

（2）解：①解：依題意，補全圖形如圖所示：

②證明：由(1)可知，ADE尸和ABEF都是直角三角形,

,.?G是E尸的中點，

:.DG=-EF,BG=-EF,

22

:.BG=DG；

③解：BGr+HG1=4AE2,

證明如下：

由(1)可知，AADE^ACZ)F(SAS),DELDF,

:.DE=DF,

.?aDEF是等腰直角三角形，

.."EG=45°,

???G為￡尸的中點，

：.DGLEF,DG=-EF=EG,BG=-EF=EG=FG,

22

:.NEGD=NHGF=NDGF=9Q°,ZGDF=45°,NEDG=/DEG=45°,/GBF=/GFB,

?;NEGB=45。,

NGBF=NGFB=22.5°,

ZDHF+ZHFG=ZDHF+ACDH=90°,

NHFG=NCDH=22.5°,

NCDF=/GDF-NHDC=22.5°=NCDH,

X?.-ZDCH=ZDCF=90°,CD=CD,

.-.ACDH^ACDF(ASA),

:.CH=CF,

在RtAGHF中，由勾股定理得GF2+HGr=HF2,

-.-HF=2CF=2AE,GF=BG,

BG2+HG2=(2AEf,

.-.BG2+HG2=4AE2.

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定

與性質、直角三角形斜邊上的中線性質、等腰三角形的性質等知識；熟練掌握正方形的性質和等腰直角三

角形的判定與性質，證明三角形全等是解題的關鍵，屬于中考常考題型.

5.2

【分析】此題考查了勾股定理、等腰三角形的判定和性質、三角形中位線等知識，利用勾股定理求出

AC=SJAB2+BC2=V62+82=10.再求出OC=AC-乂>=10-6=4,根據(jù)等腰三角形的三線合一得到

BE=ED,又由尸是邊BC的中點得到所為△BCD的中位線，即可得到答案.

【詳解】解：在VABC中，ZABC=90°,AB=6,BC=8,

貝UAC=ylAB2+BC2=>/62+82=10，

AT)=AB=6,

DC=AC-AD=10-6=4,

'：AD=AB,AE±BD,

：.BE=ED,

是邊BC的中點,

E尸為△BCD的中位線，

/.EF=-CD=-x4=2.

22

6.證明見解析.

【分析】本題考查了平行四邊形的性質和判定，先證明四邊形AECT是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的

性質即可，靈活運用平行四邊形的性質和判定是本題的關鍵.

【詳解】證明：：四邊形ABC。是平行四邊形，

AAD//BC,AD=BC,

,/BE=DF,

：.AD-DF=BC-BE,

即AF=CE,

VAD//BC,即有A尸〃CE,

四邊形AECF是平行四邊形，

AE//CF.

7.⑴①P和G；②點N的坐標為(0,4)或(4,0)；

(2)-75-l<a<75-1,且"-1,1

【分析】(1)①根據(jù)“關聯(lián)菱形”的定義即可求解；

②由菱形的性質結合勾股定理，利用兩點間距離公式建立方程求解即可；

(2)由題意可得A、,。1,8(0,6),于是得到=昨5,求得-2布Wb<2下,設點尸的“關聯(lián)

菱形”的頂點在直線>=-％+。上，要使“關聯(lián)菱形”存在，則點A不在直線y=-x+4和y=x上，以此可

得，b^O,4,設PAf的中點為。，則。［等，等求得點M,P的“關聯(lián)菱形”的頂點在直線

y=-x+a+l上，再將點代入得到以此即可得.的取值范圍.

由菱形的對角線互相垂直平分可知，能夠成為點尸的“關聯(lián)菱形”的頂點在線段PM的垂直平分線上,

點￡(2,1),

EM=J(2-l)2+(l-l)2=1,EP=J(2-3)2+(l-3)2=75,1/5,

.?.點E(2,l)不符合題意;

點尸(L3),

FM=J(l-l)2+(3-l)2=2,FP=^(1-3)2+(3-3)2=2,2=2,

.?.點E(2,l)符合題意；

點G(-l,5),

GM=^(-1-1)2+(5-1)2=2A/5,GP=^(-l-3)2+(5-3)2=2>/5,275=275,

.?.點G(T,5)符合題意；

故滿足該條件點為歹和G；

故答案為：尸和G；

②如圖，設尸河的中點為則”(2,2),過點H作尸河的垂線交坐標軸分別為/、J,HK_L尤軸于點K,

..HK=OK=2,

：.ZHOJ=45°=ZHJO,

AJ（4,0）,

設直線IJ的解析式為y=kx+blf

2k+t\—2k=-l

,解得

4k+t\=04=2

；?直線U的解析式為y=-x+4,

MH=7(2-1)2+(2-I)2=&,

依題意，點。，N在直線y=-x+4上,

.:煎M,P的"關聯(lián)菱形”MNPQ的面積為8,

???SAMHN=^S?MNPQ=^MH-HN=2,即!-夜?HN=2,

/.HN=2^2,

設+4）,

HN2=(r-2)2+(-/+4-2)2=(2V2)2,

解得:?i=0,f2=4,

；.N(0,4)或(4,0)；

(2)解：?直線y=-2x+6與x軸交于點A,與'軸交于點B,

B(0,b),

■■■AB=+(0叫2=g網(wǎng),

■：AB<5,

???鳥b區(qū)5,

-2A/5<^<2A/5,

設點M,P的“關聯(lián)菱形”的頂點在直線，=-》+。上，

當直線過點M(LD時，則y=-x+2,

???點A［，。)是點Af,P的“關聯(lián)菱形”的頂點，

0=--+2,

2

解得：6=4,此時無法構成菱形，

當Z,=0時，40,0)在直線y=x上，此時也無法構成菱形，

-2sf5<b<2y［5,且6片0,b#4,

設尸M的中點為。，則Q［與一，三一｝

mia+1a+1

貝1!刀一=一一~+c>

解得：c—a+1,

點尸的“關聯(lián)菱形”的頂點在直線y=-x+a+i上，

???點是點”,尸的“關聯(lián)菱形”的頂點，

...—=〃+1,

2

b1

tz——1.

2

-2s/5<b<2y/5,且6片0,4,

-A/5-1<a<V5—1,且。力-1,awl.

【點睛】本題主要考查函數(shù)中的新定義問題、菱形的性質、兩點間的距離公式、兩直線垂直在函數(shù)中的應

用，熟練掌握菱形的性質，利用菱形的對角線互相垂直平分正確設出“關聯(lián)菱形”的頂點所在直線的解析式

是解題關鍵.

8.(1)。2和Q

⑵10,1或(0,一3

【分析】本題是四邊形綜合題，考查了圖形與坐標、平行四邊形的判定、新定義問題的求解，正確理解新

定義和應用平行四邊形的性質是解題的關鍵.

(1)根據(jù)定義通過計算即可得出答案；

(2)設Q(x,y),則x=2y,即〉=^x，可知點。在直線y=：尤上，且。(x,；x),根據(jù)平行四邊形的性質

得gx=2,求出x的值再求出點C的坐標即可.

【詳解】(1)解：?.?1X3N2X6,

，2(3,6)不是尸(1,2)的等積點；

?.Tx2=2xl,

.?.。式2,1)是尸(1,2)的等積點；

?.-1x(-1)=2x(-1),

.?.。3(-1，-；)是「(1，2)的等積點，

故答案為：和。3；

???點Q(x，y)是點尸(1,2)的等積點,

:.x=2y,

???點C在y軸上，以。，P,Q,C為頂點的四邊形是平行四邊形，點。在X軸下方，P。IIQC,

PO=QC,

設直線PC的解析式為：y=^x+b,

3

把P(l,2)代入，可得：b=g

3

一"=5，

3

???點c的坐標為(0,5).

當點。在x軸上方，PO//QC,PQ//OC,PQ'=OC,

把Q'(Lw)代入y=可得：m=~,

13

oC=PQ：=2--=-,

???點C的坐標為(0,-1

綜上，點c的坐標為［01］或?

9.(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查三角形中位線定理、等腰三角形的判定與性質、直角三角形斜邊上的中線和平行四邊形

的性質，熟練掌握這些知識是解題的關鍵.

(1)由已知條件易證03=3C,再根據(jù)等腰三角形中底邊上的高與中線合一的性質知跖，AC.

(2)利用直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半及中位線定理可證EF=GE.

【詳解】(1)證明：?.,四邊形A3CD是平行四邊形，

:.AD=BC,OD=OB,

?：BD=2AD,

OB=BC,

「.△BCO是等腰三角形，

??,E是OC的中點，

.\BE±AC.

(2)證明：由(1)知N3E4=90。,

「.△ABE是直角三角形，

??,G是A3的中點，

:.GE=-AB,

2

:E、尸分別是OC,8的中點，

:.EF=-DC=-AB,

22

:.EF=GE.

10.見解析

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質、平行四邊形的判定等知識點，靈活運用平行四邊形的判定與

性質成為解題的關鍵.

根據(jù)平行四邊形的性質可得3C=AD,BC//AD,再結合=DN可得C0=4V,易證四邊形AMCV是

平行四邊形，最后根據(jù)平行四邊形的性質即可證明結論.

【詳解】證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

ABC=AD,BC//AD,

'：BM=DN,

:.CM=AN,

CM//AN,

二四邊形AWCN是平行四邊形，

：.AM//CN.

11.(1)詳見解析

⑵6

【分析】本題考查了平行四邊形的性質與判定，矩形的判定，含30度角的直角三角形的性質，角平分線

的定義，熟練以上知識點是解題的關鍵.

(1)根據(jù)已知條件先證明四邊形AEC尸為平行四邊形，再根據(jù)//政=90。即可得證；

(2)由成平分，ABC,可求得AB=AF,在RtZWE中，ZABC=60°,則44￡=30。，根據(jù)含30度角

的直角三角形的性質，求得BE,由已知3E=DR進而即可求得AD.

【詳解】(1)證明：?.?平行四邊形ABC。，

:.BC=AD,BC//AD,

5L-.-BE=DF,

:.BC-BE=AD-DF,

即EC=AF,

■.■EC//AF,EC=AF

四邊形AEB為平行四邊形，

又?.?/AEC=90。，

四邊形AECT是矩形.

(2)解：?.I尸平分—ABC,

:.ZABF=NFBC,

???BC\\AD,

.\ZAFB=ZFBC,

:.ZAFB=ZABF,

,\AF=AB=4,

在RtzMBE中，

ZAEB=90°fZABE=6Q°fAB=4,

.\ZBAE=30°,

BE=2,

:.FD=BE=2,

:.AD=AF+FD=6.

12.⑴見解析

（2）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

【分析】本題考查作圖-復雜作圖，平行四邊形的性質和判定等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解

決問題，屬于中考?？碱}型.

（1）先作線段AD的垂直平分線/,以點A為圓心，AD的長為半徑畫弧，交直線/于點凡再以點尸為圓

心，A8的長為半徑畫弧，交直線/于點E,連接。F,BE即可；

（2）根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形解決問題即可.

【詳解】（1）解：先作線段AD的垂直平分線/,以點A為圓心，AO的長為半徑畫弧，交直線/于點孔

再以點尸為圓心，的長為半徑畫弧，交直線/于點E,連接

可得=且EF〃的，AAD尸為等邊三角形，

則四邊形ABE尸為平行四邊形，NBAF=90°-60°=30°.

則平行四邊形4汨F即為所求.

（2）解：由（1）可知，EF=AB,EF\\AB,

.??四邊形為平行四邊形.

判定依據(jù)為：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

故答案為：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

13.（1）①見解析；②見解析

⑵①45°；?FN=PF+PM

【分析】（1）①根據(jù)題意畫圖即可；

②證明四邊形是矩形，得出NH=BC,ZANH=ZBNH=90°,證明AABE絲ANHM（ASA）,得出

=即可；

(2)①過尸作尸7,AB交BA延長線于T,過E作EKLPT于K,證明四邊形5EKT是矩形，得出

BT=EK,NK=90。，證明RGAPT0R^PEK(HL),得出NAPT=NPEK,證明VAPE是等腰直角三角

形，得出NAEP=45。；

②根據(jù)VAPE是等腰直角三角形，PF±AE,得出AF=EF=PF,求出

AE=2PF=2(PM+MF)=2PM+2MFf根據(jù)跖V=2H/+2MF,得出

MN-MF=2PM+MF=(PM+MF)+PM=PF+PM,即可得出結論.

【詳解】(1)①解：補全圖形如下：

②證明：過N作NHLCD于〃，

：.ZNHM=90°,

四邊形ABCD是正方形，

AZB=ZC=90°,AB=BC,

：.ZCHN=ZB=ZC=90°,

???四邊形5cHN是矩形，

:,NH=BC,ZANH=NBNH=90。,

:?NH=AB,

9：NM±AE,

：.ZAFN=9Q°,

：.ZBAE+ZANF=ZANF+ZHNM=90°,

???ZBAE=ZHNMf

在和中，

/BAE=NHNM

<AB=MH,

ZB=ZNHM

???小ABE、NHM(AS0,

：.AE=MN；

(2)解：①過尸作PT,AB交84延長線于T,過￡作雙，。丁于K,如圖:

N

,/四邊形ABC。是正方形，

：.ZABD=45°,

???△5PT是等腰直角三角形，

BT=PT,

?.?Z.TBE=ZBTK=Z.TKE=90°,

???四邊形5EKT是矩形，

:?BT=EK,NK=90。，

:.PT=EK,

。尸是AE1的垂直平分線，

AP=EP,

：.RtAAPT^RtAPE^（HL）,

:.ZAPT=ZPEK,

?.?ZPEK+ZEPK=90°,

ZAPT+ZEPK=90°,

：.ZAPE=90°,

???VAPE是等腰直角三角形，

???NAEP=45。；

故答案為：45°；

②由①可知，VAPE是等腰直角三角形，

PF工AE,

:.AF=EF=PF,

：.AE=2PF=2（PM+MF）=2PM+2MF,

同（1）可得AE=MN,

：.MN=2PM+2MF,

：.MN-MF=2PM+MF={PM+MF）+PM=PF+PM,

即7W=。產(chǎn)+9.

N

【點睛】本題主要考查了正方形的性質，垂直平分線的性質，等腰直角三角形的性質，三角形全等的判定

和性質，矩形的判定和性質，解題的關鍵是作出圖形，熟練掌握相關的判定和性質.

14.見解析

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質、平行四邊形的性質，先根據(jù)平行四邊形的性質和垂直定義得

到=ZB=ZD,ZAEB=ZCFD=90°,進而證明“LBE絲ACD/TAAS),然后利用全等三角形的

對應邊相等可得結論.

【詳解】證明：：四邊形ABCD是平行四邊形，

AAB=CD,ZB=ZD,

'：AELBC,CF±AD,

：.ZAEB=/CFD=90。,

在△ABE和VCD/中，

NB=ND

<NAEB=ZFD,

AB=CD

：.AABE名ACDF(AAS),

BE=DF.

15.見解析

【分析】本題考查了平行四邊形的性質與判定，等角對等邊，角平分線的定義，先根據(jù)平行四邊形的性質

得出NAEB=NCBE,結合角平分線的定義以及角的等量代換，得出乙4BE=NA￡3等角對等邊，則

AS=AE,同理B=CD根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形，證明是平行四邊形，即可作答.

【詳解】證明：在平行四邊形ABCD中，

貝AB=CD,

：.ZAEB=ZCBE,

又BE平分NABC,

：.ZABE=ZEBC,

ZABE=ZAEB,

即

同理CF=CD,

又AB=CD,

：.CF^AE,

BF=DE,

'：AD//BC,

四邊形EBFD是平行四邊形.

16.⑴見解析

(2)見解析

【分析】本題主要考查了平行四邊形的判斷，菱形的判定，勾股定理:

(1)由AB=CE>=4,則AO=8C=石，結合網(wǎng)格的特點作圖即可；

(2)根據(jù)網(wǎng)格的特點，結合?1￡=圮=河=8尸作圖即可.

【詳解】(1)解：如圖1所示：四邊形ABCD即為所求；

圖1

(2)解：如圖2所示，四邊形AE防即為所求.

【分析】本題考查了菱形的判定及性質、勾股定理、全等三角形的判定及性質、直角三角形的特征，熟練

掌握其判定及性質是解題的關鍵.

(1)利用菱形的判定及直角三角形的特征即可求證結論；

(2)利用直角三角形的特征及勾股定理求得DF=4,利用菱形的性質及SAS可得AOCG/AECG,進而可

得DG=GE,根據(jù)尸G2+E/2=歐72即可求解；

【詳解】(1)證明：?：BE//CD,CE//AB,

.,?四邊形CEBD是平行四邊形，

在Rt^ABC中，ZACB=90°,且點。是AB的中點，

;.CD=BD^-AB,

2

，四邊形CEBD是菱形.

(2)解：?.-AB=10,

:.CD=-AB=5,

2

?;DFLCE,

.?.ZDFC=90°,

在Rt/XCD尸中，CF=3,

:.DF=\/CD2-CF2=4'

:四邊形CEB。是菱形，

:.CE=CD=5,ZDCG=ZECG,

:.EF=CE-CF=2,

在△DCG與AECG中，

'CD=CE

"ZDCG=NECG,

CG=CG

..ALJCG絲AECG(SAS),

:.DG=GE,

FG2+EF2=EG2,

.■.(4-DG)2+22=Z)G2,

DG=~,

2

故DG的長為g.

2

18.⑴見詳解

(2)見詳解

【分析】本題考查作圖-復雜作圖，平行四邊形的判定和性質，菱形的判定等知識，解題的關鍵是理解題

意，靈活運用所學知識解決問題.

(1)根據(jù)要求作出圖形；

(2)根據(jù)對角線垂直的平行四邊形是菱形證明即可.

【詳解】(1)解：如圖，菱形ABC。即為所求；

A

(2)證明：VAO=OC,DO^OB,

，四邊形ABCD是平行四邊形.

ZAOD^9Q0,

：.AC.LBD.

，平行四邊形ABCD是菱形(對角線垂直的平行四邊形是菱形).

故答案為：OC,OB,對角線垂直的平行四邊形是菱形.

19.(1)證明見解析

(2)3

【分析】(1)由角平分線的定義和平行線的性質可得加D=可得"=AD=3C,由菱形的判定

可證四邊形A2CD是菱形；

(2)由勾股定理求得BE”》“。？=8,設CE=x，則CD=8—x,在Rt^CDE中，

CD2=CE2+DE2，代入數(shù)據(jù)解答即可得解.

【詳解】(1)解：證明：Q3D平分/ABC,

:.ZABD=ZDBC,

■.■AD//BC,

：.ZADB=ZDBC,

:.ZABD=ZADB

:.AB=AD,S.AB^BC,

:.AD=BC,且AD〃3C,

四邊形ABC。是平行四邊形，且AB=3C,

四邊形ABC。是菱形；

(2)解：'：BO=DO,DEA.BC,

:.OE=-BD=2y[5,

2

BD=4A/5,

BE=NBD。-DE。=J(4灼2-42=8,

設CE=x,貝118c=5E_CE=8_x,

:.CD=BC=8-x,

在RtaCDE中，CD2=CE2+DE2,

(8-x)2=x2+42,

解得：x=3,

;.CE的長為3.

【點睛】本題考查了菱形的判定和性質，角平分線的定義，直角三角形的性質，等腰三角形的判定和性

質，勾股定理等知識，熟練運用性質進行推理是本題的關鍵.

20.(1)4,472

(2)72，2A/17

⑶±8

(4)1,272+1

【分析】本題考查了正方形的性質，勾股定理，一次函數(shù)的性質，近點距與遠點距的定義等知識，解題的

關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型.

(1)線段AB與線段C。的近點距是正方形的邊長，遠點距是正方形的對角線.

(2)如圖2中，連接AC,延長AC交于Af.解直角三角形求出AM,AE,AF,CN