2024北京重點校初一（下）期中數(shù)學匯編：二元一次方程組的解法2（京改版）（解答題）

2024北京重點校初一（下）期中數(shù)學匯編

二元一次方程組的解法（京改版）（解答題）2

一、解答題

1.（2024北京通州初一下期中）用如圖（1）中的長方形和正方形紙板做側(cè)面和底面，做成如圖（2）的橫

式和豎式兩種無蓋紙盒.

圖（1）圖（2）

（1）若倉庫里有300張長方形紙板和100張正方形紙板，若兩種紙板恰好用完，問兩種紙盒各做多少個？

（2）若倉庫里有。張長方形紙板和6張正方形紙板，要使兩種紙板恰好用完，則應(yīng)滿足什么條件，請說

明理由.

2.（2024北京第十三中學初一下期中）解方程組、[

2x+3y=1①

3.（2024北京文匯中學初一下期中）解方程組：

x-2y=4(2)

4.（2024北京第三中學初一下期中）某餐飲公司銷售A、B兩種套餐，已知購買2份A套餐和3份8套餐

共用了84元；1份A套餐和2份8套餐共用了51元.

（1）求A套餐、B套餐的單價各多少元；

（2）某單位從該餐飲公司購買A、8兩種套餐共20份，費用不超過330元，求該單位最多能購買多少份B套

餐.

x+2=2

5.（2024北京順義仁和中學初一下期中）解方程組：.2'

3x—2y=-1.

=3

6.（2024北京廣渠門中學初一下期中）解方程組：..

[x-2y=o8

f3x+4y=2,

7.（2024北京順義仁和中學初一下期中）解方程組。/。

=8.

8.（2024北京順義仁和中學初一下期中）解答題：

[32x+35y=38①

解方程組L“臺時，由于x,、的系數(shù)及常數(shù)項的數(shù)值較大，如果用常規(guī)的代入消元法、加減

[30x+33y=36②

消元法來解，不僅計算量大，而且易出現(xiàn)運算錯誤，而采用下面的解法則比較簡單:

①-②得2%+2y=2,所以x+y=l③，

③x35—①得3x=—3f

解得從而丁=2,

所以原方程組的解是「fx=二—21

2016x+2018y=2020

請你運用上述方法解方程組:

2019%+2021y=2023

9.（2024北京鐵路第二中學初一下期中）在平面直角坐標系中，對于與原點不重合的兩個點打。/）和

/、\x=c

Q（c,d）,關(guān)于x,y的方程W+萬一稱為點P的“照耀方程".若是方程"+好的解，則稱點尸“照耀”了

點。

（3

例如，點以5,7）的“照耀方程”是5x+7y=l,且J%=是該方程的解，則點入5,7）“照耀”了點。（3,-2）.

⑴下列點中被點4（3,-2）“照耀”的點為

月（一1,1）,4（4,6）,鳥（5,7）

⑵若點C（p,q）同時被點￡＞（5,-9）和點現(xiàn)-3,7）“照耀”，請求出P,q

（3）若〃個不同的點《，尸2,…，Pn,每個點都“照耀”了其后所有的點,

如片“照耀”了鳥，A，…，P",

號'照耀”了A，A，…，P?,

心“照耀”了匕,

請寫出〃的最大值，并說明理由.

3%-2y=8

10.（2024北京第一六一中學初一下期中）解方程組:

2x+y=3

11.（2024北京豐臺第二十中學初一下期中）計算

2x—3y=l

⑴

y=x-4

4x-2y=10

⑵

3無-4y=5

x+3y=2①

12.（2024北京陳經(jīng)綸中學初一下期中）解方程組:

3x-y=-4(2)

x+2y=7,

13.（2024北京二中初一下期中）解方程組:

3尤+4y=17.

14.（2024北京西城外國語學校初一下期中）北京冬奧會期間，大批的志愿者秉承“奉獻、友愛、互助、進

步”的志愿精神參與服務(wù)工作.某高校組織400名學生參加志愿活動，已知用1輛小客車和2輛大客車每

次可運送學生110人；用4輛小客車和1輛大客車每次可運送學生125人.

（1）每輛小客車和每輛大客車各能運送多少名學生？

（2）若學校計劃租用小客車。輛，大客車6輛，若兩種客車均租用且恰好每輛車都坐滿，一次運送完，請你

設(shè)計出所有的租車方案.

15.（2024北京第七中學初一下期中）列二元一次方程組解應(yīng)用題：

快遞員把貨物送到客戶手中稱為送件，幫客戶寄出貨物稱為攬件.快遞員的提成取決于送件數(shù)和攬件

數(shù).某快遞公司快遞員小李若平均每天的送件數(shù)和攬件數(shù)分別為80件和20件，則他平均每天的提成是

160元；若平均每天的送件數(shù)和攬件數(shù)分別為120件和25件，則他平均每天的提成是230元.求快遞員小

李平均每送一件和平均每攬一件的提成各是多少元.

fX+y——1

16.（2024北京第四中學初一下期中）解方程組：c-.

[2%-3y=8o

17.（2024北京第十五中學初一下期中）我國傳統(tǒng)數(shù)學名著《九章算術(shù)》記載：“今有牛五、羊二，直金十

九兩；牛二、羊五，直金十六兩.問牛、羊各直金幾何？”譯文：“假設(shè)有5頭牛、2只羊，值19兩銀子；

2頭牛、5只羊，值16兩銀子，問每頭牛、每只羊分別值銀子多少兩？”

根據(jù)以上譯文，提出以下兩個問題：

（1）求每頭牛、每只羊各值多少兩銀子？

（2）若某商人準備用19兩銀子買牛和羊（要求既有牛也有羊，且銀兩須全部用完），請問商人有幾種購

買方法？列出所有的可能.

18.（2024北京通州初一下期中）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學的基本

框架，其中方程術(shù)是重要的數(shù)學成就，書中有一個方程問題：今有醇酒一斗，直錢五十；行酒一斗，直錢

一十.今將錢三十，得酒二斗，問醇、行酒各得幾何？意思是：今有美酒一斗的價格是50錢；普通酒一斗

的價格是10錢.現(xiàn)在買兩種酒2斗共付30錢，問買美酒、普通酒各多少斗？

19.（2024北京第四中學初一下期中）學校計劃為“我和我的祖國”演講比賽購買獎品.已知購買3個4獎

品和2個8獎品共需130元；購買5個A獎品和4個8獎品共需230元.

（1）求A,8兩種獎品的單價；

（2）學校準備購買A,8兩種獎品共40個，且A獎品的數(shù)量不少于B獎品數(shù)量的;.購買預(yù)算金不超過

920元，請問學校有幾種購買方案.

20.（2024北京回民學校初一下期中）解方程組：0'c

=2,

「2x+y=5f4（x-y-l）=3（l-y）-2

21.（2024北京第十五中學初一下期中）解方程組：⑴/門（2）%y、

\x-2y=0-+—=2

[23

22.（2024北京第十四中學初一下期中）某高校共有5個大餐廳和2個小餐廳.經(jīng)過測試：同時開放1個

大餐廳、2個小餐廳，可供1680名學生就餐；同時開放2個大餐廳、1個小餐廳，可供2280名學生就

（1）求1個大餐廳、1個小餐廳分別可供多少名學生就餐；

（2）若7個餐廳同時開放，能否供全校的5300名學生就餐？請說明理由.

參考答案

1.(1)橫式紙盒做20個，豎式紙盒做60個

(2)a+6是5的整數(shù)倍，理由見解析

【分析】(1)設(shè)橫式紙盒做x個，豎式紙盒做丫個，根據(jù)制作的兩種紙盒恰好用完300張長方形紙板和100

張正方形紙板，可列出關(guān)于x,y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)橫式紙盒做機個，豎式紙盒做〃個，根據(jù)制作的兩種紙盒恰好用完。張長方形紙板和6張正方形紙

板，可列出關(guān)于“，6的二元一次方程組，兩方程相加，可得出。+人=5(冽+”),結(jié)合沉，〃均為正整數(shù)，

即可得出。+6是5的整數(shù)倍.

【詳解】(1)解：設(shè)橫式紙盒做x個，豎式紙盒做y個，

答：橫式紙盒做20個，豎式紙盒做60個;

(2)解：是5的整數(shù)倍，理由如下:

設(shè)橫式紙盒做機個，豎式紙盒做〃個，

3m+4n=a

根據(jù)題意得:

2m+n=b

:.a+b-5{m+n),

又加，〃均為正整數(shù)，

.??。+匕是5的整數(shù)倍.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及列代數(shù)式，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解

題的關(guān)鍵.

【分析】首先將①/2+②可求得x=2,將x=2代入①可求得V的值.

【詳解】解:[[2xJ+y--3①②

①x2+②，得7尤=14,

解得：x=2,

將x=2代入①可得4+y=3,

解得：＞=—1，

['尤=2

???原方程組的解為

y=-l

【點睛】本題考查了二元一次方程組的求解，熟練掌握加減消元法解二元一次方程組是解答本題的關(guān)鍵.

x=2

3.

y=-l

【分析】利用加減消元法求解即可.

2x+3y=l①

【詳解】解:

尤_2y=4②

①-②x2得，7y=-7,解得y=-l

把y=T代入②得，x+2=4,解得尤=2,

fx=2

原方程組的解為

[y=-l

【點睛】本題考查的是解二元一次方程組，熟練掌握解方程的法則是解答此題的關(guān)鍵.

4.（1）4套餐的單價為15元，2套餐的單價為18元

（2）10份

【分析】（1）設(shè)A套餐的單價為x元，8套餐的單價為y元，根據(jù)購買2份A套餐和3份B套餐共用了84

元；1份A套餐和2份2套餐共用了51元列出方程組，解之即可.

（2）設(shè)購買8套餐機份，根據(jù)費用不超過330元，列出不等式，解之即可.

【詳解】（1）解：設(shè)A套餐的單價為x元，B套餐的單價為y元,

2x+3y=84

由題意可得:

x+2y=51

尤=15

解得:

y=18

...A套餐的單價為15元，3套餐的單價為18元;

（2）設(shè)購買8套餐加份,

由題意可得：15（20-根）+18，〃<330,

解得：m<10,

該單位最多能購買10份3套餐.

【點睛】本題考查了二元一次方程組和一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系和不等關(guān)系,

列出方程組和不等式.

[x=l

5'b=2

【分析】方程組整理后，方程組利用加減消元法求解即可.

x+——2,

【詳解】2

3x—2y=-1.

2x+y=4①

整理得,

3x-2y=-l@

①x2+②得，7x=7

解得,x=l

將尤=1代入①得：2xl+y=4

解得：y=2

(%一]

???方程組的解為：c

U=2

【點睛】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，解題的關(guān)鍵是利用代入消元法或加減消元法

消去一個未知數(shù).

fx=2

「=-3

【分析】運用代入消元法或加減消元法求解

3x+y=3①

【詳解】

尤_2y=8②

解法一：代入消元法

由②，得x=2y+8③

把③代入①，得3(2y+8)+y=3

解得廣-3

把丁=一3代入③，得尤=2

"2

，方程組的解為。

b=-3

解法二：加減消元法

①x2+②，得7x=14

解得尤=2

把x=2代入①，得產(chǎn)-3

[x=2

???方程組的解為。

[y=-3

【點睛】本題考查解二元一次方程組，掌握二元一次方程組的解法是解題的關(guān)鍵.

7,1fyx==2T

【分析】利用加減消元法求解可得；

-(3x+4y=2,?

【詳解】解：八?父⑨

[3x—2y=8.②

①—②，得6y=_6,y=_]

把＞二T代入①，得3X+4X(—1)=2

(％=2

；.x=2所以，原方程組的解為.：

ly=-i-

【點睛】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，解決本題的關(guān)鍵是要掌握消元的方法，即代

入消元法與加減消元法.

【分析】仿照例子，利用加減消元法可解方程組求解.

2016元+2018y=2020①

【詳解】解:

2019元+2021〉=2023②

②-①得：3x+3y=3,

x+y=1③，

③x2018-①得：2x=-2,

解得：x=-l,

將x=_l代入③得：y=2,

fX=-1

???原方程組的解為c.

[y=2

【點睛】本題主要考查二元一次方程組的解法，解二元一次方程組由代入消元法和加減消元法.

9.⑴瑪（5,7）

（2）p=2,g=1

（3）”的最大值為3；理由見解析

【分析】（1）根據(jù)題目中給出的定義進行解答即可；

（2）根據(jù)題意列出方程組，求解即可；

（3）根據(jù)二元一次方程組只有一個解解答即可.

【詳解】（1）解：點4（3,-2）的照耀方程為：3x-2y=l,

把點耳（-1,1）代入得：—3—2=—5x1,

點耳不是被點A（3,-2）“照耀”的點；

把點用（4,6）代入得：3x4-2x6=0W1,

；?點B2不是被點4（3,-2）“照耀”的點;

把點罵（5,7）代入得:3x5-2x7=l,

???點層是被點4（3,-2）“照耀”的點;

故答案為：鳥（5,7）.

（2）解：點。（5,-9）的照耀方程為：5尤-9y=1,點E（-3,7）的照耀方程為：-3x+7y=l,

x=2

解方程組-3尤+7丫=產(chǎn)

J=1

.??點c為（2,1）,

即p=2,4=1.

（3）解：〃的最大值為3；理由如下:

設(shè)點片（44），則關(guān)于點片（知仿）的照耀方程為aj+bj=1,

設(shè)點P2（%也）,則關(guān)于點?（生也）的照耀方程為小+3=1，

設(shè)點心（生也）是被片（4片）和g（生也）的“照耀”的點，

x=a,a^x+b1y=1

/是方程組

ax+by=1"

y=b323

a,x+b,y=1

;方程組1'?1為關(guān)于X、y的二元一次方程組,

a2x+b3y=1

又：二元一次方程組只有一個解,

被耳（弓,偽）和心（生也）“照耀”的點只有一個,

不可能再寫出第4個點,

?*.n的最大值為3.

【點睛】本題主要考查了新定義運算，解題的關(guān)鍵是理解題意，熟練掌握解二元一次方程組的方法，及二

元一次方程組解的定義.

x=2

10.

y=-i

【分析】利用代入消元法解二元一次方程組即可.

3x-2y=8①

【詳解】

2x+y=3②

由②得y=3-2x③，

將③代入①，得版-2（3-2x）=8,解得x=2,

將x=2代入y=3-2x,得y=-l,

x=2

所以方程組的解為

y=-i

【點睛】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握代入消元法是解題的關(guān)鍵.

x=ll

11.(1)

y=7

x=3

⑵

)=1

【分析】（1）將②代入①可求解x值，將％=11代入②可求解、值，進而解方程;

（2）①x2-②可求解x值，再將x值代入①可求解、值，進而解方程.

2x-3y=1①

【詳解】（1）解:

y=%-4(2)

將②代入①得2X-3(X-4)=1,

解得X=H，

將x=H代入②得y=ll—4=7,

fx=11

；?方程組的解為r；

[y=7

j4x-2y=10①

13尤-4y=5②'

①x2-②得5x=15,

解得x=3,

將x=3代入①得3x4-2y=10,

解得y=i,

[x=3

???方程組的解為一

【點睛】本題主要考查二元一次方程組的解法，解二元一次方程組：加減消元法，代入消元法，選擇合適

的解法是解題的關(guān)鍵.

fx=—1

12.1

[y=i

【分析】利用代入消元法求解即可.

【詳解】解：=-4②，

由①得：尤=2-3y③，

把③代入②，得3(2-3y)-y=T,

解得：y=i,

把y=i代入③，得％=-1.

[x=-l

所以原方程組的解為，.

【點睛】本題考查的是二元一次方程組的解法，掌握代入消元法是解答本題的關(guān)鍵.

[%=3

3.0

[y=2

【分析】利用加減消元法，進行計算即可解答.

x+2y=7①

【詳解】解:

3x+4y=17②

①x2得:

2x+4y=14③,

②-③得:

把工=3代入①得:

3+2y=7,

解得：y=2,

二原方程組的解為：[x=3

[y=2

【點睛】本題考查了解二元一次方程組，熟練掌握加減消元法是解題的關(guān)鍵.

14.（1）每輛小客車能運送20名學生，每輛大客車能運送45名學生

（2）租車方案為：小客車11輛，大客車4輛或小客車2輛，大客車8輛

【分析】（1）設(shè)每輛小客車能坐x名學生，每輛大客車能坐y名學生，根據(jù)“用1輛小客車和2輛大客車每

次可運送學生110人；用4輛小客車和1輛大客車每次可運送學生125人”，即可得出關(guān)于尤，y的二元一

次方程組，解之即可得出結(jié)論；

（2）①根據(jù)“一次運送400名學生，且恰好每輛車都坐滿”，即可得出關(guān)于a,b的二元一次方程，結(jié)合

a,b均為正整數(shù)，即可得出各租車方案;

【詳解】（1）設(shè)每輛小客車能運送無名學生，每輛大客車能運送y名學生.

x+2y=110

根據(jù)題意，得:

4x+y=125

x=20

解得:

y=45

答：每輛小客車能運送20名學生，每輛大客車能運送45名學生.

(2)根據(jù)題意，得20a+45b=400.

9

a=20—b.

4

??%,6為正整數(shù)，兩種客車均租用且恰好每輛車都坐滿

Tl或f能a=82?

答：租車方案為：小客車11輛，大客車4輛或小客車2輛，大客車8輛.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)

系，正確列出二元一次方程組；（2）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程.

15.快遞員小李平均每送一件的提成是1.5元，平均每攬一件的提成是2元

【分析】設(shè)快遞員小李平均每送一件和平均每攬一件的提成各是x元，y元，然后根據(jù)若平均每天的送件

數(shù)和攬件數(shù)分別為80件和20件，則他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件數(shù)和攬件數(shù)分別為

120件和25件，則他平均每天的提成是230元列出方程組求解即可.

【詳解】解：設(shè)快遞員小李平均每送一件和平均每攬一件的提成各是％元，y元,

80x+20y=160

由題意得:

120x+25y=230

尤=1.5

解得

)=2

快遞員小李平均每送一件和平均每攬一件的提成各是1.5元，2元,

答：快遞員小李平均每送一件的提成是L5元，平均每攬一件的提成是2元.

【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的實際應(yīng)用，正確理解題意列出方程組是解題的關(guān)鍵.

x=l

16.

y=~2

【分析】觀察方程組各個含有未知數(shù)的項的系數(shù)，可加減消元法解二元一次方程組.

x+y=-10

【詳解】解:

2x-3y=8②

①x2,得2尤+2y=-2③.

②-③，得-5y=10.

將y=-2代入①，得1.

(x-]

...該方程組的解為

【點睛】本題考查二元一次方程組的解法，熟練掌握代入消元法或加減消元法解二元一次方程組是解題關(guān)

鍵.

17.(1)每頭牛3兩銀子，每只羊2兩銀子;(2)三種購買方法，買牛5頭，買養(yǎng)2只或買牛3頭，買養(yǎng)5只或買

牛1頭，買養(yǎng)8只.

【分析】(1)根據(jù)題意列出二元一次方程組，解出即可.

(2)根據(jù)題意列出代數(shù)式，窮舉法代入取值即可.

【詳解】(1)設(shè)每頭牛無銀兩,每只羊>銀兩.

J5x+2y=19

[2x+5y=16

(x=3

解得：c

[y=2

答:每頭牛3兩銀子，每只羊2兩銀子.

(2)設(shè)買牛。頭，買羊b只.

3。+26=19,即6=上19-產(chǎn)317.

解得a=5,b=2；或a=3,b=5,或a=l,b=8.

答:三種購買方法，買牛5頭，買養(yǎng)2只或買牛3頭，買養(yǎng)5只或買牛1頭，買羊8只.

【點睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用,關(guān)鍵在于理解題意找出等量關(guān)系.

18.買美酒;斗，買普通酒:斗.

【分析】設(shè)買美酒x斗，買普通酒y斗，根據(jù)題意列出二元一次方程即可求解.

【詳解】解：設(shè)買美酒了斗，買普通酒y斗，

根據(jù)題意列方程得：

x+y=2

50x+10y=30

1

x=—

4

解得

7

)=-

4

答：買美酒;斗，買普通酒二斗.

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【點睛】此題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系求解.

19.（1）A種獎品的單價為30元，B種獎品的單價為20元.（2）學校有三種購買方案，方案一：購買A

種獎品10個，B種獎品30個；方案二：購買A種獎品H個，8種獎品29個；方案三：購買A種獎品12

個，2種獎品28個.

【分析】（1）設(shè)A種獎品的單價為尤元，B種獎品的單價為y元，根據(jù)“購買3個A獎品和2個2獎品共需

130元；購買5個A獎品和4個2獎品共需230元”，即可得出關(guān)于x,y的二元一次方程組，解之即可得

出結(jié)論；

（2）設(shè)購買A種獎品加個，則購買B種獎品（40-加）個，根據(jù)購買A種獎品的數(shù)量不少于8種獎品數(shù)

量的;且購買預(yù)算金不超過920元，即可得出關(guān)于根的一元一次不等式組，解之即可得出機的取值范圍,

再結(jié)合m為整數(shù)即可得出各購買方案.

【詳解】解：（1）設(shè)A種獎品的單價為x元，B種獎品的單價為y元,

3x+2y=130

依題意，得:

5x+4y=230

x=30

解得:

7=20

答：A種獎品的單價為30元，B種獎品的單價為20元.

（2）設(shè)購買A種獎品相個，則購買3種獎品（40-機）個,

m>—(40-m)

依題意，得:

30m+20(40-m)<920

解得：10q臼2.

???根為整數(shù)，

.*.m=10,11,12,

???40-機=30,29,28.

學校有三種購買方案，方案一：購買A種獎品10個，8種獎品30個；方案二：購買A種獎品11個，B

種獎品29個；方案三：購買A種獎品12個，B種獎品28個.

【點睛】此題考查的是二元一次方程組的應(yīng)用和一元一次不等式組的應(yīng)用，掌握實際問題中的等量關(guān)系和

不等關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵.

x=8,

20.

y=3,

【分析】利用解二元一次方程組-代入消元法進行計算即可.