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2024年高考數(shù)學(xué)全真模擬卷03(新高考專用)
(考試時(shí)間:120分鐘;滿分:150分)
注意事項(xiàng):
1.本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分。答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填
寫(xiě)在答題卡上。
2.回答第I卷時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng),用
橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。
3.回答第II卷時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。
4.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。
第I卷
一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題
目要求.
1.(5分)(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知全集"=仁集合4={同久2_%_2>0},B={0,1,2,3},則(C/1)
CB=()
A.[-1,2]B.[-1,0,1,2}C.[0,1,2}D.{-1,0,1,2,3}
【解題思路】根據(jù)一元二次不等式的解法求解集合力,然后利用補(bǔ)集和交集運(yùn)算求解即可.
【解答過(guò)程】由』-X-2>0得(久-2)(x+1)>0,解得或x>2,
所以a=(-8,_l)u(2,+8),所以(:脾=[-1,2],故化脾)c8={0,1,2}.
故選:C.
2.(5分)(2023?河北邢臺(tái)?寧晉中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))若復(fù)數(shù)z=(2-ai)(i+l)的共輾復(fù)數(shù)萬(wàn)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)
應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()
A.(2,+oo)B.(-oo,-2)C.(-2,2)D.(0,2)
【解題思路】應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法化簡(jiǎn),再由所在象限的復(fù)數(shù)特征列不等式組求參數(shù)范圍.
【解答過(guò)程】由題設(shè),可得z=2+a+(2-a)i,所以萬(wàn)=2+a+(a-2)i,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限,
所以[2+a>0n-2<a<2.
故選:C.
3.(5分)(2023?陜西榆林???寄M預(yù)測(cè))在△力BC中,點(diǎn)D滿足麗=2反,點(diǎn)E滿足荏=同+演?
,若4c=xBE+yBC,則x+y=()
iiii
A--5B--4C--3D--2
【解題思路】用瓦^(guò)前作為一組基底表示出麗、AC,再根據(jù)平面向量基本定理得到方程組,解得即可.
【解答過(guò)程】因?yàn)辄c(diǎn)E滿足區(qū)=同+須?,所以E為力D的中點(diǎn),
所以前=1或+;麗,又麗=2皮,
----->2---->
所以BD=58C,
所以“=》+振,又就=就-瓦?,
因?yàn)槟?%前+丫麗,所以麗-瓦?=x(短?+/?)+y說(shuō),
即BC-BA—/BA+Qx+y^BC,
-%+y=1(X=-2]
所以,i,解得”_三,所以久+y=-?
2%=-i(,-3s
故選:C.
A
4.(5分)(2023?四川南充?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))下列函數(shù)是偶函數(shù),且在(0,+8)上單調(diào)遞增的是()
1
A./(X)=-xB./(%)=x
C./(%)=|x|D.f(x)=2"
【解題思路】A選項(xiàng),函數(shù)不滿足單調(diào)性;B選項(xiàng),定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,B錯(cuò)誤;C選項(xiàng),滿足函數(shù)
為偶函數(shù)且在(0,+8)上單調(diào)遞增;D選項(xiàng),函數(shù)不滿足為偶函數(shù).
【解答過(guò)程】A選項(xiàng),/(幻=-/在(0,+8)上單調(diào)遞減,A錯(cuò)誤;
1
B選項(xiàng),八功=力的定義域?yàn)椋?,+8),定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,不是偶函數(shù),B錯(cuò)誤;
C選項(xiàng),/(X)=1x1的定義域?yàn)镽,又/(-X)=I-xl=|xl=/(x),故f(x)=|xl為偶函數(shù),
且%>0時(shí),/(x)=I久I=%在(。,+8)上單調(diào)遞增,滿足要求,C正確;
D選項(xiàng),f(%)=2支的定義域?yàn)镽,且/'(-%)=2」又2。故/(-X)"(x),
/(x)=2,不是偶函數(shù),D錯(cuò)誤.
故選:C.
5.(5分)(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))某校有甲、乙等5名同學(xué)到4個(gè)社區(qū)參加志愿服務(wù)活動(dòng),要求每名同
學(xué)只能去1個(gè)社區(qū),每個(gè)社區(qū)至少安排1名同學(xué),則甲、乙2人被分配到同1個(gè)社區(qū)的概率為()
3123
A-10B-10C-5D-5
【解題思路】由排列與組合的相關(guān)計(jì)算公式運(yùn)算即可求解.
【解答過(guò)程】先在5名同學(xué)中選出2名同學(xué)分配到一個(gè)社區(qū),有4種分配方法,
再將另外3人分配到3個(gè)社區(qū)且每個(gè)社區(qū)各1人,則共有《A:=240(種)分配方法,
其中甲、乙2人被分配到同一個(gè)社區(qū)的分法有A:=24(種),
241
則甲、乙2人被分配到同1個(gè)社區(qū)的概率為麗=而.
故選:B.
6.(5分)(2023?廣東?校聯(lián)考二模)已知尸是雙曲線E:1-3=l(a>0力>0)的左焦點(diǎn),。為坐標(biāo)原點(diǎn),
ab
過(guò)點(diǎn)尸且斜率為連的直線與E的右支交于點(diǎn)M,MN=3NF,MFION,則E的離心率為()
A.3B.2C.A/3D.A/2
【解題思路】取MF的中點(diǎn)為P,連接MF?P0,根據(jù)題意得到ON//P/,求得=2c,結(jié)合tan
Z-MFF1-y,得到COSNMFF]==],結(jié)合雙曲線的定義,得到c=2a,即可求解.
【解答過(guò)程】如圖所示,雙曲線=1的右焦點(diǎn)為FpMF的中點(diǎn)為P,連接MF?PF1,
ab111
因?yàn)榧?3和。為PF1的中點(diǎn),所以O(shè)N〃PFp則MFlPFp可得=|FFj=2c,
又因?yàn)閠an/MF%所以cos/MFF]=黑^=:
則|MF|=3c,|MF|-IMF1=3c-2c=c=2a,可得e=:=2,
所以E的離心率為2.
故選:B.
7.(5分)(2023?廣西?模擬預(yù)測(cè))已知sin(a+:)=|,ae(0,》,貝i]sin(a+「)=()
AgR獨(dú)—D氈
八.1061010口.10
【解題思路】確定a+:€住3得到cos(a+:)=-根據(jù)sin(a+3=sin](a+:)-:)展開(kāi)計(jì)算得到答案.
【解答過(guò)程】a6(0,2),故a+§eQ,石),又sin(a+§)=弓<弓,
故a+上(淺),cos(a+加一)
?(?17叫.f,n/TT\n772
sinla+司=sinIa+^1-^1=sinla+3Icos^-cosla+寸sm]=而.
故選:D.
e2e3
e1
8.(5分)(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知a=需,b=e~fc=^,則有()
A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a
X-1
【解題思路】函數(shù)/(%)=X>1,則a=f(3),b=f(e),c=f(4),確定函數(shù)/(久)的單調(diào)性,通過(guò)單調(diào)性可
確定大小.
e?—1ge-1e,—1
【解答過(guò)程】把a(bǔ),b,。變形得。=而打b="jKT,。=京^,
所以構(gòu)造函數(shù)/(%)=/7,%>1,則a=/(3)力=/(e),c=/(4)./(%)=----------=—:—3—A>L
1I1X(In%)(In%)
1?11
令g(x)=Inx-則g(%)=-+^>。在(L+8)上恒成立,
所以g(x)在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增,因?yàn)間(e)=Ine-1=l-|>0,
所以「(X)>。在[e,4-8)上恒成立,
X-1
所以函數(shù)八久)=%在[e,+8)上單調(diào)遞增,
所以/(e)</(3)<f(4),即6<a<c.
故選:C.
二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全
部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.
9.(5分)(2023?廣東揭陽(yáng)?惠來(lái)縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))甲、乙、丙、丁四名教師分配到4B,C三
個(gè)學(xué)校支教,每人分配到一個(gè)學(xué)校且每個(gè)學(xué)校至少分配一人.設(shè)事件M:“甲分配到4學(xué)?!?;事件N:“乙分
配到8學(xué)?!?,則()
A.事件M與N互斥B.P(M)=:
C.事件M與N相互獨(dú)立D.P(M|N)=1
【解題思路】利用互斥事件、相互獨(dú)立事件的定義判斷AC;利用古典概率計(jì)算判斷B;計(jì)算條件概率判
斷D作答.
【解答過(guò)程】對(duì)于A,甲分配到A學(xué)校的事件與乙分配到B學(xué)校的事件可以同時(shí)發(fā)生,即事件M與N不互
斥,A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,甲分配到4B,C三個(gè)學(xué)校是等可能的,則P(M)=(B正確;
1+CJCJ
對(duì)于C,由選項(xiàng)B知,P(N)=1,P(MN)=京,顯然P(MN)KP(M)P(N),
竭
因此事件M與N相互不獨(dú)立,C錯(cuò)誤;
5
P(MN}365
對(duì)于D,由選項(xiàng)BC知,P(M|N)==(=IPD正確.
3
故選:BD.
10.(5分)(2023?云南?怒江校聯(lián)考一模)己知正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上,若該棱錐的高為4,底
面邊長(zhǎng)為2,則下列結(jié)論正確的是()
A.正四棱錐的體積為當(dāng)B.正四棱錐的側(cè)面積為16
C.外接球的表面積為等D.外接球的體積為黑1
【解題思路】根據(jù)錐體的體積公式計(jì)算可判斷選項(xiàng)A;先利用勾股定理計(jì)算出側(cè)面的高,再根據(jù)側(cè)面積公
式計(jì)算可判斷選項(xiàng)B;先計(jì)算出外接球的半徑,再根據(jù)球的表面積公式和體積公式計(jì)算即可判斷選項(xiàng)C、
D.
【解答過(guò)程】如圖所示:
對(duì)于選項(xiàng)A:因?yàn)樵摾忮F的高EF=4,底面邊長(zhǎng)為2,
所以正四棱錐的體積為[x2X2x4=與,故選項(xiàng)A正確;
對(duì)于選項(xiàng)B:因?yàn)閭?cè)面三角形的高為"T7=",
所以正四棱錐的側(cè)面積為]x2xgx4=4舊,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;
對(duì)于選項(xiàng)C:設(shè)外接球的球心為。,半徑為r,
則OE=OA=r,OF=EF-OE=4-r.
因?yàn)?F=XBsin45°=必,
所以在Rtaa。尸中,有(4-#+(衣)=/,解得「=不
___7/9'281ir
所以該球的表面積為471T=4irX(7)=丁,故選項(xiàng)C正確;
\比/4,
94a4/9\3243Tt
對(duì)于選項(xiàng)D:因?yàn)榍虬霃絩=%,所以體積為利r=311x(4)=~16~,故選項(xiàng)D正確.
故選:ACD.
11.(5分)(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))拋物線C的焦點(diǎn)尸(0,-1),點(diǎn)M在直線y=l上,直線M4MB為拋物線
C的切線,設(shè)力上必),取叼必),則下列選項(xiàng)正確的是()
A.拋物線a/=-2y
B.直線48恒過(guò)定點(diǎn)
C.x1-x2=-4
D.當(dāng)樂(lè)=3而時(shí),直線A8的斜率為
【解題思路】根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)確定拋物線方程即可判斷A;利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求導(dǎo),確定切線方
程從而驗(yàn)證直線是否過(guò)定點(diǎn),即可判斷B;聯(lián)立直線與拋物線結(jié)合韋達(dá)定理確定交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系即可判斷
C;根據(jù)拋物線的定義結(jié)合直角三角形的幾何性質(zhì)求解直線48的斜率,即可判斷D.
【解答過(guò)程】???拋物線C的焦點(diǎn)F(0,-l),???拋物線C:j=-4y,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;
設(shè)”(欠0,1).vy=-\x,.*.y=-
???直線M4的方程為y-%
即為2y=-叼%-2%,同理可得直線MB的方程為2y=-x2x-2y2.
又M(%o,l),.,.2=_*1和_2,1,2--x2xQ-2y2,
.?.直線28的方程為2=-工尤0-2、,;.直線43恒過(guò)點(diǎn)(0,-1),故選項(xiàng)B正確;
聯(lián)立直線2B與拋物線C方程,可得%2-2/乂-4=0,.*/2=-4,故選項(xiàng)C正確;
設(shè)直線4B的斜率為鼠由前=3而,得而=2而.
如圖,分別作44盧%垂直于直線y=l,垂足分別為4,%,
設(shè)|BF|=m>0,則|4尸|=2m,|44j=2m,|BB]|=m,
過(guò)點(diǎn)B作垂足為H,
H尸I
易得MB|=3M,所以=
則tanzJ/B4=,^=W,故k=」,
根據(jù)對(duì)稱性得k還可以是-4,故選項(xiàng)D正確.
故選:BCD.
12.(5分)(2023?安徽?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)八切=。/+加-*+”,既有極大值點(diǎn)又有極小值
點(diǎn),則()
2
A.ac<0B.be<0C.+c)<0D.c+4ab>0
【解題思路】根據(jù)極值定義,求導(dǎo)整理方程,結(jié)合一元方程方程的性質(zhì),可得答案.
ae^x+cex—b
(解答過(guò)程】由題知方程/■((x)=-be-X+c="?~-=0,
e
ae?"+ce"-b=0有兩不等實(shí)根%Jx?,
令力=e。t>0,則方程+ct-b=0有兩個(gè)不等正實(shí)根q,t2,
aW0
2
△=c+4ab>0,2
廿qxic+4ab>0
其中q=e,t?t+t=工>0ac<0
Iza
bab<0
t1t2---a>o
{a(6+c)=ab+ac<0,故ACD正確,B錯(cuò)i天,
故選:ACD.
第n卷
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13.(5分)(2023?上海閔行?統(tǒng)考一模)已知0-1)4=旬+。產(chǎn)++a/",則。2=一6一.
【解題思路】直接利用二項(xiàng)式定理計(jì)算得到答案.
【解答過(guò)程】(X-1)4展開(kāi)式的通項(xiàng)為7;+1=C%4-『.(_1)『,取X=2得到=C%(-1)2=6.
故答案為:6.
14.(5分)(2023?重慶沙坪壩?重慶八中??寄M預(yù)測(cè))若直線y=kx是曲線y=alnx的切線,也是曲線
y=e*的切線,則&=_e2_.
【解題思路】先根據(jù)丫=履與丫=不相切,確定k的值,再根據(jù)直線與y=alnx相切,確定a的值.
【解答過(guò)程】因?yàn)檠?依與丫=/相切.
y=(ex)=ex,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(叼,丁),則切線方程為y-e"=e"(x-%)
因?yàn)榍芯€過(guò)原點(diǎn),所以:0-e"=e"(0-X])=Xi=l,故切點(diǎn)為(l,e),所以k=e.
??(2dd
對(duì)函數(shù)y=alnx,y=(alnx)=由]=e=>%=-,
根據(jù)y=e%得切點(diǎn)縱坐標(biāo)為:eq=a,
根據(jù)y=aln%得切點(diǎn)縱坐標(biāo)為:a-ln^=a(lna-1),
由。=a(lna-1),又由題可知aW0=a=e?.
故答案為:e?.
15.(5分)(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))設(shè)數(shù)列區(qū)}的前〃項(xiàng)和為S0,&Sn+1+Sn=n.若4+i〉4對(duì)正
N*恒成立,則%的取值范圍為
【解題思路】由時(shí)與Sn的關(guān)系,可求得Sn+Sn_i=5-1)2(7122),進(jìn)而求出4+2+%+1與4+1+4的
值,當(dāng)nN2時(shí),4+2=2可得兩個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,由相鄰兩項(xiàng)間的大小關(guān)系,即可求得4的取
值范圍.
【解答過(guò)程】法一:因?yàn)镾"+1+Sn=n2,當(dāng)7122時(shí),Sn+Sn_i=5-1)2,兩式相減得4+1+與
=2n-l(n>2),則aILi2+4ILT+-1-L=2九+L兩式相減得I%L+12一。九Il=2(幾之2).
當(dāng)7i=l時(shí),2al+%=1,則%=1-2ai;當(dāng)九=2時(shí),2ar+2a24-a3=4,則%=2+2旬.
則%n=1一2。1+2(九一1)=2n-2al-1,%九+1=%+2(九一1)=2九+2al.
'〉a?1—2。]>a?
11
aa2n+2-2a-1>2n+2a解得_
要使4+1>%對(duì)九GN*恒成立,2n+2>2n+V即rv4<ai
a>af
,2n+12n2n+2al>2n-2ar-1,
所以%的取值范圍為(-W).
法二:Sn+1+Sn=n,當(dāng)nN2時(shí),Sn+S…=(n-l)2,
a=2n+
兩式相減得a九+1+an=2n-l(n>2),則a九+2+n+iL
2
兩式相減得4+2-an=2(n>2),所以數(shù)列{Q2rl+J,{%J都是以為公差的遞增數(shù)列,
%>
af
要使a九+1>a九對(duì)九GN*恒成立,只需%>2而。2=1-2ara3=24-2apa4=3-2%,
,1-2al>a
1v111
則2+2al>1-2ar解得一%<4<出
3-2al>2+2ar
所以%的取值范圍為
故答案為:
16.(5分)(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))設(shè)點(diǎn)尸是圓。:彳2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)p作圓d+y2
-6x-8y+21=0的兩條切線,切點(diǎn)分別為N,B,則四邊形尸NC2面積的最大值為_(kāi)8段
【解題思路】將四邊形PACB的面積表示為S=24PC|2_4,當(dāng)點(diǎn)P是線段CO的延長(zhǎng)線與圓O的交點(diǎn)
時(shí),IP。最大,計(jì)算求出即可.
【解答過(guò)程】圓C的方程#+丫2-6%-8丫+21=0可化為(%-3)2+。-4)2=4,則圓心為C(3,4),半徑
為2,
連接PC,則在RtaPAC中,IP川=J|PC『-4,
所以四邊形尸/CB的面積S=2S△=2x?x|P川x2=2標(biāo)不工,
Z_XLZ1C?L>N
(由切線長(zhǎng)定理知IP川=|PB|,故SAPBC=SAP4C)
連接co并延長(zhǎng),當(dāng)點(diǎn)尸是線段CO的延長(zhǎng)線與圓。的交點(diǎn)時(shí),IPCI最大,
此時(shí)|PC|=loci+1=^32+42+1=6,
所以四邊形PACB面積的最大值為2后[4=8".
故答案為:8M.
四、解答題:本題共6小題,共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
17.(10分)(2023,河南開(kāi)封?統(tǒng)考一模)記△ABC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為q,b,c,已知4=可,
-b+c
日-------=2
□sinB+sinC,
⑴求a;
(2)若△力8c的面積為冷,求△ABC的周長(zhǎng).
【解題思路】(1)已知條件由正弦定理得Q=2sin4可求a;
(2)由的面積得兒,余弦定理求b+c,可得的周長(zhǎng).
【解答過(guò)程】(1)由正弦定理得總■前=2=高,則a=2sin4=2x'=避.
1,那be邪,口
(2)S△ABC=ibcsinA=~—《可be=2,
由余弦定理/=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc,
即3=(b+c)2-6,貝!]b+c=3,所以a+b+c=3+p,
△ABC的周長(zhǎng)為3+4.
18.(12分)(2023?四川南充?統(tǒng)考一模)己知數(shù)列{4}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列,且。4是6a2和。3的等差中
項(xiàng).
⑴求{4J的通項(xiàng)公式;
⑵若數(shù)列{%}的公比q>0,設(shè)數(shù)列{九}滿足%=1。助=1;*1,求{九}的前2023項(xiàng)和72023-
【解題思路】(1)設(shè)數(shù)列區(qū)}的公比為q(q力0),根據(jù)題意得2a4=6a2+a,求得公比q,即可得通項(xiàng)公式%.
(2)根據(jù)題意得an=2:代入6n并化簡(jiǎn),再用裂項(xiàng)相消法求前2023項(xiàng)和即可.
【解答過(guò)程】(1)設(shè)數(shù)列{4J的公比為以4片0),則an=2qn-
3
(24是6a2和<13的等差中項(xiàng),2a4=6a2+a3,BP2x2q=6X2q+2q?解得q=2或q=-|或q=0(舍去)
當(dāng)q=2時(shí),%=2X2“-1=2”.
當(dāng)q=[時(shí),4=2*(-|/:
,1111
(2)q>0,由(1)知z,=2n,二b/+1==丁一?
H/l1\fl1\Z11\1n
2023
;72023=赤了
2Q23
故{%}的前2023項(xiàng)和72023為謝.
19.(12分)(2023?貴州銅仁?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))某地區(qū)教育局?jǐn)?shù)學(xué)教研室為了了解本區(qū)高三學(xué)生一周用
于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)間的分布情況,做了全區(qū)8000名高三學(xué)生的問(wèn)卷調(diào)查,現(xiàn)抽取其中部分問(wèn)卷進(jìn)行分析(問(wèn)
卷中滿時(shí)長(zhǎng)為12小時(shí)),將調(diào)查所得學(xué)習(xí)時(shí)間分成(0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12]6組,并繪
制成如圖所示的頻率分布直方圖(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).
參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量f服從正態(tài)分布N(〃42),則p(/z-。fW〃+tr)=0.6827,P(〃-2<r<fW〃+2。)
?0.9545,P(/2-3<r<^</z+3<r)?0.9973.
⑴求a的值;
(2)以樣本估計(jì)總體,該地區(qū)高三學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)間f近似服從正態(tài)分布N(6.52,1.482),試估計(jì)該地區(qū)高三
學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)間在(8,9.48]內(nèi)的人數(shù);
(3)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從樣本中學(xué)習(xí)時(shí)間在[6,8),[8,10)內(nèi)的學(xué)生隨機(jī)抽取8人,并從這8人中再隨機(jī)
抽取3人作進(jìn)一步分析,設(shè)3人中學(xué)習(xí)時(shí)間在[8,10)內(nèi)的人數(shù)為變量X,求X的期望.
【解題思路】(1)由概率之和為1計(jì)算即可得;
(2)根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)計(jì)算即可得;
(3)結(jié)合分層抽樣的性質(zhì)與期望計(jì)算公式計(jì)算即可得.
【解答過(guò)程】(1)由題意得2x(002+0.03+a+0.18+0.06+0.5)=1,解得a=0.16;
1
(2)P(8<f<9.48)=PQt+a-<f</I+2a)=/"(4-20<fW〃+2(r)-
11
-P(/z-a<^<n+ff)=-x(0.9545-0.6827)=0.1359.
則8000X0.1359=1087,2?1087,
所以估計(jì)該地區(qū)高三學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)間在(8,9.48]內(nèi)的人數(shù)約為1087人;
(3)[6,8),[8,10)對(duì)應(yīng)的頻率比為0.36:0.12,即為3:1,
所以抽取的8人中學(xué)習(xí)時(shí)間在[6,8),[8,10)內(nèi)的人數(shù)分別為6人,2人,
設(shè)從這8人中抽取的3人學(xué)習(xí)時(shí)間在[8,10)內(nèi)的人數(shù)為X,
則X的所有可能取值為0,1,2,
c6205
P(X=0)=祖=而=五,
C2c63015
P(X=1)=亨=葩=而,
「(乂=2)=亨=拓=赤,
515321
所以E(X)=0xm+lx而+2x通=云=0.75.
20.(12分)(2023?河南?信陽(yáng)高中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))如圖,在幾何體48CDE中,C4=1平面
ABC,BE||CDfBE=2CD.
(1)求證:平面ADE1平面4BE;
(2)若C4=AB,BE=3,AB=4,在棱AC上是否存在一點(diǎn)F,使得EF與平面"D所成角的正弦值為號(hào)?若存
Ap
在,請(qǐng)求出前的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解題思路】(1)取4B的中點(diǎn)。,連接C。,取AE的中點(diǎn)M,連接。通過(guò)證明DM,平面4BE可得
平面ADE1平面4BE;
(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn),。8,。&?!彼诘闹本€分別為乂軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)萬(wàn):=2左,
利用向量法求出EF與平面4CD所成角的正弦值,然后解方程可得答案.
【解答過(guò)程】(1)因?yàn)镃D1平面4BC,且8EIICD,
所以BE1平面ABC,
取的中點(diǎn)。,連接C。,則COu平面力BC,所以BE1C。,
又C4=CB,所以C014B,
取4E的中點(diǎn)M,連接。貝IJOMIIBE,且。M=
又BE||CD,CD=:BE,所以CDIIOM,且CD=OM,
所以四邊形。CDM為平行四邊形,所以DM||C。,
所以£W_LBE,£W14B,
又AB,BEu平面ABE,ABCBE=B,所以DM1平面ABE,
因?yàn)镈Mu平面4DE,所以平面ADE1平面力BE;
(2)由(1)知OC,OB,OM兩兩垂直,以。為坐標(biāo)原點(diǎn),OB,OC,OM所在的直線分別為%軸,y軸,z軸建立如
圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則力(-2,0,0),式0,2眄0)刀他,2班|)£(2。3),
所以旅=(2,24,0),麗=(0,0,|),荏=(4,0,3),
設(shè)平面/CD的一個(gè)法向量幾=(%,y,z),
3
n,CD=0,日口/冒,取y=l,可得九=(一平10).
則n-AC^O,即
2%+2?=0,
設(shè)赤=AAC=(22,2732,0),所以正=AF-AE=(2A-4,2/4,-3),
記EF與平面ACD所成的角為仇
所以sin。=|cos伍,麗)|='黑=---/24Pl-zi
㈤TEFl2、&2/1-4)2+(2技)2+(-3)27
解得a=2,故尸為4C的中點(diǎn),即而=于
所以在棱4C上存在點(diǎn)F,使得EF與平面ACD所成角的正弦值為孚,且箓=(
21.(12分)(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))如圖,已知入尸2分別為橢圓C:)+-=l(a>6>0)的左、右焦
4?乙ab
點(diǎn),P為橢圓C上一點(diǎn),若|它+而口=|瓦7-呵|=4,s寸咐=2.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點(diǎn)尸坐標(biāo)為(書(shū),1),設(shè)不過(guò)點(diǎn)尸的直線,與橢圓C交于/,8兩點(diǎn),/關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為/,記直線/
-1
,PB,P4的斜率分別為左,與,k2,若七/2=§,求證:直線1的斜率左為定值.
【解題思路】(1)將廬耳+時(shí)I=|*-至|兩邊平方可得為直角三角形,然后根據(jù)直角三角
形的面積及勾股定理計(jì)算可得a,瓦c的值,進(jìn)而可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線/的方程為y=kx+zn,與橢圓方程聯(lián)立,通過(guò)計(jì)算七人,七/及七。=〃可得到=。
,結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算可得斜率k的值.
【解答過(guò)程】⑴由廬瓦+z5局=|*-*|兩邊平方得陪.*=0,
所以西1底.
因?yàn)閨西-五|=|5片|=4,所以2c=4,即c=2.
由=2得施尸」?麻21=2,即忸々1-麻21=4
2
又|F/2'=\PF^+\PF2\=(忸。|+麻2『-2|PFj.\PF2\=16,
HP(2a)2-8=16,所以a?=6,所以—=a?-c?=2,
x2y2
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為不+y=l;
/2
(2)設(shè)直線I的方程為丫=丘+6,代入2+?=1得(1+3必/+6km;+3/-6=0,
2222
貝必=36k2nl2-4(1+3fc)(3m-6)=12(6fc-m+2)>0,
設(shè)4(久1%)鳳%2,當(dāng)),則A(--%),
6km3m2-6yi-1%+Iyi-16)1
于7H"1+&=-=-K.即屋l=車=一1=一號(hào)‘
iy】_iy2T
又卜-2=》所以即4=一勺,即kp4+kpB=°,即1^+石陰=°,
即-1)(X2-A/3)+(y2-l)(x1-V3)=0,
所以(/cq+m-1)(%2-V^)+(fc%2+m-l)(x1-V^)=0,2kxix2+(m-1-避k)(%]+%2)-2/(m-1)
=0.
771
將占+x7=-6"%%=-——1代入整理得3必-2鄧fe+1+J^mk-m=0,
12i+3r12l+3fc
BP(A/3/C-1)(#k-1+m)=0,
所以祁女-1+m=0或平憶-1=0
當(dāng)pk-l+7n=0,即m=l-和/c時(shí),直線/的方程為丫=/c%+1-書(shū)攵=攵(%-4)+1,則直線[過(guò)點(diǎn)P
(AA1)舍去,
所以/fc-1=0,即々二
22.(12分)(2023?廣東東莞?東莞市東華高級(jí)中學(xué)??家荒?設(shè)a,b為函數(shù)f(%)=%?e'-TH(TH<0)
的兩個(gè)零點(diǎn).
一V1、
(1)若當(dāng)%<0時(shí),不等式汽,e>1恒成立,求頭數(shù)m的取值范圍;
(2)證明:e"+e”<l.
【解題思路】
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