2024年高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)中利用構(gòu)造函數(shù)解不等式（學(xué)案+練習(xí)）

2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點題型歸納與方法總結(jié)(新高考通用)

素養(yǎng)拓展07導(dǎo)數(shù)中利用構(gòu)造函數(shù)解不等式(精講+精練)

一、知識點梳理

一、構(gòu)造函數(shù)解不等式解題思路

利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性求解抽象函數(shù)不等式，要設(shè)法將隱性劃歸為顯性的不等式來求解，方法是：

(1)把不等式轉(zhuǎn)化為了[g(x)]>/[Mx)]；

(2)判斷函數(shù)〃尤)的單調(diào)性,再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把不等式的函數(shù)符號脫掉，得到具體的不等式(組),

但要注意函數(shù)奇偶性的區(qū)別.

二、構(gòu)造函數(shù)解不等式解題技巧

求解此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)，研究新函數(shù)的單調(diào)性及其導(dǎo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，下面是常見函數(shù)的變形

模型1.對于>g'(x),構(gòu)造h(x)=f(x)-g(x)

模型2.對于不等式f(x)>左(左wo),構(gòu)造函數(shù)g(x)=/a)——+4

模型9.對于不等式f(x)+/(x)〉0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=e"(x)

拓展：對于不等式f(x)+A/(x)〉O,構(gòu)造函數(shù)g(x)=*/(x)

模型4.對于不等式/'(x)-/(x)>0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=1^

e

模型5.對于不等式xf\x)+/(%)>0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=VW

拓展：對于不等式靖(x)+W(x)〉0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=x"(x)

模型6.對于不等式xf'(x)-/(x)>0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=上出(x手0)

拓展：對于不等式對'(x)-布(x)〉0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=/^

X

模型7.對于七君>0,分類討論：(1)若/。)>0,則構(gòu)造〃(x)=ln/(x)；

于(x)

(2)若1/(x)<0,則構(gòu)造/?(%)=ln[—/(x)]

模型8.對于f'(x)+Inaf{x}>0(<0),構(gòu)造//(%)=axf(x).

模型9.對于/?'(%)Inx+皿>0(<0),構(gòu)造/z(x)=/(x)lnx.

X

模型10.(1)對于尸(%)>/(x)tanx(或1(x)</(x)tanx),即f\x)cosx-f(x)sinx>0(<0),

構(gòu)造h(x)=/(x)cos].

(2)對于/'(%)851+/(%)$足龍>0(<0),構(gòu)造h(x)=.

cosx

模型H.(1)f\x)sinX+/(x)cosx=[/(x)sinx]r(2)于⑴而[,⑴儂”=[21^1了

sinxsinx

二、題型精講精練

【典例1］定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)/（x）滿足/（x）＜2,則〃2的取值范圍

是()

A.(-oo,-l]B.00,—1C.[-1,-KX))1

D.-.4-00

3

【解析】令g(x)=/(x)-2X,貝！I,則g(x)在R上單減，

又/（間_/（1_2m）26加_2等價于/（加）_2機2/（1_2加）_2（1_2帆）,

即g(m)之g(l-2〃。，由單調(diào)性得〃區(qū)1一2m，解得加wg.故選：B.

□

【典例2】己知定義在(0,口)上的函數(shù)〃可滿足2#(X)+X7'(X)<0,〃2)=；,則關(guān)于x的不等式

3

〃x)>7的解集為()

A.(0,4)B.(2,-bw)C.(4,+8)D.(0,2)

【詳解】令八㈤二f/⑺，則〃'(力=2#(力+尤2/(無)<0,所以〃⑺在(0,4w)單調(diào)遞減,

33

不等式可以轉(zhuǎn)化為X2〃X)>4X;=22/(2),即〃(X)>〃(2),所以0<x<2.故選：D.

2

【典例9】設(shè)函數(shù)f(x)是函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)，MxsR,且1(1)=2,則不等式/(x)>的解集為

()

A.(1,+a))B.(2,+oo)C.(-oo,l)D.(-00,2)

【解析】依題意，令函數(shù)g(￡)=e"(￡),則g'a)=/"a)+r(x)]>0,且g⑴=2e,

2

所以g(x)是7?上的增函數(shù)，/(%)>—^exf(x)>2e<^g(x)>g(l),解得x>l.故選：A

e

【典例4】定義在R上的函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為/'(x),若對任意實數(shù)了,有〃￡)>/'(尤)，

且/(x)+2022為奇函數(shù)，則不等式/(x)+2022/<0的解集是()

A.(-co,0)B.(—8,仇2022)C.(0,+8)D.(2022,-H?)

【解析】設(shè)g(x)=?h則g，(「)」⑴?、?

因為/(x)>/'(￡)，所以g'(x)<。，g(x)為定義在R上的減函數(shù)，

因為/(x)+2022為奇函數(shù)，所以*0)+2022=0,/(0)=-2022,g(0)=羋■=一2022,

/(無)+2022/<0,即工1<一2022,g(x)<g(0),x>Q,故選：C.

【典例5】已知/(%)是定義域為卜名日的奇函數(shù)〃尤)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)?！负髸r，都有〃x)cos尤+((力

sinx>0,后]=」,則不等式〃x)>」一的解集為()

<4ysin%

n

C.~2

【詳解】因為“X)是奇函數(shù)，所以“X)sin尤是偶函數(shù).設(shè)/z(x)=/(x)sinx,

.?.當(dāng)0<x<~時，/zr(x)=/(x)cosx+/r(x)sinx>0,

MH在區(qū)間mm上是增函數(shù)，.?.〃(￡)在區(qū)間,?。)是減函數(shù)，

h[j^=h[^=f[7}sin7=1,當(dāng)g<x<°時，不等式，(x)>白等價于/(x)sinx<l=〃[-7]，

當(dāng)0<x<g時，不等式八無)>」一等價于〃尤)sinx>l=4q],

2smx14J

原不等式的解集為'故選：D.

【題型訓(xùn)練】

1.加減法模型

一、單選題

1.(2029秋?江西萍鄉(xiāng)?高三統(tǒng)考期末)已知“X)是定義在R上的奇函數(shù),/'(尤)是其導(dǎo)函數(shù).當(dāng)它0時,

/(x)-x2>0,且"2)=3,則"xVg(尤3+1)的解集是()

A.[-2,+oo)B.[-2,2]

C.[2,+oo)D.(-oo,-2]

2.(2029?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃尤)的導(dǎo)函數(shù)為尸(x),若對任意的x>0,都有((尤)>、，且

/(e)=3,則不等式〃x)>21nx+l的解集為()

A.(e,+oo)B.(2e,+co)C.(0,e)D.(0,2e)

9.(2029?漠河市高級中學(xué))已知是定義在R上的奇函數(shù)，/'(尤)是函數(shù)Ax)的導(dǎo)函數(shù)且在[0,上

/(x)<l,/(2020-m)-f(m)>2020-2m,則實數(shù)加的取值范圍為()

A.[-1010,1010]B.[1010,4w)c.(-oo,-1010]

D.(^o,-1010]U[1010,+OO)

4.(2029?全國高三專題練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)/(%)滿足/⑴=3,對VxeR恒有/'(無)<2,則

+l的解集為()

A.[1,+co)B.C.(1,+℃)D.(-oo,l)

2.g(x)=x"/(x)和g(x)=△二模型

X

一、單選題

1.(2029?江西?瑞金市第三中學(xué)高三階段練習(xí)(理))已知定義在R上的函數(shù)/(無)的導(dǎo)函數(shù)為尸(x),若

對任意的實數(shù)x,不等式好''(力+/(力<0恒成立，且"1)=3,則不等式/?(尸)<3/的解集為()

A.(-<?,0)B,C.(In3,+co)D.(1,+℃)

2.(2029秋?山西太原?高三山西大附中校考期末)設(shè)定義R在上的函數(shù)y=/(x),滿足任意xeR,都有

〃x+4)=〃x),且xe(O,4]時，礦(x)>/(x),則“2021),"誓),工野3的大小關(guān)系是()

A./(2021)<Z?<Z?B,Z?</(2021)<?

C.?<^M</(2021)D,管1<-2。21)(守

9.(2029秋?陜西?高三校聯(lián)考期末)定義在(0,+")上的函數(shù)八力的導(dǎo)函數(shù)為(⑴，且礦(x)<4/(x)恒

成立，貝I()

A.16/(1)>4/(V2)>/(2)B.16/(1)>/(2)>4/(72)

C.16/(1)<4/(72)</(2)D.16/(1)</(2)<4/(72)

4.(2029春?上海浦東新?高三上海市建平中學(xué)?？茧A段練習(xí))設(shè)定義在R上的奇函數(shù)人力的導(dǎo)函數(shù)為尸(x),

已知〃一2)=0,當(dāng)x>0時，3/(力+礦(x)>0,則不等式〃尤)>0的解集為.

9.g(x)=*"X)和g(x)=與模型

e

一、單選題

1.(2029?貴州貴陽?高三月考(理))己知廣(力是函數(shù)”力的導(dǎo)數(shù)，且滿足廣(x)+〃x)>0對恒

成立，A,3是銳角三角形的兩個內(nèi)角，則下列不等式一定成立的是()

A"sinA)</(sinB)R"sin4)>"sin8)

,e—sinB—esinA,-esinB—esinA

C“COSA)<"sinB)D"cosA)>〃sinB)

,e—sinB—ecos4,^esinBe—CosA

2.(2029?陜西渭南?高三期末(理))己知定義在R上的函數(shù)/(X)的導(dǎo)函數(shù)為/'(x),對任意xeR滿足

/(力+/'("<0,則下列結(jié)論一定正確的是()

A.e2/(2)>e7(3)B.C.e7(2)>e2/(3)D.e7(2)<e2/(3)

9.(2029?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃尤)在x>0上可導(dǎo)且滿足了'⑺-/(x)>0,則下列不等式一定成

立的為()

A.〃2)>儀3)B./(3)<ef(2)

c./(3)>ef(2)D./(2)<ef(3)

4.(2029?全國?高三專題練習(xí))/(x)是定義在R上的函數(shù)，滿足2"x)+/'(x)=xe)/(-1)=-^,則下

列說法正確的是()

A./(尤)在R上有極大值B.7(x)在R上有極小值

C.7(x)在R上既有極大值又有極小值D./(X)在R上沒有極值

5.(2029秋.陜西漢中.高三統(tǒng)考期末)已知定義在R上的函數(shù)滿足“力一7'(x)>0,且有“2)=2,

則〃x)>2ei的解集為()

A.B.(-oo,2)C.D.(2,+oo)

6.(2029春?廣東惠州?高三?？茧A段練習(xí))己知定義在R上的函數(shù)"X)的導(dǎo)函數(shù)為了'(x),且

3/(x)+r(x)<0,/(ln2)=1,則不等式/(x)e3，>8的解集為()

A.(-oo,2)B.(-co,In2)C.(In2,+oo)D.(2,+co)

4.九(%)=/(%)cosx(sinx)和=(cosx)模型

cosx

一、單選題

JT

1.(2029?廣東東莞市東華高級中學(xué)高三期末)已知函數(shù)》=/(x)為火上的偶函數(shù)，且對于任意的xe0,-

滿足尸(元)cosx+/(尤)sin無<0,則下列不等式成立的是()

TTTT

2.已知定義在(0,1)上的函數(shù)Ax)的導(dǎo)函數(shù)為了'(%),且對于任意的xe(0，W),都有

f*(x)cosx<f(x)sinx,則()

A.y/2f(^-)>f(^)B.(今

43O4

C.y/3f(^)<42f(^)D.G/(g)</(g)

6463

9.(2029?遼寧?大連市第四十八中學(xué)高三期中)設(shè)奇函數(shù)/(x)的定義域為，且/(x)的圖象是連續(xù)

不間斷，任意尢，有/(%)cosx+〃x)sinx>0,若;/(附</

COS(-機)，則加的取值范圍是(

4.(2029?江蘇?高三階段練習(xí))已知定義在(。仁)的函數(shù)〃x)的導(dǎo)函數(shù)為尸(無)，且滿足

/'(彳同2-/⑺為少樣成立，則下列不等式成立的是()

5.(2022.湖北.高二階段練習(xí))奇函數(shù)〃力定義域為(-E。)。(0,萬)，其導(dǎo)函數(shù)是f(x).當(dāng)0—時，有

/'(X)sinx-/(x)cosx<0,則關(guān)于x的不等式)

A.(7,兀)日-匹-#［了萬D.

6.(2021?甘肅省武威第二中學(xué)高二期中(理))對任意xe(0,3,不等式sinx-/(x)<cosx?7'(x)恒成立,

則下列不等式錯誤的是()

A.B./「)>2cosl"⑴C./^<A/2COS1./(1)

?！鲂『粜?/p>

2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點題型歸納與方法總結(jié)(新高考通用)

素養(yǎng)拓展07導(dǎo)數(shù)中利用構(gòu)造函數(shù)解不等式(精講+

精練)

一、知識點梳理

4〃

一、構(gòu)造函數(shù)解不等式解題思路

利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性求解抽象函數(shù)不等式，要設(shè)法將隱性劃歸為顯性的不等式來求

解，方法是：

(1)把不等式轉(zhuǎn)化為/口(尤)]>/[〃(司];

(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把不等式的函數(shù)符號“了”脫掉，得到

具體的不等式(組)，但要注意函數(shù)奇偶性的區(qū)別.

二、構(gòu)造函數(shù)解不等式解題技巧

求解此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)，研究新函數(shù)的單調(diào)性及其導(dǎo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，下面是

常見函數(shù)的變形

模型1.對于f'(x)>g'(x),構(gòu)造h(x)=f(x)-g(x)

模型2.對于不等式f(x)>左(左片0),構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)—山+4

模型9.對于不等式/(x)+/(x)>0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=e"(x)

拓展：對于不等式〃%)+爐(6〉0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=e*"(x)

模型4.對于不等式f(x)-f(x)>0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=」*

模型5.對于不等式談(x)+/(x)>0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=切心)

拓展：對于不等式對''(%)+"(x)〉0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=x"/(x)

模型6.對于不等式對"'(x)—/(x)>0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=(x/0)

拓展：對于不等式對'(x)-W(x)>0,構(gòu)造函數(shù)8(%)=華

ff(x\

模型7.對于f〉0,分類討論：⑴若/(x)>0,則構(gòu)造/z(x)=ln/(x)；

f(x)

(2)若/。)<0,則構(gòu)造/z(x)=ln[-〃切

模型8.對于八x)+Inqf(x)>0(<0),構(gòu)造h(x)=axf(x).

模型9.對于f'(x)lnx+以乃>0(<0),構(gòu)造h(x)=/(x)lnx.

X

模型10.⑴對于/'(%)>/(x)tanM或/*'(%)</(x)tanx),即

/'(%)cosx-f(x)sinx>0(<0),

構(gòu)造力(％)=/(x)cosx.

(3)對于/'(%)cosX+/(%)sinX>。(<。)，構(gòu)造=

cosx

模型IL(1)/r(x)sinX+f(x)cosx=[/(x)sinx]r(2)

/'(x)sinx-/(%)cos%「/(九)】,

=L--J

sin2%smx

二、題型精講精練

【典例1]定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)/(元)滿足r(x)<2,若〃〃,)-/(1—2根"6根一2,則

機的取值范圍是()

A.B.卜°0，；C.D.；，+00)

【解析】令g(X)=/(尤)-24貝!],則g(x)在R上單減，

又/(“7)-/(1—2〃z)>6"z—2等價于/(_2m>/(I-2m)-2(1-2m),

即g(〃7)2g(l-2m),由單調(diào)性得〃解得相故選：B.

【典例2】已知定義在(0,+口)上的函數(shù)F(x)滿足2#(耳+/廣(力<0,/(2)=|,則關(guān)于

3

X的不等式有的解集為()

A.(0,4)B.(2,-HX))C.(4,+oo)D.(0,2)

【詳解】令Mx)=xV(x)，貝!I"(X)=24(X)+X7'(X)<0,所以％(x)在(0,母)單調(diào)遞減，

不等式〃X)>/可以轉(zhuǎn)化為爐〃句>4乂(=22/(2),即旗%)>網(wǎng)2),所以0<》<2.故選：

D.

【典例9】設(shè)函數(shù)/'(尤)是函數(shù)Ax)的導(dǎo)函數(shù)，VxeH,,且/⑴=2,則不等式

7?(%)>義的解集為()

e

A.(1,+oo)B.(2,+oo)C.(-oo,1)D.(-oo,2)

【解析】依題意，令函數(shù)g(x)=e"(x),則g'(x)=e[/(H+/'(切>0,且g⑴=2e,

2

所以g(x)是7?上的增函數(shù)，/(%)>—<^exf(x)>2e^g(x)>g(l),解得x>l.故

e

選：A

【典例4］定義在R上的函數(shù)/(九)的導(dǎo)函數(shù)為/'(x),若對任意實數(shù)了,有

/(x)>/'(x),

且/⑴+2022為奇函數(shù)，則不等式/(x)+2022/<0的解集是()

A.(-oo,0)B.(-co,Zn2022)C.(0,+“)D.(2022,”)

【解析】設(shè)g(x)=?L則g，(x))⑴]⑶,

因為/()>」(),所以g'(x)<0,g(x)為定義在R上的減函數(shù)，

因為/(%)+2。22為奇函數(shù)，所以/(。)+2022=。，f(0)=-2022,

g(°)=，。)='2022,

/(尤)+2022/<0,即工1<_2022,g(x)<g(O),x>0,故選:C.

【典例5】已知/⑺是定義域為上多年的奇函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)0＜丈苦時，都有

〃x)cosx+/'(x)sinx＞0,=④，則不等式“司＞白的解集為()

【詳解】因為“X)是奇函數(shù)，所以〃x)sinx是偶函數(shù).設(shè)/z(x)=/(x)sinx,

.,?當(dāng)0＜x＜］時，(x)=/(x)cosff(x)sinx＞0,

:.〃(可在區(qū)間［。,3上是增函數(shù)，；.成)在區(qū)間是減函數(shù)，

??"【一?》”.7值卜吟二L當(dāng)一與。＜。時，不等式小)＞高等價于

/(x)sinx<l=/z

當(dāng)0〈無<9時，不等式-等價于y（x）sinx>l=〃

二原不等式的解集為.故選：D.

【題型訓(xùn)練】

1.加減法模型

一、單選題

1.（2029秋?江西萍鄉(xiāng)?高三統(tǒng)考期末）己知了（無）是定義在R上的奇函數(shù),/（x）是其導(dǎo)函

數(shù).當(dāng)這0時，/（x）-x2>0,且"2）=3,則“司4（/+1）的解集是（）

A.[-2,+co)B.[-2,2]

C.[2,+co)

【答案】C

【詳解】設(shè)g（x）=/（》）-g3+1）,

可得g'（x）=f（X）-Y,

因為當(dāng)時，/（x）-x2>0,,

所以g（無）=/（x）-g（/+1）在［0,+e）上遞增,

又因為〃尤）是定義在R上的奇函數(shù)，

所以g（x）=/（尤）一料+1）=7（尤）一寧一：的圖像關(guān)于（0,一；）對稱，如圖,

所以g(x)在R上遞增，

又因為"2)=3,所以g(2)=/(2)T(23+l)=0,

3

貝!)/(x)>|(x+1)等價于g(無)=/(尤)+1)>0=g(2),

所以xN2,即〃司4(/+1)的解集是［2,+0)),

故選：C.

2.(2029?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為尸(x),若對任意的x>0,都

有((x)>2±,且f(e)=3,則不等式〃x)>21nx+l的解集為()

x

A.(e,+co)B.(2e,+oo)C.(0,e)D.(0,2e)

【答案】A

【詳解】令g(尤)=f(x)—21nx,

2

貝！Jg'(x)=7'(尤)一一>0,

x

所以g⑴在(O,+8)上單調(diào)遞增，

g(e)=/(e)-21ne=l,

/(%)〉21n%+l等價于/(x)-21n%〉l,

即g(x)>g(e),

即%>e,

所以不等式/(x)>21nx+l的解集為(e,+8).

故選：A.

9.(2029?漠河市高級中學(xué))已知/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，/'(X)是函數(shù)Ax)的導(dǎo)函

數(shù)且在[0,+8)上/'(x)<l,若/(2020—m)一/(加)22020-2相，則實數(shù)加的取值范圍

為()

A.[-1010,1010]B.[1010,4w)C.(-00,-1010]

D.(^o,-1010]U[1010,+O0)

【答案】B

【解析】設(shè)g(x)=/(x)-x,貝!Jg'(x)=/(x)-l

又xe[0,+w)上，貝！Jg'(x)<0,即函數(shù)g(x)在xe[0,”)上單調(diào)遞減，

又/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則函數(shù)g(x)為R上的奇函數(shù)，故g(x)在R上單調(diào)遞減，

又/(2020-m)-f(m)>2020-2m,/(2020-m)-(2020-m)>f(rri)-m,即

g(2020-m)>g(m)

可得：2020—m<mf解得：M21010.故選：B.

4.(2029?全國高三專題練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)/(%)滿足/⑴=3,對VxeR恒有

/'(x)<2,則〃x)22x+l的解集為()

A.B.(-co,l]C.(l,+°o)D.(-00,1)

【答案】B

【解析】令尸(x)=/(x)—2x—1,貝！j尸(x)=/'(%)—2,又因為對VxeR恒有/'(x)<2

所以F'(x)=/'(尤)一2<0恒成立，所以F(x)=〃幻—2x—1在R上單減.

又尸⑴=7'⑴一2—1=0,所以尸。)20的解集為(一8』故選：B

2.g(x)=x"/(x)和g(x)=43模型

一、單選題

1.（2029?江西?瑞金市第三中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知定義在R上的函數(shù)/（X）的導(dǎo)函

數(shù)為（⑺，若對任意的實數(shù)尤，不等式獷'（力+/（耳＜。恒成立，且〃1）=3,則不等式

f（er）＜3e，的解集為（）

A.（-ao,0）B.（-co,-l）C.（In3,+oo）D.（l,+oo）

【答案】A

【詳解】設(shè)g（x）=4（x），則夕（尤）=礦（力+〃力＜0,所以g（x）在R上單調(diào)遞減；

由/（/）＜3/,得⑴，即g（e-，）＜g（l）,所以解得尤＜0.故選：

A.

2.（2029秋?山西太原?高三山西大附中?？计谀┰O(shè)定義R在上的函數(shù)y=/（尤），滿足任意

xeR,都有/（x+4）=/（x）,且xe（O,4］時，xf\x）＞/（x）,則/（2021）,以產(chǎn),〃：23）

的大小關(guān)系是（）

A./（2021）＜W＜Z?B,?＜/（2021）＜Z?

c./?＜Z?＜/（202］）D,Z?＜/（2O21）＜Z?

【答案】A

【詳解】依題意，任意xeR,都有/卜+4）=〃尤），所以〃尤）是周期為4的周期函數(shù).

/（2022）_/（2）/（2023）_/（3）

所以〃2021)=f(l),

2233

構(gòu)造函數(shù),

所以網(wǎng)X)在區(qū)間(0,4]上單調(diào)遞增，所以F(l)<F(2)<F(3),

即如也(2021)<3h3T

123v723

故選：A

9.(2029秋?陜西?高三校聯(lián)考期末)定義在(0,+。)上的函數(shù)/⑴的導(dǎo)函數(shù)為廣(%),且

礦(x)<4/(x)恒成立，則()

A.16/(1)>4/(A/2)>/(2)B.16/(1)>/(2)>4/(A/2)

C.16/(1)<4/(^)</(2)D.16/(1)</(2)<4/(A/2)

【答案】A

【詳解】設(shè)函數(shù)g(x)=0，x>0,則,

所以g(力在(0,+功上單調(diào)遞減，從而g⑴>g(及)>g⑵,

”1)/(R"2)

即,則16/(1)>4/(夜)(2).

I424

故選：A.

4.(2029春?上海浦東新?高三上海市建平中學(xué)?？茧A段練習(xí))設(shè)定義在R上的奇函數(shù)/(x)

的導(dǎo)函數(shù)為尸(x),已知/(-2)=0,當(dāng)x>0時，的⑺+靖(尤)>0,則不等式〃力>0的

解集為?

【答案】(―2,0)U(2,E)

【詳解】令g(x)=￡〃x),取x?y,o)"o,=),則函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，

當(dāng)尤>0時，3/(%)+礦(x)>0,故3%2/(力+爐/(x)>0,即g[x)〉o,

由偶函數(shù)性質(zhì)知，函數(shù)g(x)在xe(Y⑼是嚴格減函數(shù)，在xe(O,y)是嚴格增函數(shù),

又g(/-2、)=-8/(/-2x)=。，故//⑺、>°等價[x于<0或「fx⑺>0>°，

解得尤e(-2,0)U(2,y).

故答案為：(-2,0)U(2,+8)

9.g(x)=e*"(x)和g(x)=坐模型

e

一、單選題

1.(2029?貴州貴陽?高三月考(理))已知尸⑺是函數(shù)/(X)的導(dǎo)數(shù),且滿足f'(x)+〃x)>0

對xe[0』恒成立，A,B是銳角三角形的兩個內(nèi)角，則下列不等式一定成立的是()

A/(sinA)/(sinB)B/(sinA)/(sing)

,e—sinBe—sinA,e—sinBe—sinA

C/(cosA)；/(sinB)口〃cosA),“sin8)

,e—sinB—ecosA,—esinBe^cosA

【答案】c

【分析】先令g(x)=e"(x),求導(dǎo)，根據(jù)題意，得到g(x)=e"(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增，

再由題意，得到cosAvsinB,進而可得出結(jié)果.

【詳解】令g(x)=e'/(x),則g'(x)=(〃x)+〃x))el

因為廣(x)+〃x)>0對xe[0』恒成立，所以g'(x)>。對xe[0』恒成立，g(x)=exf(x)

在區(qū)間[0』上單調(diào)遞增；

7TTT

又『A,8是銳角三角形的兩個內(nèi)角，...A+B>5，二4>萬-2,.?.cosAvsinB,

因此g(cosA)<g(sin8),即e8s4〃cosA)<eSinB〃sin3),二小學(xué)回望.故選：C.

esinecos

2.（2029?陜西渭南?高三期末（理））已知定義在R上的函數(shù)/（x）的導(dǎo)函數(shù)為（（無），對

任意xeR滿足/（力+/'（力＜0,則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.e2/（2）＞e7（3）B.C.e7（2）＞e2/（3）

D.e3/（2）＜e2/（3）

【答案】A

【詳解】構(gòu)造函數(shù)g（x）=e"（x），則g'⑺=e[r（x）+”切,因為/（x）+f（x）＜0,故

g'（x）＜。，

因此可得g（x）在R上單調(diào)遞減,由于2＜3,故8出＞8（3）=62〃2）*〃3）,故選：A

9.（2029?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在x＞0上可導(dǎo)且滿足/'（x）-/（x）＞0,則下

列不等式一定成立的為（）

A.〃2）＞叭3）B./（3）＜ef（2）

C./（3）＞e/-（2）D.〃2）＜y⑶

【答案】C

【詳解】構(gòu)造函數(shù)g（x）=/學(xué)，

e

、/W'-ywfe'）「⑴一/（x）c療卡一

g（X）=---------,、2=、＞0在X＞0時恒成H，

Me

所以g（x）=駕在無＞0時單調(diào)遞增，

e

所以g（3）＞g（2）,即所以〃3）＞爐⑵，

故選:C.

4.（2029?全國?高三專題練習(xí)）〃x）是定義在R上的函數(shù)，滿足2/（力+/'（力=氏）

/(T)=-上，則下列說法正確的是()

2e

A.〃x)在R上有極大值B.〃尤)在R上有極小值

C./(無)在R上既有極大值又有極小值D.“X)在R上沒有極值

【答案】D

【詳解】解：根據(jù)題意，2f(x)+f,(x)=xex,故+廣(—l)=-eT,

又〃T)=-；，得2(-：]+-(-1)=_,，故/'(-1)=0,

，eize)e

令g(x)=e"/(x),

則g，(x)=2e2V(^)+e2T(x)=e2j;[2/(%)+/(%)]=e"?xe，=.心，

即2e2，/(x)+e2V'(x)=xe3',

記h[x}=(x)=%e3x-2e2x/(x)=xe3x-2g(x),

所以〃(x)=e3x+3xe3x-2g'(x)=e3x+3xe3x-2xe3x=e3x(x+l),

當(dāng)x<-l時，〃(x)<0,當(dāng)x>—l時，/Z(x)>0,

所以函數(shù)〃(%)在(-8,-l)上遞減，在上遞增，

所以網(wǎng)x”/z(T)=e2r(—1)=0,即e2了⑴即廣(力20,

所以〃尤)在R上單調(diào)遞增，故/(無)在R上沒有極值.

故選項ABC說法錯誤，選項D說法正確.

故選:D

5.(2029秋?陜西漢中?高三統(tǒng)考期末)已知定義在R上的函數(shù)“可滿足/⑺-/'(x)>0,

且有"2)=2,則〃x)>2ei的解集為()

A.(-℃,1)B.(f,2)C.(1,+<?)D.(2,+co)

【答案】B

，/、f'(xYex-f(xYexf'(x)-f(x)

【詳解】設(shè)/(x)="f(At則產(chǎn)(x)=/L=<『一]<0,

.?.*x)在R上單調(diào)遞減.

又"2)=2,則網(wǎng)2)=萼=2.

ee

???f(x)>2]-2等價于ZH>3,BPF(X)>F(2),

ee

.?.x<2,即所求不等式的解集為(y,2).

故選：B.

6.(2029春?廣東惠州?高三?？茧A段練習(xí))己知定義在R上的函數(shù)"X)的導(dǎo)函數(shù)為了'(%),

且3/(x)+f(x)<O"(ln2)=l,則不等式/(%把3，>8的解集為()

A.(-oo,2)B.(-co,In2)C.(In2,+oo)D.(2,+oo)

【答案】B

【詳解】令g(x)=e3"(x),函數(shù)g(x)的定義域為R,

因為3〃x)+廣(x)<0

3r3x

所以，(e)'f(X)+ef(x)<0

故/(%)=(巧(x)”0

故g(x)在R上單調(diào)遞減，

又因為“In2)=l

所以，g(ln2)=e3ta2/(ln2)=8,

所以不等式f(x)e3x>8可化為g(x)>g(In2),

所以尤vln2,

所以，(X把3工＞8的解集為(y,ln2)

故選：B.

4.A(X)=f(x)cosx(sinx)和=(cosx)模型

cosx

一、單選題

1.(2029?廣東?東莞市東華高級中學(xué)高三期末)已知函數(shù)y=/(x)為R上的偶函數(shù)，且對

于任意的xe0,|^|滿足/(x)cosx+/(x)sinx＜0,則下列不等式成立的是()

【答案】B

【詳解】解：偶函數(shù)，=/(%)對于任意的尤e0,5j滿足尸(無)cosx+/(x)sin尤＜0,

f(x)

令g(x)=則g(—x)=X)、=以2=g(x),即g(x)為偶函數(shù).

cosxcos(-x)cosX

又g,(x)=＜。，故g(x)在區(qū)間r0,9)上是減函數(shù),

cosx|_2J

所以g(0)>g

n

即/(0)=*(4

>----=故B正確;

cost)n

cos—

4

故D錯誤;故選：B.

jrjr

2.已知定義在(0，w)上的函數(shù)/(%)的導(dǎo)函數(shù)為了'(x),且對于任意的%w(O，w),都有

f*(x)cosx<f(x)sinx,則()

71

A.B.V2/(|)<73/A

o4

c.6皚)〈舊白

64

【解析】由題意：構(gòu)造函數(shù)，

則在恒成立，

所以g(x)在(0,3單調(diào)遞減,

所以

兀71>cos^gj>cos^/gj)

所以cos：/

6

即多⑶■佃，佃

故選：A

9.(2029?遼寧?大連市第四十八中學(xué)高三期中)設(shè)奇函數(shù)的定義域為［4eJ,且

的圖象是連續(xù)不間斷，任意有/''(x)cosx+y(x)sinx>。，若

1/(m)</f|Xos(-m),則加的取值范圍是()

【答案】C

【詳解】令g(x)=@,定義域為

COS%

因為函數(shù)y=y(x)為奇函數(shù)，所以g(-x)==,

COSIXICOSJC

則函數(shù)g(x)=d?是定義在(d上的奇函數(shù)，g，(x)=.(x)cos?〃x)sinx,

cos尤<LL)cosx

因為任意的xe，；,。｝有/,(%)cosx+/(%)sinx>0,

所以當(dāng)時，g'(x)>0,則g(x)=△。在xe\*o］上單調(diào)遞增，

則函數(shù)g(x)=△立是Ju］上的奇函數(shù)并且單調(diào)遞增，

cos尤12Zy

由，

因為所以COS,">0,/H<\2,即8⑻翼圖，所以帆J,

22cosmcqs3