2024年高考數(shù)學(xué)最后沖刺訓(xùn)練《新高考新題型二》含答案解析

2024年高考考前逆襲卷（新高考新題型）02

數(shù)學(xué)

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

全國新高考卷的題型會有所調(diào)整，考試題型為8（單選題）+3（多選題）+3（填

空題）+5（解答題），其中最后一道試題是新高考地區(qū)新增加的題型，主要涉及集合、

數(shù)列，導(dǎo)數(shù)等模塊，以解答題的方式進行考查。

預(yù)測2024年新高考地區(qū)數(shù)列極有可能出現(xiàn)在概率與統(tǒng)計大題中，而結(jié)構(gòu)不良型題

型可能為集合或?qū)?shù)模塊中的一個，出現(xiàn)在19題的可能性較大，難度中等偏上，例如

本卷第19題。

第I卷（選擇題）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合要求的。

1.已知一組數(shù)據(jù)加，4,2,5,3的平均數(shù)為〃，且加，”是方程無2-4x+3=0的兩根,

則這組數(shù)據(jù)的方差為（）

A.10B.y/lQC.2D.V2

2.P=｛a|a=（-1,1）+w（l,2）,meR｝,Q=｛而=（1,一2）+〃（2,3）,〃eR｝是兩個向量集合,

則p。。等于（）

A.｛（1,-2）｝B.｛（-13,-23）｝C.｛（-2,1）｝D.｛（-23,-13））

3.在A45C中，內(nèi)角/、B、C所對的邊分別為a、b、c,若/、B、C成等差數(shù)列，

3a、3b、3c成等比數(shù)列，則coScos3=（）

.1121

A.—B.—C.—D.一

2436

4.在三棱錐S-/8C中，底面23c為邊長為3的正三角形，側(cè)棱底面A8C,若

三棱錐的外接球的體積為36萬，則該三棱錐的體積為（）

A.9A/2B.C.述D.27行

22

5.有一排7只發(fā)光二極管，每只二極管點亮?xí)r可發(fā)出紅光或綠光，若每次恰有3只二

極管點亮，且相鄰的兩只不能同時點亮，根據(jù)三只點亮的不同位置，或不同顏色來表示

不同的信息，則這排二極管能表示的信息種數(shù)共有種

A.10B.48C.60D.80

c

6.設(shè)a=b=log31,2+c=0,則（）

A.a<b<cB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a

7.按照“碳達峰”、“碳中和”的實現(xiàn)路徑，2030年為碳達峰時期，2060年實現(xiàn)碳中和，

到2060年，純電動汽車在整體汽車中的滲透率有望超過70%,新型動力電池迎來了蓬

勃發(fā)展的風(fēng)口.Pe"左于1898年提出蓄電池的容量C（單位：Ah）,放電時間t（單位:

h）與放電電流/（單位A）之間關(guān)系的經(jīng)驗公式C=其中〃為尸常數(shù)，

為了測算某蓄電池的Peah〃常數(shù)〃，在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流/=20A時，

放電時間，=20h；當(dāng)放電電流/=30A時，放電時間f=10h.則該蓄電池的Peukert常數(shù)n

大約為（）（參考數(shù)據(jù)：lg2a0.30,lg3“0.48）

458

A.-B.-C.-D.2

333

22

8.過雙曲線=-右=l（a>0,6>0）的右焦點尸作漸近線的垂線，設(shè)垂足為尸（尸為第

ab

一象限的點），延長尸尸交拋物線/=2.5>0）于點。，其中該雙曲線與拋物線有一個

—?1—?―?

共同的焦點，^OP=-（OF+OQ）f則雙曲線的離心率的平方為

A.V5B.立C.y/5+1D.避上1

22

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知i為虛數(shù)單位，以下四個說法中正確的是（）

A.i+i2+i3+i4=0

B.3+i>1+i

C.若z=（l+2i『，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于第四象限

D.已知復(fù)數(shù)z滿足|z-2i|=3,則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡為圓

10.設(shè)直線系M：xcosO+Q-2）sind=l（04042;r）,則下面四個命題正確的是（）

A.點（0,2）到”中的所有直線的距離恒為定值

B.存在定點尸不在M中的任意一條直線上

C.對于任意整數(shù)〃（〃23）,存在正”邊形，其所有邊均在“中的直線上

D.M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等

11.定義在R上的偶函數(shù)/（x）滿足〃x-3）=〃5-x）,當(dāng)xe[0,l]時，/（尤）=》.設(shè)函

數(shù)g（x）=log5|x-l|,則下列結(jié)論正確的是（）

A.的圖象關(guān)于直線尤=1對稱

717

B.〃x）的圖象在尤=：處的切線方程為昨…寧

C./（2021）+/（2022）+/（2023）+/（2024）=2

D.7（x）的圖象與g（x）的圖象所有交點的橫坐標之和為10

第n卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知集合/={x[l<x<3},集合5={*2加<%<1-加},命題。：xeA,命題9：

xeB,若夕是9的充分條件，則實數(shù)加的取值范圍是.

13.已知多項式（X+3）（X—I），=UQ++a?/+03工3++%廠，貝！|

a2+a3+a4+as=.

14.正方體/BCD-48cA中，E是棱的中點，F(xiàn)在側(cè)面CDDG上運動，且滿足

BFH平面A、BE.以下命題正確的有.

①側(cè)面CDDG上存在點F,使得B/1CD{

②直線B[F與直線BC所成角可能為30°

③平面48E與平面CDQG所成銳二面角的正切值為2a

④設(shè)正方體棱長為1,則過點瓦/，/的平面截正方體所得的截面面積最大為手

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）已知A/BC的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,且

6=3,c=l,a=6cos5.

⑴求。的值：

(2)求證：A=2B；

⑶cos一m的值

16.(15分)如圖1,在平面五邊形/3CDE中，AEHBD,且?！?2,NEDB=6Q。,

CD=BC=5,cosZDCS=1,將△BCD沿AD折起，使點C到P的位置，且

EP=6,得到如圖2所示的四棱錐尸-48DE.

⑴求證；依_1平面/8。￡；

(2)若AE=1,求平面PAB與平面PBD所成銳二面角的余弦值.

17.(15分)甲進行摸球跳格游戲.圖上標有第1格，第2格，…，第25格，棋子開

始在第1格.盒中有5個大小相同的小球，其中3個紅球，2個白球(5個球除顏色外

其他都相同).每次甲在盒中隨機摸出兩球，記下顏色后放回盒中，若兩球顏色相同，

棋子向前跳1格；若兩球顏色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格

時，游戲結(jié)束.記棋子跳到第〃格的概率為勺(〃=123,…,25).

(1)甲在一次摸球中摸出紅球的個數(shù)記為X,求X的分布列和期望；

(2)證明：數(shù)列{￡-%}(〃=2,3,…,24)為等比數(shù)列.

18.(17分)焦點在x軸上的橢圓土+4=1的左頂點為M,/(%,“)，B(x2,y2),

4b2

6(x3,%)為橢圓上不同三點，且當(dāng)團=2瓦時，直線也和直線MC的斜率之積為

~4'

⑴求b的值；

(2)若ACMB的面積為1,求x；+x：和—的值；

⑶在(2)的條件下，設(shè)的中點為。，求|8卜|幺目的最大值.

Y2V3r"

19.(17分)英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：e，=l+x+t+土+…+土+…其中

2!3!n\

加=1X2X3X4X…x〃,e為自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…….以上公式稱為泰勒公式.設(shè)

/(x)=￡_￡l,g(x)=￡±￡l)根據(jù)以上信息，并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，解決如

下問題.

(1)證明：ex>l+x；

(2)設(shè)xe(0,+co),證明：止!<g(x)；

⑶設(shè)尸(x)=g(x)-a]l+D，若x=0是尸(x)的極小值點，求實數(shù)。的取值范圍.

2024年高考考前逆襲卷(新高考新題型)02

數(shù)學(xué)

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

全國新高考卷的題型會有所調(diào)整，考試題型為8(單選題)+3(多選題)+3(填

空題)+5(解答題)，其中最后一道試題是新高考地區(qū)新增加的題型，主要涉及集合、

數(shù)列，導(dǎo)數(shù)等模塊，以解答題的方式進行考查。

預(yù)測2024年新高考地區(qū)數(shù)列極有可能出現(xiàn)在概率與統(tǒng)計大題中，而結(jié)構(gòu)不良型題

型可能為集合或?qū)?shù)模塊中的一個，出現(xiàn)在19題的可能性較大，難度中等偏上，例如

本卷第19題。

第I卷(選擇題)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合要求的。

1.已知一組數(shù)據(jù)加，4,2,5,3的平均數(shù)為〃，且加，”是方程無2-4x+3=0的兩根,

則這組數(shù)據(jù)的方差為()

A.10B.y/lQC.2D.V2

【答案】C

【詳解】解：方程--4x+3=0,即(X-3)(X-1)=0,解得X=3或X=1,又這組數(shù)據(jù)

的其它值都大于1，

:.m=\,H=3,顯然g(l+4+2+5+3)=3,符合題意.

所以-3)2+(4-3『+(2-3『+(5-3)2+(3-3)1=2.

故選：C.

2.P={ala=(-1,1)+m(l,2),m&R},。={瓦5=(1,-2)+"(2,3),〃e號是兩個向量集合,

則pn。等于()

A.{(1,-2)}B.{(-13,-23)}C.{(-2,1)}D.{(-23,-13))

【答案】B

【詳解】根據(jù)所給的兩個集合的元素，表示出兩個集合的交集，

在集合9中，花=(T+加,1+2m),

在集合。中，/=(1+2力,-2+3〃).

要求兩個向量的交集，即找出兩個向量集合中的相同元素，

???元素是向量，要使的向量相等，只有橫標和縱標分別相等，

[-1+加=1+2〃[m=-12

??]]om，解得]

[1+2加=-2+3〃.=7

此時￡=/=(—13,-23).

故選：B.

3.在A45C中，內(nèi)角/、B、C所對的邊分別為〃、b、c,若/、B、。成等差數(shù)列，

3a、3b、3c成等比數(shù)列,則cos24cos8=()

1121

A.—B.—C.—D.一

2436

【答案】B

【詳解】解：由A,B,C成等差數(shù)列，有25=/+C(1)

?.?4,B,。為A45C的內(nèi)角，：.A+B+C=TI(2).

7T

由(1)(2)得8=1.

由3a,3b,3c成等比數(shù)列，得b=ac,

由余弦定理得，b2=a2+c2-2accosB

IT

把8=H、代入得，a2+c2-ac=acJ

TT

即(a-c)2=0,則。=。，從而/=C=8=],

,?111

cosAcosB=-x—=—,

224

故選：B.

4.在三棱錐S-ABC中，底面23C為邊長為3的正三角形，側(cè)棱S/L底面43C,若

三棱錐的外接球的體積為36%，則該三棱錐的體積為()

A.9也B.百色C.迪D.2772

22

【答案】C

【詳解】如圖，設(shè)外接球的球心為。?在三棱錐S-/BC中，底面48C是邊長為3的正

三角形，側(cè)棱山，底面N8C,三棱錐的外接球的體積為36萬，.?.三棱錐的外接球的半

徑R=05=3.

過A作4EJ_BC,交BC于E,過球心。作OD_L平面48c于。，則De/E,且。是

△28C的重心，:.AD^-AE=-ylAB2-BE2=73,：,OD=J。/?-AD°=瓜；：0至！J

S4的距離為40=6，SA=OD+yjoS--AD2=276>:該三棱錐的體積

1

=—X2V6x

V^3-XSAXS1M\ABDC\^—x3x3xsin60°

3

5.有一排7只發(fā)光二極管，每只二極管點亮?xí)r可發(fā)出紅光或綠光，若每次恰有3只二

極管點亮，且相鄰的兩只不能同時點亮，根據(jù)三只點亮的不同位置，或不同顏色來表示

不同的信息，則這排二極管能表示的信息種數(shù)共有種

A.10B.48C.60D.80

【答案】D

【詳解】解：先選出三個孔來:

1）若任意選擇三個孔，則有C73=35種選法

2）若三個孔相鄰，則有5種選法

3）若只有二個孔相鄰，

相鄰孔為1、2兩孔時,第三孔可以選4、5、6、7,有4種選法

相鄰孔為2、3兩孔時,第三孔可以選5、6、7,有3種選法

相鄰孑L為3、4兩孑L時,第三孔可以選1、6、7,有3種選法

相鄰孔為4、5兩孔時,第三孔可以選1、2、7,有3種選法

相鄰孔為5、6兩孔時,第三孔可以選1、2、3,有3種選法

相鄰孔為6、7兩孔時,第三孔可以選1、2、3、4,有4種選法

即共有4+3+3+3+3+4=20種選法

.?.選出三個不相鄰的孔，有35-5-20=10種選法

對于已選定的三個孔，每個孔都有兩種顯示信號,

則這三個孔可顯示的信號數(shù)為2x2x2=8種

???一共可以顯示的信號數(shù)為8*10=80種

故選D

C

6.設(shè)0=［；,，b=log31,2+c=0,貝）

A.a<b<cB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a

【答案】D

【詳解】a=則0<。<1；

6=-logs5,1=log33<log35<log39=2,貝|-2<b<-l；

。=一2°<0且一c=20<l,貝l|一l<c<0；

故6<c<a.

故選：D.

7.按照“碳達峰”、“碳中和”的實現(xiàn)路徑，2030年為碳達峰時期，2060年實現(xiàn)碳中和，

到2060年，純電動汽車在整體汽車中的滲透率有望超過70%,新型動力電池迎來了蓬

勃發(fā)展的風(fēng)口.Pe”品〃于1898年提出蓄電池的容量C（單位：Ah）,放電時間t（單位:

h）與放電電流/（單位A）之間關(guān)系的經(jīng)驗公式C=其中"為尸eah〃常數(shù)，

為了測算某蓄電池的Peukert常數(shù)n,在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流/=20A時，

放電時間f=20h；當(dāng)放電電流/=30A時,放電時間t=10h.則該蓄電池的Peukert常數(shù)n

大約為（）（參考數(shù)據(jù)：坨2。0.30,炮320.48）

458

A.-B.-C.—D.2

333

【答案】B

【詳解】解：根據(jù)題意可得C=20〃?20,C=30w40,

.一工口“用20〃.201口口「2丫I

兩式相比得------=I,即一二—，

30”[01<3）2

0.35

?=logl=log32=-^1-=愴2

所以門5KIg3-lg20.48-0.33.

故選：B.

22

8.過雙曲線3■-4=l（〃〉0/>0）的右焦點廠作漸近線的垂線，設(shè)垂足為尸（尸為第

ab

一象限的點），延長尸P交拋物線「=2.5>0）于點。，其中該雙曲線與拋物線有一個

—?1—■—.

共同的焦點，若。尸=彳（。尸+O。），則雙曲線的離心率的平方為

A.V5B.立C.V5+1D.心上1

22

【答案】D

72

【詳解】試題分柝。=與，漸近線方程y=±—X,因為刃，所以X產(chǎn)幺,

2ac

be—?1—??

尸尸=\力+加=6,因為8=5（8+。。），所以尸為尸。中點，所以電=寧--。，

由拋物線定義得FQ=2bnxQ=2b-c,

2

因止匕2幺=c+2b—c=>Q?=be=/=（/一/）。？=/一/一1二0,又？〉1,所以

C

e2=^H,選D.

2

二'選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知i為虛數(shù)單位，以下四個說法中正確的是（）

A.i+i2+i3+i4=0

B.3+i〉l+i

C.若z=（l+2i）2,則復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點位于第四象限

D.已知復(fù)數(shù)z滿足|z-2i|=3,則二在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡為圓

【答案】AD

【詳解】A：i+i?+『+i,=i-1一i+i=。，本選項正確；

B：因為兩個復(fù)數(shù)不能比較大小，所以本選項不正確；

C：因為z=（l+2i『=l+4i-4=-3+4i,

所以復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點位于第二象限，因此本選項不正確；

D：因為|z-2i|=3,

所以z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡為圓心為（o,2）,半徑為3的圓，因此本選項正確，

故選：AD

10.設(shè)直線系M：xcosO+（y-2）疝0=1（04"2萬），則下面四個命題正確的是（）

A.點（0,2）到M中的所有直線的距離恒為定值

B.存在定點尸不在M中的任意一條直線上

C.對于任意整數(shù)”（"23）,存在正“邊形，其所有邊均在M中的直線上

D.M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等

【答案】ABC

【詳解】點（0,2）到M中的直線xcose+（y-2）sine=l（0（ew2i）的距離設(shè)為“，則

d=/JT,=1為定值,故直線系M：工（：05，+（了-2）而，=1（04。42%）表示圓

Vcos0+sin26

/+（>-2）2=1的切線的集合.

顯然選項A正確；P（0,2）一定不在初中的任意一條直線上，B選項正確；由于圓的所

有外切正多邊形的邊都是圓的切線，所以對于任意整數(shù)存在正〃邊形，其所

有邊均在M中的直線上，C選項正確；

如圖所示，M中的直線所能圍成的正三角形有兩類，一種是圓的外切三角形，如

△ADE,此類三角形面積均相等，另一種是在圓的同一側(cè)，如AA2C,這類三角形面積

也相等，但兩類三角形面積不等，故D選項不正確.

故選：ABC

11.定義在R上的偶函數(shù)滿足〃尤-3）=〃5-X），當(dāng)xe[O,l]時，〃尤）=X2.設(shè)函

數(shù)g（x）=log5|x-l|,則下列結(jié)論正確的是（）

A./（x）的圖象關(guān)于直線x=l對稱

717

B.的圖象在x=￡處的切線方程為y=f+?

C./（2021）+/（2022）+/（2023）+f（2024）=2

D.〃x）的圖象與g（x）的圖象所有交點的橫坐標之和為10

【答案】ACD

【詳解】對于A,因為〃x）為偶函數(shù)，故/（x-3）=/（5-x）=〃x-5）,

故f（x）=f（x+2）,所以-x）=/（x+2）,故〃x）的圖象關(guān)于直線x=l對稱，

故A正確.

對于B,由A中分析可得/（無）是周期函數(shù)且周期為2,

故當(dāng)xe[3,4]時，4-xe[0,1],故/（x）=/（x-4）=/（4-x）=（4-，

故當(dāng)xe（3,4）時:/，（x）=2（x-4）,故/'[￡|=一1,

故切線方程為：尸一,-]+/弓]=-》+',故B錯誤.

對于c,由y(x)是周期函數(shù)且周期為2可得：

7(2021)+/(2022)+/(2023)+/(2024)=2/(0)+2/(1)=2,

故C正確.

對于D,因為g(2-x)=log5|l-x|=g(x),故g(x)的圖象關(guān)于x=l對稱，

而g⑹=1,g(-4)=l且x>l時g(x)=log5(x-l),此時g(x)在(1,+8)上為增函數(shù),

故〃x),g(x)圖象如圖所示：

由圖可得的圖象與g(x)的圖象共有10個交點，所有交點的橫坐標之和為10.

故選：ACD.

第II卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知集合/={2<%<3},集合3={川2加<%<1-機},命題?：XGA,命題4：

xeB,若。是9的充分條件，則實數(shù)機的取值范圍是.

【答案】m<-2

【詳解】命題命題由。是的充分條件，得/5即

{x[l<x<3}q|x|2m<x<1-mj

\-m>2m

因此<2加,解得加W—2,

1-m>3

所以實數(shù)加的取值范圍是加2.

故答案為：m<-2

13.已知多項式(％+3)(X—I)4=4+Cl^X+&/+%*'+，貝”

出+/+。4+。5=.

【答案】8

【詳解】含》的項為：X.C：.(-1)4+3.C^X.(-1)3=-11X,故〃

令x=0,即3=4，

令X=1,即0=%+4+%+。3+。4+。5，；,。2++。4+。5=8.

故答案為：8.

14.正方體43。。-4巴。12中，￡是棱。2的中點，尸在側(cè)面CDDG上運動，且滿足

BpH平面4BE.以下命題正確的有.

①側(cè)面CDDG上存在點F,使得BF±CD,

②直線BF與直線BC所成角可能為30°

③平面4BE與平面CDD?所成銳二面角的正切值為2行

④設(shè)正方體棱長為1,則過點的平面截正方體所得的截面面積最大為當(dāng)

【答案】①③

取C.中點M,CG中點N,連接B\M,B\N,MN,

則易證得4N〃4￡，MN〃48,且B、NCMN=N,

B、N,MNu平面B\MN,4區(qū)/du平面48E,

從而平面片兒W〃平面48E,

所以點F的運動軌跡為線段.

取的中點尸，因為△瓦是等腰三角形，所以片尸，“N,又因為MN〃cn，所

以8尸，C2,故①正確;

設(shè)正方體的棱長為。，當(dāng)點尸與點M或點N重合時，直線耳尸與直線BC所成角最大,

—<-^==tan30°

此時tan/q4尸=所以②錯誤;

2石

平面與〃平面48E,取尸為的中點,

則MN,GRMN1B1F,：./BFCi即為平面片的與平面CDDG所成的銳二面角，

tan/Bg=舞=2也,所以③正確；

因為當(dāng)尸為G￡與"N的交點時，截面為菱形ZGGE(G為3A的交點)，

此時，GE=4i,&C=6則面積為L亞x百=",故④錯誤.

22

故答案為：①③

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)已知A48C的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,且

6=3,。=1,a=6cos5.

⑴求。的值：

(2)求證：A=2B；

⑶cos一曰的值

【答案】(1)26(2)證明見解析(3)友口5

6

【詳解】(1)由a=6cos3及余弦定理，得1=6"+廠一.，

2ac

因為b=3,c=l,所以/=12,a=2百.

(2)由Q=6cosB及b=3,得a=2bcosB,

由正弦定理得sinZ=2sinBcosB=sin2B,

因為0＜力＜兀，所以/=25或/+23=兀.

若幺+25=兀，則5=C,與題設(shè)矛盾，因此4=2瓦

(3)由(I)得cos5=q=拽=@,因為0＜8＜兀，

663

—2

所以sinB—V1cosB—A11——―，

V93

2^2i

所以sin28=2sin8cos5=-----,cos25=2cos2B-\=——，

33

所以cos215一=cosf2B-^\=cos2Bcos+sin25sin.

另解：因為cosA=b*°——L=一1,sin/=J]-cos?4=Jl-工=?垃,

2bc3V93

所以cos2,一三j=cos[28-=cos/cos《+sin/sinE

(I")V32V212V2-V3

=——X-------1--------X—=----------------.

I3)2326

16.（15分）如圖1,在平面五邊形NBCDE中，AEHBD,且。E=2,AEDB=60°,

CD=BC=47,cosZ￡）C5=1,將AgCD沿AD折起，使點C到P的位置，且

EP=y/3,得到如圖2所示的四棱錐尸-48ZJE.

⑴求證；PE_L平面4&DE；

⑵若AE=\,求平面P4B與平面PBD所成銳二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）交

4

【詳解】（1）證明：在“SC中，CD=BC=近,cos/DCB=3,

由余弦定理可得+CC>2-2BC.COcosZZJC8=7+7-2X々XaX*=4,

7

所以BO=2,

又因為DE=2,NEDS=60。，所以△ADE為正三角形,

設(shè)8。的中點為尸，連接E尸,尸尸，可得瓦），斯，

又由CD=8C,可得ND_L尸尸，且所，尸尸u平面尸￡戶，EFCPF=F,

所以8。工平面尸￡尸，因為尸￡u平面尸EF,所以2OJ.PE,

在APED中，可得PF=YPB?一BF^=展，

在△5DE中，可得EF=」ED?-DF。=百，

又因為￡尸=括，可得E尸2+￡p2=尸尸2,所以尸￡_L￡7?,

因為EF,50u平面,且EFcBD=F,所以尸￡_L平面4BDE.

(2)解：因為所以/EJ.EF,

又由PEL平面ABDE,且/￡,Mu平面/RDE,所以PE工AE,PE工EF,

以￡為原點，以E4E￡EP所在的直線分別為x/,z軸，建立空間直角坐標系,

如圖所示，可得A(l,0,0),3(1,6,0),F(0,瓜0),尸(0,0,5,

則AB=(0,=(-1,0,73),麗=(-1,-73,V3),麗=(-1,0,0),

—n,,AB=-x/Sy,=0

設(shè)平面尸4g的法向量為々=(再,M，zJ,貝"______廠

ncAP=-xl+>J3zi=0

取再=?！靄可得必=0,Z]=l,所以〃]=1),

川n?BP--x-6%+G22=0

設(shè)平面尸8。的法向量為0=Z2),x2

nx-BF--x2=0

取力=1，可得%=°/2=1,所以%=(0,1,1),

設(shè)平面尸”8與平面尸助所成的角為凡由圖象可得。為銳角,

EZ,I——IW聞1V2

11

I?>2|2a4

所以平面尸與平面尸8。所成銳二面角的余弦值為XZ.

4

17.(15分)甲進行摸球跳格游戲.圖上標有第1格，第2格，…，第25格，棋子開

始在第1格.盒中有5個大小相同的小球，其中3個紅球，2個白球(5個球除顏色外

其他都相同).每次甲在盒中隨機摸出兩球，記下顏色后放回盒中，若兩球顏色相同，

棋子向前跳1格若兩球顏色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格

時，游戲結(jié)束.記棋子跳到第"格的概率為夕(〃=123,…,25).

(1)甲在一次摸球中摸出紅球的個數(shù)記為X,求X的分布列和期望；

⑵證明：數(shù)列花-=2,3,…,24)為等比數(shù)列.

【答案】(1)分布列見解析；期望E(X)=g；(2)證明見解析；

【詳解】(1)根據(jù)題意可知，X的所有可能取值為0,1,2；

貝”(X=0)=||=5,P(X=1)=詈=K=|，尸(X=2)=|5_3_

-10

可得X的分布列如下：

X012

133

P

10510

期望值為磯X)=0x\+lx|+2乂.=,

(2)依題意，當(dāng)3V-V23時，棋子跳到第〃格有兩種可能：

第一種，棋子先跳到第2格，再摸出兩球顏色不同;

第二種，棋子先跳到第n-l格，再摸出兩球顏色相同;

C?3

又可知摸出兩球顏色不同，即跳兩格的概率為

5

摸出兩球顏色相同，即跳一格的概率為丁

3?

因此可得

373

所以月-只T=-只一2+M/一只-=一只一一只/)，

p_p3

因此可得J1二一￡,

與一1一%—2?

即數(shù)列仍-匕T}(〃=2,3,…,24)是公比為一|的等比數(shù)列.

22

18.(17分)焦點在x軸上的橢圓亍+}=1的左頂點為M,，(國,弘)，B(x2,y2),

C(W，%)為橢圓上不同三點，且當(dāng)痂=4瓦時，直線"3和直線MC的斜率之積為

~4'

⑴求6的值；

⑵若ACMB的面積為1,求x；+x；和療+義的值；

(3)在(2)的條件下，設(shè)48的中點為D,求|。必|工回的最大值.

【答案】⑴6=1⑵#+x；=4,才+￡=1；(3)|

【詳解】(1)因為漏=4無，所以。,8,C三點共線，則必有點8和點C關(guān)于點。對稱,

所以%=-%,X?=F,設(shè)直線MB和直線MC的斜率分別為kMB,kMC,

因為點M為橢圓的左頂點，所以M(-2,0),

,歹2-0%二%一0二%

所以a=T^\=

%2一（-2）%2+2$一(—2)七+2，

所以L?^MC=.^.9

X,十乙十乙4

一￡

所以

（%2+2）（2—%2）4

所以卷+乂=1,所以〃=i,即6=±1；

(2)設(shè)過48兩點的直線為/,

當(dāng)直線/的斜率不存在時，4呂兩點關(guān)于1對稱，所以々=為，%=-%，

2

因為/(占,必)在橢圓上，所以"+式=1,又S@B=1,

12]

所以5M12Ml=1,即同聞=1,結(jié)合才+療=]可得h=&,聞=7^,

此時x；+x；=4,必2+)=i,所以弓+々=生

%+%

當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)其方程為歹=H+加，加w0,

y=kx+m

聯(lián)立,,肖去丁得（1+4左2）%2+8.x+4m2一4=0,

----1-V=1

[4J

2

其中A二（8?『一40+4左2）（4加2-4）=16（4左2-m+l）〉0①,

二匚-8km4m2-4

所以…

所以|AB\=，]+42J（X]+工2）2_4%工2=Jl+』2?42+1

\m\

因為O到直線/的距離d二乙+

J1+左2

月不以邑38=?“a-d=l,

所以;而.生*郎*./=1,整理的4—用+1=。，符合①式,

-8km）22

28m-8

止匕時入；+%；=（再+x2）-2XX=?小

121+41+4左2

22

%2+；=1』+1一三=2-1=1；

1244

（3）因為=4（X]；"[+）]+（七-/丁+（M-%）2

=2（x；+x；+y：+￡）=10,

由z????4|0D「+|4B『

所以2|0。卜|/@V-J_LJ_L=5,

即\OD\-\AB\<|,當(dāng)且僅當(dāng)2|。。|=|^|=V5時等號成立,

此時AOAB為直角三角形且ZAOB為直角，

xx(AXj+機)(仇+加)=(1+女2)M%2+冽化(再+%2)+加2

故OA