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專題04期中解答壓軸題(第6-7章)
題型1:存在性、恒成立問題
1.(22-23高一下?上海閔行?期中)已知函數(shù)/1(x)=sin(2x+0)(0<0<7i)
⑴當(dāng)。=:時(shí),求函數(shù)V=/(x)的最大值,并求出取得最大值時(shí)所有X的值;
7T7T
⑵若小)為偶函數(shù),設(shè)g(x)=/(x)-/a+。,若不等式Ig(x)-機(jī)|<2在xe[0,勺上恒成立,求實(shí)數(shù)
m的取值范圍;
2
⑶若/(%)過點(diǎn)H,h(x)=cosx+2d;sinx,若對(duì)任意的演£[一、申,x2G[0,^-],都有
〃(再)</(%)+3,求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.
【答案】(1)1,%—kuH—,kGZ
8
【分析】(1)由題意可得/(x)=si“2x+;J,由正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可;
(2)由題意可得/(%)=cos2x,g(x)=sin[2x+/],將問題轉(zhuǎn)化為m-2<g(x)min,且g(x)max<2+m
IT
在X£[0q]上恒成立,結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解;
(3)由題意可得將問題轉(zhuǎn)化為〃(再)1mx</(%濡+3結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)性質(zhì)求解.
【解析】(1)當(dāng)。=:時(shí),〃x)=sin2x+-,
I4丁
所以當(dāng)2x+至=2左兀+4,左£Z,即x=kn+—,kZ時(shí),所以/(x)max=l,此時(shí)x=kji+—,kGZ;
4288
(2)因?yàn)?(x)=sin(2尤+夕)(0<。<71)為偶函數(shù),所以0=5,
所以/(x)=cos2x,
所以g(x)=/(x)-/(%+四)=cos2x-cos2x+—71
6I6
6r=Uos2x+直in2x=sin(lx+8,
=cos2x--cos2x-——sin2x
2222I6)
7
71
又因?yàn)镮g(x)-M<2在]£[0,-]上恒成立,
即-2<g(x)-加<2在工£[0,自上恒成立,
所以加-2<g(x)<2+:〃在龍€[0,自上恒成立,
所以??-2<g(x)min,且g(x)1mx<2+加在xe[0,;]上恒成立,
1,c一;,加+2)1,
因?yàn)閄€[0,£],所以左+^右邑?],所以g(x)=sin2x+-e-----,1,1TI—2
2666I6J2
3
解得-\<m<—
2
的取值范圍為11,j;
所以m
71所以71兀),
(3)因?yàn)橐?)過點(diǎn)l=sin[m+910<9<9=2
3
所以/(%)=sinf2x+^L
又因?yàn)椤半娕c,所以23+梟邑芻
2ooo
所以/(x)=sin,11
22''
又因?yàn)閷?duì)任意的國x2e[0,^],都有〃(再)</(%)+3成立,
所以"(無Jmax</(尤2)疝11+3,"(xJmax<_弓+3=,
〃(%)=cos2x+2asim;-sin2x+2asim:+1=tz2+1-(sinx-a)
因?yàn)橥跛詓inx1G[-l,l],
設(shè)t=siwc}ef-1,1],
則有8?)=/+1_。一。)2圖像是開口向下,對(duì)稱軸為公。的拋物線,
當(dāng)時(shí),g")在上單調(diào)遞增,所以g(f)M=g(l)=2a,
所以2a解得a<g
24
所以
4
當(dāng)QW-1時(shí),g(。在作[-1,1]上單調(diào)遞減,
所以g⑺max=g(T=—2%
所以一"總解得
所以a<-\]
當(dāng)一時(shí),g?)max=g(a)="+"
所以解得-如<.<逅所以一1<。<1,
222
25_
綜上所述:所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為
444?4
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:關(guān)鍵點(diǎn)是把恒成立轉(zhuǎn)化為〃(再)皿</(X2)mM+3結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)及二次函
數(shù)性質(zhì)求解即可.
2.(22-23高一下?上海松江?期中)已知函數(shù)/(x)=asinx+6cosx+csinxcosx+l(a,6,ceR).
(1)當(dāng)。=b=o,c=l時(shí),求函數(shù)y=/(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)當(dāng)“=1,c=0時(shí),設(shè)g(x)=/(x)T,且函數(shù)gS)的圖像關(guān)于直線x=^7r對(duì)稱,將函數(shù)y=g(x)的
6
7T
圖像向右平移/個(gè)單位,得到函數(shù)y=〃(x),求解不等式〃(X)NI;
6
⑶當(dāng)〃=3,6=2,。=0時(shí),若實(shí)數(shù)冽,〃,2使得萬(%)+4(x-p)=l對(duì)任意實(shí)數(shù)%恒成立,求
cosp
的值.
2023m+A?
TTjr
【答案】(1)+-,keZ
-21
(2)2kn,—Tt+2hi,keZ
1
⑶—
1012
【分析】(1)根據(jù)題意得到〃x)=gsin2x+l,結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì),即可求解;
⑵根據(jù)題意得到:+曰6=Vi壽,求得6=5得至ljg(x)=2sin[x+"結(jié)合圖象的變換求
得Mx)=2sin(x+£|,由不等式以x)21,即sin口+即可求解;
(3)化簡(jiǎn)得到/(x)=VT^sin(x+e)+l,求得/(x-2)=JI5sin(x+e-p)+l,轉(zhuǎn)化為
V13(m+ncosp)sin(x+(p)~y/13nsinpcos(x+^9)+(m+H-1)=0,得到方程組,分類討論,即可求解.
【解析】(1)解:當(dāng)=。=1時(shí),可得函數(shù)/(x)=sinxcosx+l=;sin2x+l,
jrjrJI7T
令2E——<2x<2kn-\--,keZ,所以單調(diào)增區(qū)間為kn——,左兀+―,kwZ,?
22L44_
(2)解:當(dāng)。=1,。=0時(shí),可得g(x)=sinx+bcosx=ar^sin(x+。),其中tan9=6,
因?yàn)間(x)關(guān)于直線x=B對(duì)稱,
6
可得g(x)111ax即:+卓6="77,解得b=
\6/22
所以g(x)=sinx+Gcosx=2sinL+yj,
71
將函數(shù)>=g(x)的圖像向右平移9個(gè)單位,得到函數(shù)秋x)=2sinX+-
6
由h(x)>1,即sin1%+巴]2工,貝!]史+2左兀<%+—<—7t+2H,kGZ
v6)2666
2
解得2左兀<x<y7T+2左兀,keZ,
2
所以不等式的解集為2億]兀+2E(左wZ);
(3)解:當(dāng)。=3,b=2,c=0時(shí),貝ij/(x)=3sinx+2cosx+1,
可得/(x)=y/13sin(x+e)+1,則/(x-p)=V13sin(x+9-p)+1,
jr2
其中0<。<5且tan0=§,于是a(%)+4(x—P)=l,
可化為V13msin(x+9)+y/13nsin(x+0一2)+加+〃=1,
BPy113msin(x+9)+A/13ZZsin(x+cp)cosp-y/13nsinpcos(x+°)+(冽+〃-1)=0,
所以y/13(m+ncosp)sin(x+夕)-V13?sinpcos(x+0)+(冽+〃-1)=0.
m+?cos/7=0---(l)
由已知條件,上式對(duì)任意xeR恒成立,故必有sin2=0…(2)
m+n-l=0…⑶
若〃=0,則由(1)知加=0,顯然不滿足(3)式,故〃。0,
所以由(2)知sin0=0,故p=2E+?;?=2析,左EZ,
當(dāng)p=2E時(shí),cos/?=1,貝!J(1)、(3)兩式矛盾,
故p=2左力+肛上EZ,cos夕=一1由(1)、(3)知加=〃=工,
題型2:零點(diǎn)問題
3.(2L22高一下?上海閔行?期中)已知函數(shù)/(x)=sin(g+9)(0>O,O</<;r)的最小正周期為打,且直
線是其T圖T象的一條對(duì)稱軸.將函數(shù)了=/(x)的圖象向右平移。TT個(gè)單位,再將所得的圖象上每一
點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍所得的圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)記作y=g(x),令函數(shù)
F(x)=/(%)+Ag(x).
⑴求函數(shù)〉=g(x)的函數(shù)解析式;
(2)求函數(shù)、=尸(工)的最大值及相對(duì)應(yīng)的x的值;
(3)若函數(shù)尸(x)=/(x)+4g(x)在(0,加r)內(nèi)恰有2021個(gè)零點(diǎn),其中常數(shù)XeR,求常數(shù)X
與”的值.
【答案】(l)y=g(x)=sinx;
(2)答案見解析;
(3)A=-1,77=1347.
【分析】(1)根據(jù)正弦型函數(shù)的最小正周期公式和對(duì)稱軸方程,結(jié)合正弦型函數(shù)圖象的變換性質(zhì)進(jìn)
行求解即可;
(2)根據(jù)二倍角的余弦公式,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論進(jìn)行求解即可;
(3)利用換元法,結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)和一元二次方程根的分布分類討論進(jìn)行求解即可.
【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=sin(ox+°)(o>0)的最小正周期為萬,
27r
所以有乃=——=>G=2,即/(%)=sin(2x+cp),
co
Jr
又因?yàn)橹本€X=-曰是〃無)=sin(2x+0)圖象的一條對(duì)稱軸,
7TIT34
所以有2x(-y)+°=左〃+,(左£Z)n夕=上乃+—(kGZ),
冗7E
因?yàn)?<°<?,所以令左=_1,則°=',即/(x)=sin(2x+5)=cos2x,
TT
因?yàn)楹瘮?shù)>=/(%)的圖象向右平移二個(gè)單位,再將所得的圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)?/p>
4
原來的2倍所得的圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)記作V=g(x),
所以V=g(x)=sinx;
(2)F(x)=/(x)+Ag(x)=cos2x+2sinx=1-2sirix+2sinj
=^>F(x)=-2(sinx-2+F1,
212
當(dāng)一14:41時(shí),即一4WX44時(shí),F(xiàn)(x)max=—+1,
止匕時(shí)sinx=—,即x=2A:7r+arcsin—(A:cZ)或、=2左;r+乃一arcsin一(左GZ);
444
當(dāng)W〉1時(shí),即4>4時(shí),=1-2+2=4-1,
止匕時(shí)sinx=l,Bpx=Ikn+—(keZ);
當(dāng)<—1時(shí),即%<—4時(shí),F(xiàn)(x)=1-2-2=-2-1,
4max
3萬
止匕時(shí)sinx=-l,即x=2kji+—(kGZ),
120
綜上所述:當(dāng)一44244時(shí),F(xiàn)(x)max=—+1,止匕時(shí)x=2br+arcsini(A:£Z)
X
或x=2左九+萬一arcsin一(左£Z);
4
jr
當(dāng)%>4時(shí),F(xiàn)(x)max=1-2+2=2-1,止匕時(shí)x=2左乃+萬(左EZ);
3%
當(dāng)幾<一4時(shí),/(X)max=1—2—4=一4一1,止匕時(shí)X=2k7l+—(kGZ);
(3)F(x)=/(x)+2g(x)=cos2x+Asinx=l-2sin5;+Asinx=0,
設(shè)sin%=1,1],貝!h—2『+加=0=2/—加―1=0,
該方程的判別式八=萬+8>0,
所以該方程有實(shí)根,設(shè)為(由,柩2=-;<0,顯然兩根為異號(hào),
若。<,1|<1,0<匐<1時(shí),則方程sinx=%,sinx=f2在(0,〃%)內(nèi)都有偶數(shù)個(gè)根,
所以方程1-2siMx+2sinx=0有偶數(shù)個(gè)根,不符合題意;
若4=1,則,2=—2,此時(shí)4=1,
當(dāng)XE(0,2?)時(shí),sinx=4只有一個(gè)根,sinx=,2有兩個(gè)根,
所以1一2sin2x+4sin%=0有三個(gè)根,由于2021=3x673+2,
所以l-2sin2x+4sinx=0在%£(0,1346m內(nèi)有3x673=2019個(gè)根,
由于方程sin%=4在%£(1346肛1347萬)內(nèi)只有一個(gè)根,sinx=t2沒有實(shí)根,
所以方程l-Zsin?x+2sinx=0在%?(0,1347%)時(shí)有2020個(gè)實(shí)根,不符合題意;
若%=-1,則馬=;,此時(shí)2=T,
當(dāng)xe(0,2%)時(shí),sin尤=%只有一個(gè)根,sinxf有兩個(gè)根,
所以1一2sin2x+%sin%=0有三個(gè)根,由于2021=3x673+2,
所以l-Zsin?x+4sinx=0在%£(0,1346%)內(nèi)有3x673=2019個(gè)根,
由于方程sinxf在%£(1346匹1347%)內(nèi)沒有實(shí)根根,sinAj有兩個(gè)實(shí)根,
所以方程l-Zsin?x+2sinx=0在(0,1347萬)時(shí)有2021個(gè)實(shí)根,符合題意;
若兩個(gè)根有一個(gè)絕對(duì)值大于1,則另一個(gè)根絕對(duì)值大于零且小于L有偶數(shù)個(gè)根,不符合題意,
綜上所述:2=-1,〃=1347.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:利用換元法,根據(jù)一元二次方程實(shí)根的分布結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)分類討論是解
題的關(guān)鍵.
4.(19?20高一下?上海徐匯?期中)已知函數(shù)/(x)=4sinxcos(x+g)+G,
⑴化簡(jiǎn)/W至!J歹=4sin(Gx+夕)+5(4>0,6W>0,|^|<y),并求最小正周期;
ITIT
⑵求函數(shù)/⑴在區(qū)間上的單調(diào)減區(qū)間;
46
⑶將函數(shù)/(X)圖像向右移動(dòng)2TT個(gè)單位,再將所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的“(0<“<1)倍得
0
到y(tǒng)=g(x)的圖像,若y=g(x)在區(qū)間[TH上至少有100個(gè)最大值,求。的取值范圍.
TT
【答案】(l)/(x)=2sin(2x+§),最小正周期是萬;
(2)[—
120
4
(3)(0,—].
199萬
【分析】(1)根據(jù)給定條件利用和角的余弦公式、二倍角的正弦、余弦公式,輔助角公式變形即可得
解.
(2)利用(1)的結(jié)論結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性列式計(jì)算作答.
⑶利用(1)的結(jié)論結(jié)合給定的變換求出g(x)的解析式,再借助gG)的性質(zhì)列式計(jì)算作答.
【解析】(1)依題意,
/(%)=4sincosx-sinx)+VJ=2sinxcosx+V3(l-2sin2x)=sin2x+百cos2x=2sin(2x+-j),
其中①=2,則T=3=",
CD
rr
所以〃x)=2sin(2x+§),最小正周期是萬.
(2)由(1)知,當(dāng)-工WxvX時(shí),一工V2x+工W主,則由工W2x+工W紅得二WxV工,
46633233126
即/(X)在巨白上單調(diào)遞減,
126
所以函數(shù)/⑴在區(qū)間勺上的單調(diào)減區(qū)間是啜,勺.
46126
TTTC
(3)由(1)知,/(x)=2sin(2x+-),將函數(shù)/⑴圖像向右移動(dòng)二個(gè)單位所得函數(shù)為y=2sin2x,
36
2
于是得g(x)=2sin—x,則g(x)的周期為a兀,
a
因V=g(x)在區(qū)間[T,1]上至少有100個(gè)最大值,則在長(zhǎng)為2的區(qū)間[-1,1]上至少有99.5個(gè)周期,
44
因止匕,a〃x99.5W2,解得----,而于是得-----,
1997r199〃
4
所以。的取值范圍
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:涉及求正(余)型函數(shù)在指定區(qū)間上的單調(diào)性問題,先根據(jù)給定的自變量取值區(qū)
間求出相位的范圍,再利用正(余)函數(shù)性質(zhì)列出不等式求解即得.
5.(2223高一下?上海浦東新?期中)已知函數(shù)/(無),g(x)是定在R上的函數(shù),且滿足關(guān)系
g(x)=/(x”(x+£].
(1)若/(x)=binx|+cosx,若xe0,g,求了=g(x)的值域;
(2)若/(x)=|sinx|+cosx,存在x^eR,對(duì)任意xeR,有g(shù)(±)Vg(x)Vg(x2)恒成立,求|再-0
的最小值;
⑶若/(x)=cosx+sinx,要使得尸(x)=asinx+g(x)在(0,時(shí)eN*)內(nèi)恰有2022個(gè)零點(diǎn),請(qǐng)求出
所有滿足條件的。與〃.
【答案】⑴卜1』
..371
⑵彳
⑶當(dāng)℃(一1,1)時(shí),〃=1011;當(dāng)0=±1時(shí),”=1348;當(dāng)ae(-s,-l)U(l,+s)時(shí),n=2022.
【分析】(1)求出函數(shù)V=g(x)的解析式,即可得出在xe0假上的值域;
(2)化簡(jiǎn)函數(shù)>=g(x),通過對(duì)應(yīng)圖像即可得出g(xj4g(x)Wg(X2)恒成立,求|再-引的最小值;
(3)化簡(jiǎn)函數(shù)V=g(x),設(shè)"sinx將y=g(x)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為圖像與x軸的
交點(diǎn)問題,通過討論二次函數(shù)的周期性,即可得出在(0,"冷(〃eN*)內(nèi)恰有2022個(gè)零點(diǎn),所有滿足
條件的。與
【解析】(1)由題意,
在/(x)=binx|+cosx中,+=sin+cos)=|cos彳-sin
在8卜)=/(。/6+5)中,
g(x)=/(x)./[x+曰=Qsin|+cos|-sin)=gincos|-sincos-sins|inX|-FCOS乂osx|
當(dāng)相嗚時(shí),g(x)=|sinxcosx|-sinxcosx-sinx^inx|+cosx|:osx|=cos2x-sin2x=cos2隼£1,1],
,y=g(x)的值域?yàn)椋篬TJ].
(2)由題意及(1)得,xeR
在g(x)-Isinxcosxl-sinxcosx-sin/sin*+cos*cos彳中,
兀
①當(dāng)2人兀,2kjiT—(keZ)gpsinx>0,cosx>0,
2
g(x)=sin2x-cos2x=-cos2x,
函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減
g3mm=g[M+,=T,g(da、=gQ砌=1,
jr
②當(dāng)2kTl+—,2k7l+TlREZ)即sinx>0,cos%<0時(shí),
g(x)=-2sinxcosx-cos2x-sin2x=-sin2x-1,
TT37r
函數(shù)在2析+5,則+了依eZ)單調(diào)遞增,
37r
在2包+~^,2配+兀(左£Z)單調(diào)遞減,
=g(2fer+]
g(x)min=g(2hr+K)=-l,g(x)max=g(2foi+7i)=0,
3兀
③當(dāng)X€2左兀+兀,2^71+—(keZ)即sinx<0,cosx<0時(shí),g(x)=-cos2x+sin2x=-cos2x,
2
3兀
函數(shù)在2hi+7i,2kn+—依eZ)上單調(diào)遞增,
=g(2far+與
g(x)mn=g(2H+7i)=-l,g(x)max二1,
3兀
④當(dāng)尤e2祈+晝,2阮+2兀(左EZ)艮flsinx<0,cos%>0時(shí),
g(x)=-2sinxcosx+sin2x+cos2x=-sin2x+1,
37r77r
函數(shù)在2hi+—,2A:7i+—REZ)單調(diào)遞增,
77f
在2阮+~^,2阮+2兀(左eZ)單調(diào)遞減,
=gf2fer+^=g(2航
g(x)mM
=g(2E+2兀)=1,g(xmax二2,
二函數(shù)g(x)是周期為2兀的周期函數(shù),圖像如下:
存在AZCR,對(duì)任意尤eR,有g(shù)(xj4g(x)4g(x2)恒成立,
???g(x)mm=g(xj,g(x)max=g(x2)
3元
.?.當(dāng)ki-Xzl最小時(shí),由圖像可知,卜-%1mhi=彳,
(3)由題意,x€(0,"7t)(〃eN*),
/[x+'f)=0。,[x+])+sin[不吟]=-sinx+cos兀
在/(x)=cosx+sinx中,
在8⑺二/卜上/^+曰中,
g(x)=/(x)?/%+—=(cosxsinx)(-sinxccsx)=cos&-sin3;=cos2,
在F(x)=asinx+g(x)中,F(x)=qsinx+cos2x-sin2x=-2sin2%+asin%+1,
*.*T7(x+2兀)=一2sin2(x+2兀)+asin(x+2兀)+1=—2sin2%+asinx+1=f(x),
設(shè)sinx=/,=—2/2+at+1,
???函數(shù)是以2兀為周期的周期函數(shù),尸⑺在[0,2可上最多與x軸有1-2個(gè)交點(diǎn),
:在[0,2司周期內(nèi),y=sinx與歹=%有r2個(gè)交點(diǎn),
/.F(x)=-2sin2x+asinx+1在[0,2兀]上有1~4個(gè)交點(diǎn),
,若在(0,力勸(〃WN*)內(nèi)恰有2022個(gè)零點(diǎn),則">1,sinx=才e[-1,1],
在尸(。=一2戶+a?+l,fe[0,2;r]中,
當(dāng),=sinx=±l即]=不或%=—,止匕時(shí),=sinx有1個(gè)交點(diǎn),
22
①當(dāng)函數(shù)尸(才)有兩個(gè)零點(diǎn);"2時(shí),
若廿2均不為-1和1,此時(shí)V=,與歹=sinx有2個(gè)交點(diǎn),則尸(x)在[0,2兀]有4個(gè)交點(diǎn),
F(-l)=-2x(-l)2+ax(-1)+1<0
解得:-\<a<\,
F(l)=-2xl2+axl+l<0
,當(dāng)有2022個(gè)交點(diǎn)時(shí),"=(2022+4*2兀+兀=1011,ae(-l,l)
若有一個(gè)為-1或1,此時(shí)歹=,與V=sinx有2個(gè)交點(diǎn),則b(x)在[0,2兀]有3個(gè)交點(diǎn),
F(-l)=-2x(-l)2+ax(-1)+1<0
解得:a=1,
F(l)=-2xl2+axl+l=0
F(-l)=-2x(-l)2+ax(-1)+1=0
或,,解得:a=—\,
F(l)=-2xl2+axl+l<0
,當(dāng)有2022個(gè)交點(diǎn)時(shí),"=(2022-3)x2兀+兀=1348,a=±l,
②當(dāng)函數(shù)尸(。有一個(gè)零點(diǎn)時(shí),此時(shí),=,與>=sinx有1個(gè)交點(diǎn),則尸(x)在[0,2可有2個(gè)交點(diǎn),
F(-l)=-2x(-l)2+tzx(-1)+1<0
,解得:a>\,
F(l)=-2xl2+6zxl+l>0
或r(-l)=-2x(T)2+ax(_l)+l>0
,解得:a<—1y
F(l)=-2xl2+axl+l<0
當(dāng)有2022個(gè)交點(diǎn)時(shí),〃=(2022-2)x27t+7i=2022,ae(-oo,-l)U(1,+<?),
綜上:
當(dāng)時(shí),〃=1011;
當(dāng).=±1時(shí),〃=1348;
當(dāng)ae(-oo,-l)U(l,+℃)時(shí),n=2022.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:三角函數(shù),三角函數(shù)的圖像,二次函數(shù),零點(diǎn)問題等,考查學(xué)生的作圖能力,
三角函數(shù)的恒等變換能力,分段函數(shù)的應(yīng)用及去絕對(duì)值的能力,具有極強(qiáng)的綜合性.
題型3:證明題
6.(2021高一下?上海寶山?期末)若定義域?yàn)镽的函數(shù)了=為(x)滿足:對(duì)于任意xeR,都有
A(x+2^)=A(x)+/z(2^),則稱函數(shù)y=右(x)具有性質(zhì)p.
⑴設(shè)函數(shù)y=f(x),尸g(x)的表達(dá)式分別為/(x)=sinx+x,g(x)=cosx,判斷函數(shù)了=/(尤)
與>=g(x)是否具有性質(zhì)尸,說明理由;
(2)設(shè)函數(shù)y=/(x)的表達(dá)式為/(x)=sin(0x+0),是否存在0<。<1以及一萬<S(萬,使得函數(shù)
了=玩11(3;+/)具有性質(zhì)產(chǎn)?若存在,求出0,。的值;若不存在,說明理由;
(3)設(shè)函數(shù)了=〃尤)具有性質(zhì)P,且在[。,2兀]上的值域恰為[〃0),/(2%)];以2%為周期的函數(shù)
y=g(x)的表達(dá)式為g(x)=sin(/(x)),且在開區(qū)間(0,20)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),求證:八2%)=27.
【答案】(1)函數(shù)了=/(x)具有性質(zhì)P,V=g(x)不具有性質(zhì)P,理由見解析;(2)不具備,理由
見解析;(3)證明見解析.
【分析】(1)根據(jù)具有性質(zhì)P的定義依次討論即可得答案;
(2)假設(shè)函數(shù)片〃力具有性質(zhì)P,則有〃0+2萬)=/(0)+〃2萬),即〃0)=0,進(jìn)而得
〃x)=sin(s),再根據(jù)〃2覬)=〃0)+"(2》)="(27)并結(jié)合函數(shù)的值域?yàn)椋?1,1]得〃2%)=0,
1Y
故此時(shí)f(x)=sin5,在驗(yàn)證y=f(x)不具有性質(zhì)?,進(jìn)而得到答案;
(3)結(jié)合(2),并根據(jù)題意得〃2])=左1(keZ),進(jìn)而得y=/(x)在[0,2可的值域?yàn)?/p>
[0,左句(/及左>0),當(dāng)月>2時(shí),與產(chǎn)g(x)零點(diǎn)唯一性矛盾得左=1或左=2,再討論當(dāng)左=1時(shí)不
成立得上=2,即f(27r)=27r.
【解析】(I)函數(shù)y=/(x)具有性質(zhì)p,y=g(x)不具有性質(zhì)尸,說明如下:
/(x+2")=sin(x+2")+x+2乃=sinx+x+2",
/(x)+/(2%)=sinx+x+2i,
對(duì)任意xeR,都有/(x+2萬)=/(x)+/(2萬),
所以>=/卜)具有性質(zhì)P,
g(x+2%)=cos2x,/z(x)+/z(27r)=cos2x+l,
所以g(x+2萬)W/;(X)+/Z(2I),
所以V=g(x)不具有性質(zhì)P;
(2)若函數(shù)y=/(x)具有性質(zhì)尸,
則有/(0+2萬)=/(0)+/(2萬),即/(0)=0,
于是sin夕=0,結(jié)合一乃<夕<乃知夕=0,
因此/'(x)=sin(0x);
若/(2萬)/0,不妨設(shè)〃2句>0
由〃x+2萬)=〃x)+/(2萬)可知:
/(2厄r)=〃0)+弁(2萬)=的2萬)(記作*),其中左eZ
只要上充分大時(shí),虹(2%)將大于1
考慮到y(tǒng)=/(x)的值域?yàn)闉椋?1』,等式(*)將無法成立,
綜上所述必有/(2萬)=0,即sin(2M)=0;
再由0<G<1,0<2a)7r<In,從而2G萬=?,而&
1v-x.x
當(dāng)0=5時(shí),/(x)=sin—,/(尤+2%)=sin+7r=-sm—
~2
而/(x)+/(2%)=sing,顯然兩者不恒相等(比如x=9時(shí))
2,
綜上所述,不存在0<0<1以及一萬<夕<萬使得y=/(X)具有性質(zhì)P;
(3)由函數(shù)>=/(x)具有性質(zhì)P以及(2)可知"0)=0,
由函數(shù)y=g(x)是以2萬為周期的周期函數(shù),有g(shù)(2i)=g(0),
即sin(/(2萬))=sin(/(0))=0,也即/(2%)=丘(左eZ)
由"0)=0,/(2%)=0及題設(shè)可知
y=/(x)在[0,2司的值域?yàn)椋?,k兀]乒小>0)
當(dāng)后>2時(shí),當(dāng)/卜)=乃及/(x)=2萬時(shí),均有g(shù)(x)=sin(/(x))=0,
這與零點(diǎn)唯一性矛盾,因此左=1或左=2,
當(dāng)左=1時(shí),/(2萬)=萬,了=/(x)在[0,2兀]的值域?yàn)椋?,句
止匕時(shí)/(x+27)=
于是了=/(無)在[2匹4句上的值域?yàn)槌?句,
由正弦函數(shù)的性質(zhì),此時(shí)sin(/(x))當(dāng)xe[0,2句時(shí)和x?2匹4句的取值范圍不同,
因而k=2,即/(2%)=2n.
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的新定義問題,考查邏輯推理能力,運(yùn)算求解能力,是難題.本題解題的關(guān)鍵
在于正確理解具有性質(zhì)P的函數(shù)的定義,利用定義,結(jié)合反證法,分類討論思想等討論求解.
7.(2022?上海嘉定?一模)已知函數(shù)了=/(x)的定義域?yàn)閰^(qū)間〃,若對(duì)于給定的非零實(shí)數(shù)相,存在%,
使得/(%)=/(%+皿),則稱函數(shù)V=/(尤)在區(qū)間。上具有性質(zhì)尸(%).
⑴判斷函數(shù)/(x)=x2在區(qū)間[-1,1]上是否具有性質(zhì)吧,并說明理由;
⑵若函數(shù)〃x)=sinx在區(qū)間(0,〃)(">0)上具有性質(zhì)求〃的取值范圍;
⑶已知函數(shù)了=/(無)的圖像是連續(xù)不斷的曲線,且〃0)=/'⑵,求證:函數(shù)了=/(x)在區(qū)間[0,2]
上具有性質(zhì)產(chǎn)
【答案】(1)具有性質(zhì)PI,理由見解析
5乃
(2)——,+oo
8
⑶證明見解析
【分析】(1)由題可得,則毛=-;,結(jié)合條件即得;
(2)由sin/=sin[%£,解得/=左乃+紅,xo+—=k7l+—G(0,HGN),可得〃〉旦,即
8488
得;
(3)設(shè)g(x)=/(x)-/1x+;j,xe0,1,可得
g(o)+gg|+…+g]F■卜…+g0=/^)-/0>°,當(dāng)g(o)、g];]、…、g(Y]、…、gg]
中有一個(gè)為0時(shí),可得i"1,2,3,…,6},即證;當(dāng)g(O)、g]£|、…、
…、g]£|中均不為。時(shí),由于其和為0,則其中必存在正數(shù)和負(fù)數(shù),不妨設(shè)g[一]>0,g[—]<0,
結(jié)合條件可知,存在看,g(xo)=/(xo)-/Lo+1j=O,即證.
【解析】(1)函數(shù)/'(尤)=X2在[-1,1]上具有性質(zhì)PI
21
若%;=(%+5|,則/=-“
因?yàn)橐??-15,因一;+;=覆一1』,
所以函數(shù)/(x)=x2在卜1,1]上具有性質(zhì)尸(£).
(2)解法1:由題意,存在x()e(O,〃),使得sin%=sin1/+?
得/+?=玉)+2左萬(舍)或與+?=2左笈+?—%0(左£Z),
37r
則得%=左左+?.
O
34
因?yàn)檠荩?左=+——>0,所以左EN.
8
34TT5TE
又因?yàn)椋=k兀?-----G(0,〃)且為4——=左"+——G(0,〃)(左eN),
848
所以〃>三,即所求〃的取值范圍是
解法2:當(dāng)0<〃M.時(shí),函數(shù)/(x)=sinx,xe(O,〃)是增函數(shù),
所以不符合題意;
當(dāng)時(shí),因?yàn)橹本€x=?是函數(shù)/(x)=sinx的一條對(duì)稱軸,
而函數(shù)/(x)=sinx在區(qū)間(0,〃)(〃>0)上具有性質(zhì)產(chǎn)71
所以2H一!^兀
解得〃>苧,即所求"的取值范圍是(七,+8
81X
(3)設(shè)g(x)=/(x)-4x+;1,xe0,|
則有g(shù)(o)=〃。)-佃,g乙卜佃-dI)⑴,
8申=/0八2)(丘{1,2,3,「6}).
以上各式相加得g(O)+gQj+…+gJ+…+g^-|j=/(2)-/(0)
即g(0)+g[J+…+gj+…+g=0,
(i)當(dāng)g(0)、g[[、…、g[9]、…、g]£|中有一個(gè)為0時(shí),不妨設(shè)g[一]=O,Z6{123,…,6},
iw{1,2,3,…,6},
所以函數(shù)了=/(x)在區(qū)間[0,2]上具有性質(zhì)尸「
5
(ii)當(dāng)g(。)、gI一、g中均不為0時(shí),由于其和為0,
則其中必存在正數(shù)和負(fù)數(shù),不妨設(shè)4亍J>0,
其中z,刁,z?、/e{1,2,3,…,6}.
由于函數(shù)y=g(x)的圖像是連續(xù)不斷的曲線,所以當(dāng),</時(shí),至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)然%當(dāng)
時(shí),至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)/其中八八{1,2,3,…,6},使得g(x°)=0,即
8(/)=/(/)一71/+:]=(),
即存在%,使得/(Xo)=/[xo+g],
所以函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[o,2]上也具有性質(zhì)尸KJ.
綜上,函數(shù)y=在區(qū)間[0,2]上具有性質(zhì)P
題型4:新定義題
8.(2021高一下?上海寶山?期中)已知函數(shù)y=/(x),xe。,如果對(duì)于定義域。內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x,對(duì)
于給定的非零常數(shù)〃?,總存在非零常數(shù)八恒有"X+7)=M"X)成立,則稱函數(shù)〃x)是。上的周
期為7的加級(jí)類周期函數(shù).
(1)已知了=/(尤)是[0,+s)上的周期為1的加級(jí)類周期函數(shù),且了=/(無)是[0,+⑹上的嚴(yán)格增函數(shù),
當(dāng)xe[0,l)時(shí),/(x)=2S求實(shí)數(shù)加的取值范圍;
(2)設(shè)函數(shù)Ax)是我上的周期為1的2級(jí)類周期圖數(shù),且當(dāng)xe(0,l]時(shí),/(x)=x(x-l).若對(duì)任意
Q
xe(-oo,m],都有求用的取值范圍;
(3)是否存在實(shí)數(shù)左,使函數(shù)/(x)=cos"是尺上的周期為T的T級(jí)類周期函數(shù),若存在,求出實(shí)
數(shù)上和T的值,若不存在,說明理由.
7
【答案】(1)[2,+8);(2)m<--(3)答案見解析;
【分析】(1)根據(jù)函數(shù)定義有/■(x)=z#(x-l),易得xe[”,〃+l)時(shí)工(x)=——2E(〃eN*),根據(jù)已
知條件有“Z>0且加"?2“">m"'24(片)即可求加的范圍;
(2)由函數(shù)定義有xe(2,3]時(shí)再結(jié)合題設(shè)函數(shù)不等式恒成立、二次函數(shù)的性質(zhì),求加
的范圍;
(3)由題意cos左(x+T)=Teosfoe恒成立,討論左=0、左/0分別求對(duì)應(yīng)左值.
【解析】(1)由加級(jí)類周期函數(shù)定義知:f(x+X)=mf(x),即〃x)=〃礦(x-l)
.?.當(dāng)xe[l,2)時(shí),工(無)=M21,…,當(dāng)xw[〃,"+l)時(shí),f<x)=m"-2,f(ncN*),
?:y=/(x)是[0,+s)上的嚴(yán)格增函數(shù),且xe[0,1)上/(%)單調(diào)遞增,
nxn
.?.加>0且m-2->/t-,解得m>2,
me[2,+co).
(2)由題設(shè):/(x)=2/(x-l),而尤e(0,l]時(shí)/(x)=x(x-l)e[-5,0],
.?.當(dāng)xe(1,2],即x-1e(0,1]時(shí)/(x)=2(x-l)(x-2)e[-1,0],
當(dāng)X£(2,3],即X—1E(1,2]時(shí)f(x)=4(x-2)(x-3)G[-1,0],
o7g
3x0e(2,3],使4(尤o-2)(Xo-3)=-§,解得/=§或%=§
o7
對(duì)任意xe(-oo,〃4都有則機(jī)4].
(3)若存在,貝!Jf(x+7)=7f(x),即cos4(x+T)=Teosfar恒成立,
當(dāng)左=0時(shí),7=1;
當(dāng)后片0時(shí),cos左(x+T)e[—1,1],則T=±1,
若T=l,cosA-(x+l)=cosfoe,可得左=2〃萬(〃eZ,”w0),
若T=-l,cos4(x+1)=-cosfcc,可得上=(2"+l)萬(〃eZ),
綜上,T=1時(shí)左=2〃%(〃eZ);T=-l時(shí)后=(2〃+1)萬(〃eZ).
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:利用加級(jí)類周期函數(shù)的定義確定相應(yīng)區(qū)間上的函數(shù)解析式,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)
性、函數(shù)不等式恒成立、存在性問題求參數(shù).
9.(22.23高一下?上海徐匯?期中)對(duì)于函數(shù)/(X)(xe。),若存在非零常數(shù)T,使得對(duì)任意的xe。,
都有/(x+7”/(x)成立,我們稱函數(shù)〃x)為"7函數(shù)",若對(duì)任意的xe。,都有〃x+T)>/(x)成
立,則稱函數(shù)/(無)為"嚴(yán)格T函數(shù)
(1)求證:/(x)=sinx,xeR是"7函數(shù)”;
(2)若函數(shù)〃同=丘+疝2》是段函數(shù)",求上的取值范圍;
⑶對(duì)于定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x),/(0)=0,函數(shù)siW(x)是奇函數(shù),且對(duì)任意的正實(shí)數(shù)7,sinf(x)
均是“嚴(yán)格T函數(shù)若〃。)=],=求a+6的值
【答案】(1)證明見解析
2
⑵[―,+00)
兀
⑶。
【分析】(1)取非零常數(shù)7=2兀,證明函數(shù)滿足/(x+T"〃x)即可;
(2)根據(jù)函數(shù)/(xXAx+sin2%是〃1?函數(shù)〃,可推出《(x+1^+sin21x+&2Ax+sin2x恒成立,化
JT
簡(jiǎn)為,左N-cos2x,結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)可得答案;
(3)由"嚴(yán)格T函數(shù)”的定義可知函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù),再結(jié)合sii/(x)是奇函數(shù),利用其對(duì)稱性即
可求得答案.
【解析】(1)證明:取非零常數(shù)T=2兀,
則對(duì)任意的xeR,都有f(x+27t)=sin(x+27t)=sinx,
因?yàn)閟inxNsinx,即/'(尤+7)?成立,
故/(x)=sinr,尤eR是"T函數(shù)
(2)函數(shù)〃x)=b+sin2x是《函數(shù)",D=R,
貝1J+2/(x),即左++sin[x+12立+sin。,
■7T
整理得一左2—cos2x,而cos2xe[—l,l],
2
IT2
故
271
2
即左的取值范圍為[—,收);
兀
(3)因?yàn)閷?duì)于任意尤eR,對(duì)任意的xe。,都有/卜+7)>/(x)成立,
則/(x)在R上為單調(diào)增函數(shù),
令g(x)=siW(x),xeR,由題意知g(x)=sii/(x)為奇函數(shù),
因?yàn)?(“)=],Z(6)=-p
所以g(a)=sin(/(a))=1,g(b)=sin(/(6))=-1,
所以g(a)+g(6)=0,則a+b=O.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:本題是給出新的函數(shù)定義,然后根據(jù)該定義解決問題,解答此類題目的關(guān)鍵是
理解新定義,明確其含義,根據(jù)其含義明確函數(shù)的性質(zhì),繼而解決問題.
題型5:取值范圍問題
10.(2223高一下?上海浦東新?期中)定義有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,6)的"跟隨函數(shù)"為
/(x)=asinr+bcosx(xeR).
⑴記有序數(shù)對(duì)Q—l)的"跟隨函數(shù)"為/W,若/(無)=0,無e[0,2可,求滿足要求的所有x的集合;
⑵記有序數(shù)對(duì)(0,1)的"跟隨函數(shù)"為加),若函數(shù)g(x)=/(》)+小sin4xeQ2可與直線>=上有且僅
有四個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)后的取值范圍;
⑶己知a=3,若有序數(shù)對(duì)(a,b)的"跟隨函數(shù)"y=/(x)在X=/處取得最大值,當(dāng)6在區(qū)間(0,6]變化
時(shí),求tan2%的取值范圍.
【答案】(1){:,苧};
(2)[1,2);
⑶/4后0)
【分析】(1)寫出解析式/⑴,解方程/(Q=0即可;
(2)由題意求得g(x)=cosx+6Mnx|,可分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào),并化簡(jiǎn)函數(shù)式,然后作出函
數(shù)g(x)的圖象,結(jié)合函數(shù)圖象可得結(jié)論;
(3)寫出〃x),利用輔助角公式得出與(sinx°,cosx。的值),然后利用二倍角的正切公式、商數(shù)關(guān)
系化簡(jiǎn)函數(shù)式,利用函數(shù)單調(diào)性和不等式的性質(zhì)得出其取值范圍.
【解析】(1)由題意/(x)=sinx—cosx=0,sinx=cosx,tanx=1,
ji
x=kit+—(kGZ),
又xe[0,2;r],所以x=J或手,即所求集合為盧,乎};
4444
(2)由題意/(x)=cosx,則g(x)=cosx+6Mnx|,
]百兀
工£[0,兀]時(shí),g(x)=cosx+V3sinx=2(—cosx+sinx)=2sin(x+—),
xG(兀,2兀]時(shí),g(x)=cosx-V3sinx=2(—cosx-sinx)=-2sin(x--),
226
作出函數(shù)y=g(x),尤?0,2可的圖象,如圖,/(X)在[0,守和小,當(dāng)上遞增,在4,兀)和考,2用上
遞減,/(%"=2,/(0)=/(2無)=1,
由圖
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