2025版一輪高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)第九章第五節(jié)　離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)字特征

第五節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)字特征通過(guò)具體實(shí)例，了解離散型隨機(jī)變量的概念，理解離散型隨機(jī)變量分布列及其數(shù)字特征（均值、方差）.1.離散型隨機(jī)變量及其分布列（1）離散型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω，都有唯一的實(shí)數(shù)X（ω）與之對(duì)應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量.可能取值為有限個(gè)或可以的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量；（2）離散型隨機(jī)變量的分布列：一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，稱X取每一個(gè)值xi的概率P（X＝xi）＝pi（i＝1，2，…，n）為X的概率分布列，簡(jiǎn)稱分布列.離散型隨機(jī)變量的分布列也可以用如下表格表示：Xx1x2…xnPp1p2…pn（3）離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)①pi≥，i＝1，2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝.2.離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn（1）均值（數(shù)學(xué)期望）：稱E（X）＝＝∑i=1nxipi為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望.（2）方差：稱D（X）＝（x1－E（X））2p1＋（x2－E（X））2p2＋…＋（xn－E（X））2pn＝∑i=1n（xi－E（X））2pi為隨機(jī)變量X的方差，并稱D（X）為隨機(jī)變量X的，記為σ提醒（1）D（X）越大，表明平均偏離程度越大，X的取值越分散.反之，D（X）越小，X的取值越集中在E（X）附近；（2）方差是一個(gè)常數(shù)，它不具有隨機(jī)性，方差的值一定是非負(fù)實(shí)數(shù).1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1）離散型隨機(jī)變量是指某一區(qū)間內(nèi)的任意值.（）（2）若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則P（X＝1）＝1－P（X＝0）.（）（3）方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量的偏離程度越小.（）（4）若隨機(jī)變量X的均值E（X）＝2，則E（2X）＝4.（）2.袋中有大小相同的6個(gè)黑球，5個(gè)白球，從袋中每次任意取出1個(gè)球且不放回，直到取出的球是白球?yàn)橹?，記所需要的取球次?shù)為隨機(jī)變量X，則X的可能取值為（）A.1，2，3，…，6 B.1，2，3，…，7C.0，1，2，…，5 D.1，2，…，53.某一隨機(jī)變量ξ的概率分布列如表所示，且m＋2n＝1.2，則m－n2＝（ξ0123P0.1mn0.1A.－0.2 B.0.2C.0.1 D.－0.14.已知隨機(jī)變量X的分布列如下，則D（X）＝.X123P1115.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列如表所示，且E（X）＝2.5，則a－b＝.X1234P13ab1.若Y＝aX＋b，其中a，b是常數(shù)，X是隨機(jī)變量，則（1）E（k）＝k，D（k）＝0，其中k為常數(shù)；（2）E（aX＋b）＝aE（X）＋b，D（aX＋b）＝a2D（X）；（3）E（X1＋X2）＝E（X1）＋E（X2）；（4）D（X）＝E（X2）－（E（X））2；（5）若X1，X2相互獨(dú)立，則E（X1·X2）＝E（X1）·E（X2）.2.若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E（X）＝p，D（X）＝p（1－p）.1.已知隨機(jī)變量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E（η）＝34，若ξ的分布列如下表，則m＝（）ξ1234P1mn1A.13 B.C.16 D.2.在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分.如果某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.8，那么他罰球1次的得分X的均值為.分布列的性質(zhì)【例1】（1）（2024·云南一中檢測(cè)）設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ的分布列如下表所示，則下列各式正確的是（）ξ－10123P11112A.P（ξ＜3）＝25 B.P（ξ＞1）＝C.P（2＜ξ＜4）＝25 D.P（ξ＜0.5）（2）已知隨機(jī)變量X的分布列為X－101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P（｜X｜＝1）＝，公差d的取值范圍是.聽課記錄解題技法離散型隨機(jī)變量分布列性質(zhì)的應(yīng)用（1）利用“總概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的取值范圍或值；（2）利用“離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和”求某些特定事件的概率；（3）可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確.1.若離散型隨機(jī)變量X的概率分布列如下表所示，則a＝.X－11P4a－13a2＋a2.（2024·濟(jì)寧一模）離散型隨機(jī)變量X的概率分布規(guī)律為P（X＝n）＝an（n+1）（n＝1，2，3，4），其中a是常數(shù)，則P（12＜離散型隨機(jī)變量的均值與方差考向1均值與方差的性質(zhì)【例2】（多選）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234Pq0.40.10.20.2若離散型隨機(jī)變量Y滿足Y＝2X＋1，則下列結(jié)果正確的有（）A.q＝0.1 B.E（X）＝2，D（X）＝1.4C.E（X）＝2，D（X）＝1.8 D.E（Y）＝5，D（Y）＝7.2聽課記錄解題技法與均值、方差性質(zhì)有關(guān)問(wèn)題的解題思路若給出的隨機(jī)變量Y與X的關(guān)系為Y＝aX＋b，a，b為常數(shù)，一般思路是先求出E（X），D（X），再利用公式E（aX＋b）＝aE（X）＋b，D（aX＋b）＝a2D（X）求E（Y），D（Y）；也可以利用X的分布列得到Y(jié)的分布列，關(guān)鍵是由X的取值計(jì)算Y的取值，對(duì)應(yīng)的概率相等，再由定義法求得E（Y）或D（Y）.考向2離散型隨機(jī)變量的均值與方差【例3】為推廣滑雪運(yùn)動(dòng)，某滑雪場(chǎng)開展滑雪促銷活動(dòng).該滑雪場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）.現(xiàn)有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來(lái)該滑雪場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，設(shè)甲、乙不超過(guò)1小時(shí)離開的概率分別為14，16；1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)離開的概率分別為12，23；（1）求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；（2）設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列與均值E（ξ），方差D（ξ）.解題技法求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟（1）理解X的意義，寫出X可能的全部值；（2）求X取每個(gè)值的概率；（3）寫出X的分布列；（4）由均值、方差的定義求E（X），D（X）.1.已知ξ的分布列如表所示：ξ012P？?。科渲?，盡管“！”處完全無(wú)法看清，且兩個(gè)“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個(gè)“？”處的數(shù)值相同.據(jù)此計(jì)算，下列各式中：①E（ξ）＝1；②D（ξ）＞1；③P（ξ＝0）≤12，正確的個(gè)數(shù)是（A.0 B.1C.2 D.32.（2024·九省聯(lián)考）盒中有標(biāo)記數(shù)字1，2，3，4的小球各2個(gè)，隨機(jī)一次取出3個(gè)小球.（1）求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字兩兩不同的概率；（2）記取出的3個(gè)小球上的最小數(shù)字為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）.均值與方差在決策中的應(yīng)用【例4】（2021·新高考Ⅰ卷18題）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問(wèn)題.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問(wèn)題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；B類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分.已知小明能正確回答A類問(wèn)題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問(wèn)題的概率為0.6，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).（1）若小明先回答A類問(wèn)題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由.解題技法利用樣本的數(shù)字特征解決有關(guān)決策問(wèn)題的關(guān)鍵（1）建立模型，根據(jù)題意準(zhǔn)確建立解決問(wèn)題的概率模型，要注意各種概率模型的差異性，不能混淆；（2）分析數(shù)據(jù)，分析題中的相關(guān)數(shù)據(jù)，確定概率模型中的相關(guān)參數(shù)；（3）求值，利用概率知識(shí)求出概率模型中的數(shù)學(xué)期望、方差等數(shù)字特征；（4）做出決策，比較概率模型中的數(shù)字特征，確定解決問(wèn)題的最優(yōu)方案，做出決策.某投資公司在2024年年初準(zhǔn)備將1000萬(wàn)元投資