2025版一輪高考總復習數(shù)學第九章第五節(jié)　離散型隨機變量及其分布列、數(shù)字特征

第五節(jié)離散型隨機變量及其分布列、數(shù)字特征通過具體實例，了解離散型隨機變量的概念，理解離散型隨機變量分布列及其數(shù)字特征（均值、方差）.1.離散型隨機變量及其分布列（1）離散型隨機變量：對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω，都有唯一的實數(shù)X（ω）與之對應，我們稱X為隨機變量.可能取值為有限個或可以的隨機變量稱為離散型隨機變量；（2）離散型隨機變量的分布列：一般地，設(shè)離散型隨機變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，稱X取每一個值xi的概率P（X＝xi）＝pi（i＝1，2，…，n）為X的概率分布列，簡稱分布列.離散型隨機變量的分布列也可以用如下表格表示：Xx1x2…xnPp1p2…pn（3）離散型隨機變量分布列的性質(zhì)①pi≥，i＝1，2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝.2.離散型隨機變量的數(shù)字特征設(shè)離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn（1）均值（數(shù)學期望）：稱E（X）＝＝∑i=1nxipi為隨機變量X的均值或數(shù)學期望.（2）方差：稱D（X）＝（x1－E（X））2p1＋（x2－E（X））2p2＋…＋（xn－E（X））2pn＝∑i=1n（xi－E（X））2pi為隨機變量X的方差，并稱D（X）為隨機變量X的，記為σ提醒（1）D（X）越大，表明平均偏離程度越大，X的取值越分散.反之，D（X）越小，X的取值越集中在E（X）附近；（2）方差是一個常數(shù)，它不具有隨機性，方差的值一定是非負實數(shù).1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）離散型隨機變量是指某一區(qū)間內(nèi)的任意值.（）（2）若隨機變量X服從兩點分布，則P（X＝1）＝1－P（X＝0）.（）（3）方差或標準差越小，則隨機變量的偏離程度越小.（）（4）若隨機變量X的均值E（X）＝2，則E（2X）＝4.（）2.袋中有大小相同的6個黑球，5個白球，從袋中每次任意取出1個球且不放回，直到取出的球是白球為止，記所需要的取球次數(shù)為隨機變量X，則X的可能取值為（）A.1，2，3，…，6 B.1，2，3，…，7C.0，1，2，…，5 D.1，2，…，53.某一隨機變量ξ的概率分布列如表所示，且m＋2n＝1.2，則m－n2＝（ξ0123P0.1mn0.1A.－0.2 B.0.2C.0.1 D.－0.14.已知隨機變量X的分布列如下，則D（X）＝.X123P1115.設(shè)隨機變量X的概率分布列如表所示，且E（X）＝2.5，則a－b＝.X1234P13ab1.若Y＝aX＋b，其中a，b是常數(shù)，X是隨機變量，則（1）E（k）＝k，D（k）＝0，其中k為常數(shù)；（2）E（aX＋b）＝aE（X）＋b，D（aX＋b）＝a2D（X）；（3）E（X1＋X2）＝E（X1）＋E（X2）；（4）D（X）＝E（X2）－（E（X））2；（5）若X1，X2相互獨立，則E（X1·X2）＝E（X1）·E（X2）.2.若隨機變量X服從兩點分布，則E（X）＝p，D（X）＝p（1－p）.1.已知隨機變量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E（η）＝34，若ξ的分布列如下表，則m＝（）ξ1234P1mn1A.13 B.C.16 D.2.在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分.如果某運動員罰球命中的概率為0.8，那么他罰球1次的得分X的均值為.分布列的性質(zhì)【例1】（1）（2024·云南一中檢測）設(shè)離散型隨機變量ξ的分布列如下表所示，則下列各式正確的是（）ξ－10123P11112A.P（ξ＜3）＝25 B.P（ξ＞1）＝C.P（2＜ξ＜4）＝25 D.P（ξ＜0.5）（2）已知隨機變量X的分布列為X－101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P（｜X｜＝1）＝，公差d的取值范圍是.聽課記錄解題技法離散型隨機變量分布列性質(zhì)的應用（1）利用“總概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的取值范圍或值；（2）利用“離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和”求某些特定事件的概率；（3）可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確.1.若離散型隨機變量X的概率分布列如下表所示，則a＝.X－11P4a－13a2＋a2.（2024·濟寧一模）離散型隨機變量X的概率分布規(guī)律為P（X＝n）＝an（n+1）（n＝1，2，3，4），其中a是常數(shù)，則P（12＜離散型隨機變量的均值與方差考向1均值與方差的性質(zhì)【例2】（多選）設(shè)離散型隨機變量X的分布列為X01234Pq0.40.10.20.2若離散型隨機變量Y滿足Y＝2X＋1，則下列結(jié)果正確的有（）A.q＝0.1 B.E（X）＝2，D（X）＝1.4C.E（X）＝2，D（X）＝1.8 D.E（Y）＝5，D（Y）＝7.2聽課記錄解題技法與均值、方差性質(zhì)有關(guān)問題的解題思路若給出的隨機變量Y與X的關(guān)系為Y＝aX＋b，a，b為常數(shù)，一般思路是先求出E（X），D（X），再利用公式E（aX＋b）＝aE（X）＋b，D（aX＋b）＝a2D（X）求E（Y），D（Y）；也可以利用X的分布列得到Y(jié)的分布列，關(guān)鍵是由X的取值計算Y的取值，對應的概率相等，再由定義法求得E（Y）或D（Y）.考向2離散型隨機變量的均值與方差【例3】為推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動.該滑雪場的收費標準是：滑雪時間不超過1小時免費，超過1小時的部分每小時收費標準為40元（不足1小時的部分按1小時計算）.現(xiàn)有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設(shè)甲、乙不超過1小時離開的概率分別為14，16；1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為12，23；（1）求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率；（2）設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機變量ξ，求ξ的分布列與均值E（ξ），方差D（ξ）.解題技法求離散型隨機變量X的均值與方差的步驟（1）理解X的意義，寫出X可能的全部值；（2）求X取每個值的概率；（3）寫出X的分布列；（4）由均值、方差的定義求E（X），D（X）.1.已知ξ的分布列如表所示：ξ012P？?。科渲?，盡管“！”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數(shù)值相同.據(jù)此計算，下列各式中：①E（ξ）＝1；②D（ξ）＞1；③P（ξ＝0）≤12，正確的個數(shù)是（A.0 B.1C.2 D.32.（2024·九省聯(lián)考）盒中有標記數(shù)字1，2，3，4的小球各2個，隨機一次取出3個小球.（1）求取出的3個小球上的數(shù)字兩兩不同的概率；（2）記取出的3個小球上的最小數(shù)字為X，求X的分布列及數(shù)學期望E（X）.均值與方差在決策中的應用【例4】（2021·新高考Ⅰ卷18題）某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題.每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分.已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.解題技法利用樣本的數(shù)字特征解決有關(guān)決策問題的關(guān)鍵（1）建立模型，根據(jù)題意準確建立解決問題的概率模型，要注意各種概率模型的差異性，不能混淆；（2）分析數(shù)據(jù)，分析題中的相關(guān)數(shù)據(jù)，確定概率模型中的相關(guān)參數(shù)；（3）求值，利用概率知識求出概率模型中的數(shù)學期望、方差等數(shù)字特征；（4）做出決策，比較概率模型中的數(shù)字特征，確定解決問題的最優(yōu)方案，做出決策.某投資公司在2024年年初準備將1000萬元投資