2025版一輪高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)第九章教考銜接9⇒概率模型的辨識與應(yīng)用

概率模型的辨識與應(yīng)用典例展示【例】寫出下列離散型隨機變量的分布列，并指出其中服從二項分布的是哪些？服從超幾何分布的是哪些？（1）X1表示n次重復(fù)拋擲1枚骰子出現(xiàn)點數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)；（2）X2表示連續(xù)拋擲2枚骰子，所得的2枚骰子的點數(shù)之和；（3）有一批產(chǎn)品共有N件，其中次品有M件（N＞M＞0），采用有放回抽取方法抽取n次（n＞N），抽出的次品件數(shù)為X3；（4）有一批產(chǎn)品共有N件，其中M件為次品，采用不放回抽取方法抽n件，出現(xiàn)次品的件數(shù)為X4（N－M≥n＞0，M≥n）.解法探究二項分布與超幾何分布模型的辨識一直是學(xué)生的難點，在有放回抽樣時，每次抽取時的總體沒有改變，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是獨立重復(fù)試驗，此種抽樣是二項分布模型.而不放回抽樣時，取出一個則總體中就少一個，因此每次取到某物的概率是不同的，此種抽樣為超幾何分布模型.因此，二項分布模型和超幾何分布模型最主要的區(qū)別在于是有放回抽樣還是不放回抽樣.五種常見的概率模型及應(yīng)用模型1相互獨立事件的概率模型【例1】（2024·大連模擬）現(xiàn)有甲、乙兩人進行乒乓球比賽，比賽采用7局4勝制，每局為11分制，每贏一球得1分，先得11分者該局獲勝.（1）已知某局比賽中雙方比分為8∶8，此時甲先連續(xù)發(fā)球2次，然后乙連續(xù)發(fā)球2次，甲發(fā)球時甲得分的概率為35，乙發(fā)球時乙得分的概率為12，各球的結(jié)果相互獨立，求該局比賽甲以11∶9（2）已知在本場比賽中，前兩局甲獲勝，在后續(xù)比賽中，每局比賽甲獲勝的概率為23，乙獲勝的概率為13，且每局比賽的結(jié)果相互獨立.兩人又進行了X局后比賽結(jié)束，求X反思感悟相互獨立事件概率模型的特征（1）實際問題中所涉及的若干事件中每一個是否發(fā)生互不影響；（2）A1，A2，…，An相互獨立，則滿足P（A1A2…An）＝P（A1）P（A2）…P（An）；（3）求解相互獨立事件的概率問題時，常涉及互斥、對立事件的概率求值.模型2條件概率模型【例2】為了促進學(xué)生德、智、體、美、勞全面發(fā)展，某校成立了生物科技小組，在同一塊試驗田內(nèi)交替種植A、B、C三種農(nóng)作物（該試驗田每次只能種植一種農(nóng)作物），為了保持土壤肥度，每種農(nóng)作物都不連續(xù)種植，共種植三次.在每次種植A后會有13的可能性種植B，23的可能性種植C；在每次種植B的前提下再種植A的概率為14，種植C的概率為34；在每次種植C的前提下再種植A的概率為25，（1）在第一次種植B的前提下，求第三次種植A的概率；（2）在第一次種植A的前提下，求種植A作物次數(shù)X的分布列及期望.反思感悟求條件概率的常用方法（1）定義法：P（B｜A）＝P（（2）樣本點法：P（B｜A）＝n（（3）縮樣法：去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解.模型3二項分布概率模型【例3】國慶節(jié)期間，某大型服裝團購會舉辦了一次“你消費我買單”促銷活動，顧客消費滿300元（含300元）可抽獎一次，抽獎方案有兩種（顧客只能選擇其中的一種）.方案一：從裝有5個形狀、大小完全相同的小球（其中紅球1個，黑球4個）的抽獎盒中，有放回地摸出3個球，每摸出1次紅球，立減100元.方案二：從裝有10個形狀、大小完全相同的小球（其中紅球2個，白球1個，黑球7個）的抽獎盒中，不放回地摸出3個球，若摸出2個紅球，1個白球，則享受免單優(yōu)惠；若摸出2個紅球和1個黑球，則打5折；若摸出1個紅球，1個白球和1個黑球，則打7.5折；其余情況不打折.（1）某顧客恰好消費300元，并選擇方案一抽獎，求他實付金額的分布列和期望；（2）若顧客消費500元，試從實付金額的期望值分析顧客選擇何種抽獎方案更合適.反思感悟二項分布概率模型的特征（1）在每一次試驗中，試驗結(jié)果只有兩個，即發(fā)生與不發(fā)生；（2）各次試驗中的事件是相互獨立的；（3）在每一次試驗中，事件發(fā)生的概率與不發(fā)生的概率都保持不變.模型4超幾何分布概率模型【例4】已知條件①采用無放回抽取，條件②采用有放回抽取，在上述兩個條件中任選一個，補充在下面問題中的橫線上并作答，選兩個條件作答的按條件①的解答計分.問題：在一個口袋中裝有3個紅球和4個白球，這些球除顏色外完全相同，若，從這7個球中隨機抽取3個球，記取出的3個球中紅球的個數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.反思感悟超幾何分布概率模型的特征（1）實際問題所描述的事件只包含兩個結(jié)果（發(fā)生與不發(fā)生），每進行一次上述抽取都不是原來的重復(fù)（再次抽取時，都與上次條件發(fā)生了變化）；（2）每次抽取中同一事件發(fā)生的概率都不同；（3）實際問題中隨機變量為抽到某類個體的個數(shù)；（4）該問題屬于不放回抽取問題.模型5正態(tài)分布概率模型【例5】（2024·廣州一模）世界衛(wèi)生組織建議成人每周進行2.5至5小時的中等強度運動.已知A社區(qū)有56%的居民每周運動總時間超過5小時，B社區(qū)有65%的居民每周運動總時間超過5小時，C社區(qū)有70%的居民每周運動總時間超過5小時，且A，B，C三個社區(qū)的居民人數(shù)之比為5∶6∶9.（1）從這三個社區(qū)中隨機抽取1名居民，求該居民每周運動總時間超過5小時的概率；（2）假設(shè)這三個社區(qū)每名居民每周運動總時間為隨機變量X（單位：小時），且X～N（5.5，σ2）.現(xiàn)從這三個社區(qū)中隨機抽取3名居民，求至少有兩名居民每周運動總時間為5至6小時的概率.反思感悟正態(tài)分布概率模型的特征（1）一般地，一個隨機變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似地服從正態(tài)分布.正態(tài)分布是最常見的一種分布，許多現(xiàn)象都近似地服從正態(tài)分布.如長度測量誤差、正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)等；（2）解答正態(tài)分布的實際應(yīng)用題，其關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化，同時應(yīng)熟練掌握正態(tài)分布在[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]三個區(qū)間內(nèi)的概率.在此過程中用到轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合思想.高考還可這樣考（2024·惠州一模）第19屆亞運會于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，某學(xué)校為持續(xù)營造全民參與亞運、服務(wù)亞運、奉獻亞運的濃厚氛圍，舉辦了“心心相融·愛答亞運”知識挑戰(zhàn)賽.挑戰(zhàn)者向守擂者提出挑戰(zhàn)，規(guī)則為挑戰(zhàn)者和守擂者輪流答題，直至一方答不出或答錯，則另一方自動獲勝.若賽制要求挑戰(zhàn)者先答題，守擂者和挑戰(zhàn)者每次答對問題的概率都是12，且每次答題互不影響（1）若在不多于兩次答題就決出勝負(fù)的情況下，則挑戰(zhàn)者獲勝的概率是多少？（2）在此次比賽中，挑戰(zhàn)者最終獲勝的概率是多少？（3）現(xiàn)賽制改革，挑戰(zhàn)者需要按上述方式連續(xù)