2025版一輪高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)第七章　立體幾何與空間向量第六節(jié)　用空間向量研究線、面位置關(guān)系及距離

第六節(jié)用空間向量研究線、面位置關(guān)系及距離1.理解直線的方向向量與平面的法向量.2.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直和平行關(guān)系.3.能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的一些簡(jiǎn)單定理.4.能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題.1.直線的方向向量與平面的法向量（1）直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量a為直線l的方向向量；（2）平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a為平面α的法向量.2.空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝kn2（k∈R）l1⊥l2n1⊥n2?＝0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為ml∥αn⊥m?n·m＝0l⊥αn∥m?（k∈R）平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝km（k∈R）α⊥βn⊥m?n·m＝03.空間距離（1）點(diǎn)到直線的距離：設(shè)AP＝a，直線l的一個(gè)單位方向向量為u，則向量AP在直線l上的投影向量AQ＝（a·u）u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝｜AP｜2（2）點(diǎn)到平面的距離：已知平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面α外一點(diǎn).過點(diǎn)P作平面α的垂線l，交平面α于點(diǎn)Q，則n是直線l的方向向量，且點(diǎn)P到平面α的距離就是AP在直線l上的投影向量QP的長度.因此PQ＝AP·n｜n｜（3）直線到平面的距離、平面到平面的距離都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離.1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1）直線的方向向量是唯一確定的.（）（2）若一條直線的方向向量與平面的法向量垂直，則該直線與平面平行.（）（3）兩個(gè)平面的法向量垂直，則這兩個(gè)平面垂直.（）（4）平面α外一點(diǎn)A到平面α的距離，就是點(diǎn)A與平面α內(nèi)一點(diǎn)B所成向量AB的長度.（）2.已知向量a＝（2，4，5），b＝（3，x，y）分別是直線l1，l2的方向向量，若l1∥l2，則（）A.x＝6，y＝15 B.x＝3，y＝15C.x＝3，y＝15 D.x＝6，y＝153.已知平面α內(nèi)有兩點(diǎn)M（1，－1，2），N（a，3，3），平面α的一個(gè)法向量為n＝（6，－3，6），則a＝（）A.4 B.3C.2 D.14.在空間直角坐標(biāo)系中，已知A（1，－1，0），B（4，3，0），C（5，4，－1），則點(diǎn)A到直線BC的距離為（）A.3 B.583C.21735.平面α的法向量為n＝（1，－1，2），AB＝（2，0，－1），那么直線AB與平面α的位置關(guān)系是.用空間向量證明平行關(guān)系【例1】（2023·新高考Ⅰ卷18題節(jié)選）如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.點(diǎn)A2，B2，C2，D2分別在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.證明：B2C2∥A2D2.解題技法利用空間向量證明平行關(guān)系的方法和步驟（1）要證明線線平行，首先需要證明兩直線的方向向量共線，再說明其中一條直線上存在某個(gè)點(diǎn)不在另一條直線上；（2）要證明線面平行，首先需要證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直，或直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行，再說明該直線上存在某個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)；（3）要證明面面平行，首先需要證明兩平面的法向量為共線向量，再說明其中一個(gè)平面內(nèi)存在某個(gè)點(diǎn)不在另一個(gè)平面內(nèi)（也可轉(zhuǎn)化為證明線面平行、線線平行）.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H，M，N分別是正方體六個(gè)表面的中心，證明：平面EFG∥平面HMN.用空間向量證明垂直關(guān)系【例2】如圖所示，△ABC是一個(gè)正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點(diǎn).求證：平面DEA⊥平面ECA.解題技法利用空間向量證明垂直關(guān)系的方法和步驟（1）要證明線線垂直，需證明兩直線的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零；（2）要證明線面垂直，需證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或先通過向量證明線線垂直，再由線面垂直的判定定理證明；（3）要證明面面垂直，需證明兩個(gè)平面的法向量垂直.在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點(diǎn).（1）求證：EF⊥CD；（2）在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結(jié)論.用空間向量求空間距離【例3】如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱長均為4，N是CC1的中點(diǎn).（1）求點(diǎn)N到直線AB的距離；（2）求點(diǎn)C1到平面ABN的距離.