2025版一輪高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)第十章　重難專攻(十二)　概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題

重難專攻（十二）概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題是命制生活實(shí)踐情境類試題的最佳切入點(diǎn)，所考查內(nèi)容涉及數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，是近幾年高考追逐的熱點(diǎn)之一，處理此類問題的關(guān)鍵是把握概率、統(tǒng)計(jì)的本質(zhì)，合理構(gòu)造模型，正確進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算和必要的邏輯推理.統(tǒng)計(jì)圖表與概率的綜合問題【例1】某校為了落實(shí)“雙減”政策，安排了25名教師參與課后服務(wù)工作，在某個(gè)星期內(nèi)，他們參與課后服務(wù)的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示.（1）求這25名教師在該星期參與課后服務(wù)的平均次數(shù)；（2）從這25名教師中任選2人，設(shè)這2人在該星期參與課后服務(wù)的次數(shù)之差的絕對(duì)值為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.解題技法統(tǒng)計(jì)圖表與概率綜合問題的求解策略（1）正確識(shí)讀統(tǒng)計(jì)圖表，從圖表中提取有效信息及樣本數(shù)據(jù)；（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)原理即用樣本數(shù)字特征估計(jì)總體的思想，結(jié)合樣本中各統(tǒng)計(jì)量之間的關(guān)系構(gòu)造數(shù)學(xué)模型（函數(shù)模型、不等式模型、二項(xiàng)分布模型、超幾何分布模型或正態(tài)分布模型等）；（3）正確進(jìn)行運(yùn)算，求出樣本數(shù)據(jù)中能夠說明問題的特征值，從而用此數(shù)據(jù)估計(jì)總體或作出科學(xué)的決策與判斷.（2022·新高考Ⅱ卷19題）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：（1）估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（2）估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20，70）的概率；（3）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%，該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40，50）的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間[40，50），求此人患這種疾病的概率（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.回歸分析與概率的綜合問題【例2】（2024·煙臺(tái)一模）當(dāng)下，大量的青少年沉迷于各種網(wǎng)絡(luò)游戲，極大地毒害了青少年的身心健康.為了引導(dǎo)青少年抵制不良游戲，適度參與益腦游戲，某游戲公司開發(fā)了一款益腦游戲，在內(nèi)測時(shí)收集了玩家對(duì)每一關(guān)的平均過關(guān)時(shí)間，如下表：關(guān)卡x123456平均過關(guān)時(shí)間y（單位：秒）5078124121137352計(jì)算得到一些統(tǒng)計(jì)量的值為：∑i=16ui＝28.5，∑i=16xiui＝106.05，其中（1）若用模型y＝aebx擬合y與x的關(guān)系，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，求出y與x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（2）制定游戲規(guī)則如下：玩家在每關(guān)的平均過關(guān)時(shí)間內(nèi)通過可獲得積分2分并進(jìn)入下一關(guān)，否則獲得－1分且該輪游戲結(jié)束.甲通過練習(xí)，前3關(guān)都能在平均時(shí)間內(nèi)過關(guān)，后面3關(guān)能在平均時(shí)間內(nèi)通過的概率均為45，若甲玩一輪此款益腦游戲，求“甲獲得的積分X”的分布列和數(shù)學(xué)期望參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n），其經(jīng)驗(yàn)回歸直線y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為b＝∑i=1nxiyi解題技法回歸分析與概率綜合問題的解題思路（1）此類問題的特點(diǎn)為：同一生活實(shí)踐情境下設(shè)計(jì)兩類問題，即：①求經(jīng)驗(yàn)回歸方程（預(yù)測）；②求某隨機(jī)變量的概率（范圍）、均值、方差等；（2）充分利用題目中提供的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)（散點(diǎn)圖）做出判斷，確定是線性問題還是非線性問題.求解時(shí)要充分利用已知數(shù)據(jù)，合理利用變形公式，以達(dá)到快速準(zhǔn)確運(yùn)算的目的；（3）明確所求問題所屬事件的類型，準(zhǔn)確構(gòu)建概率模型.近年來，我國大學(xué)生畢業(yè)人數(shù)呈逐年上升趨勢，各省市出臺(tái)優(yōu)惠政策鼓勵(lì)高校畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，以創(chuàng)業(yè)帶動(dòng)就業(yè).某市統(tǒng)計(jì)了該市其中四所大學(xué)2023年畢業(yè)生人數(shù)及自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)（單位：千人），得到下表：A大學(xué)B大學(xué)C大學(xué)D大學(xué)2023年畢業(yè)生人數(shù)x/千人3456自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)y/千人0.10.20.40.5（1）已知y與x具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程y＝a＋bx；（2）假設(shè)該市政府對(duì)選擇自主創(chuàng)業(yè)的大學(xué)生每人發(fā)放1萬元的創(chuàng)業(yè)補(bǔ)貼.①若該市E大學(xué)2023年畢業(yè)生人數(shù)為7千人，根據(jù)（1）的結(jié)論估計(jì)該市政府要給E大學(xué)選擇自主創(chuàng)業(yè)的畢業(yè)生發(fā)放創(chuàng)業(yè)補(bǔ)貼的總金額；②若A大學(xué)的畢業(yè)生中小明、小紅選擇自主創(chuàng)業(yè)的概率分別為p，2p－1（12＜p＜1），該市政府對(duì)小明、小紅兩人的自主創(chuàng)業(yè)的補(bǔ)貼總金額的期望不超過1.4萬元，求p的取值范圍參考公式及參考數(shù)據(jù)：b＝∑i=1nxiyi－nxy∑i=1nx獨(dú)立性檢驗(yàn)與概率的綜合問題【例3】（2023·全國甲卷19題）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.（1）設(shè)X表示指定的兩只小白鼠中分配到對(duì)照組的只數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）試驗(yàn)結(jié)果如下：對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?5.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?.809.2011.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5①求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表：＜m≥m對(duì)照組試驗(yàn)組②根據(jù)①中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？附：K2＝n（P（K2≥k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.635解題技法獨(dú)立性檢驗(yàn)與概率綜合問題的解題思路本類題目以生活題材為背景，涉及獨(dú)立性檢驗(yàn)及概率問題的綜合，解決該類問題首先收集數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表，并按照公式求得χ2的值后進(jìn)行比較，其次再按照隨機(jī)變量滿足的概率模型求解.某種疾病可分為A，B兩種類型.為了解患該疾病的類型與患者性別是否相關(guān)，在某地區(qū)隨機(jī)抽取了若干名該疾病的患者進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)女性患者總?cè)藬?shù)是男性患者總?cè)藬?shù)的2倍，男性患A型疾病的人數(shù)占男性患者總?cè)藬?shù)的56，女性患A型疾病的人數(shù)占女性患者總?cè)藬?shù)的1（1）若本次調(diào)查得出“依據(jù)小概率值α＝0.005的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為所患疾病類型與性別有關(guān)”的結(jié)論，求被調(diào)查的男性患者至少有多少人；（2）某團(tuán)隊(duì)進(jìn)行預(yù)防A型疾病的疫苗的研發(fā)試驗(yàn)，試驗(yàn)