試卷解析：廣東X僑中學(xué)、廣州協(xié)X中學(xué)、增X中學(xué)2024屆高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023學(xué)年第一學(xué)期三校聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試題2024年1月命題：廣東XX中學(xué)高三數(shù)學(xué)備課組審題人：高三數(shù)學(xué)備課組試題說明：本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，滿分為150分，考試時間為120分鐘.第一部分選擇題（共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.集合，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合中元素范圍，進而可求交集.【詳解】，又，則.故選：C.2.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A.B.C.D.1【答案】D【解析】【分析】設(shè)，代入，化簡后求得的虛部.【詳解】設(shè)，代入，即，所以，解得，所以的虛部為.故選：D3.已知，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式求得正確答案.【詳解】.故選：A4.設(shè)等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前項和，若，，則（）A.B.C.15D.31【答案】D【解析】【分析】求得等比數(shù)列的公比，從而求得.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，當時，，，所以.所以，，由于且，所以，則，所以，所以.故選：D5.若，，則是的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式來說明滿足充分性，舉反例來說明不滿足必要性.【詳解】當時，因為，，所以，即可以推出，充分性成立；當時，比如取，此時有，但，所以當時，不能推出，必要性不成立；故是的充分不必要條件.故選：A6.基礎(chǔ)學(xué)科對于一個國家科技發(fā)展至關(guān)重要，是提高核心競爭力，保持戰(zhàn)略領(lǐng)先的關(guān)鍵.其中數(shù)學(xué)學(xué)科尤為重要.某雙一流大學(xué)為提高數(shù)學(xué)系學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特開設(shè)了“九章算術(shù)”，“古今數(shù)學(xué)思想”，“數(shù)學(xué)原理”，“世界數(shù)學(xué)通史”，“算術(shù)研究”五門選修課程，要求數(shù)學(xué)系每位同學(xué)每學(xué)年至多選三門，且已選過的課程不能再選，大一到大三三學(xué)年必須將五門選修課程選完，則每位同學(xué)的不同選修方式種數(shù)為（）A.150種B.210種C.240種D.540種【答案】B【解析】【分析】根據(jù)年學(xué)完或年學(xué)完進行分類討論，結(jié)合組合數(shù)、排列數(shù)的計算求得正確答案.【詳解】若年學(xué)完，，則選修方式有種.若年學(xué)完，①時，則選修方式有種.②時，種.所以總的方法數(shù)有種.故選：B7.已知雙曲線：，的一條漸近線與圓交于兩點，若，則雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用點到直線的距離公式、弦長公式列方程，化簡求得，進而求得雙曲線的離心率.【詳解】圓的圓心為，半徑為，令，，解得或，所以直線與圓相交所得弦長為，所以雙曲線的漸近線與相交所得弦長，到直線的距離，所以，，整理的，所以雙曲線的離心率為.故選：A8.已知定義在上的函數(shù)滿足，對于都有，當時，，則函數(shù)在內(nèi)所有的零點之和為（）A.25B.15C.50D.30【答案】C【解析】【分析】依題意，可得函數(shù)為上的偶函數(shù)，且關(guān)于對稱的周期為2的周期函數(shù)，畫出函數(shù)在內(nèi)的圖像，從而可解.【詳解】由題意，，即，可知函數(shù)為上的奇函數(shù)，函數(shù)為上的偶函數(shù)，又對于都有，函數(shù)關(guān)于對稱，所以，則，則所以函數(shù)為周期為2的周期函數(shù)，當時，，則，所以當時，，由此可作出函數(shù)在內(nèi)的圖像，如圖所示：由，可得，由圖像可知與在內(nèi)有10個交點，設(shè)交點橫坐標從左到右依次為，由對稱性可知，又由周期性可知,所以函數(shù)在內(nèi)所有的零點之和為.故選：C【點睛】方法點睛：解決此類函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用的題目，要能根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，比如奇偶性、對稱性，進而推出函數(shù)的周期，進而結(jié)合給定區(qū)間上的解析式，作出函數(shù)大致圖像，數(shù)形結(jié)合，解決問題.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.下列說法正確的是（）A.若事件和事件互斥，B.若變量服從，，則C.某射擊運動員在一次訓(xùn)練中10次射擊成績（單位：環(huán)）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為8D.若，，，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件、正態(tài)分布、百分位數(shù)、條件概率等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，若事件和事件互斥，，所以A選項錯誤.B選項，若變量服從，，則，所以B選項正確.C選項，成績排序為：，，所以第70百分位數(shù)為，所以C選項錯誤.D選項，若，，，所以，所以D選項正確.故選：BD10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.最小正周期為B.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有6個零點C.的圖象關(guān)于點對稱D.將的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，若在上的最大值為，則的最大值為【答案】AD【解析】【分析】首先化簡得，對于A：直接用周期公式求解；對于B：求出的范圍，然后結(jié)合的圖象得零點個數(shù)；對于C：直接計算的值即可判斷；對于D：求出，結(jié)合圖象來列不等式求解.【詳解】，對于A：，A正確；對于B：當時，，則分別取時對于的的值為函數(shù)在區(qū)間上的零點，只有個，B錯誤；對于C：，故點不是的對稱中心，C錯誤；對于D：由已知，當時，，因為在上的最大值為，所以，解得，D正確.故選：AD.11.古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤?，把數(shù)分成許多類，如圖中第一行圖形中黑色小點個數(shù)：1，3，6，10，…稱為三角形數(shù)，第二行圖形中黑色小點個數(shù)：1，4，9，16，…稱為正方形數(shù)，記三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則下列說法正確的是（）AB.既是三角形數(shù)，又是正方形數(shù)C.D.，，總存在，使得成立【答案】ACD【解析】【分析】先求得，然后對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】由圖可知：，.A選項，，所以A選項正確.B選項，由于無正整數(shù)解，所以不是三角形數(shù)，B選項錯誤.C選項，，，所以C選項正確.D選項，取，則，即，所以，，總存在，使得成立，D選項正確.故選：ACD12.已知拋物線：的焦點為，準線為，過點的直線與拋物線交于兩，，則（）A.若，則B.以為直徑的圓與準線相切C.設(shè)是一個定點，則的最小值為D.過點與拋物線有且只有一個公共點的直線有條【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義、弦長、最值、直線和拋物線的位置關(guān)系等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】拋物線：的，焦點，準線方程為.依題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由消去并化簡得，則，過作，垂足為；過作，垂足為；過作，垂足為，設(shè)是的中點，過作，垂足為，A選項，若，則，A選項正確B選項，由于是的中點，所以，即所以，而，所以，所以以為直徑的圓與準線相切，所以B選項正確.C選項，，，當是與拋物線的交點時等號成立，所以C選項正確.D選項，過點的直線與拋物線只有個交點，當過點的直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，由消去并化簡得，，所以方程組有兩個不同的解，所以D選項錯誤.故選：ABC【點睛】求解直線和拋物線相交所得弦長問題，要注意對直線是否過焦點進行判斷，因為直線過焦點時，拋物線的弦長公式較為簡單.求解直線和拋物線相交的交點個數(shù)問題，可以設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程后，利用判別式來進行判斷.第二部分非選擇題（共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的展開式中的系數(shù)為_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式求得正確答案.【詳解】的展開式中的項為：，所以展開式中的系數(shù)為.故答案：14.已知，，且，則在上的投影向量為_______.【答案】【解析】【分析】利用平方的方法求得，進而求得投影向量.【詳解】由兩邊平方得，，所以在上的投影向量為.故答案為：15.曲線與曲線的公切線方程是_______.【答案】【解析】【分析】設(shè)出其中一個切點坐標，求得切線方程，利用切線的斜率相等建立等量關(guān)系式，從而求得正確答案.【詳解】設(shè)是曲線的一點，，所以曲線在點處的切線方程為.對于曲線，令，解得，所以切線與曲線相切與點，則，整理得，解得，所以公切線方程為，即故答案為：16.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點的距離之比為常數(shù)的點的軌跡是一個圓心在直線上的圓.該圓被稱為阿氏圓，如圖，在長方體中，，點在棱上，，動點滿足，若點在平面內(nèi)運動，則點對應(yīng)的軌跡的面積是________；為的中點，則三棱錐體積的最小值為________.【答案】①.②.【解析】【分析】建立空間直角坐標系，根據(jù)，可得對應(yīng)的軌跡方程；先求的面積，其是固定值，要使體積最小，只需求點到平面的距離的最小值即可.【詳解】分別以為軸建系，設(shè)，而,,，,.由，有，化簡得對應(yīng)的軌跡方程為.所以點對應(yīng)的軌跡的面積是.易得的三個邊，即是邊長為的等邊三角形，其面積為，，設(shè)平面的一個法向量為，則有，可取平面的一個法向量為，根據(jù)點的軌跡，可設(shè)，，所以點到平面的距離：，所以故答案為：，.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求角C的大小；（2）若，的面積為，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角形的面積公式及余弦定理變形整理可得答案；（2）先利用面積公式求，再利用余弦定理求，則面積可求.【小問1詳解】因為，又，所以，整理得，即，因為，所以，所以，則；【小問2詳解】由（1）得，得，所以，所以，所以的周長為.18.已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，且，，.（1）求數(shù)列，的通項公式.（2）對任意的正整數(shù)，，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求得數(shù)列的公差、數(shù)列的公比，從而求得.（2）利用裂項求和法、分組求和法求得正確答案.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，，，，解得，所以.【小問2詳解】，數(shù)列的前項和為.19.已知三棱錐，，為等邊三角形，，為等腰直角三角形，其中.（1）求證：平面平面；（2）過棱作平面交棱于點，且三棱錐和的體積比為，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明詳見解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)是的中點，通過證明平面來證得平面平面；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求得直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】設(shè)是的中點，連接，則，，為等腰直角三角形，，，，所以，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.【小問2詳解】由（1）可知，兩兩相互垂直，由此以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，由于三棱錐和的體積比為，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)直線與平面所成角為，所以.20.某平臺為了解當代大學(xué)生對“網(wǎng)絡(luò)公序良俗”的認知情況，設(shè)計了一份調(diào)查表，題目分為必答題和選答題.其中必答題是①、②、③共三道題，選答題為④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩共七道題，被調(diào)查者在選答題中自主選擇其中4道題目回答即可.為了調(diào)查當代大學(xué)生對④、⑥、⑧、⑩四道選答題的答題情況，從同濟大學(xué)在④、⑥、⑧、⑩四個題目中至少選答一道的學(xué)生中隨機抽取100名學(xué)生進行調(diào)查，他們選答④、⑥、⑧、⑩的題目數(shù)及人數(shù)統(tǒng)計如表：選答④、⑥、⑧、⑩的題目數(shù)1道2道3道4道人數(shù)20303020（1）學(xué)校還調(diào)查了這100位學(xué)生的性別情況，研究男女生中“公序良俗”達人的大概比例，得到的數(shù)據(jù)如下表：（規(guī)定同時選答④、⑥、⑧、⑩的學(xué)生為“公序良俗”達人）性別“公序良俗”達人非“公序良俗”達人總計男性30女性7總計100請完成上述2×2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析“公序良俗”達人與性別是否有關(guān).（2）從這100名學(xué)生中任選2名，記表示這2名學(xué)生選答④、⑥、⑧、⑩的題目數(shù)之差的絕對值，求隨機變量的數(shù)學(xué)期望；參考公式：，其中.附表：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）列聯(lián)表見解析，“公序良俗”達人與性別有關(guān)（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件補全列聯(lián)表，計算的值從而得出正確答案.（2）根據(jù)古典概型以及組合數(shù)公式求得的分布列并求得數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】這100位學(xué)生中，“公序良俗”達人有人，由此補全列聯(lián)表如下：性別“公序良俗”達人非“公序良俗”達人總計男性女性總計，所以“公序良俗”達人與性別有關(guān).【小問2詳解】的可能有，，，，，所以的分布列如下：所以數(shù)學(xué)期望為.21.已知點N在曲線C：上，O為坐標原點，若點M滿足，記動點M的軌跡為.（1）求的方程；（2）設(shè)C，D是上的兩個動點，且以為直徑的圓經(jīng)過點O，證明：為定值.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)，把M點的坐標用N點的坐標表示，再代入曲線即可得解；（2）由已知可得，驗證當C、D為橢圓頂點情況，當C、D不是橢圓頂點時，可得直線OC的斜率存在且不等于零，可設(shè)直線OC的方程為，則直線OD的方程為，求出.的值，代入化簡即可.【小問1詳解】（1）設(shè)，因為點N在曲線上，所以，因為，所以，代入可得，即，即的方程為；【小問2詳解】因為以為直徑的圓經(jīng)過點O，所以，當C、D為橢圓頂點時，當C、D不是橢圓頂點時，可得直線OC的斜率存在且不等于零，可設(shè)直線OC的方程為，則直線OD的方程為，由，得，所以同理可得，，，所以綜上，為定值.【點睛】方法點睛：求動點的軌跡方程有如下幾種方法：（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點的軌跡方程；（2）定義法：