生活中的優(yōu)化問題舉例 教學(xué)設(shè)計(jì) 教案

教學(xué)準(zhǔn)備1.

教學(xué)目標(biāo)一、知識(shí)與技能目標(biāo)1、體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用，能解決利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，2、形成求解優(yōu)化問題的思路和方法。二、過程與方法：1、通過逐步形成用到導(dǎo)數(shù)知識(shí)分析問題和解決問題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力。2、提高將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力。三、情感、態(tài)度、價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化的辯證唯物主義思想處理數(shù)學(xué)問題地積極態(tài)度2.

教學(xué)重點(diǎn)/難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題。教學(xué)難點(diǎn)：理解導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題時(shí)的作用，并利用其解決生活中的一些優(yōu)化問題。3.

教學(xué)用具多媒體、板書4.

標(biāo)簽

教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入【師】問題一：導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中有哪些應(yīng)用？問題二：聯(lián)系函數(shù)在實(shí)際生活中的作用，你認(rèn)為導(dǎo)數(shù)對(duì)于解決生活中的什么問題有什么作用呢？問題三：通過預(yù)習(xí)，我們把導(dǎo)數(shù)能解決的這些問題通常稱為什么問題呢？【生】學(xué)生討論回答【師】生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題．通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（?。┲档挠辛ぞ撸@一節(jié)，我們利用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題．二、新知學(xué)習(xí)問題1：導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問題，主要有幾個(gè)方面？1、與幾何有關(guān)的最值問題；2、與利潤(rùn)及其成本有關(guān)的最值問題；3、效率最值問題?！旧繉W(xué)生討論回答問題2：解決優(yōu)化問題的方法有哪些？首先是需要分析問題中各個(gè)變量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，并確定函數(shù)的定義域，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問題是建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系。再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個(gè)過程中，導(dǎo)數(shù)是一個(gè)有力的工具．【生】學(xué)生討論回答問題3：解決優(yōu)化問題的的步驟是怎樣的？

【生】學(xué)生討論回答典例探究（一）海報(bào)版面尺寸的設(shè)計(jì)

【例題1】學(xué)?；虬嗉?jí)舉行活動(dòng)，通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳?，F(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖所示的豎向張貼的海報(bào)，要求版心面積為128dm2,上、下兩邊各空2dm,左、右兩邊各空1dm。如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸，才能使四周空心面積最??？【分析】先建立目標(biāo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值.【規(guī)范解答】設(shè)版心的高為xdm，則版心的寬為dm,此時(shí)四周空白面積為

因此，x=16是函數(shù)的極小值，也是最小值點(diǎn)。所以，當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時(shí)，能使四周空白面積最小。答：當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時(shí)，海報(bào)四周空白面積最小?！疽晁伎肌吭诒绢}解法中，“x=16是函數(shù)S(x)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)。”為什么？【生】學(xué)生討論回答【師】一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上若只有一個(gè)極值，則該極值即為這個(gè)區(qū)間上的最值。在實(shí)際問題中，由于f'(x)=0常常只有一個(gè)根，因此若能判斷該函數(shù)的最大（小）值在的變化區(qū)間內(nèi)部得到，則這個(gè)根處的極大（?。┲稻褪撬蠛瘮?shù)的最大（?。┲怠！疽活}多解】對(duì)于本題的最值你是否還有別的解法？【探究解答】由解法一可得：【變式練習(xí)】在邊長(zhǎng)為60cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起(如圖)，做成一個(gè)無蓋的方底箱子，箱底的邊長(zhǎng)是多少時(shí)，箱底的容積最大？最大容積是多少？【規(guī)范解答】解法一：由題意可知，當(dāng)x過小（接近0）或過大（接近60）時(shí)，箱子容積很小，因此，16000是最大值

答：當(dāng)x=40cm時(shí)，箱子容積最大，最大容積是16000cm3解法二：設(shè)箱高為xcm，則箱底長(zhǎng)為(60-2x)cm，則得箱子容積由題意可知，當(dāng)x過小或過大時(shí)箱子容積很小，所以最大值出現(xiàn)在極值點(diǎn)處．【反思提高】事實(shí)上，可導(dǎo)函數(shù)在各自的定義域中都只有一個(gè)極值點(diǎn)，從圖象角度理解即只有一個(gè)波峰，是單峰的，因而這個(gè)極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，不必考慮端點(diǎn)的函數(shù)值

（二）飲料瓶大小對(duì)飲料公司利潤(rùn)的影響【問題引領(lǐng)】（1）你是否注意過，市場(chǎng)上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？（2）是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤(rùn)越大？【例題2】【背景知識(shí)】某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料．瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中是瓶子的半徑，單位是厘米。已知每出售1mL的飲料，制造商可獲利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm.【問題】（１）瓶子的半徑多大時(shí)，能使每瓶飲料的利潤(rùn)最大？（２）瓶子的半徑多大時(shí)，每瓶的利潤(rùn)最??？【分析】先建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值.【規(guī)范解答】由于瓶子的半徑為，所以每瓶飲料的利潤(rùn)是【新視角解答】我們已經(jīng)求出利潤(rùn)和瓶子半徑之間的關(guān)系式：圖象如圖，能否根據(jù)它的圖象說出其實(shí)際意義？【合作探究】（三）磁盤的最大存儲(chǔ)量問題【例題3】【背景知識(shí)】計(jì)算機(jī)把數(shù)據(jù)存儲(chǔ)在磁盤上。磁盤是帶有磁性介質(zhì)的圓盤，并有操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū)。磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心軌道，扇區(qū)是指被同心角分割所成的扇形區(qū)域。磁道上的定長(zhǎng)弧段可作為基本存儲(chǔ)單元，根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0或1，這個(gè)基本單元通常被稱為比特（bit）。為了保障磁盤的分辨率，磁道之間的寬度必需大于m，每比特所占用的磁道長(zhǎng)度不得小于n。為了數(shù)據(jù)檢索便利，磁盤格式化時(shí)要求所有磁道要具有相同的比特?cái)?shù)。【問題】現(xiàn)有一張半徑為R的磁盤，它的存儲(chǔ)區(qū)是半徑介于r與R之間的環(huán)形區(qū)域．（1）

是不是r越小，磁盤的存儲(chǔ)量越大？（2）

r為多少時(shí)，磁盤具有最大存儲(chǔ)量（最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息）？【規(guī)范解答】由題意知：存儲(chǔ)量=磁道數(shù)×每磁道的比特?cái)?shù)。設(shè)存儲(chǔ)區(qū)的半徑介于r

與R之間，由于磁道之間的寬度必需大于m，且最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息，故磁道數(shù)最多可達(dá)。由于每條磁道上的比特?cái)?shù)相同，為獲得最大存儲(chǔ)量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特?cái)?shù)可達(dá)。所以，磁盤總存儲(chǔ)量（1）它是一個(gè)關(guān)于r的二次函數(shù)，從函數(shù)解析式上可以判斷，不是r越小，磁盤的存儲(chǔ)量越大．【思考】根據(jù)以上三個(gè)例題，總結(jié)用導(dǎo)數(shù)求解優(yōu)化問題的基本步驟.【例題總結(jié)】（3）比較函數(shù)在各個(gè)根和端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小，根據(jù)問題的實(shí)際意義確定函數(shù)的最大值或最小值。【提別提醒】由問題的實(shí)際意義來判斷函數(shù)最值時(shí)，如果函數(shù)在此區(qū)間上只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么這個(gè)極值就是所求最值，不必再與端點(diǎn)值比較．四、課堂練習(xí)1.某旅行社在暑假期間推出如下旅游團(tuán)組團(tuán)辦法：達(dá)到100人的團(tuán)體，每人收費(fèi)1000元。如果團(tuán)體的人數(shù)超過100人，那么每超過1人，每人平均收費(fèi)降低5元，但團(tuán)體人數(shù)不能超過180人，如何組團(tuán)可使旅行社的收費(fèi)最多?(不到100人不組團(tuán))【分析】先列出問題的文字模型(標(biāo)準(zhǔn)收費(fèi)數(shù)-降低的收費(fèi)數(shù)),再轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型.【規(guī)范解答】設(shè)參加旅游的人數(shù)為x，旅游團(tuán)收費(fèi)為y所以當(dāng)參加人數(shù)為150人時(shí)，旅游團(tuán)的收費(fèi)最高，可達(dá)112500元。2.圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí)，它的高與底與半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用的材料最?。俊疽?guī)范解答】因?yàn)镾(R)只有一個(gè)極值，所以它是最小值

答：當(dāng)罐的高與底直徑相等時(shí)，所用材料最省【變式練習(xí)】當(dāng)圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時(shí)，它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取才能使所用材料最??？

課堂小結(jié)1．導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問題，主要有以下幾種類型：（1）與幾何（長(zhǎng)度、面積、體積等）有關(guān)的最值問題；（2）與物理學(xué)有關(guān)的最值問題；（3）與利潤(rùn)及其成本（效益最大、費(fèi)用最小等）有關(guān)的最值問題；（4）效率最值問題。2.利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路：

課后習(xí)題課本37頁(yè)A組1,2；B組第1題

板書1.4生活中的優(yōu)化問題舉例5.1復(fù)習(xí)引入5.2新