2024-2025學(xué)年高一【數(shù)學(xué)(人教A版)】對(duì)數(shù)函數(shù)的概念-教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息課例編號(hào)學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一學(xué)期第一學(xué)期課題對(duì)數(shù)函數(shù)的概念教科書(shū)教學(xué)人員姓名單位授課教師指導(dǎo)教師教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.從實(shí)際問(wèn)題情境中，抽象出對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，認(rèn)識(shí)與指數(shù)函數(shù)間的關(guān)系；2.在對(duì)數(shù)函數(shù)概念形成過(guò)程中進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)的本質(zhì)，感受知識(shí)間內(nèi)在聯(lián)系；3.借助信息技術(shù)和計(jì)算工具感受對(duì)數(shù)函數(shù)的變化，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng).教學(xué)重點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)概念的形成.教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)內(nèi)在聯(lián)系的把握.教學(xué)過(guò)程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)溫故知新同學(xué)們好，我是北京市第十一中學(xué)的魯國(guó)方，很高興與大家一起學(xué)習(xí)這節(jié)課的內(nèi)容.首先，請(qǐng)問(wèn)大家一個(gè)問(wèn)題：你知道考古學(xué)家是如何推測(cè)出土文物或古遺址年代的嗎？當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會(huì)按確定的比率衰減(稱為衰減率)，大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”.按照上述變化規(guī)律，生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？通過(guò)指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)，我們知道，當(dāng)生物死亡年數(shù)為，死亡生物體內(nèi)碳14含量為，那么這就是我們學(xué)過(guò)的指數(shù)函數(shù).我們用指數(shù)函數(shù)模型研究了呈指數(shù)增長(zhǎng)或衰減變化規(guī)律的問(wèn)題，它揭示了死亡生物體內(nèi)碳14的含量隨時(shí)間的變化而衰減的規(guī)律.當(dāng)我們知道生物的死亡時(shí)間，通過(guò)指數(shù)函數(shù)，我們就能知道生物體內(nèi)碳14的含量.但是，更有價(jià)值的是，考古學(xué)家想推測(cè)出土文物或古遺址年代，往往是，先測(cè)算出生物體內(nèi)碳14的含量，然后計(jì)算出它死亡了多長(zhǎng)時(shí)間.你知道，他們是怎么做到的嗎？新知形成對(duì)這樣的問(wèn)題，在引入對(duì)數(shù)后，我們還可以從另外的角度，對(duì)蘊(yùn)含的規(guī)律作進(jìn)一步的研究．問(wèn)題1：死亡生物體內(nèi)碳14含量為是死亡時(shí)間的函數(shù)即那么，死亡時(shí)間是碳14的含量的函數(shù)嗎？追問(wèn)1：解決這個(gè)問(wèn)題，顯然要依據(jù)函數(shù)的定義.那么依據(jù)定義應(yīng)該怎樣進(jìn)行判斷呢？函數(shù)的定義：設(shè)是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合中的任意一個(gè)數(shù)，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱為從集合到集合的一個(gè)函數(shù)，記作所以要判斷死亡時(shí)間是否是碳14的含量的函數(shù)，就要確定，對(duì)于任意一個(gè)，是否都有唯一確定的與其對(duì)應(yīng)．追問(wèn)2：若已知死亡生物體內(nèi)碳14的含量，如何得知它死亡了多長(zhǎng)時(shí)間呢？如圖，觀察的圖象，過(guò)軸正半軸上任意一點(diǎn)作軸的平行線，與的圖象有幾個(gè)交點(diǎn)？這說(shuō)明對(duì)任意一個(gè)，都有幾個(gè)與其對(duì)應(yīng)？能否將看成是的函數(shù)？按照追問(wèn)1確定的辦法，用軟件進(jìn)行演示，直觀呈現(xiàn)對(duì)任意一個(gè)，都有唯一確定的與其對(duì)應(yīng)．追問(wèn)3：能否求出生物死亡年數(shù)隨體內(nèi)碳14含量變化的函數(shù)解析式？根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系，由得到根據(jù)函數(shù)的定義，對(duì)于每一個(gè)給定的值都有唯一的的值與之對(duì)應(yīng)，把看作自變量，就是的函數(shù).但習(xí)慣上仍用表示自變量，表示它的函數(shù)，即，而中的底數(shù)為一個(gè)給定的常數(shù)，我們用來(lái)表示，即.即由指數(shù)函數(shù)可得，而也構(gòu)成函數(shù)，再改換字母表示，不影響函數(shù)的本質(zhì)，形成一個(gè)新的函數(shù)這就是本節(jié)課要學(xué)習(xí)的對(duì)數(shù)函數(shù).新知特征一般地，函數(shù)且叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中是自變量，定義域是關(guān)注：1.對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意特征;2.在對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)且;3.對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?，即自變量學(xué)以致用例1給出下列函數(shù)：=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④=5\*GB3⑤=6\*GB3⑥其中所有對(duì)數(shù)函數(shù)的序號(hào)是(B)(A)=1\*GB3①=2\*GB3②=5\*GB3⑤(B)=4\*GB3④=5\*GB3⑤=6\*GB3⑥(C)=1\*GB3①=2\*GB3②=4\*GB3④=5\*GB3⑤=6\*GB3⑥(D)=3\*GB3③=4\*GB3④追問(wèn)：判斷函數(shù)是否為對(duì)數(shù)函數(shù)的依據(jù)是什么？對(duì)數(shù)函數(shù)是形式定義，判斷一個(gè)函數(shù)是否是對(duì)數(shù)函數(shù)，要以下關(guān)注三點(diǎn):對(duì)數(shù)符號(hào)前面的系數(shù)為1；對(duì)數(shù)的底數(shù)是不等于1的正常數(shù)；對(duì)數(shù)的真數(shù)僅有自變量.例2求下列函數(shù)的定義域：（1）（2）且追問(wèn)：求解的依據(jù)是什么？據(jù)此求解的步驟是什么？這些函數(shù)雖然不是對(duì)數(shù)函數(shù)，但它們與對(duì)數(shù)函數(shù)緊密相關(guān)，求這些函數(shù)的定義域時(shí)，要注意對(duì)數(shù)函數(shù)的概念.定義域是使函數(shù)自變量的取值集合.我們從對(duì)數(shù)函數(shù)的定義出發(fā)，對(duì)數(shù)函數(shù)且的定義域是，那么（1）中的和（2）中的的取值范圍就是，于是得到不等式，將定義域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式問(wèn)題，進(jìn)而求出定義域．解：由對(duì)數(shù)函數(shù)的概念可知：因?yàn)榧此院瘮?shù)的定義域是因?yàn)榧此院瘮?shù)的定義域是例3假設(shè)某地初始物價(jià)為1，每年以5%的增長(zhǎng)率遞增，經(jīng)過(guò)年后的物價(jià)為該地的物價(jià)經(jīng)過(guò)幾年后會(huì)翻一番？填寫(xiě)下表，并根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，說(shuō)明該地物價(jià)的變化規(guī)律.解：（1）由題意可知，經(jīng)過(guò)年后物價(jià)為物價(jià)x12345678910年數(shù)y0，即由對(duì)數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系，可得物價(jià)翻一番，即，代入函數(shù)可得，由計(jì)算工具可得（2）根據(jù)函數(shù)利用計(jì)算工具，可得下表：物價(jià)x12345678910年數(shù)y0142328333740434547由表中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，該地區(qū)的物價(jià)隨時(shí)間的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)，但大約每增長(zhǎng)1所需要的的年數(shù)在逐漸縮小.練習(xí)：已知集合，集合，若下列表達(dá)式能建立從集合到集合的函數(shù)關(guān)系的是;若下列表達(dá)式能建立從集合到集合的函數(shù)關(guān)系的是.=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④解：觀察集合A和集合B的數(shù)據(jù)，從集合到集合的函數(shù)的自變量，變量，猜測(cè)其對(duì)應(yīng)關(guān)系為以2為底的指數(shù)函數(shù)，將數(shù)據(jù)依次代入函數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)都滿足該函數(shù)的解析式，所以選①；而從集合到集合的函數(shù)的自變量，變量，猜測(cè)其對(duì)應(yīng)關(guān)系為以2為底的對(duì)數(shù)函數(shù)，將數(shù)據(jù)依次代入函數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)都滿足該函數(shù)的解析式，所以選=3\*GB3③．小結(jié)：對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)是我們學(xué)習(xí)的基本初等函數(shù)，它們?cè)鲩L(zhǎng)是有差異的，不同類型的數(shù)據(jù)增長(zhǎng)應(yīng)選取合適的函數(shù)模型來(lái)刻畫(huà)其變化規(guī)律．歸納總結(jié)回顧本課時(shí)學(xué)習(xí)內(nèi)容，并回答下面問(wèn)題：（1）概述本節(jié)課得到對(duì)數(shù)函數(shù)概念的基本過(guò)程．（2）對(duì)數(shù)函數(shù)的現(xiàn)實(shí)背景是什么？（1）先通過(guò)研究生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間的關(guān)系，利用圖象上與的對(duì)應(yīng)關(guān)系，理解也是的函數(shù)，再利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算關(guān)系，依據(jù)函數(shù)的定義，從交換自變