數(shù)學(xué)知識(shí)導(dǎo)航：三角函數(shù)的積化和差與和差化積

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3.3三角函數(shù)的積化和差與和差化積知識(shí)梳理1.積化和差公式sinαcosβ=［sin（α+β)+sin（α—β）］;cosαsinβ=［sin（α+β)—sin（α-β)］；cosαcosβ=［cos（α+β）+cos（α-β)］；sinαsinβ=-［cos(α+β）-cos（α—β)］.特點(diǎn)：同名函數(shù)之積化為兩角和與差余弦的和（差）的一半，異名函數(shù)之積化為兩角和與差正弦的和（差）的一半，等式左邊為單角α、β，等式右邊為它們的和差角.2.和差化積公式sinx+siny=2sincos;sinx—siny=2cossin;cosx+cosy=2coscos；cosx—cosy=—2sinsin。3。常用到的三角恒等變換f（x）=asinx+bcosx=sin（x+θ)（ab≠0),其中tanθ=,由a和b的符號(hào)確定θ所在的象限。知識(shí)導(dǎo)學(xué)復(fù)習(xí)兩角和與差的正弦、余弦公式。本節(jié)重點(diǎn)是公式的推導(dǎo)與應(yīng)用，難點(diǎn)是公式的靈活應(yīng)用.和差化積公式和積化和差公式不要求記憶。疑難突破1.如何推導(dǎo)出三角函數(shù)的和差化積公式與積化和差公式？剖析:難點(diǎn)是面對(duì)兩角和與差的正弦或余弦公式，不知道從何處入手.其突破口是：利用方程的思想推導(dǎo)積化和差公式，利用“換元”思想推導(dǎo)和差化積公式.(1）積化和差公式的推導(dǎo)∵sin(α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，①sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,②∴①+②，得sin(α+β)+sin(α—β)=2sinαcosβ，即sinαcosβ=［sin(α+β）+sin(α-β)］。①-②得sin(α+β)-sin(α—β）=2cosαsinβ，即cosαsinβ=［sin（α+β）-sin（α-β）].∵cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，③cos（α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，④∴③+④得cos(α+β)+cos(α—β）=2cosαcosβ.即cosαcosβ=［cos（α+β）+cos(α—β）]。③—④得cos(α+β）-cos(α-β）=-2sinαsinβ，即sinαsinβ=-［cos(α+β）-cos(α-β)］.(2)和差化積公式的推導(dǎo)令α+β=θ,α—β=φ，則α=，β=，代入sinαcosβ=［sin(α+β）+sin（α-β）],得sincos=［sin(+)+sin（-)］,∴sincos=（sinθ+sinφ)。整理得sinθ+sinφ=2sincos。同理可得sinθ—sinφ=2cossin；cosθ+cosφ=2coscos；cosθ—cosφ=—2sinsin。2.和差化積與積化和差公式有什么作用？剖析：難點(diǎn)是推導(dǎo)出了公式，但不會(huì)應(yīng)用.其突破方法是分析和理解公式的特點(diǎn),還要依賴于平時(shí)經(jīng)驗(yàn)的積累?？蓮囊韵聨追矫鎭?lái)理解這兩組公式：（1）這些公式都是指三角函數(shù)值間的關(guān)系而言,并不是指角的關(guān)系；(2)只有系數(shù)絕對(duì)值相同的同名三角函數(shù)的和差，才能直接應(yīng)用公式化為積的形式.如sinα+cosβ就不能直接化積，應(yīng)先化成同名函數(shù)后，再用公式化成積的形式；（3）三角函數(shù)的和差化積，可以理解為代數(shù)中的因式分解，則因式分解在代數(shù)中起什么作用，和差化積公式就起什么作用。積化和差與和差化積是一對(duì)孿生兄弟，不可分離,在解題過(guò)程中，要切實(shí)注意兩者的交替使用.一般情況下，遇有正、余弦函數(shù)的平方,要先考慮靈活應(yīng)用二倍角公式的變形進(jìn)行降冪,然后應(yīng)用和差化積、積化和差公式進(jìn)行化簡(jiǎn)或計(jì)算。和積互化公式其基本功能在于：當(dāng)和、積互化時(shí),角度要重新組合，因此有可能產(chǎn)生特殊角；結(jié)構(gòu)將變化,因此有可能產(chǎn)生互消項(xiàng)或互約因式，從而利于化簡(jiǎn)求值.正因?yàn)槿绱?“和、積互化”